精品解析：山西大同市煤矿第一中学校2025-2026学年度第二学期高一年级4月月考数学试题

2025-2026学年度第二学期高一年级月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一.单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知向量满足，则（   ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 8. 已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直 10. 的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. 是锐角三角形 C. 若，则外接圆半径为4 D. 的最大内角是最小内角的2倍 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，则 三.填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，） 12. 已知点，，若，则点的坐标为________． 13. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________． 14. 如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则__________． 四.解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量 （1）求; （2）若向量，试用表示； （3）若 求实数k的值. 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为．求的周长． 18. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一年级月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一.单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 2. 在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可. 【详解】如图，在平行四边形中，且， A：，故A正确； B：，故B正确； C：由，得，故C错误； D：，故D正确. 故选：C 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【详解】解：若， 则，即， 向量，， 则，解得 故选：C 4. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 5. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】由，得，而，， 由余弦定理得（米）. 故选：C 6. 已知向量满足，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到与的关系，再结合向量的数量积公式来求解. 【详解】已知，移项可得， 因为，所以， 对两边同时平方可得， 根据完全平方公式则， 又因为，，所以可化为， 由，移项可得，则， 根据向量的数量积公式，将，，代入可得：， 则.  故选：D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底，表示出向量，，再根据向量数量积的运算可得结果. 【详解】易知：，，且，. 由. 故选：C 8. 已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值. 【详解】可设，，， 则. 可设：，则 . 故选：B 【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些. 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量的模长公式可判断选项AB;利用向量夹角的计算可判断选项C;利用向量垂直的坐标表示可判断选项D. 【详解】对于A:因为，所以，故A正确. 对于B:因为，所以, 当时, ，故B错误. 对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误. 对于D:因为 所以, 令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确. 故选：AD. 10. 的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. 是锐角三角形 C. 若，则外接圆半径为4 D. 的最大内角是最小内角的2倍 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求出三边的比例关系，再结合正弦定理、余弦定理以及三角形外接圆半径公式等知识逐一分析选项. 【详解】设，，. 将这三个式子相加可得：，即. 用分别减去，，，可得： ，，. 所以.  根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得，故选项A正确.  因为最大，所以角最大. 根据余弦定理，将，，代入可得： ，所以角为锐角. 因为最大角为锐角，所以是锐角三角形，故选项B正确.  已知，由，可得，则. 由正弦定理，，可得. 所以，则，故选项C错误. 因为最小，所以角最小. . ，而，所以. 因为，是三角形内角，所以，故选项D正确.  故选：ABD. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦化简判断A；利用余弦定理推理判断B；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理得，即， 则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由，得，则是的最大内角， 又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确； 对于C，由，及余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，则，即，D错误. 故选：BC 三.填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，） 12. 已知点，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，求得的坐标，代入，即可求得点的坐标, 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 则， 又， 所以， 所以，则的坐标为. 故答案为：. 13. 已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义，利用投影向量的公式，可得答案. 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图，在中，点是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交射线于不同的两点．设，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由三点共线，可用两种方法表示向量，然后由平面向量基本定理可得答案. 【详解】如图，连接AO，因三点共线，且点是边上靠近的三等分点， 则. 又注意到三点共线， 则， 又，则， 则，由平面向量基本定理， 可得. 故答案为： 四.解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量 （1）求; （2）若向量，试用表示； （3）若 求实数k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可； （2）按照向量的坐标运算解方程即可； （3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. 【小问3详解】 由题意得． 因为， 所以， 解得. 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可求得角； （2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得. 【小问1详解】 由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； 【小问2详解】 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为．求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差角的正弦公式化简即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由，得， 则，整理得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由，得，即， 又，则，整理得， 因此，解得，所以的周长为. 18. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． 【小问2详解】 解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式与诱导公式化简，依题即得，求其模长即可； （2）利用伴随函数定义和题设条件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得； （3）利用降幂公式根据将方程化成，根据和余弦值的符号分段化简函数，作出其图象，将方程的根的情况化成函数与函数的图象在上的交点情况，结合图象易得. 【小问1详解】 因， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当或时，两者有四个交点. 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $