考点03 一次函数与方程、不等式（9种题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

考点03 一次函数与方程、不等式 考点一：一次函数与方程、不等式 图示 与一次方程的关系 方程的解直线与x轴交点的横坐标. 与二元一次方程组的关系 方程组​​的解直线与直线的交点坐标. 与一元一次不等式的关系 1）不等式的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围； 3）不等式的解集直线位于直线上方的部分 对应的x的取值范围. 题型一：利用图象法解一元一次方程 从“数”上看：一元一次方程的解，就是一次函数中y=0时的函数值对应的自变量x的值. 从“形”上看：一元一次方程的解，就是一次函数的图像与x轴交点的横坐标. 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 2．（24-25八年级下·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 3．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知关于的方程：只有一个解，则的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，令，进而得到两个函数图象只有一个交点，根据题意，画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：令， ∵只有一个解， ∴两个函数图象只有一个交点， 画出函数图象如下： 由图可知，当直线过图象的最低点时，满足题意， ∵， ∴当时，， 把代入，得：， 故答案为：1． 4．（25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是______； （2）关于x的方程的解是______； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象； （1）利用函数图象写出函数值为时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出函数值时对应的自变量的值即可 【详解】（1）根据函数图象可得，当时，， 所以方程的解为； 故答案为：． （2）根据函数图象可得，当时，， ∴关于x的方程的解是 故答案为：． 题型二：已知直线与坐标轴交点求方程的解 5．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数中，x与y的部分对应值如下表：那么一元一次方程的解为（    ）                                            A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解即为一次函数中时对应的x值，理解两者的关系是关键；根据表格，找出函数值为0时的自变量的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∴方程的解为； 故选：D． 6．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）点在直线上，且到轴的距离为1，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据点P到y轴的距离为1，即横坐标绝对值，故或，再代入直线方程求纵坐标y即可． 【详解】解：∵点P到y轴的距离为1， ∴， ∴或， 又∵点P在直线上， 当时，； 当时，， ∴点P的坐标为或； 故选C． 题型三：由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点． （1）当，时，点的坐标是___________． （2）当的值最大时，点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质与判定． （1）过点作轴于点，证明得出，即可求解； （2）根据题意得出在的延长线上时，的值最大，待定系数法求得直线的解析式，令，得出的坐标，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点， ∵点，， ∴ ∵ ∴，， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． （2）如图，连接并延长交轴于点， 根据两点之间线段最短可得：， ∴当在的延长线上时，的值最大 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时， ∴当的值最大时，点的坐标是 故答案为：． 8．（2025·江西九江·一模）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—数的变化，一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与轴的交点坐标，进入可得出第个等腰直角三角形直角边的长，结合三角形的面积公式，可得出第个等腰直角三角形的面积，同理，可求出第，，个等腰直角三角形直角边的长及面积，根据数的变化，可找出“第个等腰直角三角形直角边的长为，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第4个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 10．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 11．（23-24八年级下·河南新乡·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，平分，则点B的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线与勾股定理模型是解题的关键．过点作于点，利用全等得，，在中列式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 令， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即， 即， 解得：， ∴， 故选：C． 12．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，点，，点P为y轴上一点，当的和最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， 的坐标为， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为：． 题型四：图像法解二元一次方程组 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 13．（22-23八年级下·四川眉山·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 14．（2021·广东广州·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 15．（25-26八年级上·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【详解】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 题型五：求直线围成的图形面积 1.在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积. 2.在求两条直线与一条坐标轴所围成的三角形的面积时，可以先分别确定两条直线与这条坐标轴的交点坐标(即可确定三角形的底)，然后求两条直线的交点坐标(即可确定三角形的高)，最后利用三角形的面积公式得出结果. 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查求一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积．先求一次函数图像与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算． 【详解】解：根据函数作出图像为： 对于一次函数， ∵当时，， ∴一次函数图像与y轴交点B为； ∵当时，，解得， ∴一次函数图像与x轴交点A为， ∴，， ∴． 故选：D． 18．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D 19．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据的面积的面积的面积求出答案． 【详解】解：记直线与轴交于点， 在中，当时，， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， 解方程组，得， ∴， 过点B作轴，则， 在中，当，时，解得， ∴， ∴，, ∴ ． 故答案为:． 20．（25-26八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象经过点，，则的面积为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键；利用待定系数法求直线的解析式，即可求得直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， 令，则， ∴直线与y轴的交点C为， ∴． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知：直线：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、D，直线与相交于点P，．求的面积． 【答案】6 【分析】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程之间的内在联系．