8.1.2 样本相关系数(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

8.1.2　样本相关系数 1.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并分别求得样本相关系数r如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.下面的散点图与样本相关系数r一定不符合的是（　　） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 3.第一组样本点为（－5，－8.9），（－4，－7.2），（－3，－4.8），（－2，－3.3），（－1，－0.9），第二组样本点为（1，8.9），（2，7.2），（3，4.8），（4，3.3），（5，0.9），第一组变量的线性相关系数为r1，第二组变量的线性相关系数为r2，则（　　） A.r1＞0＞r2 B.r2＞0＞r1 C.r1＜r2＜0 D.r2＞r1＞0 4.在一组成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）满足的方程可以是（　　） A.y＝－x＋1 B.y＝x－1 C.y＝x＋1 D.y＝－x2 5.〔多选〕对于样本相关系数r，下列结论正确的为（　　） A.r∈[－1，－0.75]时，两变量负相关很强 B.r∈[0.75，1]时，两变量正相关很强 C.r∈（－0.75，－0.3]或[0.3，0.75）时，两变量相关性一般 D.r＝0.1时，两变量相关性很强 6.现求得甲、乙、丙3组不同的成对样本数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中　　　（填甲、乙、丙中的一个）组成对样本数据的线性相关程度最强. 7.已知（yi－）2是（xi－）2的4倍，（xi－）·（yi－）是（xi－）2的1.5倍，则样本相关系数r＝　　　　. 8.在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识、就业方向也悄然发生转变.某大学生在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数y（单位：万元）与时间t（单位：年）的数据，列表如下： t 1 2 3 4 5 y 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 依据表中给出的数据，判断y与t的线性相关程度，请计算样本相关系数r并加以说明.（计算结果精确到0.01，若｜r｜≥0.75，则线性相关程度很高） 附：样本相关系数r＝. 参考数据：≈7.547. 9.对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为r1，r2，则r1＞r2是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知两组数据a1，a2，…，a10和b1，b2，…，b10，其中1≤i≤10且i∈Z时，ai＝i；1≤i≤9且i∈Z时，bi＝ai，b10＝a，我们研究这两组数据的相关性，在集合{8，11，12，13}中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a＝（　　） A.8 B.11 C.12 D.13 11.已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以（，）为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点落在第　　　　象限. 12.某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组试验，试验数据经整理得到如图所示的折线图，由图可以看出，这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系，请用样本相关系数加以说明. 附：（xi－）（yi－）＝85，＝5.5，≈2.65. 13.某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数xi，yi（i＝1，2，3，4，5），数据如表所示： 地点 1 地点 2 地点 3 地点 4 地点 5 甲型无人运输机指标数x 2 4 5 6 8 乙型无人运输机指标数y 3 4 4 4 5 （1）试求y与x间的样本相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若｜r｜＞0.75，则线性相关程度很高） （2）从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率. 附：相关公式及数据：r＝，≈0.95. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2　样本相关系数 1.D　由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知，丁的线性相关性最强. 2.C　①中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，样本相关系数r＜0，故①错误；②中，由散点图可得，两相关变量呈正相关，则样本相关系数可能是r＝0.75；③中，若样本相关系数r＝－1，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故③错误；④中，若样本相关系数r＝1，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故④错误. 3.A　观察第一组样本点，y随x的增大而增大，故r1＞0；观察第二组样本点，y随x的增大而减小，故r2＜0.综上：r1＞0＞r2.故选A. 4.A　∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1，∴这组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）线性相关，且是负相关.∴可排除B、C、D. 5.ABC　由相关系数的性质，A、B、C正确；D中r＝0.1时，两变量相关性较弱，D不正确. 6.乙　解析：因为成对样本数据的样本相关系数的绝对值越接近1，相关程度越强，由题意得，乙组的样本相关系数的绝对值最接近1，所以乙组成对样本数据的线性相关程度最强. 7.0.75　解析：由r＝，得r＝0.75. 8.解：由题表可知，＝3，＝4.7， 则r＝＝＝≈0.97＞0.75， 故创收利润数y与时间t的线性相关程度很高. 9.D　因为r1＞r2，但不确定r1，r2的正负情况，所以不能推出第一组变量和第二组变量的相关程度；若第一组变量比第二组变量相关程度强，则｜r1｜＞｜r2｜，所以r1＞r2是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的既不充分也不必要条件.故选D. 10.B　设点的坐标为（ai，bi），1≤i≤10且i∈Z，由题意得前9个点位于直线y＝x上，a10＝10，则要使相关性更强，b10应更接近10，四个选项中11更接近10，故选B. 11.二、四　解析：由r＝＜0，则（xi－）（yi－）＜0，所以大多数点xi－与yi－异号，又（，）为坐标原点，故大多数的点落在第二、四象限. 12.解：由题意得＝×（8＋11＋14＋20＋23＋26）＝17，（xi－）2＝（8－17）2＋（11－17）2＋（14－17）2＋（20－17）2＋（23－17）2＋（26－17）2＝252，∴r＝＝＝≈0.97， 由此可得这种酶的活性指标值y与温度x具有较强的线性相关关系. 13.解：（1）＝＝5，＝＝4， 所以（xi－）（yi－）＝－3×（－1）＋（－1）×0＋0×0＋1×0＋3×1＝6， ＝9＋1＋0＋1＋9＝20， ＝1＋0＋0＋0＋1＝2， 样本相关系数r＝＝＝≈0.95， 因为r＞0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系. （2）从这5个地点中任抽2个地点，共有＝10个样本点，其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即所求事件含有3个样本点，故所求事件的概率为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $