8.1.1 变量的相关关系（导学案） 数学人教A版选择性必修第三册

8.1.1 变量的相关关系 导学案 1. 结合实例，体会两个变量间的相关关系； 2. 掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断． 1． 创设情境，引入新知 夏日里的 “温度密码”—— 气温与冷饮销量的关系 某小卖部夏季一周的最高气温 x(℃) 与冷饮日销量 y(杯)数据表格： 思考：1、观察数据，气温和冷饮销量之间存在怎样的变化趋势？ 2、气温相同，销量一定相同吗？ 3、生活中还有哪些类似的 “有关联但不确定” 的变量关系？ 教师：这就是本节课将要学习的变量的相关关系 2．探究新知 引言：我们知道，如果变量y是变量x的函数，那么由x就可以唯一确定y然而，现实世界中还存在这样的情况：两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度.例如，人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能确定他的体重值. 那么，该如何刻画这两个变量之间的关系呢？ 对于人的身高与体重来说，一般而言，个子高的人往往体重值较大，个子矮的人往往体重值较小.但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素。 问题：上述情境中身高与体重之间到底具有怎样的关系？ 预设：身高与体重两变量间确实存在关系，但又不具备确定性，即当自变量取值一定时，因变量取值带有随机性的两个变量的关系，就称为变量间的相关关系． 定义：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 辨析：注意：①相关关系是一种不确定性关系； ②相关关系是相对于函数关系而言的. 思考：相关关系和函数关系的区别 预设：相同点：均是指两个变量的关系． 不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系. 要求： 两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在. 请举例. 预设：1.子女身高y与父亲身高x之间的关系.一般来说，父亲的个子高，其子女的个子也会比较高；父亲个子矮，其子女的个子也会比较矮.但影响子女身高的因素，除父亲身高外还有其他因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等，因此父亲身高又不能完全决定子女身高. 2.商品销售收入y与广告支出x之间的关系.一般来说，广告支出越多，商品销售收入越高.但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素，商品销售收入还与产品质量、居民收入等因素有关. 3.空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系.一般来说，汽车保有量增加，空气污染指数会上升.但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素，气象条件、工业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素. 4.粮食亩产量y与施肥量x之间的关系.在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量就越高.但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影响. 牛刀小试： 练1：（多选）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（     ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 解析：汽车的重量越大，百公里耗油量会越多．一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多． 可得A、C是相关关系．B是函数关系．D中家庭的经济条件与学生的学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系． 故选：AC. 练2：下列两个变量之间，是相关关系的有（     ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 解析：①③④⑦是函数关系；②没有关系；⑤⑥是相关关系．故选：C 思考：以上例题中的相关关系应该如何去描述？ 预设：因为在相关关系中，变量y的值不能随变量x的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系.对上述各例中两个变量之间的相关关系，我们往往会根据自己以往积累的经验做出推断.“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经经验推断又有不足.因此，在研究两个变量之间的相关关系时，我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断. 探究：在对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中, 科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据, 如下表, 表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个个体的观测结果, 它们构成了成对数据. 根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系? 预设：为了更加直观地描述上述成对数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征.用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象. 定义:把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． 思考：通过观察散点图可以发现年龄和脂肪含量之间有什么样的关系？ 预设：由散点图可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增高的趋势.这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系. 牛刀小试： 练3：在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（     ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 解析：对于①，所有的点都在曲线上，具有函数关系；对于②，所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系：对于③，所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系；对于④，所有的散点杂乱无章，不具有相关关系，故选：D． 归纳总结：变量相关关系的分类：正相关和负相关 正相关:指的是两个变量有相同的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大,点的位置散布在从左下角到右上角的区域 负相关:指的是两个变量有相反的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变小,点的位置散布在从左上角到右下角的区域内 思考：根据下图能够推断脂肪含量与年龄这两个变量是呈什么相关？ 要求：你能举出生活中两个变量正相关或负相关的一些例子吗？ 预设： 1.子女身高y与父亲身高x之间的关系. 正相关 2．商品销售收入y与广告支出x之间的关系. 正相关 3．空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系. 负相关 4．汽车的保值y与行驶里程x之间的关系. 负相关 归纳总结：线性相关和非线性相关 ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关 ②非线性相关：一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 由散点图我们从数据表中得出如下结论： （1） 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系。 （2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系。 （3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。 牛刀小试： 练4：某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（     ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 解析：由题意，利润中位数是，而且随着利润x的增加，广告支出y也在增加，故x与y有正线性相关关系．故选：B． 练5：对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（    ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 解析：由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关，由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 3．能力提升 类型一：变量的相关关系与函数关系的辨析 例题1 思考并判断下列几组变量之间有什么样的关系？ (1)圆的面积与半径之间的关系； (2)16岁学生的体重与身高之间的关系； (3)商品销售量与销售价格之间的关系； (4)匀速运动的物体，其运动的路程与时间之间的关系； (5)平均学习时间与学习成绩之间的关系； (6)科技创新能力与人才培养近亲繁殖率之间的关系． 预设：（1）因为，所以圆的面积与半径之间的关系为函数关系； （2）因为体重除了与身高有关系，还和性别、遗传等因素有关系， 所以16岁学生的体重与身高之间的关系为相关关系； （3）因为销售量除了与销售价格有关系，还和是否打广告等方面有关系， 所以商品销售量与销售价格之间的关系为相关关系； （4）设匀速运动的物体的速度为， 所以运动的路程与时间之间的关系为， 因此匀速运动的物体，其运动的路程与时间之间的关系为函数关系； （5）因为学习成绩除了与平均学习时间有关系外，还与学习方法等因素有关系， 所以平均学习时间与学习成绩之间的关系为相关关系； （6）因为科技创新能力除了与人才培养近亲繁殖率有关系，还有教育等因素有关系， 所以科技创新能力与人才培养近亲繁殖率之间的关系为相关关系. 总结：变量的相关关系与函数关系的辨析： ①一般是看当一个变量的值一定时，另一个变量是否带有确定性，两个变量之间的关系具有确定关系——函数关系； ②两个变量之间的关系具有随机性、不确定性——相关关系. 题型二：正相关、负相关、线性相关、非线性相关的判断 例题2 （1）根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 预设：由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关. 故选：D （2）下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 预设：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个．故选：B 归纳总结：由散点图判断正相关、负相关的方法 正相关：散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近； 负相关：散点大致落在一条从左上角到右下角的直线附近； 由散点图判断线性相关的方法： 通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 题型三：散点图及其应用 例题3 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据（单位：千克/亩）： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图； （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 预设：（1）散点图如下图所示： ， （2）从图中发现数据点大致分布在一条直线附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，施化肥量由小到大时，水稻产量由小到大，但水稻产量不会一直随化肥量的增加而增长． 归纳总结：画散点图的一般步骤 (1)建立直角坐标系，注意，两轴的长度单位可以不一致. (2)将n个数据点描在平面直角坐标系中，描出的点可以是实心点，也可以是空心点. (3)画直线时，一定要画在多数点经过的区域.具体作直线时，用一条透明的直尺边缘尽量靠近或经过大多数点，然后画出直线. 4．课堂小结 作业1：完成教材：第103页练习 第3,4题 作业2：配套辅导资料对应的《变量的相关关系》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.1 变量的相关关系 导学案 1. 结合实例，体会两个变量间的相关关系； 2. 掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断． 1． 创设情境，引入新知 夏日里的 “温度密码”—— 气温与冷饮销量的关系 某小卖部夏季一周的最高气温 x(℃) 与冷饮日销量 y(杯)数据表格： 思考：1、观察数据，气温和冷饮销量之间存在怎样的变化趋势？ 2、气温相同，销量一定相同吗？ 3、生活中还有哪些类似的 “有关联但不确定” 的变量关系？ 教师：这就是本节课将要学习的变量的相关关系 2．探究新知 引言：我们知道，如果变量y是变量x的函数，那么由x就可以唯一确定y然而，现实世界中还存在这样的情况：两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度.例如，人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能确定他的体重值. 那么，该如何刻画这两个变量之间的关系呢？ 对于人的身高与体重来说，一般而言，个子高的人往往体重值较大，个子矮的人往往体重值较小.但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素。 问题：上述情境中身高与体重之间到底具有怎样的关系？ 定义：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度， 这种关系称为 . 辨析：注意：①相关关系是一种 关系； ②相关关系是相对于 关系而言的. 思考：相关关系和函数关系的区别 预设：相同点：均是指两个 的关系． 不同点：函数关系是一种 的关系，而相关关系是一种 关系. 要求： 两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在. 请举例. 牛刀小试： 练1：（多选）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（     ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 练2：下列两个变量之间，是相关关系的有（     ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 思考：以上例题中的相关关系应该如何去描述？ 探究：在对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中, 科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据, 如下表, 表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个个体的观测结果, 它们构成了成对数据. 根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系? 定义:把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． 思考：通过观察散点图可以发现年龄和脂肪含量之间有什么样的关系？ 牛刀小试： 练3：在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（     ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 归纳总结：变量相关关系的分类： 和 正相关:指的是两个变量有相同的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变 ,点的位置散布在从左下角到 的区域 负相关:指的是两个变量有相反的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变 ,点的位置散布在从左上角到 的区域内 思考：根据下图能够推断脂肪含量与年龄这两个变量是呈什么相关？ 要求：你能举出生活中两个变量正相关或负相关的一些例子吗？ 归纳总结： 相关和 相关 ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一 附近，我们就称这两个变量线性相关 ②非线性相关：一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或 相关. 由散点图我们从数据表中得出如下结论： （1） 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该 来描述变量之间的关系。 （2）如果所有的样本点都落在某一 附近，变量之间就有相关关系。 （3）如果所有的样本点都落在某一 附近，变量之间就有 相关关系。 牛刀小试： 练4：某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（     ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 练5：对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（    ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 3．能力提升 类型一：变量的相关关系与函数关系的辨析 例题1 思考并判断下列几组变量之间有什么样的关系？ (1)圆的面积与半径之间的关系； (2)16岁学生的体重与身高之间的关系； (3)商品销售量与销售价格之间的关系； (4)匀速运动的物体，其运动的路程与时间之间的关系； (5)平均学习时间与学习成绩之间的关系； (6)科技创新能力与人才培养近亲繁殖率之间的关系． 总结：变量的相关关系与函数关系的辨析： ①一般是看当一个变量的值一定时，另一个变量是否带有确定性，两个变量之间的关系具有确定关系—— 关系； ②两个变量之间的关系具有随机性、不确定性—— 关系. 题型二：正相关、负相关、线性相关、非线性相关的判断 例题2 （1）根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 （2）下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 归纳总结：由散点图判断正相关、负相关的方法 正相关：散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近； 负相关：散点大致落在一条从左上角到右下角的直线附近； 由散点图判断线性相关的方法： 通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 题型三：散点图及其应用 例题3 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据（单位：千克/亩）： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图； （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 归纳总结：画散点图的一般步骤 (1)建立直角坐标系，注意，两轴的 可以不一致. (2)将n个数据点描在平面直角坐标系中，描出的点可以是实心点，也可以是空心点. (3)画直线时，一定要画在 经过的区域.具体作直线时，用一条透明的直尺边缘尽量靠近或经过大多数点，然后画出直线. 4．课堂小结 作业1：完成教材：第103页练习 第3,4题 作业2：配套辅导资料对应的《变量的相关关系》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $