专题02 四边形28大题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

专题02 四边形 题型1 多边形的相关概念 题型15 菱形的性质（重点） 题型2 多边形的对角线问题 题型16 菱形的面积计算（常考点） 题型3 多边形的内角和问题（常考点） 题型17 正方形的判定（常考点） 题型4 多边形内角和与外角和综合（重点） 题型18 正方形的性质（重点） 题型5 正多边形 题型19 三角形的中位线定理（重点） 题型6 平面镶嵌 题型20 与三角形中位线定理有关的最值（难点） 题型7 平行四边形的判定（常考点） 题型21 中点四边形 题型8 平行四边形的性质（重点） 题型22 中心对称图形（常考点） 题型9 平行四边形判定与性质的应用 题型23 图形的旋转 题型10 矩形的判定（常考点） 题型24 平行四边形的存在性问题（难点） 题型11 矩形的性质（重点） 题型25 平行四边形中的最值问题（难点） 题型12 矩形的折叠问题（重点） 题型26 平行四边形中的旋转问题（难点） 题型13 斜边的中线等于斜边的一半 题型27 平行四边形中的折叠问题（难点） 题型14 菱形的判定（常考点） 题型28 平行四边形中的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形的相关概念（共3小题） 1．下列图形是正多边形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义． 根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案． 【详解】根据正多边形的定义，得到C中图形是正五边形． 故选：C． 2．下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【答案】C 【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意； B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意； C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意； D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题的关键． 3．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 题型二 多边形的对角线问题（共3小题） 4．若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形外角和定理， 利用多边形外角和恒为的性质，结合内角和公式建立方程求边数n，再计算从一个顶点引出的对角线条数． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得 ， 解得， 从一个顶点引出的对角线条数为． 故选：A． 5．过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据多边形的性质可知，过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，据此求出和的值即可求解． 【详解】解：由题可得：，， ∴． 6．从一个边形的同一顶点出发，分别连接和它不相邻的各顶点．若把这个边形分成8个三角形，则这个多边形的内角和为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的对角线，多边形的内角和，解题的关键是掌握一个边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为． 一个边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为，再根据内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形边数为，则分成三角形个数为． 由题意，， 解得． 内角和为． 故答案为：． 题型三 多边形的内角和问题（共3小题） 7．如图，将四边形纸片沿折叠，使落在边上的处，已知，，则___________． 【答案】160 【详解】解：∵，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴，， 在四边形、中，，， ∴． 8．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图的形状，点落在点处，点落在点处，若，，___________． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、四边形内角和定理以及平角的定义，解题的关键是明确折叠前后对应角相等．先利用平角性质求出的度数，根据折叠的性质，通过已知角度求出以及的度数，再利用四边形内角和为来求解的度数即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， 故答案为：． 9．如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 【答案】 【分析】根据多边形的内角和公式求出，根据角平分线的定义求出，再根据四边形的内角和为可求得；再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型四 多边形内角和与外角和综合（共3小题） 10．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：A． 11．如图，用三个完全相同的正五边形地砖平铺地面，与是公共边，则的度数为____________． 【答案】 【分析】算出正五边形的每个内角的度数，用360减去3个内角的度数和即可． 【详解】解：∵正五边形每个内角是， ∴空余的角度． 12．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 题型五 正多边形（共3小题） 13．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 14．蜜蜂的蜂巢美观有序，由许多正六边形构成．如图，在正六边形中，连接、交于点O，则的度数为____________°． 【答案】60 【分析】本题主要考查正多边形内角的问题和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握是解答本题的关键．根据正六边形得出，，由等边对等角得出，，再根据三角形的外角即可得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ，， ． 15．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，我们发现当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)请根据图中所示图形，填写表中空格； 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 (2)从正三角形、正四边形、正六边形中任选一种，再在其他正多边形中任选一种，画出用这两种不同的正多边形平铺成的一个平面图形（草图），并探索这两种正多边形共能平铺成几种不同的平面图形，说明你的理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析（答案不唯一）． 【分析】本题考查了正多边形的内角，平面镶嵌等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用正多边形的内角为，即可求解； （2）根据平面镶嵌是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为即可求解． 【详解】（1）解：根据正多边形的内角和公式可知，正边形的内角和， ∴边形一个内角度数为， 当正多边形有3条边时，内角度数， 当正多边形有4条边时，内角度数， 当正多边形有5条边时，内角度数， 当正多边形有6条边时，内角度数， 填表如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 … （2）解：答案不唯一． 下面以选择正四边形和正八边形为例，设在同一个顶点上有个正四边形和个正八边形，则，即， 均为正整数， ， 只有一种平面图形，如图： 题型六 平面镶嵌（共3小题） 16．如图所示是工人师傅用边长均为的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正方形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的每一个内角都相等，根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数是n， 则， 解得：， 故选：D． 17．数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 【答案】 6 /24度 【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形的性质，正多边形内角、外角，利用正多边形的外角求内角是解题的关键． （1）利用正六边形内角及周角性质，确定中间正多边形的内角，进而求出； （2）先计算各正多边形内角，再通过角度差表示，最后代入计算． 【详解】解：（1）正六边形的每个外角为，每个内角为， 个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为， 中间的正多边形的边数为， ； 故答案为：； （2）正三角形的内角为， 正方形的内角为， 正五边形的内角为， 正六边形的内角为， ， ． 故答案为： 18．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ． 【答案】(1)正六边形 (2)①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦ (3) 【分析】（1）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （2）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （3）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）解：正六边形的一个内角为，， 故正六边形可以进行平面密铺； （2）解：∵①正三角形的内角为，②正方形的内角为，③正五边形的内角为，④正六边形的内角为，⑤正八边形的内角为，⑥正十边形的内角为，⑦正十二边形的内角为， ∵，，，，，， 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦； （3）解：由题意得：， 即， 故答案为：． 题型七 平行四边形的判定（共3小题） 19．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)四边形 是平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由线段的和与差得，然后通过“”即可证明； （）由全等三角形性质可得，所以，然后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形． 20．如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） (3)若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)证明见解析 (2)是 (3)是 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形分别判定即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形是平行四边形； （3）解：∵，，， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形为平行四边形． 21．如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 题型八 平行四边形的性质（共3小题） 22．如图，在中，对角线，交于点，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)24 【分析】（1）利用平行四边形性质求出，再利用勾股定理求解，即可解题； （2）根据平行四边形面积公式求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握平行四边形性质． 【详解】（1）解：， ， 四边形是平行四边形， ，， ； （2）解：． 23．如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，因为延长至点E，使，所以，，则四边形是平行四边形； （2）连接，由的对角线与相交于点O，得，由平分，得，由，得，则，所以，则，所以，求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵延长至点E，使， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵的对角线与相交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 24．如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或或 ； (3)12秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再结合C点的坐标即可求出点B的坐标； （2）设，分，，这三种情况求出点D的坐标； （3）先求出平行四边形对角线交点的坐标，设平移后解析式为，再把交点坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：点坐标是，， ，   四边形是平行四边形，   ，，   点坐标是，   ； （2）解：点是直线上一个动点，   设，   ①当时，三角形是等腰三角形，   或，   或，   ②当时，三角形是等腰三角形，   则点在的垂直平分线上，   ，   ③时，， 或， 或， 综上所述，点D的坐标为或或或或 ； （3）解：∵，， ∴平行四边形对角线交点的坐标为，即， ∵该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴平移后的直线经过平行四边形对角线交点， 设平移t秒，直线向下平移t个单位，平移后解析式为， 将代入得：，解得． 答：经过12秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分． 【点睛】若直线平分平行四边形的面积，则该直线一定过对角线的交点． 题型九 平行四边形判定与性质的应用（共3小题） 25．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 26．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 27．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 题型十 矩形的判定（共3小题） 28．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果且，那么四边形是菱形． 其中，正确的有_____（只填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】由两组对边都平行的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，则①正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，则②正确；根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，则③正确；由三线合一定理可得平分，则由③可得④正确． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当时，则， ∴平行四边形是矩形，故②正确； 当平分时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故③正确； 当且时，平分，由③可知平行四边形是菱形，故④正确； 29．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 30．如图，在中，E，F分别是，的中点，，交的延长线于点M． (1)求证：； (2)已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：平分； 条件②：． 【答案】(1)见解析 (2)选择条件①或②，四边形是矩形，见解析 【分析】（1）根据证明即可； （2）选择①，先证明四边形、是平行四边形，根据平行四边形的性质、等角对等边等可得到，即可得出结论；选择②，先证明四边形、是平行四边形，再推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵是的中点 ∴ ∴ （2）若选择条件①，四边形是矩形 由（1）可知， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是的中点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 若选择条件②，四边形是矩形 由（1）可知， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是的中点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 题型十一 矩形的性质（共3小题） 31．如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由矩形性质可知，，因为，可证，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）过点作，垂足为，则，可证四边形是矩形，则，，再利用勾股定理即可求出长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，垂足为， ，， ， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ，， ， ∵， ． 32．问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 【答案】（）；（）成立，见解析；（）最小值为． 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）先证明四边形和四边形均为矩形，则有，，，然后通过勾股定理即可求解； （）过点作，过点作，与交于点，连接，证明四边形是矩形，同（）理，，从而可得当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 【详解】解：（）四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； 故答案为：； （）成立，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∴； （）如解图，过点作，过点作，与交于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是矩形外一点， ∴同（）理，， ∴， ∵，， ∴当三点共线时，线段取得最小值，最小值为． 33．如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． (1)求的长； (2)若为等腰三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，以及解勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 先求出，在中根据勾股定理计算即可； 先证得四边形为矩形，再作，，垂足分别为点，，再证得，，，，然后分3种情况、和，然后分别列出等式，即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， （2）解：∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 作，，垂足分别为点，，如图： ∴四边形、和都是矩形， ∴，，，，， 若为等腰三角形，则有三种可能， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴秒； ②当时， ∴， ∴秒； ③当时，设， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴秒， 综上所述：或或时，为等腰三角形； 题型十二 矩形的折叠问题（共3小题） 34．如图，在矩形中，点E在边上，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点，交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形性质得到，再结合翻折的性质求解，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， 沿翻折得到， ． 35．矩形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据矩形与折叠可证，，，得到，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：矩形中，，， ，，， 由折叠的性质可知，，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：，即的长为． 36．在矩形纸片中，，．      (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①），设与相交于点，连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由； (2)将矩形纸片如图②折叠，使点与点重合，折痕为．求的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（）利用折叠和矩形的性质可得，，即得，得到，即可求证； （）过点作于点，由矩形和折叠的性质可得，，，，设，则，利用勾股定理可得，即得，，再证明，得，进而由四边形是矩形得，，最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 由折叠得，，， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，过点作于点，则， ∵矩形， ∴，， 由折叠可得，，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型十三 斜边的中线等于斜边的一半（共3小题） 37．如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 38．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得四边形是菱形，根据矩形的性质可得，则四边形是正方形，进而证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形，则 ∴四边形是正方形， ∴在上，且 如图所示， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形，，，则重合， ∴ 39．如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：连结， 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 题型十四 菱形的判定（共3小题） 40．如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)正方，见解析 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 41．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，连接． (1)求证：； (2)若．试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，交于点，证明，即可得证； （2）由（1）得：四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，证明如下： 连接，交于点，   由（1）得：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 42．如图，在四边形中，，分别是，的中线，． (1)证明：四边形是平行四边形 (2)请从“①；②；③”这三组条件中任选一组作为已知条件，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据全等三角形的性质，可得，，结合三角形中线的性质可证明，即可证明结论； （2）选择条件①，首先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知，即可证明四边形是矩形； 选择条件②，首先证明四边形是平行四边形，再证明，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，即可证明四边形是菱形；选择条件③，首先证明四边形是平行四边形，再证明，可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）选择条件①，四边形是矩形， 理由如下： ， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是等腰三角形， 是的中线， ，即， ∴四边形是矩形； 选择条件②，四边形是菱形， 理由如下： ， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， 是的中线， ， ∴四边形是菱形； 选择条件③，四边形是菱形， 理由如下： ， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 是的中线， ， ， ， ∴四边形是菱形． 题型十五 菱形的性质（共3小题） 43．如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或2 【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，根据即可求解； （2）①同（1）得出，，根据即可求解； ②证明出四边形的邻边相等，即可进一步推得四边都相等，即得答案； （3）先分情况讨论，再根据每种情况，利用，，以及点，，，相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①如图1， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得， 点E与点F重合， ， ②如图2，当点E与点C重合时，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； ∴ （3）解：情况1，如图3， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 情况2，如图4， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， 即， ， ， ， ， ； 情况3，如图5， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或或2． 综上可知，的值为：或或2． 44．如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． ()根据平行四边形的性质可证，，根据：点分别是的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立； ()根据菱形对角线垂直且平分的性质，得；根据三角形的面积可求得，进一步求得的值，在中，利用勾股定理计算出． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ，分别是和的中点， ，. ，， 四边形为平行四边形. ， ， 四边形为菱形； （2）如图，过点作于点， 由（）知四边形为菱形， ∵，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 45．已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)求：的值． (3)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)24 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，中位线，全等三角形的判定与性质，线段的和差，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； (2) 分别作的中点M，N，连接，先证明，继而证明，得到，推导出， 即，则，即可解答． （3）通过证明四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：分别作的中点M，N，连接，如图 ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （3）连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是中线， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积=． 题型十六 菱形的面积计算（共3小题） 46．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，则四边形的面积为（    ）    A．2 B．12 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．先证四边形为菱形，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：由折叠知，，且与互相平分， 四边形为菱形， ， 四边形的面积为， 故选B． 47．如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理，由题意可知，则四边形为菱形，根据菱形的性质与勾股定理可求得，由此即可求得四边形的面积． 【详解】解：由题意得：， 四边形为菱形， ， 又，， ， ， ， 四边形的面积为：． 故答案为：24． 48．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得的长，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴互相平分， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． （2）解：∵在中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：四边形为菱形， ∴四边形的面积为． 题型十七 正方形的判定（共3小题） 49．已知，在中，点，分别在和上，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接．若点落在上，且． (1)求证四边形为菱形． (2)若四边形为正方形，请问与需要满足什么条件，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)当时，四边形是正方形，理由见解析． 【分析】（1）由折叠得到，，，证明，得到即可； （2）根据正方形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：设交于点， 由折叠可知，，，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ， ， 又四边形是菱形， 四边形是正方形． 50．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 51．如图，在中，O是的中点，过A作的平行线，交延长线于D，点E，F分别是的中点，连接和． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明； (3)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形；证明见解析 (3)当，且时，四边形是正方形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形和正方形的判定，熟知相关知识是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的四边形是菱形，即可得出结论； （3）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的四边形是矩形可证明四边形是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形可证明结论． 【详解】（1）证明：∵O是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：当时，四边形是菱形；证明如下： 由（1）知， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，点 E是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：当，且时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）知， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，点 E是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形． 题型十八 正方形的性质（共3小题） 52．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 53．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长 【答案】(1)是 (2)若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③. (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定和性质，证明四边形是正方形是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可判断答案； （2）连接，，证明，即可得得出结论； （3）根据翻折和已知证明四边形是正方形，可得，再在中，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形， ，， 四边形是筝形； 故答案为：是． （2）解：若四边形纸片是筝形，，，则①对角线平分、；②垂直平分，③， 证明：如图所示，连接，， 四边形是筝形， ，， ∴垂直平分， 又， ， ，，， 平分和； （3）解：由翻折可知：， ，， 四边形是矩形， 又∵由翻折可知：， ∴矩形是正方形， ∴，， 设，则， 由翻折可知：，， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：． 即． 54．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且 (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵正方形， ，， 又∵， ． ； （2）解：成立，理由如下： ， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ，， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ， 设，则， ，． 在中，， ， 解得：． ． 题型十九 三角形的中位线定理（共3小题） 55．数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．已知：如图1，中，，分别是边，的中点． 求证：，． 【定理探究】 (1)下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 方法一 证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二 证明：如图3，过作交于点，过作交直线于点． 【定理应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在地面上选了点和点，使，连接，并分别找到和的中点，，若测得，，则，两地间的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法一、证明，根据全等三角形的性质可证且，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可证结论成立； 方法二、证明，根据全等三角形的性质可证，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证结论成立； （2）连接并延长，交延长线于，可证，根据全等三角形的性质可知，，可证是的中位线，根据中位线的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：方法一： 证明如下：在中，是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 点是边的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ，； 方法二： 证明如下：过作交于点，过作交直线于点， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， 点，分别是边，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； （2）解：如下图所示，连接并延长，交延长线于， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， 是中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ． 56．如图，已知在四边形中，、相交于点O，且，E、F分别是、的中点，连接． (1)求四边形的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）取中点P，连接，，根据三角形的中位线定义得出，，，，根据平行线的性质并结合可得出，最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：取中点P．连接，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴． 57．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 题型二十 与三角形中位线定理有关的最值（共3小题） 58．如图，四边形中，，点分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】C 【分析】连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质可得，即可得点 与点 重合时 最大，最大值为 ，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接 、 ，如图所示， 在 中， ， ， ， ， 点 分别为 的中点， 是 的中位线， ， 由题意得，当点 与点 重合时 最大，最大值为 ， 长度的最大值为 ． 59．如图，在中，，，，点P是一个动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 _________． 【答案】 【分析】取的中点D，连接，根据直角三角形的性质可得，根据中位线的性质可得，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点D，连接，则， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵点Q是的中点，， ∴， ∴，即的最小值为． 60．如图，在Rt中，，，，是平面内一点，且．点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_____． 【答案】8 【分析】延长到，使，连接，，可得是的中位线，利用勾股定理可求出，根据三角形中位线的性质可得，利用三角形三边关系可得的最大值为，即可得出的最大值． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴点、、三点在一条直线上时，有最大值， ∴的最大值为， ∴线段的最大值为． 题型二十一 中点四边形（共3小题） 61．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 【答案】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理，先证明四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵分别为四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵， ∴当时，四边形为菱形， 当，即时，四边形为矩形， ∵， ∴当时，四边形为矩形． 62．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 63．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 【答案】（1）D，（2）且，（3） 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 本题是四边形综合题，考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴ 题型二十二 中心对称图形（共3小题） 64．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析即可． 【详解】解：如图，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有3种： 65．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 66．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的四边形以及点． (1)作四边形关于点中心对称的四边形 （，，，分别是点，，，的对应点）； (2)在（1）的条件下，连接，仅用无刻度的直尺画出的中线．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质找到点，，，，再顺次连接，即可求解； （2）取格点，使得（点在点的上方），则四边形为矩形，连接与交于点，则点为的中点，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： 四边形即为所求． （2）解：如图所示： 即为所求． 题型二十三 图形的旋转（共3小题） 67．如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，连接，将绕点D逆时针旋转至，点E与点F对应，连接与交于点G，若，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过E作交于点H，则，结合正方形的性质可得设，则，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过E作交于点H，则， 正方形的边长为6， ，，， ∴，是等腰直角三角形，， ， 设，则， 由旋转性质知：， ，， ， B、C、F三点共线，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即． 68．如图，在中，，，．将绕点旋转得到，连接，分别取，的中点，，则的最大值是______． 【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，，利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得到，利用三角形中位线的性质求出，，然后利用三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，，， ∴． ∵将绕点B旋转得到， ∴． ∵分别是的中点， ∴线段为的中位线，线段为的中位线， ∴，， ∴， ∴当点P，O，Q三点共线时，取得最大值，即的值， ∴的最大值为． 69．如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． （2）延长到H，使得，则，想办法证明即可解决问题． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长到H，使得， ∵， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型二十四 平行四边形的存在性问题（共3小题） 70．已知长方形，O为坐标原点，点B的坐标为，A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设，若是等腰直角三角形． (1)已知点D在第一象限且是直线上的一点，求点D的坐标； (2)直线向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点 (2)点的坐标或或 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，可得，可证，可得，，再证四边形为矩形，得出点，，根据点在直线上，求出即可； （2）直线向右平移6个单位求出直线的解析式，分三种情况考虑：当，时，根据等腰直角三角形的性质易得点坐标；当，时，由全等三角形的性质表示出点坐标为，列出关于的方程，求出的值，即可确定出点坐标；当，时，同理求出的坐标，综上，得到所有满足题意的坐标． 【详解】（1）解：设点横坐标为，过点D作轴于E，轴于F， 是等腰直角三角形， ，， ， 轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形为矩形，的坐标为， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 点， 点在直线上， ， ， 点； （2）解：直线向右平移6个单位， 直线， 设点， 过点作轴，交轴于，交延长线于， 要使为等腰直角三角形， 当，，为等腰直角三角形， ， 轴，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为矩形，，， ， 四边形为矩形，， ，， ， 解得， ， 点； 当，，为等腰直角三角形， ， 过作射线于， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得， ， 点； 如图所示，当，时，如图，作于点，作轴于点， ，， 的坐标为， ， 点坐标； 当，，为等腰直角三角形， ， 过作轴于，过作轴于， ， ， ， 四边形为矩形， ，，， ， 四边形为矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 解得：， ， ， 此种情况不成立； 综合存在第一象限的点使是等腰直角三角形，点的坐标或或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图象上点的特征，矩形的判定与性质，掌握等腰直角三角形先证，三角形全等判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论思想，一次函数图象上点的特征，矩形的判定与性质是解题关键． 71．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，点在第二象限，线段的长是一元二次方程的两根，． (1)求点的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)点在直线上，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直线解析式为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，一共个点，点坐标为或或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，菱形的性质，解一元二次方程，等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）解方程可求，的长，即可求解； （2）由直角三角形的性质和勾股定理可求，即可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）先求出点坐标，分三种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求点坐标，由中点坐标公式可求点坐标． 【详解】（1）解：线段，的长是一元二次方程的两根， 解得： ， ，； （2）如图1，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 不合题意舍去，， ，， 点， 设直线解析式 由题意可得， 解得：， 直线解析式为； （3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，一共个点， 设直线的解析式为 由题意可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点， ， ， 设点，点， 如图，当与为邻边时， 四边形是菱形， ， ， ， 点或 四边形是菱形， 与互相平分， 或 或 或 如图，当与为邻边时， 四边形是菱形， ， ， 或， 点或 四边形是菱形， 与互相平分， 或 或， 点或； 当与为邻边时， 四边形是菱形， ， ， ， 点， 四边形是菱形， 与互相平分， 综上所述，点坐标为或或或或． 72．如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点 (1)点坐标为（_______，_______）； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【分析】（1）把点的坐标代入中，求出的值，即可得到直线的解析式，根据解析式即可求出点的坐标； （2）根据、轴，可知，可得，解方程求出的值即可； （3）当为矩形的对角线时，利用三角形的面积公式可以求出，根据矩形的性质可知，设点的坐标是，可得：，解方程求出的值，即为点的横坐标；当时，根据矩形的性质可以直接得出点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线：上， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：点在直线：上， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标是， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 解得：或， 当或时，； （3）解：已知点的坐标是，点的坐标是， 如下图所示，当为矩形的对角线时， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 则直线的解析式为， 设点的坐标是， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 点的坐标是； 如下图所示，当时， 可得：，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 题型二十五 平行四边形中的最值问题（共3小题） 73．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作于点E，交CD于点H，于点F，交BC于点G，连接，．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】推出当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度．再利用矩形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接． 四边形是矩形，，， 四边形和四边形是矩形． ，． 的最小值即为的最小值． 当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度． 四边形是矩形，，， ． 的最小值为． 74．如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点，取的中点，连接，则周长的最小值是__________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接、、、，由折叠的性质可得，，，，从而判断是的中位线，．容易证明和，则，，由等量代换可得的周长为．根据线段公理可得，当、、三点共线时，取得最小值，即的周长的最小值为． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、、、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在中，， 由折叠的性质可得，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵，即点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为， ∴的周长的最小值为． 75．如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______________． 【答案】5 【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，在延长线上截取，连接，则有，然后可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5． 题型二十六 平行四边形中的旋转问题（共3小题） 76．如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒时，矩形的对角线交点的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据勾股定理可得点的初始位置为，再根据题意可得次一个循环，从而得出与轴负半轴夹角为，即点的位置与关于轴对称． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由题意可得：， ∴， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的初始位置为， ∵矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转， ∴次一个循环，， ∴第秒与起始位置夹角为， ∵与轴负半轴夹角为， 此时，与轴负半轴夹角为，即点的位置与关于轴对称， 故此时，． 77．如图1，已知点D是等边内一点，且，，．求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转，我们的办法都是通过旋转把已知线段转化在同一个三角形中，运用勾股定理逆定理解决． 【方法探索】 （1）请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数（写出求解过程）； 【类比迁移】 （2）如图2，已知，，，，，，的度数为______． 【综合运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，的面积是______． 【答案】（1）的度数为；（2）；（3） 【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．丙：将绕点A顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数． （2）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出； （3）过点作直线的垂线，垂足为，证明是等腰直角三角形，求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，． 选择甲：如图，将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是直角三角形，， ； 选择乙：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是直角三角形，， ， ∴由旋转可得； 选择丙：如图，将绕点A顺时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，， ； （2）如图，将绕着点顺时针旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作直线的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合应用，利用旋转的性质进行求解是解题的关键． 78．【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型二十七 平行四边形中的折叠问题（共3小题） 79．纸飞机是大家平时随手就能制作的简单玩具，其做法各种各样．接下来我们将图1中长为，宽为的矩形纸片折叠可得到图2中的纸飞机，下面是折纸飞机的三个关键步骤的介绍．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边缘重叠） 第一步：如图3，将图1中的矩形纸片沿折叠，点A的对应点落在边上． 第二步：如图4，将和分别沿着和折叠，点M与点N的对应点重合，从而获得边与平行，且三条线段中相邻的两条之间距离均为． 第三步：如图5，在上选取点F，将四边形沿着折叠，使的对应边所在直线与所在直线重合，点D的对应点为，下方部分进行同样的操作，点C的对应点为，点E到的距离为飞机的最大长度．则该纸飞机最大长度为_______． 【答案】 【分析】先由翻折的性质由x表示与，再证明四边形为正方形，由此可证明为等腰直角三角形，再由翻折前后边长不变可求解x的值，再由勾股定理可求解的长度，由翻折可得，再证明为等腰直角三角形，再由勾股定理即可求解的长度，由此可求解该纸飞机最大长度． 【详解】解：矩形纸片长为，宽为，且三条线段中相邻的两条之间距离均为， ∵矩形纸片沿折叠，点A的对应点落在边上， ∴ ∴ ∵将和分别沿着和折叠，点M与点N的对应点重合， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， 同理可得为等腰直角三角形， ∴ ∴，解得 ∴, 在中，， ∵四边形沿着折叠， ∴, ∵为等腰直角三角形， ∴， 且， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ 在中， 解得， ∴， ∴该纸飞机最大长度为． 【点睛】图形翻折具有不变性，位置发生了变化，但图形翻折前后边长与角度不变． 80．综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形                B．直角三角形                C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 【答案】(1)C， (2)见解析 (3)见解析，的长为或 【分析】（1）问题1：利用翻折的性质和矩形的性质即可得出等腰三角形；问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用角平分线的作法作图，即以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点； （3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出，可得，然后设，则，在中利用勾股定理列方程，求出，再由即可得出答案；当点落在矩形内部时，同上述思路即可得出答案． 【详解】（1）解：问题1：如图2所示， 由翻折的性质可得，， ， ， ， 是等腰三角形， 故选：C； 问题2：如图所示，过点作交于点， ， 由勾股定理得，， ， 点到的距离为， 故答案为：； （2）解：点的位置如下图所示； （3）解：①如图所示， 当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则， 由题意，得，，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ； ②如图所示， 当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，， 同①，可得， ， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形和翻折的结合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图——角平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并掌握分类讨论的数学思想． 81．已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，则______，______．（用图中的字母表示） (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点．求证：． 【答案】(1)； (2)四边形的形状是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，； （2）根据折叠的性质得，，，再根据矩形的性质得，则，进而推出，证明四边形是平行四边形，再由可得四边形是菱形； （3）如图，连接，，先根据折叠的性质得，，证明四边形是正方形，得，再根据折叠的性质和矩形的性质推出，然后证明得，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处， ∴，， 故答案为：；； （2）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 根据折叠的性质得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）证明：如图，连接，， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处， ∴，， ∵是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 题型二十八 平行四边形中的新定义问题（共3小题） 82．【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【问题提出】 利用测量的方法，识别下列四个图形（都是利用两个直角三角板拼成的）是不是等补四边形． 【方案设计】 甲组同学提出利用学习过的“多边形的内角和”，通过测量的方法量出三角板锐角度数，根据等补四边形的定义解答， 【测量工具】量角器、铅笔、纸等． 【操作步骤】 分别测量出每个直角三角形的一个锐角，并且标上度数，如下图所示： 【问题解决】（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是等补四边形的有______（填写序号）． 【交流讨论】 （2）乙组同学提出，利用测量的方法不光麻烦，也有测量误差，不如利用推理证明，例如：下面的问题就可以推理证明来解答：如图所示，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【定义应用】 （3）丙组同学根据定义得出等补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图所示，四边形是等补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明． 【拓展反思】 （4）丁组同学认为学以致用，提出如下问题：如图所示，在等补四边形ABCD中，，，若四边形的面积为8，求的长．你能帮他们完成吗？ 【答案】（1）②④（2）是等补四边形，理由见解析（3）见解析（4） 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据等补四边形的定义并结合图形即可求解； （2）由旋转得，而，故，即可证明； （3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到，则，结合已知可得，则C，B，E三点共线，再由等腰三角形的性质即可求证； （4）将绕点B顺时针旋转得，则，然后证明D、C、G三点共线，由，得到，即可求解． 【详解】解：（1）①中两组对角的和为，，且邻边不相等，故不是等补四边形； ②中有一组对角的和为，且根据等腰直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形； ③中两组对角的和为，，故不是等补四边形； ④中有一组对角的和为，且根据两个全等的直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形； ∴是等补四边形的有②④； 故答案为：②④ （2）是等补四边形， 理由：由旋转得， ， ， 四边形是等补四边形； （3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到， ， ， ， ， C，B，E三点共线， 在中，， ， ，即：平分； （4）如图所示，， ∴将绕点B顺时针旋转得， ， ∵ ， ， D、C、G三点共线， ， ， （负值舍去）． 83．定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）是等补四边形，见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）根据旋转性质得到，，结合即可判断； （2）根据，得到绕点B顺时针旋转得，即可得到D、G、C三点共线，结合面积即可得到答案； （3）根据旋转得到、、三点共线，得到，结合当时，的面积最大，求解即可得到答案； 【详解】解：（1）是等补四边形， 理由：由旋转得，， ， ， 四边形是等补四边形． （2）如图，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， 、、三点共线， ， ， （负值舍去）． （3）， 将绕点逆时针旋转使与重合， 得，如图， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． 84．定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．    (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． (2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)正方形 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可； （2）①通过证明可得，由得出，证出即可；②从两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，；当点E在的延长线上时，连接，由，得，由正方形性质可得，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”； 矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”； 菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”； 正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”； （2）证明：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴且， ∴四边形为“郡外四边形”； 证明：② ； ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，， 则由勾股定理有：； （ii）当点E在的延长线上时，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，如图，    ∵且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴； 综上，有． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角，灵活运用这些性质是解题的关键． $ 专题02 四边形 题型1 多边形的相关概念 题型15 菱形的性质（重点） 题型2 多边形的对角线问题 题型16 菱形的面积计算（常考点） 题型3 多边形的内角和问题（常考点） 题型17 正方形的判定（常考点） 题型4 多边形内角和与外角和综合（重点） 题型18 正方形的性质（重点） 题型5 正多边形 题型19 三角形的中位线定理（重点） 题型6 平面镶嵌 题型20 与三角形中位线定理有关的最值（难点） 题型7 平行四边形的判定（常考点） 题型21 中点四边形 题型8 平行四边形的性质（重点） 题型22 中心对称图形（常考点） 题型9 平行四边形判定与性质的应用 题型23 图形的旋转 题型10 矩形的判定（常考点） 题型24 平行四边形的存在性问题（难点） 题型11 矩形的性质（重点） 题型25 平行四边形中的最值问题（难点） 题型12 矩形的折叠问题（重点） 题型26 平行四边形中的旋转问题（难点） 题型13 斜边的中线等于斜边的一半 题型27 平行四边形中的折叠问题（难点） 题型14 菱形的判定（常考点） 题型28 平行四边形中的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形的相关概念（共3小题） 1．下列图形是正多边形的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 3．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 题型二 多边形的对角线问题（共3小题） 4．若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，则的值为_____． 6．从一个边形的同一顶点出发，分别连接和它不相邻的各顶点．若把这个边形分成8个三角形，则这个多边形的内角和为_____． 题型三 多边形的内角和问题（共3小题） 7．如图，将四边形纸片沿折叠，使落在边上的处，已知，，则___________． 8．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图的形状，点落在点处，点落在点处，若，，___________． 9．如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 题型四 多边形内角和与外角和综合（共3小题） 10．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，用三个完全相同的正五边形地砖平铺地面，与是公共边，则的度数为____________． 12．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 题型五 正多边形（共3小题） 13．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 14．蜜蜂的蜂巢美观有序，由许多正六边形构成．如图，在正六边形中，连接、交于点O，则的度数为____________°． 15．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，我们发现当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)请根据图中所示图形，填写表中空格； 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 (2)从正三角形、正四边形、正六边形中任选一种，再在其他正多边形中任选一种，画出用这两种不同的正多边形平铺成的一个平面图形（草图），并探索这两种正多边形共能平铺成几种不同的平面图形，说明你的理由． 题型六 平面镶嵌（共3小题） 16．如图所示是工人师傅用边长均为的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正方形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 17．数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则___________． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则___________． 18．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ． 题型七 平行四边形的判定（共3小题） 19．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)四边形 是平行四边形． 20．如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） (3)若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 21．如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 题型八 平行四边形的性质（共3小题） 22．如图，在中，对角线，交于点，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 23．如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 24．如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 题型九 平行四边形判定与性质的应用（共3小题） 25．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 26．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 27．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    题型十 矩形的判定（共3小题） 28．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果且，那么四边形是菱形． 其中，正确的有_____（只填写序号）． 29．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 30．如图，在中，E，F分别是，的中点，，交的延长线于点M． (1)求证：； (2)已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：平分； 条件②：． 题型十一 矩形的性质（共3小题） 31．如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 32．问题提出 （1）如图，已知是矩形内一点，过点作，分别交于点，则______；（填“”“”或“”） 问题探究 （2）如图，已知是矩形外一点，过点作，分别交的反向延长线于点，则（）中的结论还成立吗？请说明理由； 问题解决 （3）如图，在中，，是外一点，若，，，求线段的最小值． 33．如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． (1)求的长； (2)若为等腰三角形，求t的值． 题型十二 矩形的折叠问题（共3小题） 34．如图，在矩形中，点E在边上，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点，交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 35．矩形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 36．在矩形纸片中，，．      (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①），设与相交于点，连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由； (2)将矩形纸片如图②折叠，使点与点重合，折痕为．求的长． 题型十三 斜边的中线等于斜边的一半（共3小题） 37．如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 38．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 39．如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 题型十四 菱形的判定（共3小题） 40．如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 41．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，连接． (1)求证：； (2)若．试判断四边形的形状，并证明． 42．如图，在四边形中，，分别是，的中线，． (1)证明：四边形是平行四边形 (2)请从“①；②；③”这三组条件中任选一组作为已知条件，判断四边形的形状，并说明理由． 题型十五 菱形的性质（共3小题） 43．如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 44．如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 45．已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)求：的值． (3)若，求菱形的面积． 题型十六 菱形的面积计算（共3小题） 46．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，则四边形的面积为（    ）    A．2 B．12 C．5 D．6 47．如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 48．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型十七 正方形的判定（共3小题） 49．已知，在中，点，分别在和上，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接．