数学（江苏卷03）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 7 8 B D B B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD ABC ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 17 12.16元 13.[2,4] 14. 225 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 24得c1cos41 【解析】(1)由bcsin24=1 24 ,整理，得2bc-2 becosA-=1 在ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,得2bc-(b2+c2-a2)=1. 把a=2代入上式，得(b-c2=3, 因为b<c,所以c-b=√3 在ABC中，由正弦定理=b c ，得sinC-sinB-c-b-V5 (6分) sinA sinB sinC sinA 2)在4BC,由余弦定，得cosB-Q+c2-B_4+c2-64+2-c-5 2ac 4c 4c -5+L> 24c2 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因为0<B<元，所以B< (13分) 6 16.(15分) 【解析】(1)过点B作BH⊥CD于H, D 由平面BCD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,BHc平面BCD, :BH⊥平面ACD,ADC平面ACD,故BH⊥AD,又AB为直径，易知BD⊥AD, 且BD∩BH=B,BD,BHC平面BCD,所以AD⊥平面BCD,BCC平面BCD, BC⊥AD,且AB⊥BC,AD,ABC平面BAD,AD∩AB=A, ∴.BC⊥平面ABD,BDC平面ABD,故BD⊥BC (7分) 2》由，m-兮8c5m-804D80+A0)-号48-} 2 当BD=AD 3V5时，e-0取到最大值，过点D作D01B于0， 建立以0为原点，OD为x轴，OA为y轴，过0点垂直于平面ABD的方向为z轴， 设平面BED与平面AEB的法向量分别为n,n2 E 则a-020pa以ca 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 33 所u而-0E=,2.则 BD·n=。x+5y=0 2 BE.n=2y+z=0 令x=1,可得y=-1,z=2, 所以n,=1,-1,2),因为平面AEB的法向量为n2=(1,0,0, nn√6 则平面BED与平面AEB夹角的余弦值Cos0 (15分) 6 17.(15分) 【解析】(1)若小球落入球槽的号码为X=k,k=1,2,3,4,5, 则小球共经过4次碰撞，向右k-1次，可得P(X=)=C-C空， 24-16 期Prx-g名P川x-2-8=子mx=号川x48-4 P(X=5)=C-1, 1616 所以X的分布列为 X 2 3 5 P 1 3 1 16 4 8 4 16 3 X的期望为E(X)=1x+2x+3x3+4x+5× (8分) 16 4 P 4 16 (2)若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为 3 成落入2号球槽的概率为P=C×乙x 33-81 8 设80个小球落入2号球槽的个数为Y,则Y~B80, 81 79-k g% ，即 73 81-k 80-k 81) ≤Co× 81 3/7 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得7≤k≤8，且k∈N,即k=7,8, 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个 (15分) 18.(17分) 解析】D由e气=，c2=a+可符e21L么门 a2=4 将点A2,3到代入椭圆方程得后+疗-1， 2232 联立可得a2=16,62=12,故椭圆方程为+广。 16121: (5分) (2)由(1)知F（-2,0),F2,0)，A2,3),则直线AE方程为3x-4y+6=0 直线AF方程为x=2 设角平分线1止一点为P叫x,川，则Bx-4+6=K-2, 5 得2x-y-1=0或x+2y-8=0, 因为角平分线1的斜率为正，所以直线1方程为2x-y-1=0: (10分) (3)设直线1方程为y=kx-2), y=k(x-2) 联立足+兰-1(3+4)-16+16-48=0， 1612 设M,y,Nx2,y2,则x+=2A2,X2=3+42,/ 则点+k,-k=占3+⅓3=5-2到-3+5-2到-3-欢 x1-2x2-2 x-2x2-2 2-- -2++4+(2-刘6， 16k2 16k2-48 代入x+x3+4按，=3+4k 整理得k2+k-元k=-1+(2-元)k 4/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以当1=2时，使得k,+飞-入k恒为定值-1. (17分) 19.(17分) 【解析】(1)f0)=tan0-sin0-0=0,f(x)=sinx-sinx-ar2, cosx )osxsinxcosx -cosx-3ax2, cos-x cos-x 故f"10)=1 -c0s0-0=1-1=0, c0s20 故曲线∫x)在x=0处的切线方程为y=0; (5分) (2)对任意x∈ 0 都有f(x)≥0， 其中f(0)=0,f'(0)=0, 令8到=f到= cos2x -cosx-3ax2, (x)=2sim+sinx-6ax.g()-0. cos3x 令h(x)=g'x= 2sin x+sin x-6ax. cos3x 则h'(x)=2+4sin2x +cosx-6a,其中h'(0)=2+1-6a=3-6a, Cos4x 令h'(0)≥0，即3-6a≥0，解得a≤。 下面证明a≤分时，八)20在x0经 上恒成立， f(x)=tan x-sinx-ax'z tan x-sinx- .3 令q到=amx-snx方r,xe0 注意到q(0)=0, 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则g(x)=1 3 -c0sx-。x2,注意到g(0)=0, cos2x 2 令w()=g(x,则w)=2sin+sinx-3x,注意到w0)=0, cos'x 令（刘=w(x小，则rx=6sin2x+2 +cosx-3, cos4x cos2x 其中6sin2x>0在xe0,上恒成立，令t=cosx∈(0,1，u个)=+1-3， cos4x 2 -4 故w0=子+1= 1.4<0,故u0三+t-3在t∈(0，上单调递减， 其中u(1)=2+1-3=0,故u(t)>0在t∈(0,1上恒成立， 放、2 c0s2x+cosx-3>0在x∈0， 2 上恒成立， 故r=6+心3+6s-3>0在E0引上恒晚立。 cosx cos2x 故r=(到在xQ到引 上单调递增， 故wx刘>w0=0,故w刘=9到在x∈0， 上单调递增， g'(x)>q'(0)=0,g(x)=tanx-sinx- 2在x0,2 上单调递增， 2 9x>90)=0,故f(x)≥qx)>0, 所以a≤分a的镜大值为： (10分) (3)令an=tand,则a1=tan01,an+l=tand+l, g,凸，a5均大于0，设a,a3a5日0，} 因为a,1=8+0,1≤n≤2025， 1-a an 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以tan d+l= tana+tana,=tana,+a,）,1≤n≤2025， 1-tand tand 显然a+a,0引1≤n≤2025，若a+a,[行，1≤n≤2025，上试不成立， 由于y=tanx在xe 0. 上单调递增， 故am+1=a1+0m,0m+1-0n=a1,1≤n≤2025， 故{n}为等差数列，首项和公差均为o,故an=01+(n-1)01=na1,1≤n≤2025， 故an=tan na1,1≤n≤2025， b=an- a=tan nd Va:+1 tan nd,=tan no,--sin n1,1≤n≤2025 tan'na,+1 由2)知，ana,-sina,>a, 1 所以b,>2ma,,1≤n≤2025， 6+6++oa>a1产+2a,++2025a广-a+2++2025到 2025×2026)2 2 因为a99>0,aooo0<0,所以tan9999a1>0,tan10000a,<0, 所以9999a1 个 10000a1 2 2’ 20000 <1< 19998 所以b+b2+…+b2025> 1π3 (2025×20262-元(2025×2026 220000 42×20000 其中(2025×20262(2000×2000)2_1.6×105 2×20000 1.6×103 1.6×105=1, 所以么+么++65之 (17分) 4 7/7 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）设集合，，，则（ ） A B. C. D. 1.【答案】B 【解析】依题意，， 所以或，A选项错误； ，B选项正确； 或， 或，C选项错误. ， ，D选项错误. 故选：B. 2．已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 2.【答案】A 【解析】因为， 所以. 故选：A. 3．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（ ） A. B. C. D. 3.【答案】A 【解析】由题意作出正四棱台图象，如下图所示： 为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 直角三角形中，， 所以正四棱台的高，正四棱台上、下底面积为和， 所以体积 . 故选：A. 4．已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 4.【答案】D 【解析】锐角满足，所以,, 则, 因为，所以,故选：D. 5. （新情境）随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6 5.【答案】B 【解析】已知工时递减速率，且, 所以， 由于生产前件产品的平均工时：， 生产前件产品的平均工时：， 所以， 将​，代入：， 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8,故选：B. 6．（新情境）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 26 6.【答案】B 【解析】设该数列为， 当为奇数时， 所以为奇数； 当为偶数时， 所以为偶数数； 所以， 故选:B. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 7.【答案】C 【解析】已知双曲线离心率，所以：， 又，代入得：， 故渐近线方程为， 取右焦点，并作平行于渐近线的直线：， 联立直线与双曲线方程得：， 化简：，， 分子：， 所以， ， 代入直线方程求：， 因此，点位于双曲线右支， 故， 由双曲线定义，得：， 故 故选：C. 8．（改编题）已知函数有唯一零点，则 A. B. C. 1 D. 8.【答案】D 【解析】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是19 B. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强 C. 从小到大顺序排列的数据3，5，，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6 D. 数据的平均数为，数据的平均数为，则有 9.【答案】ABD 【解析】对于A，从小到大排序如下：13，15，16，18，20，24，28，31， 故中位数为，正确， 对于B，，所以组数据比组数据的线性相关性更强，正确， 对于C，由题意可知：极差为，平均数为， 则，解得，所以平均数为， 方差为，错误； 对于D，因为，所以， 则，正确； 故选：ABD. 10. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. “等腰四面体”每个顶点出发三条棱一定可以构成三角形 B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 D. 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 10.【答案】ABC 【解析】如图，将“等腰四面体”补成一个长方体. 设此“等腰四面体”的对棱棱长分别为，，， 与之对应的长方体的长宽高分别为，，， 则，得，，. 结合图形，容易判断出AB都是正确的； 对于C，由，，，得，，， 因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体积， 所以“等腰四面体”的体积为，故C正确； 对于D，三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 ，故D不正确. 故选：ABC. 11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最小值为 11.【答案】ABD 【解析】由图可得：， 又， ，又， ， 将代入得， 即，， 即，， ， 对于A，最小正周期，故正确； 对于B，令，，解得，， 可得的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故B正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确； 对于D，， 令，所以， 故最小值为，D正确， 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为______． 12.【答案】 【解析】因为三棱锥为正三棱锥，又， 所以，又， 设为三棱锥的高，则其外接球的球心在上，且为等边的中心， 如图所示，设外接球的半径为，延长交于点，则， 在等边中，可得，则， 所以， 所以，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 13.（创新题）已知向量满足，则取值范围是_______. 13.【答案】 【解析】设，则，代入得， 根据向量的几何意义知，向量表示的点到表示的点和的距离和为常数8， 根据椭圆的定义知向量表示的点在以长轴为，焦距为的椭圆上， 所以，所以表示椭圆上的点到椭圆中心的距离， 由椭圆的几何性质可知，即，如图： 所以取值范围是. 14．（创新题）已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. 14.【答案】 【解析】因为集合，故集合的非空子集个数为个， 因为独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），所以所有可能的选取情况数种. 当中最大元素为1时： 是，此时可以是共7种情况， 当中最大元素为2时： 可以是，此时可以是共种情况。 当中最大元素为3时： 可以是，此时可以是，共种情况， 当中最大元素为4时： 可以是，此时没有满足条件的子集，共0种情况，故满足条件的子集选取情况总数为 根据古典概型概率公式，事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率, 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 15.（13分） 【解析】（1）由，得，整理，得. 在中，由余弦定理，得. 把代入上式，得， 因为，所以. 在中，由正弦定理，得 （6分） （2）在中，由余弦定理，得 因为，所以. （13分） 16． （15分） 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分） 【解析】（1）过点作于， 由平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，故，又为直径，易知， 且平面，所以平面，平面， ，且，平面，， 平面，平面，故. （7分） （2）由（1）知，， 当时，取到最大值，过点作于， 建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴， 设平面与平面的法向量分别为. 则，， 所以，则， 令，可得， 所以，因为平面的法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值. （15分） 17． （15分） 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 17.（15分） 【解析】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （8分） （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即， 解得，且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. （15分） 18． （17分） 已知椭圆经过点，分别为的左、右焦点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在的直线的方程； （3）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 18.（17分） 【解析】（1）由，可得， 将点代入椭圆方程得， 联立可得，，故椭圆方程为； （5分） （2）由（1）知，，，则直线方程为. 直线方程为. 设角平分线l上一点为，则， 得或， 因为角平分线l的斜率为正，所以直线l方程为； （10分） （3）设直线方程为， 联立得， 设，，则，， 则 ， 代入，，整理得， 所以当时，使得恒为定值. （17分） 19． （17分） （新情境）设函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的最大值； （3）已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. 19.（17分） 【解析】（1），， ， 故， 故曲线在处的切线方程为； （5分） （2）对任意，都有， 其中，， 令， 则，， 令， 则，其中， 令，即，解得， 下面证明时，在上恒成立， ， 令，，注意到， 则，注意到， 令，则，注意到， 令，则， 其中在上恒成立，令，， 故，故在上单调递减， 其中，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 故，故在上单调递增， ，故在上单调递增， ，故， 所以，的最大值为； （10分） （3）令，则， 均大于0，设， 因为，， 所以，， 显然，，若，，上式不成立， 由于在上单调递增， 故，，， 故为等差数列，首项和公差均为，故，， 故，， ， 由（2）知，， 所以，， ， 因为，所以， 所以，， 所以， 其中， 所以. （17分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■ ■■■■ ■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 刘 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) I[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 戡 照 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[AJ[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) E B外 D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）设集合，，，则（ ） A B. C. D. 2．已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 3．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（ ） A. B. C. D. 4．已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 5. （新情境）随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6 6．（新情境）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 26 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 8．（改编题）已知函数有唯一零点，则 A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是19 B. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强 C. 从小到大顺序排列的数据3，5，，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6 D. 数据的平均数为，数据的平均数为，则有 10. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. “等腰四面体”每个顶点出发三条棱一定可以构成三角形 B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 D. 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为______． 13.（创新题）已知向量满足，则取值范围是_______. 14．（创新题）已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 16． （15分） 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 17． （15分） 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 18． （17分） 已知椭圆经过点，分别为的左、右焦点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在的直线的方程； （3）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19． （17分） （新情境）设函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的最大值； （3）已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）设集合，，，则（ ） A B. C. D. 2．已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 3．国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（ ） A. B. C. D. 4．已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 5. （新情境）随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6 6．（新情境）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 26 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与相交于点，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 8．（改编题）已知函数有唯一零点，则 A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是19 B. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强 C. 从小到大顺序排列的数据3，5，，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6 D. 数据的平均数为，数据的平均数为，则有 10. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. “等腰四面体”每个顶点出发三条棱一定可以构成三角形 B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C. 三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 D. 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为______． 13.（创新题）已知向量满足，则取值范围是_______. 14．（创新题）已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 16． （15分） 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 17． （15分） 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 18． （17分） 已知椭圆经过点，分别为的左、右焦点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在的直线的方程； （3）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19． （17分） （新情境）设函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的最大值； （3）已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. / 学科网（北京）股份有限公司 $