11.1.3 多面体与棱柱-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

@ 问题2[提示]相交 [例3][解析](1)画法：连接GA交A:D1于点M,连接 ⊙结论形成 GC交C1D1于点N:连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC 2.A∈aBta 为所求平面与正方体表面的交线，如图①所示， 3.lCal∥alna=B (2)画法：连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长 导学4 线于点Q:连接D1P交CC1于点M,连接D,Q交AA1于 问题1[提示]垂直. 点N:连接MF,NE,则DM,MF,FE,EN,ND1为所求平 问题2[提示]垂直. 面与正方体表面的交线。如图②所示. O结论形成 G 1.l⊥ml⊥a 3.射影AB的长 4.任意一点任意一点 [基础自测] B 1.(1)×(2)×(3)/(4)× D 2.D若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面 3.解析AP与BC异面、BP与AC异面，PC与AB并面. 答案 3 4.解析连接BD,设BD∩AC=O,连接EO, ⑦ D [触类旁通] 3.C可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行 判断. A不满足aCa,故错误， B不满足bCB,故错误， C满足条件，正确」 D不满足a∥AB,b∥AB,故错误. 在△BDD,中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以 11.1.3多面体与棱柱 EO为△BDD,的中位线，则BD1∥EO,而BD1亡平面 课前案·自主学习 ACE,EOC平面ACE, [教材梳理] 所以BD,∥平面ACE. 答案平行 导学1 课堂案·互动探究 问题[提示]每个面都是平面多边形。 [例1][解析] ⊙结论形成 平面多边形(1)多边形(2)公共边(3)棱与棱的公共 点(4)不是棱不在同一个面上(5)平面图形（包含它 的内部) 导学2 问题[提示]有两个面互相平行，且多面体的顶点都在这 两个面上，其余各面都是平行四边形. ⊙结论形成 [触类旁通] 平行平行四边形平行相邻侧面线段（或它的长 1.解析 度)(1)平行六而体(2)①不垂直②垂直③直棱柱 (3)①垂直②矩形③相等 [基础自测] 1.(1)/(2)/(3)/(4)× 2.D根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足 3.ABC多面体至少应有四个顶，点（否则至多三个顶点，而 三个顶点只围成一个平面图形)，而四个顶点可围成四个 [例2][解析](1)与直线B'C'平行的平面有平面ABCD, 面，所以A正确：棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的 平面ADDA' 个数与底面多边形的边数相等，所以B正确：长方体、正方 (2)与平面BC平行的平面为平面AD' 体都是棱柱，所以C正确：三棱柱的侧面是平行四边形，不 [母题变式] 是三角形，所以D错误. 1.解析(1)有平面AB,平面CD (2)有平面AB,平面A'C',平面CD,平面AC. 4.解析①棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形 2.解析有A'A,A'B',DD,DC,由于长方体六个面都是 ②，③都不能保证侧棱与底面垂直. 矩形，所以它们与棱A'D'所成角都是90° ①易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确」 3.解析A'D',BC,BC,AD的长均可以表示 答案④ [触类旁通] 课堂案·互动探究 2.解析(1)与AD平行的直线有BC,AD1,B1C1,与AD [例1门[解析](1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体 异面的直线有A:B,CD,,BB,CC1. 相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形， (2)AD∥平面BCCB,AD∥平面A1B,CD. 且四条侧校互相平行.符合棱柱的定义. (3)AD⊥平面ABB,A1,AD⊥平面CDDC· (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB,M-CC,N,左下方 (4)平面ADDA1∥平而BCCB, 部分是四棱柱ABMA,-DCND1. 12 [触类旁通] : 面与底面之间的都分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧 1,D如图，该几何体上、下两个底面互相平行，其余各面都是 棱延长后均相交于一点（即原棱锥的顶点），故②错，③对. 