若点落在上，且． (1)求证四边形为菱形． (2)若四边形为正方形，请问与需要满足什么条件，并说明理由． 50．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 51．如图，在中，O是的中点，过A作的平行线，交延长线于D，点E，F分别是的中点，连接和． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明； (3)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形． 题型十八 正方形的性质（共3小题） 52．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 53．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）； (2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明； (3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，，，求的长 54．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且 (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 题型十九 三角形的中位线定理（共3小题） 55．数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．已知：如图1，中，，分别是边，的中点． 求证：，． 【定理探究】 (1)下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 方法一 证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二 证明：如图3，过作交于点，过作交直线于点． 【定理应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在地面上选了点和点，使，连接，并分别找到和的中点，，若测得，，则，两地间的距离为________． 56．如图，已知在四边形中，、相交于点O，且，E、F分别是、的中点，连接． (1)求四边形的面积； (2)求的长． 57．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 题型二十 与三角形中位线定理有关的最值（共3小题） 58．如图，四边形中，，点分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 59．如图，在中，，，，点P是一个动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 _________． 60．如图，在Rt中，，，，是平面内一点，且．点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_____． 题型二十一 中点四边形（共3小题） 61．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 62．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 63．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 题型二十二 中心对称图形（共3小题） 64．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 65．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 66．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的四边形以及点． (1)作四边形关于点中心对称的四边形 （，，，分别是点，，，的对应点）； (2)在（1）的条件下，连接，仅用无刻度的直尺画出的中线．（保留作图痕迹） 题型二十三 图形的旋转（共3小题） 67．如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，连接，将绕点D逆时针旋转至，点E与点F对应，连接与交于点G，若，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 68．如图，在中，，，．将绕点旋转得到，连接，分别取，的中点，，则的最大值是______． 69．如图，点E是正方形的边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转一定的角度得到，点C在上，连接交边于点G． (1)若，，求的长； (2)求证：． 题型二十四 平行四边形的存在性问题（共3小题） 70．已知长方形，O为坐标原点，点B的坐标为，A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设，若是等腰直角三角形． (1)已知点D在第一象限且是直线上的一点，求点D的坐标； (2)直线向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由． 71．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，点在第二象限，线段的长是一元二次方程的两根，． (1)求点的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)点在直线上，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 72．如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点 (1)点坐标为（_______，_______）； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，； (3)若点为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 题型二十五 平行四边形中的最值问题（共3小题） 73．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作于点E，交CD于点H，于点F，交BC于点G，连接，．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 74．如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点，取的中点，连接，则周长的最小值是__________． 75．如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______________． 题型二十六 平行四边形中的旋转问题（共3小题） 76．如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒时，矩形的对角线交点的坐标为______． 77．如图1，已知点D是等边内一点，且，，．求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转，我们的办法都是通过旋转把已知线段转化在同一个三角形中，运用勾股定理逆定理解决． 【方法探索】 （1）请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数（写出求解过程）； 【类比迁移】 （2）如图2，已知，，，，，，的度数为______． 【综合运用】 （3）如图2，在（2）的条件下，的面积是______． 78．【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 题型二十七 平行四边形中的折叠问题（共3小题） 79．纸飞机是大家平时随手就能制作的简单玩具，其做法各种各样．接下来我们将图1中长为，宽为的矩形纸片折叠可得到图2中的纸飞机，下面是折纸飞机的三个关键步骤的介绍．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边缘重叠） 第一步：如图3，将图1中的矩形纸片沿折叠，点A的对应点落在边上． 第二步：如图4，将和分别沿着和折叠，点M与点N的对应点重合，从而获得边与平行，且三条线段中相邻的两条之间距离均为． 第三步：如图5，在上选取点F，将四边形沿着折叠，使的对应边所在直线与所在直线重合，点D的对应点为，下方部分进行同样的操作，点C的对应点为，点E到的距离为飞机的最大长度．则该纸飞机最大长度为_______． 80．综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形                B．直角三角形                C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 81．已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，则______，______．（用图中的字母表示） (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点．求证：． 题型二十八 平行四边形中的新定义问题（共3小题） 82．【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【问题提出】 利用测量的方法，识别下列四个图形（都是利用两个直角三角板拼成的）是不是等补四边形． 【方案设计】 甲组同学提出利用学习过的“多边形的内角和”，通过测量的方法量出三角板锐角度数，根据等补四边形的定义解答， 【测量工具】量角器、铅笔、纸等． 【操作步骤】 分别测量出每个直角三角形的一个锐角，并且标上度数，如下图所示： 【问题解决】（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是等补四边形的有______（填写序号）． 【交流讨论】 （2）乙组同学提出，利用测量的方法不光麻烦，也有测量误差，不如利用推理证明，例如：下面的问题就可以推理证明来解答：如图所示，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【定义应用】 （3）丙组同学根据定义得出等补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图所示，四边形是等补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明． 【拓展反思】 （4）丁组同学认为学以致用，提出如下问题：如图所示，在等补四边形ABCD中，，，若四边形的面积为8，求的长．你能帮他们完成吗？ 83．定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 84．定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．    (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． (2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $