高中数学人教B版（2019）必修第四册第十章《复数》知识点清单

新教材人教B版2019版数学必修第四册 第十章知识点清单 目录 第十章 复数 10. 1 复数及其几何意义 　　10. 1. 1 复数的概念 　　10. 1. 2 复数的几何意义 10. 2 复数的运算 　　10. 2. 1 复数的加法与减法 　　10. 2. 2 复数的乘法与除法 10. 3 复数的三角形式及其运算 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第十章 复数 10. 1 复数及其几何意义 10. 1. 1 复数的概念 一、复数及复数集 1. 复数：一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数(i为虚数单位). 2. 复数的代数形式 复数一般用小写字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)=a，Im(z)=b. 3. 复数集 所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C={z|z=a+ bi，a，b∈R}. 二、复数的分类 1. 对于复数a+bi(a，b∈R)， 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0； 当b≠0时，叫做虚数； 当a=0且b≠0时，叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集. 这样，复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下： 复数z 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示： 三、复数相等 　　两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1=z2. 如果a，b，c，d都是实数，那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d. 特别地，当a，b都是实数时，a+bi=0的充要条件是a=0且b=0. 提醒：两个复数(如果不全是实数)不能比较大小，只能说它们相等或不相等. 四、对复数概念的理解 1. 复数的分类问题一般转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为标准形式，列出实部与虚部满足的方程或不等式即可. 2. 解题时一定要先看复数是不是a+bi(a，b∈R)的形式，以确定其实部和虚部. 3. 若一个复数是实数，则有以下结论： (1)z的虚部为0，则z∈R； (2)z∈R⇔z2≥0. 4. 若一个复数是纯虚数，则有以下结论： (1)实部为0且虚部不为0，则z为纯虚数； (2)z是纯虚数⇔z2<0； (3)若z为纯虚数，则z=ki(k∈R且k≠0). 五、复数相等的定义 　　利用复数相等的定义时要注意： (1)化为复数的标准形式z=a+bi； (2)实部、虚部中的字母为实数，即a，b∈R； (3)实部和虚部分别对应相等. 　　根据复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了 条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 10. 1. 2 复数的几何意义 一、复数的几何意义 1. 复数与复平面内的点的一一对应 一方面，根据复数相等的定义，复数z=a+bi(a，b∈R)被它的实数与虚部唯一确定，即复数z被有序实数对(a，b)唯一确定；另一方面，有序实数对在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a，b). 因此可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一 对应关系，即复数z=a+bi↔点Z(a，b). 如图所示： 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面. 在复平面内，x轴上的点对应 的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴. 2. 复数与平面向量的一一对应 因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点，Z为终点的向 量，所以复数也可用向量来表示，这样也就能在复数集与平面直角坐标系中 以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z=a+bi↔向量= (a，b). 如图所示： 二、共轭复数 1. 定义 一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭 复数. 复数z的共轭复数用表示. 2. 代数形式：a+bi与a-bi(a，b∈R)互为共轭复数，即z=a+bi⇔=a-bi. 3. 几何描述 非零复数z1、z2互为共轭复数⇔它们在复平面内对应的点Z1、Z2(或对应向量、)关于实轴对称. 三、复数的模 1. 一般地，向量=(a，b)的长度称为复数z=a+bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|=. 当b=0时，|z|==|a|. 2