四边形，但不是棱柱，故A错误：正六棱柱中有互相平行的两 因而正确的有①③」 个侧面，但不能作为棱柱的底面，故B错误：长方体的各个面 答案①③ 都是平行四边形，故C错误，D正确」 课堂案·互动探究 [例1][解析]①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平 面去栽棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台. ②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形 ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形. B ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥， [例2][解析]直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故 ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥】 A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错：C正 确：底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错， [答案]ABD [触类旁通] 2.D正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，是特殊的长方体 [例3][解析]其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条 棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开 的相邻面在展开图中一定相邻，相同的图案是盒子上相对 的面，展开后不能相邻. [答案]②③④ [答案]A [触类旁通] [母题变式] 1,C根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥 1.B由题意，将正方体的展开图还原成正方 [例2][解析]作出正三棱维如图，S0为其高，连接AO, 2 体，“1”与“乐”相对，“2”与“8”相对，“0”与 作OD⊥AB于点D,则点D为AB的中，点. “快”相对，所以下面是“8” 0乐 快 8 在R△AD0中，AD=名， 2.C ∠OAD=30°， [触类旁通] 3.B沿棱AA1将三棱柱展开，再拼接一次，如图所示，由图 3 2 故AO= 可知所求最短路线的长为√52+12=13(cm). COsZOAD=3. A 在Rt△SAO中，SA=23,AO=√3， 5cm 故S0=3,其高为3. [母题变式] 12 cm 11.1.4棱锥与棱台 1解折在R△SD0中，SD=25,D0=号A0=写，故 课前案·自主学习 [教材梳理] s0=vsD-0=2-=35 导学1 2.解析如图正四棱锥S-ABCD中， 问题1[提示]棱锥。 S0为高，连接OC.则△SOC是直角 问题2[提示] 底面是多边形，侧面都是三角形，且有一个 三角形，由题意BC=3,则OC= 公共顶点 3y巨，又国为SC=25, 0 O结论形成 多边形 三角形 多边形 公共顶点相邻两侧面 则S0=√SC-OC= /12 垂线 导学2 /15_3o 问题1[提示]棱台. 2 问题2[提示]棱台可以由被锥栽得. ○结论形成 故其高为⑩ 2 平行于棱锥底面的平面底面截面相邻两侧面 [触类旁通] 正棱锥两底面中心 2.A把正三棱维沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰 [基础自测] 三角形，△SBC,△SCA,△SAB',连接BB,交SC于F,交 1.(1)/(2)×(3)×(4)× SA于E,则线段BB'就是△BEF的最小周长，BB=√2a, 2.CA项中的几何体是棱柱：B项中的几何体是棱锥：D项 中的几何体的梭AA',BB,CC,DD没有交于一点，则D 项中的几何体不是棱台：很明显C项中的几何体是棱台. 3.ABC面ABCD不是几何体的面，孩几何体有8个面. 4.解析棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的 几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公 共点，故①对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，機 13数学·必修 第四册(配RJB版) 11.1.3 多面体与校柱 学业标准 素养目标 1.了解多面体的定义及其分类 1.通过将现实生活中的实物抽象为梭柱,培养数 2.理解梭柱的定义和结构特征,(重点) 学抽象和直观想象核心素养. 3.能在梭柱中构造恰当的特征图形,研究其中的线段 2.通过校柱中的数量关系的计算,主要培养数学 数量关系和位置关系.(难点) 运算核心素养. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 1数制梳理 导学2楼柱 ②问题 导学1多面体 观察下列两个校柱,你认为校柱应 具有怎样的共同特征 1行 ②问题 上面图中的几个图形的面有什么 特点? (1) (2) O结论形成 多面体 由若干个。 所围成的封闭几何体 定义 称为多面体. O结论形成 (1)面:围成多面体的各个 称为 楼柱的概念与几何特征 多面体的面. (2)楼:相邻两个面的 称为多面 有个面互相 ,且多面体的顶点都 体的梭. 定义 顶点D 在这两个面上,其余各面都是 (3)顶点: ,这 图示 称为多面体的顶点. 过x 样的多面体称为校柱 (4)面对角线:连接 相关 一 概念 在同一个面上的两 个顶点的 的线段. 图示 体对角线:连接 的两个顶点的 线段. 表示 A B顶点 (5)截面:一个几何体和一个平面相交所 得到的 可记作:楼柱ABCDEF-A'B'C'DE'F, 48 第十一章 立体几何初步 续表 基础自测 底面:两个互相 的面. 1.判断正误(正确的打“、/”,错误的打“×”) 侧面:底面以外的其余各面. (1)梭柱的侧面都是平行四边形。 侧楼: 的公共边. 相关 (2)校柱的两个底面是全等的多边形 高:过校柱一个底面上的任意一个顶点, 概念 (3)校柱最多有两个面不是四边形 作另一个底面的垂线所得到的 (4)长方体一定是正四校柱. 2.下面多面体中,是校柱的有 侧面积:校柱所有侧面的面积之和 (1)按底面多边形的边数分类 底面是三角形、四边形、五边形......的校 柱分别叫做三梭柱、四校柱、五校柱..... A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 底面是平行四边形的梭柱,称为 3.(多选题)下列说法正确的是 C ) (2)按底面与侧校的关系分类 A.多面体至少有四个面 ①侧校与底面 的梭柱叫做斜 B.九校柱有9条侧楼,9个侧面,侧面为平 校柱; 行四边形 ②侧楼与底面 的楼柱叫做直 梭柱; 分类 C.长方体、正方体都是校柱 叫做正 ③底面是正多边形的 D.三校柱的侧面为三角形 楼柱. 4.下列四个命题: (3)特例 ①校柱的两底面是全等的正多边形, ①直平行六面体:侧梭与底面 ②有一个侧面是矩形的校柱是直梭柱 的平行六面体; ③有两个侧面是矩形的校柱是直梭柱 ②长方体:底面是。 的直平行六 ④四校柱的四条体对角线两两相等,则该 面体; 四校柱为直四校柱. ③正方体:校长都 的长方体. 其中正确的序号是 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 对多面体的识别与判断 [自主解答] 题型一 例1如图所示,长方体 ABCD-A.B.C. D (1)这个长方体是梭柱吗? 如果是,是几梭柱?为什么? (2)用平面BCNM把这个长方体分成两 部分,各部分形成的几何体还是梭柱吗 如果是,是几校柱,并用符号表示;如果不 是,请说明理由. 49 数学·必修 第四册(配RJB版) 规律历法 [触类旁通] 正确判断几何体类型的方法 2.设集合M一(正四校柱),N一{长方体). 要正确判断几何体的类型,就要熟练掌握各 P一(直四梭柱),Q一(正方体:这些集合 类简单几何体的结构特征,对于有些四楼柱,互相 之间的关系是 7__ 平行的平面不只是两个,所以对于底面来说并不 固定,校柱的概念中两个面互相平行,指的是两个 A.Q二M2N二P B.Q2N2M2P 底面互相平行,但由于楼柱的放置方式不同,两个 C. P2M2N2Q D. P2N2M2Q 底面的位置就不一样,但无论如何放置,都应该满 足校柱的定义. 题型三 正方体的折叠与还原问题 [触类旁通] 一题多变 1.下列命题中正确的是 _ 例3 某同学制作了一个对面图案均 A.有两个面互相平行,其余各面都是四边 相同的正方体礼品盒,如图所示, 形的几何体叫梭柱 则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为 B.校柱中互相平行的两个面叫梭柱的 ( (对面是相同的图案) ) 底面 = = C.校柱的侧面都是平行四边形,而底面不 #①× 是平行四边形 A B D.校柱的侧梭都相等,侧面是平行四边形 #7 题型二 几种常见四楼柱的关系 C D 例2(多选题)下列说法中不正确的是 _。 [母题变式] A.直四校柱是直平行六面体 1.(变条件、变结论)将本例改 B. 直平行六面体是长方体 为:水平放置的正方体的六个 C.六个面都是矩形的四校柱是长方体 面分别用“前面、后面、上面、 D.底面是正方形的四校柱是正四校柱 下面、左面、右面”表示,如图 规律方法 是一个正方体的平面展开图(图中数字写 常见四楼柱的关系 在正方体的外表面上),若图中“0”上方的 侧楼与 底面为 “2”在正方体的上面,则这个正方体的下 /底面垂直 矩形 面是 ( 四楼柱 平行六面体 直平行六面体 侧楼长与底 咸面为 A.1 B.8 面边长相等 正方形 C.快 长方化 D.乐 50 第十一章 立体几何初步 2.(变条件、变结论)将本例改为;如图,是一 [填密思维提能区] 易错辨析 个正方体纸盒的平面展开图,六个面上分 几何体的展开图折叠回原图出错 [典例]有一种般子,每一面上都有一个英 别写有“空袋难以直立”,则写有“难”字的 _ 文字母,如图是从3个不同的角度看同一 对面是 颗股子的情形,请画出般子的一个侧面展 开图,并根据展开图说明字母H对面的字 母是什么. ##4}# A.立 B.空 [解析] 将原正方体侧面 -1易错警示--) C.直 D.以 各字母对面的字 展开,得知其表面字母的排 母,易凭主观猜 [素养聚焦] 通过正方体的折叠问题,培养直 测而致错. 列如图,所以H对面的字 观想象核心素养. 母是O. 规律方法 画展开图时,常常给多面体的顶点标上字母, 先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面 便可得到其平面展开图 [纠错心得 ]求解此题时容易出错,导致错误 的原因:空间想象能力差,凭主观猜测,实际 [触类旁通] 上可以动手制作模型,通过折叠得出答案 3.如图,已知正三梭柱ABC-A.B.C.的底 课堂小结 面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点 知识落实 技法强化 A出发,沿着三校柱的侧面绕行两周到达 。 (1)本节课应用了类 点A.的最短路线的长为 _ 比与化归的思想 (1)多面体的定义 方法. (2)校柱的结构特征 (2)多面体的基本定 (3)校柱的计算问题 义和校柱的结构特 (4)校杜展开图及其应用 -C 征等基本概念问题 混淆不清. A.261cm B. 13cm 请完成[课后案]学业评价(十) C.11cm D. 17cm 51