数学（浙江卷01）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知命题：，，那么是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知双曲线：，顶点到渐近线的距离为，则离心率(    ) A. B. C. D. 4.一组数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则(    ) A. B. C. D. 6.某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7.已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值已知函数，则下列说法正确的是(    )切线的方程为；；；设，则． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，，是空间中的三个点，则(    ) A. 向量的模长为 B. 直线的一个方向向量为 C. 向量在向量方向上的投影向量为 D. 若，则，，，四点共面 10.已知数列满足，的前项和为，则(    ) A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前项和为 11.已知函数的定义域为，，，则(    ) A. B. C. 为偶函数 D. 的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数是纯虚数，则实数          ． 13.的展开式中含项的系数为          ． 14.已知正四棱锥的所有棱长都为，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为          ，的面积的最大值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形． 求的解析式，及为偶函数时的最小正实数； 求的值． 16．（15分） 如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，为底面圆周上的点，且是正三角形，为母线上的一动点． 若平面，求的长； 若直线与平面所成角的正弦值为求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 已知函数． 当时，求函数的单调区间 求证：当时，． 18．（17分） 随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件， Ⅰ已知概率，， (ⅰ)求，的值． (ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． Ⅱ若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 19．（17分） 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，记作已知椭圆：上一点． 求“共轭点对”中点所在直线的方程 设为坐标原点，点，在椭圆上，且，中的直线与椭圆交于两点，． 求点，的坐标； 设四点，，，在椭圆上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知命题：，，那么是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知双曲线：，顶点到渐近线的距离为，则离心率(    ) A. B. C. D. 4.一组数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则(    ) A. B. C. D. 6.某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7.已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 8.牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值已知函数，则下列说法正确的是(    )切线的方程为；；；设，则． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知，，是空间中的三个点，则(    ) A. 向量的模长为 B. 直线的一个方向向量为 C. 向量在向量方向上的投影向量为 D. 若，则，，，四点共面 10.已知数列满足，的前项和为，则(    ) A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前项和为 11.已知函数的定义域为，，，则(    ) A. B. C. 为偶函数 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数是纯虚数，则实数          ． 13.的展开式中含项的系数为          ． 14.已知正四棱锥的所有棱长都为，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为          ，的面积的最大值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形． 求的解析式，及为偶函数时的最小正实数； 求的值． 16．（15分） 如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，为底面圆周上的点，且是正三角形，为母线上的一动点． 若平面，求的长； 若直线与平面所成角的正弦值为求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 已知函数． 当时，求函数的单调区间 求证：当时，． 18．（17分） 随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件， Ⅰ已知概率，， (ⅰ)求，的值． (ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． Ⅱ若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 19．（17分） 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，记作已知椭圆：上一点． 求“共轭点对”中点所在直线的方程 设为坐标原点，点，在椭圆上，且，中的直线与椭圆交于两点，． 求点，的坐标； 设四点，，，在椭圆上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A A A C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．-48 14．5； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】： ，（2分） 所以点的纵坐标为， 因为为等腰直角三角形， 所以， 所以的最小正周期， 因为， 所以，解得， 所以的解析式为， 所以， 由于函数为偶函数， 所以，， 即，， 故最小正实数为．（7分） 由图知，点是的中点， 所以．（13分） 16．（15分） 【解析】取直径的中点，连接， 在底面圆所在平面内作，直线两两垂直， 以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴， 由都是正三角形，， 得， ， 令，则， 由平面，平面平面，平面， 所以， 因此，， 所以的长为；（6分） 由知， 设，则， ， 平面的法向量， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得， 整理得， 又，解得， 于是，而， 设平面的法向量， 则 令，得， 故平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为．（15分） 17．（15分） 【解析】解：当时，， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在上单调递增，在上单调递减．（6分） ． 因为，所以当时，，当时，， 所以， 下证：，即证：， 记，， 当时，，当时，， 所以，所以恒成立，即 所以当时，． （15分） 18．（17分） Ⅰ甲每次解开密码的概率为， 乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响， 设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件， 概率，， 根据独立性性质知，， 解得，；（5分） 由知，，， 设“甲乙两人两次一共解开密码次的事件”， 则，与互斥，与，与分别相互独立， ， 甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为；（10分） Ⅱ由题知，， ， ，，，， 设“甲乙两人两次一共解开密码次的事件”， 则，与互斥，与，与分别相互独立， ， ， ，当且仅当时等号成立， ． 甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为． （17分） 19．（17分） 【解析】设中点的坐标为， 对于椭圆：上的点， 由“共轭点对”的定义， 可知直线的方程为，即：（4分） 联立直线和椭圆的方程， 得，解得或 所以直线和椭圆的两个交点的坐标为，．（7分） 设点，，则 两式相减得， 又，所以，所以， 即，线段被直线平分， 设点到直线的距离为， 则四边形的面积． 由，， 得． 设过点且与直线平行的直线的方程为， 则当与相切时，取得最大值． 由，消去得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与不可能相切， 即小于平行直线和或的距离， 故．（17分）   （17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.1 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C[D] 6[A][B][C][D] 40 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 解 4[A]B][C]D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9 [A][B][CD] 10 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) E C AE----- B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知命题：，，那么是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查含有量词的命题的否定形式：将量词“”与“”互换，结论同时否定． 将量词“”变为“”，结论否定即可． 【解答】 解：命题：，， ：，， 故选B． 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查集合运算，分式不等式，指数不等式求解，属于基础题． 【解答】 解：由题可知，， ， 故选B． 3.已知双曲线：，顶点到渐近线的距离为，则离心率(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：渐近线方程为，右顶点到渐近线的距离为： ， 得 解得，故因，舍去负根． 故选A． 4.一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列， 数据共个，中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为， 由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即， 得， 解得， 故选A． 5.已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为， 所以向量在向量上的投影向量为， 所以． 故选：． 6.某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C  【解析】解：法一：直接分两类计算： 第一类：选出的人为名工程师和名专家的选法为种； 第二类：选出的人为名工程师和名专家的选法为种， 根据分类加法计数原理得共有种选法． 法二：总共有名候选人，任选人的总选法为组合数种； 不符合“至少有一名工程师”的情况是“全选专家”，从名专家中选人的选法为种． 因此至少有一名工程师的选法为 种． 故选：． 法一：用分类加法计数原理计算可得．法二：按间接法：用总的选法数减去不符合的选法可得． 本题考查计数原理的应用，是中档题． 7.已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象和性质的综合运用，属于较难题目． 结合为的零点，为图象的对称轴，可得为正奇数，且，结合在上单调，可得的最大值． 【解答】 解：为的零点，为图象的对称轴， ，即，， 即，，即为正奇数， 在上单调，则， 即，解得：， 当时，，， ，， 此时在不单调，不满足题意； 当时，，， ，， 此时在单调，满足题意； 故的最大值为， 故选B． 8.牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值已知函数，则下列说法正确的是(    )切线的方程为；；；设，则． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入得到切点，进而求出切线方程判断，根据题中牛顿法定义得到的切线方程，再利用赋值法求解判断，举反例判断，利用给定定义得到，再结合得到，进而将表示为，再利用导数分析函数的性质得到的范围，最后证明结论正确判断即可． 【详解】对于，由题意得，， 则，故的切点为， 而，由导数的几何意义得的斜率为， 得到切线的方程为，化简得，故正确， 对于，在中，令，解得， 而，， 则的方程为，令，解得，故正确， 对于，当时，，， 不满足，故错误， 对于，由题意得在处的切线方程为， 而该方程必过，代入得到， 则，得到， 而， 可得， 由已知得，则单调递增， 而，，得到， 由零点存在性定理得存在作为零点， 随着操作次数的增加，与越来越接近，故， 则，得到， 即成立，故正确， 所以正确的说法有． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知，，是空间中的三个点，则(    ) A. 向量的模长为 B. 直线的一个方向向量为 C. 向量在向量方向上的投影向量为 D. 若，则，，，四点共面 【答案】BD  【解析】解：选项A，，其模长为，故A错误； 选项B，，与共线，是直线的方向向量，故B正确； 选项C，，则向量在方向上的投影向量为： ，故C错误； 选项D，由题意，， 则存在实数，，使得， 即，，，四点共面，故D正确． 故选：． 由向量模长公式可判定；由直线方向向量的定义可判定；由投影向量的概念可判定；由空间向量的共面定理可判定． 本题考查空间向量相关知识，属基础题． 10.已知数列满足，的前项和为，则(    ) A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前项和为 【答案】AD  【解析】解：对于，当时，可得，故A正确； 对于， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于，由可知，， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于，， 所以 ，故D正确． 故选：． 11.已知函数的定义域为，，，则(    ) A. B. C. 为偶函数 D. 的最大值为 【答案】BCD  【解析】解：选项A令，代入可得： ， 即，移项可得，所以不成立，选项A错误； 选项B将代换为，将代换为， 则，又，所以有， 当时，得，即， 当时，得，即，故B正确； 选项C令，则， 由，可得， 移项可得，即， 对于任意，要么，要么， 由可知，，则只能，所以是偶函数，选项C正确； 对于，因为，， 令，，代入可得：，即， 则和异号，且有一个一定能取到， 又，即两个正数的和等于，则一定有，故的最大值为，故D正确； 故选：． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数是纯虚数，则实数          ． 【答案】  【解析】解：因为复数是纯虚数， 所以，即 得． 故答案为：． 13.的展开式中含项的系数为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项式定理求解指定项的系数，为基础题． 【解答】 解：含项的系数为：，系数为． 14.已知正四棱锥的所有棱长都为，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为          ，的面积的最大值为          ． 【答案】   【解析】【分析】 本题主要考查四棱锥的截面问题，利用二次函数的性质求最值，余弦定理，三角形的面积公式，属于难题。 【解答】 解：方法一：的边数至多为，延长交于点，延长交于点，连接分别与交于，连接得截面五边形． 设，， ，， ，，， ，， ， 而，， ，显然五边形时截面面积最大， ，时取“”， 面积的最大值为． 方法二：取中点，，平面． 作平面与平行，如图至多为五边形． 令，，， ，， ，． ， 与的夹角为与夹角，而与垂直， ，， 时，取最大值． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形． 求的解析式，及为偶函数时的最小正实数； 求的值． 【答案】    【解析】解： ， 所以点的纵坐标为， 因为为等腰直角三角形， 所以， 所以的最小正周期， 因为， 所以，解得， 所以的解析式为， 所以， 由于函数为偶函数， 所以，， 即，， 故最小正实数为． 由图知，点是的中点， 所以． 根据三角恒等变换公式化简可得，结合函数图象，求得周期，进而得的值，再利用正余弦函数的奇偶性，求解即可； 结合平面向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可． 本题考查平面向量与三角函数的综合应用，熟练掌握三角恒等变换公式，正余弦函数的奇偶性，以及平面向量数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 16.本小题分 如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，为底面圆周上的点，且是正三角形，为母线上的一动点．    若平面，求的长； 若直线与平面所成角的正弦值为求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】解：取直径的中点，连接， 在底面圆所在平面内作，直线两两垂直， 以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴， 由都是正三角形，， 得， ， 令，则， 由平面，平面平面，平面， 所以， 因此，， 所以的长为； 由知， 设，则， ， 平面的法向量， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得， 整理得， 又，解得， 于是，而， 设平面的法向量， 则 令，得， 故平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17.本小题分 已知函数． 当时，求函数的单调区间求证：当时，． 【答案】解：当时，， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在上单调递增，在上单调递减． ． 因为，所以当时，，当时，， 所以， 下证：，即证：， 记，， 当时，，当时，， 所以，所以恒成立，即 所以当时，．  18.本小题分 随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件， Ⅰ已知概率，， (ⅰ)求，的值． (ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． Ⅱ若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 【答案】解：Ⅰ甲每次解开密码的概率为， 乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响， 设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件， 概率，， 根据独立性性质知，， 解得，； 由知，，， 设“甲乙两人两次一共解开密码次的事件”， 则，与互斥，与，与分别相互独立， ， 甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为； Ⅱ由题知，， ， ，，，， 设“甲乙两人两次一共解开密码次的事件”， 则，与互斥，与，与分别相互独立， ， ， ，当且仅当时等号成立， ． 甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为．  19.本小题分 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，记作已知椭圆：上一点． 求“共轭点对”中点所在直线的方程 设为坐标原点，点，在椭圆上，且，中的直线与椭圆交于两点，． 求点，的坐标； 设四点，，，在椭圆上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 【答案】解：设中点的坐标为， 对于椭圆：上的点， 由“共轭点对”的定义， 可知直线的方程为，即： 联立直线和椭圆的方程， 得，解得或 所以直线和椭圆的两个交点的坐标为，． 设点，，则 两式相减得， 又，所以，所以， 即，线段被直线平分， 设点到直线的距离为， 则四边形的面积． 由，， 得． 设过点且与直线平行的直线的方程为， 则当与相切时，取得最大值． 由，消去得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与不可能相切， 即小于平行直线和或的距离， 故．   1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $