8.1.2 样本相关系数（题型专练）数学人教A版选择性必修第三册

8.1.2 样本相关系数 题型一：样本相关系数的计算 1．已知变量和变量的3对随机观测数据为，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A． B． C．1 D． 2．在一次试验中，测得的四组值分别为，则与的相关系数为（    ） A． B． C．0 D． 3．一唱片公司欲知唱片费用x（十万元）与唱片销售量y（千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得到如下的资料：，则y与x的相关系数r为_________． 4．最近7年，我国生活垃圾无害处理量如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 处理量 通过计算得，，，，则样本相关系数（    ） A．0.99 B．0.95 C．0.9 D．0.85 5．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： （年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 （脂肪 含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 根据上表的数据得到下图的散点图． 根据上表中的样本数据及其散点图，计算样本相关系数（精确到0.01）． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：相关系数． 题型二：样本相关系数r的性质 1．对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 2．已知为随机变量X和Y的样本相关系数，为随机变量M和N的样本相关系数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则X和Y负相关 B．若，则M和N线性不相关 C．若，，则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D．若越接近1，则M和N的线性相关程度越弱 3．变量x，y的线性相关系数为，变量m，n的线性相关系数为，下列说法错误的是（    ） A．若，则说明变量x，y之间线性相关性强 B．若，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强 C．若，则说明变量x，y之间的相关性为正相关 D．若，则说明变量x，y之间线性不相关 4．对于相关系数，下列说法中正确的是（    ） A．越大，线性相关程度越强 B．越小，线性相关程度越强 C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强 D．，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱 5．下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 题型一：样本相关系数的实际应用 1．深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. 2．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，为此该公司统计了2024年前5个月的带货金额如下表（金额y/万元）： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 月份编号x 1 2 3 4 5 金额y/万元 7 12 13 19 24 并计算得，，． (1)求该公司带货金额的平均值； (2)求该公司带货金额y与月份编号x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关性较强，否则认为线性相关性较弱）． 附：相关系数，． 3．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 4．某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； (3)由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 1．学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是______相关（填“正”或“负”），其相关系数______（结果保留两位小数） 2．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数______________．（精确到）线性相关系数公式 3．下列说法正确的是（    ） A．“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件 B．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间线性相关程度越强 C．已知随机变量X的方差为，则 D．若，，则 4．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 5．2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. (1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； (2)九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2 样本相关系数 题型一：样本相关系数的计算 1．已知变量和变量的3对随机观测数据为，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】作出散点图，结合图形即可得解. 【详解】作出散点图，如图： 观察图形，得点在一条直线上， 所以这组样本数据的样本相关系数为1. 故选：C 2．在一次试验中，测得的四组值分别为，则与的相关系数为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】经计算可知四个点都在一条单调递减的直线上，即可得相关系数. 【详解】因为过点的直线的斜率为， 所以过点的直线的方程为：即， 经检验点，都在直线， 所以与是函数关系， 又因为单调递减，所以与的相关系数为， 故选：B. 3．一唱片公司欲知唱片费用x（十万元）与唱片销售量y（千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得到如下的资料：，则y与x的相关系数r为_________． 【答案】0.3 【详解】由题可知： 故答案为：0.3 4．最近7年，我国生活垃圾无害处理量如下表： 年份序号 1 2 3 4 5 6 7 处理量 通过计算得，，，，则样本相关系数（    ） A．0.99 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】A 【分析】根据相关系数公式计算即可求解. 【详解】，， ， ． 故选：A. 5．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： （年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 （脂肪 含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 根据上表的数据得到下图的散点图． 根据上表中的样本数据及其散点图，计算样本相关系数（精确到0.01）． 附：参考数据：，，，，． 参考公式：相关系数． 【答案】 【详解】根据题表中的样本数据知，， 则样本相关系数 ． 题型二：样本相关系数r的性质 1．对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【答案】C 【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案. 【详解】由题意可知，变量的散点图中，随的增大而增大，所以变量与呈现正相关； 再分别观察两个散点图，图比图点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数. 故选：C. 2．已知为随机变量X和Y的样本相关系数，为随机变量M和N的样本相关系数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则X和Y负相关 B．若，则M和N线性不相关 C．若，，则X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度强 D．若越接近1，则M和N的线性相关程度越弱 【答案】B 【分析】利用，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，结合每个选项的条件逐项判断即可. 【详解】A，若，则X和Y正相关，故A错误； B，若，则M和N线性不相关，故B正确； C，若，，则， 所以X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度弱，故C错误； D，若越接近1，则M和N的线性相关程度越强，故D错误. 故选：B 3．变量x，y的线性相关系数为，变量m，n的线性相关系数为，下列说法错误的是（    ） A．若，则说明变量x，y之间线性相关性强 B．若，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强 C．