21.4 三角形的中位线（教学课件）数学新教材冀教版八年级下册

21.4 三角形的中位线 第二十一章 四边形 【新教材】冀教版·八年级下册 章节导读 21.1多边形 21.2 平行四边形性质 21.4三角形中位线 四边形内外角和 多边形内外角和 性质定理一 性质定理二 21.5矩形 中位线定理 性质定理三 21.3 平行四边形的判定 判定定理一 判定定理二 判定定理三 矩形的性质 矩形的判定 21.6菱形 菱形的性质 菱形的判定 21.7正方形 21.8梯形 学 习 目 标 1 2 3 理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半），能运用定理进行计算与几何证明 经历中位线定理的探究、猜想与证明过程，体会转化与化归、数形结合的数学思想，提升逻辑推理与辅助线构造能力 感受数学的严谨性，培养主动探究、举一反三的学习习惯，体会中位线定理在实际问题中的应用价值 知识回顾 1. 两组对边分别 的四边形是平行四边形.可用符号表示：如图 ①，在四边形ABCD中，如果AB＝ ，AD＝ ，那么四边 形ABCD是平行四边形. 相等　 CD　 BC　 2. 两条对角线 的四边形是平行四边形.可用符号表示：如 图②，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，如果AO＝ ⁠， BO＝ ，那么四边形ABCD是平行四边形. 互相平分　 CO　 DO　 情景导入 连接三角形两边中点的线段，叫作三角形的中位线 如图，D，E 分别为△ABC 的两边AB，AC 的中点， 线段DE 就是△ABC 的一条中位线. 思考：你还能在图中作出几条中位线 新概念介绍 如图，线段DF，EF也是△ABC的中位线 一个三角形有三条中位线 F 新知探究 活动探究一 请同学们拿出任意三角形纸片，画出三条边的中点，连接中点得到三条线段 思考：① 这些线段叫什么？ ② 沿这些线段把三角形剪成四个小三角形，叠在一起能完全重合吗？ ③三角形的中位线DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系 解：线段DE、DF、EF叫△ABC的中位线 四个小三角形叠在一起能完全重合 DE和BC从位置上来看DE//BC， 从数量上来看DE长度是BC长度的一半 新知探究 活动探究二 如图，DE 是△ABC 的中位线，将△ADE 绕点E 旋转 180°，使点A 和点C 重合，点D 落在点F 处. 思考：① 四边形DBCF 是平行四边形吗? ② DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系? 解：四边形DBCF 是平行四边形 DE和BC从位置上来看DE//BC， 从数量上来看DE长度是BC长度的一半 这两个活动都得到三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 该怎么用严谨的数学说理来证明这个结论呢 新知探究 通过探究,我们得到:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 现在，我们来证明这个结论. 已知:如图，D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 的中点. 求证:DE//BC，且. 证明:如图,延长DE到点F,使 ，连接. 在△ADE 和△CFE 中 ， . . , 即 . 又, . 四边形DBCF 是平行四边形. ，且. . 新知探究 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言： 在△ABC中， D、E分别是AB、AC的中点（或DE是△ABC的中位线）， DE∥BC，且 注意事项： 1.中位线≠中线，概念必须分清 2.中位线平行且等于的是不相邻的第三边，不是中位线所在的边，也不是另外两边 3.常应用于证明线段平行（中位线的位置关系），证明线段的倍分关系（中位线的数量关系），构造平行四边形. 即学即练 方法技巧 先判定四边形形状，再用中位线定理求边长，最后计算周长， 利用中位线定理的 “平行” 结论，证明两组对边分别平行，直接判定四边形DECF是平行四边形 如图，在△ABC 中，D，E，F 分别为AB，BC，AC 的中点， AC=12，BC=16.求四边形DECF 的周长. 解：DE，DF分别是△ABC的中位线 DE//AC，DF//BC 四边形DECF是平行四边形 ， 四边形DECF的周长 典例分析 例1 已知:如图，在四边形ABCD 中，AD=BC，P 为对角线BD的中点，M 为DC 的中点，N 为AB 的中点. 求证:△PMN 是等腰三角形 证明:在中, ， 分别为， 的中点, . 同理 . 又， . 是等腰三角形. 即学即练 方法技巧 连接三角形三边中点所构成的新三角形（中点三角形），其周长是原三角形周长的一半 当题目出现 “连接三角形各边中点构成新三角形” 时，直接用中点三角形周长 = 原三角形周长 ÷ 2，无需分步计算每条边 三角形三边的长分别为5，9，12，求连接各边中点所构成的三角形的周长. 解：连接各边中点形成的三角形的三条边是原三角形的三条中位线. 根据三角形中位线等于第三边的一半 可得三条边的长为2.5，4.5，6 三角形周长=2.5+4.5+6=13 即学即练 方法技巧 看到 “中位线 + 角平分线”，优先考虑构造等腰三角形； 利用平行线的内错角相等，将角平分线的 “角相等” 转化为 “边相等” 如图,EF 为△ABC 的中位线，BD 平分∠ABC，交EF 于点D，AB=4，BC=6.求DF 的长. 解：EF 是 △ABC 的中位线， EF//BC，且 ， E 是 AB 的中点， BD 平分 ∠ABC， ∠EBD=∠CBD。 EF//BC ∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∠EBD=∠EDB △EBD 为等腰三角形， ED=BE=2 EF=3，ED=2 DF=EF−ED=3−2=1 课堂练习 1. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，作BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，EF＝1，则BC的长为（　C　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 C 解：DE是△ABC的中位线， DE//BC 又BF平分∠ABC ∠DBF=∠DFB DB=DF DE=DF+EF=5+1=6 BC=2×6=12 课堂练习 2. 如图，每个小正方形的边长都为1，在△ABC中，点A，B，C都在格点上，D，E分别是AB，AC的中点，则线段DE的长为（　D　） A. B. C. 5 D. D 解：DE是△ABC的中位线 根据图可得 课堂练习 3. 如图，O为四边形ABCD内一点，E，F，G，H分别为OA，OB， OC，OD的中点，则四边形EFGH的周长为（　A　） A. 36 B. 48 C. 72 D. 不能确定 A 解：由图得EF为△ABO的中位线 所以 同理可得FG=10，HG=12，EH=8 四边形EFGH的周长 课堂练习 4. 如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF. 若EF＝2，则AD的长为 ⁠. 4　 解：EF是△BCD的中位线 又BD是△ABC的中线 课堂练习 5. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是 边BC上的高，连接DE，DH，FE，FH. 求证： （1） 四边形ADEF是平行四边形； 解：（1） ∵ D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴ DE，EF都是△ABC的中位线. ∴ DE//AC，EF∥AB. ∴ 四边形ADEF是平行四边形 （2） ∠DEF＝∠DHF. （2） ∵ 四边形ADEF是平行四边形， ∴ ∠DEF＝∠DAF. ∵ D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高， ∴ 易得DH＝ AB＝AD，FH＝ AC＝AF. ∴ ∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA. ∵ ∠DAH＋∠FAH＝∠DAF，∠DHA＋∠FHA＝∠DHF ∴ ∠DAF＝∠DHF. ∴ ∠DEF＝∠DHF 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 类比迁移 推理建模 感谢聆听! 【新教材】冀教版·八年级下册 $