8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）（教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）

教学设计

1.教学内容

本节课是上一课时的延伸，核心是巩固一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，深化对原理的理解并提升应用能力。教学中先回顾上节课所学的回归模型、最小二乘原理及参数估计公式，纠正学生常见的计算错误和原理误解。重点结合多个实际案例，引导学生完整完成参数估计、经验回归方程构建的全过程，强化公式代入、数据运算的规范性。同时补充残差的简单分析，让学生初步了解残差对拟合效果的判断作用，明确参数估计的合理性。此外，通过分层练习，兼顾不同层次学生的需求，巩固知识应用，培养学生数据处理、统计建模的素养，为后续回归分析的深入学习和实际问题解决筑牢基础，衔接后续残差分析及模型预测的相关内容。

 

2.内容解析

本节课围绕核心教学内容展开，条理清晰、重点突出，注重理论讲解与实践引导结合。教学中先铺垫基础知识点，再逐步深入重难点，通过案例、互动等方式帮助学生理解，兼顾知识传授与能力培养。同时，关注学生接受度，及时衔接知识点，化解学习难点，让学生逐步掌握核心内容，提升相关素养。整体教学逻辑连贯，贴合学生学习规律，有效达成阶段性教学目标。

教学重点：本节课重点是掌握核心知识点的内涵与应用方法，理解各知识点间的关联，能运用所学知识解决基础问题，培养相应的思维与应用能力。

 

1.教学目标

（1）进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.

（2）了解非线性回归模型.

（3）会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.

2.目标解析

（1）：在上一课时基础上，深化对一元线性回归模型参数的统计意义的理解，明确参数与变量间的

关联，掌握相关统计软件的操作流程，能运用软件处理数据、求解参数，实现理论知识与实操能力的结合，为后续模型应用奠定基础。

（2）：了解非线性回归模型的概念、常见类型及适用场景，区分线性与非线性回归模型的差异，知道非线性问题可通过转化转化为线性问题求解，拓宽统计分析的思路，培养数据建模的灵活性。

（3）：掌握残差的计算方法与分析思路，能通过残差图判断模型拟合偏差，理解 R² 的统计含义，学会用 R² 定量评价回归模型的拟合效果，提升数据解读和模型评估的核心能力。

 

本节课学情分析：学生已掌握一元线性回归模型的基本概念、最小二乘估计的基本原理，能手动计算简单参数，对成对数据的统计分析有初步认知，但对参数的深层统计意义理解不够透彻，统计软件操作不够熟练。教学中预计遇到的困难：一是残差分析的逻辑的理解的困难，难以通过残差图判断拟合偏差；二是 R² 的统计含义及应用掌握不扎实，不会定量评价拟合效果；三是非线性回归模型的转化思路不清晰。解决方法：结合具体数据案例拆解残差分析步骤，借助软件实操演示辅助理解；通过对比辨析，明确 R² 的取值意义；举例讲解非线性转化方法，引导学生动手练习。

教学难点：本节课难点是理解残差分析的逻辑和 R² 的统计含义，掌握非线性回归模型的转化方法，能熟练运用其评价回归模型拟合效果。

 

 

1．复习回顾，引入新知

1. 经验回归方程：

我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.  这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.

2. 最小二乘估计：经验回归方程中的参数计算公式为：

思考1：以上最小二乘估计能计算经验回归直线的方程，如果遇到非线性的相关关系，又该如何处理？

 

思考2：以上最小二乘估计能计算得到一元线性回归模型参数，如何精确的判定该模型的拟合效果是否好？

能否像相关系数判断相关关系强弱程度一样，能够定量分析出拟合效果的好坏？

 

教师：这就是本节课将要学习的 非线性模型与决定系数

 

2．探究新知

例题：经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高，在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程．

师生：共同分析，因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标描出散点，进而得到散点图，再根据散点图推断树高与胸径是否线性相关．如果是，再利用公式(2)计算出，即可．

要求：以胸径为横坐标、树高为纵坐标，画出散点图

学生：根据表格数据，画出散点图

预设：