若，则说明变量x，y之间的相关性为正相关 D．若，则说明变量x，y之间线性不相关 【答案】B 【分析】根据相关系数的意义逐项分析判断即可. 【详解】A：因为接近于1，所以说明变量x，y之间线性相关性强，故A正确； B：若，满足， 但是不能说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强，故B错误； C：若，则说明变量x，y之间的相关性为正相关，故C正确； D：，则说明变量x，y之间线性不相关，故D正确. 故选：B. 4．对于相关系数，下列说法中正确的是（    ） A．越大，线性相关程度越强 B．越小，线性相关程度越强 C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强 D．，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱 【答案】D 【分析】由相关系数与线性相关程度的关系逐一判断即可. 【详解】解：对于选项A，越大，线性相关程度越强，即A错误； 对于选项B，越小，线性相关程度越弱，即B错误； 对于选项C，越大，线性相关程度越强，越小，线性相关程度越弱, 即C错误； 对于选项D，，且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱，即D正确， 故选：D. 5．下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 题型一：样本相关系数的实际应用 1．深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值. (2)计算与的相关系数；判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：，. 参考公式：相关系数.若，则与的线性相关性很强. 【答案】(1)， (2)，可以用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析 【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可； （2）分别求出和，再代入公式即可求解，再根据相关系数的绝对值大于0.75且非常接近1判断即可. 【详解】（1）由题可知，； （2）因为， ， 故； 因为与的相关系数的绝对值近似为，大于且非常接近， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 2．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，为此该公司统计了2024年前5个月的带货金额如下表（金额y/万元）： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 月份编号x 1 2 3 4 5 金额y/万元 7 12 13 19 24 并计算得，，． (1)求该公司带货金额的平均值； (2)求该公司带货金额y与月份编号x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关性较强，否则认为线性相关性较弱）． 附：相关系数，． 【答案】(1)15 (2)，与具有较强的线性相关性 【分析】（1）由均值公式直接计算； （2）由相关系数公式计算后可得结论. 【详解】（1）由数据可得， （2）由于，，，所以相关系数， 因此与具有较强的线性相关性． 3．2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 【答案】(1) (2)，与之间具有很强的相关性 【分析】（1）由平均数的计算公式得到和； （2）由相关系数的计算公式计算，再由判断相关性. 【详解】（1）依题意， （2）依题意，，，， 所以， 因为，所以与之间具有很强的相关性． 4．某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 (1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值； (2)计算与的相关系数； (3)由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由. 参考数据：. 参考公式：相关系数. 【答案】(1)13；11 (2) (3)可以用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析 【分析】（1）根据已知数据直接求平均值即可； （2）分别求出和，再代入公式即可求解； （3）根据相关系数的绝对值大于0.75且非常接近1判断即可. 【详解】（1）由题可知，； （2）计算得， 故； （3）由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1， 说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系. 1．学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表： 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据：，，，，， 相关系数 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是______相关（填“正”或“负”），其相关系数______（结果保留两位小数） 【答案】 正 0.99 【分析】根据正相关和负相关的定义即可得出结论；根据相关系数公式求相关系数即可. 【详解】由表中数据得随的增大而增大， 所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关， . 故答案为：正；. 2．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数______________．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 3．下列说法正确的是（    ） A．“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件 B．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间线性相关程度越强 C．已知随机变量X的方差为，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义可判断A；根据相关系数的意义可判断B；可判断 C；利用 ， ，可判断D. 【详解】A与B是互斥事件，但A与B不一定互为对立事件，若A与B互为对立事件，则A与B是互斥事件，所以“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故A错误； 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x，y之间线性相关程度越强，故B错误； 已知随机变量X的方差为，则，故 C错误； 若，则，，则，故D正确. 故选：D, 4．某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积/亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 50 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：；参考数据：． 【答案】(1)，管理时间与土地使用面积线性相关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据表格中的数据，结合相关系数的计算公式，求得的值，即可得出结论； （2）根据题意，得到变量的所有可能取值，利用重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 所以， 可得， 则， 所以管理时间与土地使用面积线性相关. （2）由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望. 5．2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. (1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； (2)九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 【答案】(1)，具有很强的正线性相关关系； (2). 【分析】（1）借助相关系数的计算公式计算即可得； （2）分析所有可能情况并计算对应概率即可得. 【详解】（1），， 则， ，， 则， 因为，且接近于， 故说明场均观众人数与小组赛积分之间具有很强的正线性相关关系； （2）九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分， 则设剩余场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种： 一：场比赛全胜，概率为：； 二：胜场，平或负场，概率为：； 三：胜场，平场，概率为：； 故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率为： . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $