16.2平行线-平行公理 课件2025--2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

第16章 相交线与平行线 16.2 平行线 平行公理 1 情境引入 我们在小学已经学过一些平行线的初步知识，也知道在我们周围的世界中到处可见平行线的形象，比如：笔直的两条铁轨 2 情境引入 课本封面相对的两边，都给我们平行线的形象.如果画出它们的图形，应是同一平面上的两条线段.它们各自向两个方向延长总不会相交.那么怎样的两条直线叫作平行线呢？ 3 新知讲授 定义：在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用符号“// ”表示. 如图，如果直线a和直线b是平行线，那么也称它们互相平行. 记作:“a//b”， 读作:“a平行于b”. 在同一平面上，两条直线的位置关系是____________ . 相交或平行 定义：在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线. 平行用这个符号表示 如图1：如果直线a和直线b是平行线，那么也称它们互相平行. 记作“a//b”，读作“a平行于b”. 为什么要强调“在同一平面上”呢？ 如果把我们的教室空间抽象成一个长方体，AB和CG不在同一平面上，它们不相交，但也不是平行线，所以要强调在同一平面上. 4 新知讲授 在同一平面上，如果两条线段不相交，那么它们所在的直线互相平行.这句话对不对？为什么？ 问题： 这句话是错误的. 来看问题2：在同一平面上，如果两条线段不相交，那么它们所在的直线互相平行.这句话对不对？为什么？ 在同一平面上，如果两条线段不相交，那么它们所在的直线有可能是互相平行的也有可能会相交.比如我们之前画的两条线段，它们所在的直线是互相平行的；再比如这张图，线段a和线段b是不相交的，但是线段a和线段b所在的直线是相交的.因此，这句话是错误的. 5 a 新知讲授 · 如图，已知直线a和直线a外一点P.利用直尺和三角尺画一条经过点P且平行于a的直线. P 下面，我们来尝试一下“经过直线外一点，画已知直线的平行线”，大家动手操作一下. 如图2，已知直线a和直线a外一点P.利用直尺和三角尺画一条经过点P且平行于a的直线. 6 a b 新知讲授 · 如何保证三角尺不会发生偏转呢？ 如图，已知直线a和直线a外一点P.利用直尺和三角尺画一条经过点P且平行于a的直线. P 有同学会借助三角尺这样快速得画出平行线， 请问在推动三角板的过程中，三角板会不会发生转动？那么如何保证三角板不发生转动呢？ 我们可以再用一把直尺或三角尺紧靠它，让它不会发生转动.下面我们一起来画一遍， 7 A B C a 新知讲授 · 1.靠（将三角尺的一边AB紧靠直线a，将直尺紧靠三角尺的另一边AC）; 如图，已知直线a和直线a外一点P.利用直尺和三角尺画一条经过点P且平行于a的直线. P 第1步，靠（将三角尺的一边AB紧靠直线a，将直尺紧靠三角板的另一边AC）； 8 A B C a b 新知讲授 · 1.靠（将三角尺的一边AB紧靠直线a，将直尺紧靠三角尺的另一边AC）; 2.移（沿直尺推动三角尺，使三角尺的一边AB平移后经过点P ）; 3.画（沿三角尺的这条经过点P的边，画直线b）. 直线b就是所要画的直线. 如图，已知直线a和直线a外一点P.利用直尺和三角尺画一条经过点P且平行于a的直线. P 第2步，移（沿直尺推动三角板，使三角板紧靠直线a的一边（边AB）经过点P）； 第3步，画（沿三角板的这条经过点P的边，画直线b）. 所以直线b就是所要画的直线. 以上操作，给出了画已知直线的平行线的一种方法.这是今后画平行线示意图的常用方法. 9 a 新知讲授 · 满足条件的直线可以画几条？ 如图，已知直线a和直线a外一点P.利用直尺和三角尺画一条经过点P且平行于a的直线. P 思考：这样的直线可以画几条？ 我们发现：经过点P可以画出一条、且只能画出一条与已知直线a平行的直线.我们把这个基本事实作为公理. 10 A B C a b 新知讲授 · 只能画1条 如图，已知直线a和直线a外一点P.利用直尺和三角尺画一条经过点P且平行于a的直线. P 满足条件的直线可以画几条？ 思考：这样的直线可以画几条？ 我们发现：经过点P可以画出一条、且只能画出一条与已知直线a平行的直线.我们把这个基本事实作为公理. 11 新知讲授 平行公理 经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行. 第一个“有”代表这样的直线是存在的. 第二个“有”表示这样的直线是唯一的（只有一条）. 怎么理解平行公理中的“有且只有”？ 平行公理 经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行. 注意，在平行公理中的“有且只有”，第1个“有”，代表这样的直线是存在的，第2个“有”表示这样的直线只有一条，是唯一的. 另外，为什么要强调是“直线外一点”？如果是直线上一点，那么经过该点的直线与已知直线重合，这不符合平行线的定义. 12 如图，已知：直线a、b、c在同一个平面上，a//c，b//c. 求证：a//b. 新知讲授 接下来，能不能用刚才所学的知识解决以下问题？我们发现，想要直接证明a//b存在困难，关于平行线的相关知识目前只学习了平行线的定义和平行公理，所以可以尝试用平行公理推导出本题的结论. 我们再回忆一下平行公理：经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行. 也就是说，如果经过直线外的一点，有两条直线与该直线平行，那就不满足平行公理了. 证明：假设a与b不平行，且相交于点P，（因为在同一平面上，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，既然假设a与b不平行，那就说明a与b相交） 那么过点P就有两条直线a与b都和c平行，这与平行公理矛盾. 这说明上述假设是错误的，所以a//b. 上面这样的证明方式，称为反证法.在本章开头证明“两条直线相交，只有一个交点”时就已经用过.反证法是数学中常用的一个证明方法. 13 如图，已知：直线a、b、c在同一个平面上，a//c，b//c. 求证：a//b. 证明：假设直线a与b不平行，且相交于点P， 那么过点P就有两条直线a与b都和c平行，这与平行公理矛盾. 这说明上述假设是错误的，所以a//b. 反证法 新知讲授 接下来，能不能用刚才所学的知识解决以下问题？我们发现，想要直接证明a//b存在困难，关于平行线的相关知识目前只学习了平行线的定义和平行公理，所以可以尝试用平行公理推导出本题的结论. 我们再回忆一下平行公理：经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行. 也就是说，如果经过直线外的一点，有两条直线与该直线平行，那就不满足平行公理了. 证明：假设a与b不平行，且相交于点P，（因为在同一平面上，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，既然假设a与b不平行，那就说明a与b相交） 那么过点P就有两条直线a与b都和c平行，这与平行公理矛盾. 这说明上述假设是错误的，所以a//b. 上面这样的证明方式，称为反证法.在本章开头证明“两条直线相交，只有一个交点”时就已经用过.反证法是数学中常用的一个证明方法. 14 新知讲授 反证法的步骤： （1）先假设求证的结论是错误的； （2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件相矛盾的结果； （3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性. 定理：在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 这个定理称为平行的传递性.由此，三条直线a、b、c互相平行，可表示为“a//b//c”. 新知讲授 我们把刚才证明的结论作为定理，文字语言表述如下： 在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 这个定理称为平行的传递性.由此，三条直线a、b、c互相平行，可表示为“a//b//c”. 接下来，我们来试试用今天所学知识解决以下问题. 16 课堂练习 B · A 1.根据下列语句画出示意图： （1）P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行； P 再利用前面学习的“过直线外一点，画已知直线的平行线”的方法，画直线CD（靠、移、画）. 17 课堂练习 B · A C D 1.根据下列语句画出示意图： （1）P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行； P 再利用前面学习的“过直线外一点，画已知直线的平行线”的方法，画直线CD（靠、移、画）. 18 课堂练习 B · A C D 1.根据下列语句画出示意图： （1）P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行； P 这就是所要画的图. 19 课堂练习 1.根据下列语句画出示意图： （2）直线AB、CD是相交直线，P是直线AB、CD外的一点，直线EF经过点P，与直线AB平行，与直线CD相交于点Q. B A E F C D · Q · P 根据题意，先画2条相交直线AB和CD，点P是直线AB、CD外的一点，然后过点P画EF//AB，直线EF与直线CD相交于点Q.这就是所要画的图. 20 2.已知直线a、b、c在同一平面上，以下推理是否正确？ （1）因为直线a与直线b垂直，直线b与直线c垂直，所以直线a与直线c垂直； 课堂练习 a b c 不正确 a//c？ 在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直.这句话正确吗？ 我们可以先画直线a和直线b垂直，再画直线b与直线c垂直，很明显，直线a和直线c并不垂直，它们应该是平行的,那么是不是平行的呢？我们后几节课会继续研究的 21 2.已知直线a、b、c在同一平面上，以下推理是否正确？ （1）因为直线a与直线b垂直，直线b与直线c垂直，所以直线a与直线c垂直； 课堂练习 a b c 不正确 在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行.这句话正确吗？ a//c？ 我们可以先画直线a和直线b垂直，再画直线b与直线c垂直，很明显，直线a和直线c并不垂直，它们应该是平行的,那么是不是平行的呢？我们后几节课会继续研究的 22 2.已知直线a、b、c在同一平面上，以下推理是否正确？ （2）因为直线a与直线b相交，直线b与直线c相交，所以直线a与直线c相交. 课堂练习 a b c 不正确 a b c 我们可以先画直线a和直线b相交，再画直线c，当直线c和直线a平行时，也满足直线c和直线b相交，因此第2问不正确.我们发现，前一问的图依然可以用，也是满足条件的，因为垂直是相交的特殊情况. 23 课堂小结 1.平行线的定义及画法； 2.平行公理：经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行； 3.用反证法证明平行的传递性. 24 结束语 “经过直线外的一点，有且只有一条直线与该直线平行”与欧几里得的《几何原本》中的第五公设等价，对此感兴趣的同学可以自行查阅相关资料拓展学习. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整.内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行. 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致. 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 25 上海市基础教育数字化转型项目组（初中数学） 制作时间：2025年 监制页： 1.标题：微软雅黑48号字，加粗 2.单位名称：华文楷体32号字，加粗（具体根据文字量可适当调整） 3.时间：华文楷体32号字，指课程视频拍摄完成的时间，使用阿拉伯数字 26 $