首先根据分别与x轴、y轴交于点A、B可求得A、B坐标，然后根据可求得D点坐标，代入直线：可求得b，直线与相交于点P，联立两方程可求得P点坐标，把的面积分解为即可求解． 【详解】解：在中，令，则，令，则， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∴， ∵直线与相交于点P，联立两方程得：， 解得， ∴点P的坐标为， ∵，点P的坐标为， ∴． 题型六：已知直线围成的图形面积求坐标 22．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，点的坐标分别为，直线与直线相交于点，且点的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的2倍，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题主要考查了一次函数图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． （1）利用待定系数法即可得到直线的表达式； （2）通过解方程组即可得到点的坐标； （3）设点的坐标为，依据的面积是的面积的2倍，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：联立， 解得， ∴点的坐标为． （3）解：设直线与轴的交点为，连接，如图所示， 则， 直线的表达式为，令，则， ∴直线与轴交于点， 设点的坐标为， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 23．（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，直线 与x轴相交于点A，直线 经过点，与x轴相交于，与y轴相交于C，与直线 相交于点D． (1)求直线 的函数关系式； (2)点P是l2上一点， 且 ，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为，是否存在m值，使的值最小?若存在．请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)存在，，见解析 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：联立， 解得：， ∴点的坐标为； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小． ∴存在，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 24．（19-20八年级上·四川成都·期中）如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B． (1)求的面积 ； (2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ； (3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标． 【答案】(1)12 (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， 的面积； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， ，， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 25．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若直线的图象上有一点，且时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积． （1）根据点C的坐标，利用待定系数法求出k、b的值； （2）求出点B的坐标，利用三角形的面积公式结合，列出关于的一元一次方程求解即可； 作轴交直线于点，设点的坐标为，求得，根据三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为． 将代入， 得：， 解得：； （2）解：由（1）知， 当时，有， 解得：， ∴点的坐标为． 设点的坐标为， ， 解得：， ∴点的坐标为或； （3）解：作轴交直线于点，设点的坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴， ∵点的坐标为， 由题意得， 即， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型七：一次函数与不等式 1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标; 2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然. 26．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，先求出，再结合图象即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将代入函数可得：， 解得：， ∴， ∴由图象可得不等式的解集为， 故选：A． 27．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与直线交于点，确定，点横坐标为2，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】解：直线与直线交于点， 解得， 点横坐标为2， ∵， ∴关于的不等式的解集是， 故选：D． 28．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数与，当时，．结合图象，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据题意可得一次函数的图象经过定点，求出一次函数的图象经过点时k的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴一次函数的图象经过定点； 在中，当时，， 当一次函数的图象经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时，，则的取值范围是， 故答案为：． 29．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点． (1)求m，a的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）先求出点的坐标，再将所得点坐标代入即可解决问题； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 所以点坐标为． 将点代入得， ， 解得； （2）解：由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数的图象上方，且函数的图象在轴上方，即， 所以当时，的取值范围是． 题型八：利用二元一次方程组判断直线位置的关系 30．（25-26八年级上·广西梧州·期中）直线与的位置关系是互相________． 【答案】垂直 【分析】此题考查了两条直线的位置关系，勾股定理，首先画出两个函数的图象，然后求出，然后根据勾股定理得逆定理求解即可． 【详解】如图所示，画出两个函数的图象， 联立直线与得， 解得 ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：垂直． 31．（25-26八年级上·广东深圳·期末）方程组没有解，因此直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是______． 【答案】平行 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据方程组无解表明两条直线没有交点，即可得出结论． 【详解】解：∵没有解，即没有解， ∴直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行； 故答案为：平行． 32．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）两条直线和的位置关系为____________．由此可知，方程组的解的情况为____________． 【答案】 平行 无解 【分析】本题考查一次函数的位置关系，直线交点与二元一次方程组的解之间的关系；通过比较两条直线的相等判断位置关系；方程组对应两条直线，根据位置关系判断解的情况． 【详解】解：∵对于两条直线和，， ∴两条直线平行； 方程组可化为， ∵两条直线平行，没有交点， ∴方程组无解， 故答案为：平行，无解． 33．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）学习探究：我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，．．．．．．， 将上面各组值列表： x … 0 1 2 … y … 3 1 3 … 将以上每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，然后，用一条平滑的线将这些点连起来如图所示，观察这些点在一条直线l上，我们称直线l是二元一次方程的图象．   实践探究：仿上面材料的方法，按下列步骤，在直线l所在的平面直角坐标系中作二元一次方程的图象． (1)分别求出当，，0，1，2时对应的y的值，并列表： x … 0 1 2 … y … a 3 b 7 … 表中 ， ； (2)描点：将表中每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点； (3)连线：用一条平滑的线将这些点连起来； (4)猜想：观察的图象与l的位置关系是 ； 深入探究： (5)通过解方程组发现，此方程组无解，即方程与方程无公共解，反映在它们的图象上，两直线 交点；（填“有”或“无”） (6)关于x，y的二元一次方程组，当时，方程组 （填解的情况），方程组中两个方程的图象 （填位置关系）． 【答案】实践探究：（1），；（4）平行；深入探究：（5）无；（6）没有解，平行 【分析】实践探究：将，分别代入即可求出，的值，在同一直角坐标系中再画出的图象，根据图象直接观察得出结论， 深入探究：根据二元一次方程组无解，则两个方程所对应的图象平行进行判断可． 【详解】解：实践探究： （1）当时，，解得，； 当时，，解得，； 故答案为：，； （4）在同一坐标系中画出的图象如图所示，    由图象可知：的图象与l的位置关系是平行 故答案为：平行； 深入探究： （5）解方程组无解，反映在它们的图象上，两直线无交点， 故答案为：无； (6)关于x，y的二元一次方程组，当时，方程组没有解，则方程组中两个方程的图象平行 故答案为：没有解，平行． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象． 题型九：一次函数过定点问题 34．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数，两条直线的交点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再联立即可求解； （2）先将变形为，满足过定点，则与无关，故即可． 【详解】（1）解：当时，， 当，得， 解得， 当时，， ∴两个函数图象的交点坐标为； （2）解：， 当时，， 此时， ∴不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过定点． 35．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）【提出问题】 探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 【探究过程】 小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 小芳尝试把变形为，并用代入时，也就是说当时，无论k取何值时，． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组讨论得出：无论k取何值，一次函数的图象一定会经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”． 已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是________． (2)已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数的几何应用； （1）把化为，再进一步求解即可； （2）求解，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵ ∴， 由，得， 当时，， ； （2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B， 当，则， ∴， 的面积为3， ， 解得或． 36．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数和一次函数（为常数且）． （1）不论为任何不等于零的数时，一次函数（为常数且）的图象都经过一个定点，则这个定点坐标是________； （2）若一次函数和一次函数（为常数且）图象的交点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）将函数解析式变形，令参数系数为零，求解定点坐标； （2）联立方程求交点坐标，根据第三象限点特征列不等式组求解． 【详解】解：（1）由，变形为， 令， 解得， 把代入得， 故定点坐标为； （2）由题意得：， 联立方程：， 整理得：， 解得：， 代入得： ， ∵交点在第三象限， ∴且， 由于，不等式等价于： 且， 解不等式组，得或； 故答案为或． 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． （1）先求出点，点坐标，然后利用勾股定理即可求解； （2）设点，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， ； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， 或， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于点．点的坐标为，连接． (1)求所在直线的函数表达式； (2)若直线与所在直线交于一点，并将分成面积相等的两部分，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求函数表达式以及根据三角形面积关系确定点的坐标． （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求所在直线的函数表达式； （2）先求出的面积，再根据直线将分成面积相等的两部分，确定点的纵坐标，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， 所以， 设所在直线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （2）解：因为， 所以． 当时，如答图，直线交于点，且， 过点作于点，所以， 即，解得． 在中，令，得， 所以； 当时，直线经过第二、四象限，与线段交于一点， 因为， 所以不存在的值，使直线将分成面积相等的两部分． 综上所述，点的坐标为． 3．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线上，两条直线相交于点. (1)求直线的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的倍，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）联立函数解析式求出点坐标，再结合函数图象解答即可求解； （）连接，可得，设点的纵坐标为，得，得到，进而代入即可求出点的坐标； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，分别在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由，解得， ∴， 由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，连接， ∵点， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 设点的纵坐标为， ∵的面积等于的面积的倍， ∴ 解得， ∵点在直线上， ∴点的坐标为或． 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线的表达式； (2)过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)，，， (2)①或；②点E的坐标为或 【分析】（1）令和，计算即可求得各点坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①由题意得，，，求得，，根据，列式计算即可求解； ②分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则，令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①∵轴，且点D的横坐标为m， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，解得或； ②∵，，， ∴， 当点在线段上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为 当点在射线上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或． 5．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解； （2）联立方程组，解方程组，进而可以得解； （3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 一次函数与方程、不等式 考点一：一次函数与方程、不等式 图示 与一次方程的关系 方程的解直线与x轴交点的横坐标. 与二元一次方程组的关系 方程组​​的解直线与直线的交点坐标. 与一元一次不等式的关系 1）不等式的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围； 3）不等式的解集直线位于直线上方的部分 对应的x的取值范围. 题型一：利用图象法解一元一次方程 从“数”上看：一元一次方程的解，就是一次函数中y=0时的函数值对应的自变量x的值. 从“形”上看：一元一次方程的解，就是一次函数的图像与x轴交点的横坐标. 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）已知关于的方程：只有一个解，则的值是______． 4．（25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是______； （2）关于x的方程的解是______； 题型二：已知直线与坐标轴交点求方程的解 5．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数中，x与y的部分对应值如下表：那么一元一次方程的解为（    ）                                            A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）点在直线上，且到轴的距离为1，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 题型三：由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点． （1）当，时，点的坐标是___________． （2）当的值最大时，点的坐标是____________． 8．（2025·江西九江·一模）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ______ ． 9．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·河南新乡·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，平分，则点B的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，点，，点P为y轴上一点，当的和最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型四：图像法解二元一次方程组 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 13．（22-23八年级下·四川眉山·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 14．（2021·广东广州·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·四川成都·月考）无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1)(2) 题型五：求直线围成的图形面积 1.在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积. 2.在求两条直线与一条坐标轴所围成的三角形的面积时，可以先分别确定两条直线与这条坐标轴的交点坐标(即可确定三角形的底)，然后求两条直线的交点坐标(即可确定三角形的高)，最后利用三角形的面积公式得出结果. 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 18．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 19．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 20．（25-26八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象经过点，，则的面积为______ ． 21．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知：直线：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、D，直线与相交于点P，．求的面积． 题型六：已知直线围成的图形面积求坐标 22．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，点的坐标分别为，直线与直线相交于点，且点的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的2倍，求出点的坐标． 23．（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，直线 与x轴相交于点A，直线 经过点，与x轴相交于，与y轴相交于C，与直线 相交于点D． (1)求直线 的函数关系式； (2)点P是l2上一点， 且 ，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为，是否存在m值，使的值最小?若存在．请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． 24．（19-20八年级上·四川成都·期中）如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B． (1)求的面积 ； (2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ； (3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标． 25．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若直线的图象上有一点，且时，求点的坐标． 题型七：一次函数与不等式 1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标; 2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然. 26．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数与，当时，．结合图象，的取值范围是________． 29．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点． (1)求m，a的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 题型八：利用二元一次方程组判断直线位置的关系 30．（25-26八年级上·广西梧州·期中）直线与的位置关系是互相________． 31．（25-26八年级上·广东深圳·期末）方程组没有解，因此直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是______． 32．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）两条直线和的位置关系为____________．由此可知，方程组的解的情况为____________． 33．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）学习探究：我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，．．．．．．， 将上面各组值列表： x … 0 1 2 … y … 3 1 3 … 将以上每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，然后，用一条平滑的线将这些点连起来如图所示，观察这些点在一条直线l上，我们称直线l是二元一次方程的图象．   实践探究：仿上面材料的方法，按下列步骤，在直线l所在的平面直角坐标系中作二元一次方程的图象． (1)分别求出当，，0，1，2时对应的y的值，并列表： x … 0 1 2 … y … a 3 b 7 … 表中 ， ； (2)描点：将表中每组对应值中x的值作为一个点的横坐标，y的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点； (3)连线：用一条平滑的线将这些点连起来； (4)猜想：观察的图象与l的位置关系是 ； 深入探究： (5)通过解方程组发现，此方程组无解，即方程与方程无公共解，反映在它们的图象上，两直线 交点；（填“有”或“无”） (6)关于x，y的二元一次方程组，当时，方程组 （填解的情况），方程组中两个方程的图象 （填位置关系）． 题型九：一次函数过定点问题 34．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图象都经过一个定点，求这个定点坐标． 35．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）【提出问题】 探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 【探究过程】 小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 小芳尝试把变形为，并用代入时，也就是说当时，无论k取何值时，． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组讨论得出：无论k取何值，一次函数的图象一定会经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”． 已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是________． (2)已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 36．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数和一次函数（为常数且）． （1）不论为任何不等于零的数时，一次函数（为常数且）的图象都经过一个定点，则这个定点坐标是________； （2）若一次函数和一次函数（为常数且）图象的交点在第三象限，则的取值范围是________． 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于点．点的坐标为，连接． (1)求所在直线的函数表达式； (2)若直线与所在直线交于一点，并将分成面积相等的两部分，求点的坐标． 3．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线上，两条直线相交于点. (1)求直线的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的倍，求出点的坐标． 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线的表达式； (2)过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标． 5．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $