山西大同市第一中学校2025-2026学年高一下学期4月学情检测数学试卷

2025-2026-2 高一年级3月学情检测 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C C A B B A D BC ABD ACD 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为-1+2i，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　) A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1-2i 答案　C 解析　由题意知点A的坐标为(-1，2)， ∵A(-1，2)关于y轴的对称点为B(1，2)， ∴向量对应的复数为1+2i. 2.设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)且a⊥c，b∥c，则|a+b|等于(　　) A.5 B.2 C. D.10 答案　C 解析　因为向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)且a⊥c，b∥c， 所以2x-4=0⇒x=2，1×(-4)-2y=0⇒y=-2， 从而a+b=(2，1)+(1，-2)=(3，-1)， 因此|a+b|== 3．已知复数，则的虚部为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，则的虚部为. 4.已知a，b是两个不共线的向量，设=(a+5b)，=-2a+8b，=3(a-b)，则共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 答案　A 解析　∵=+=a+5b， ∴=，又∵，有公共点B， ∴A，B，D三点共线. 5.已知则tan等于(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 答案　B 解析　因为 所以⇒tan α=1- 所以tan=2-1. 6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔在其南偏东70°方向，在B处观察灯塔在其北偏东65°方向，那么B，C两点间的距离是(　　) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 答案　B 解析　根据已知条件可知，在△ABC中，AB=20 海里，∠BAC=30°，∠ABC=105°，所以C=45°，由正弦定理，得=， 所以BC==10(海里). 7.已知△ABC的三边长分别是，，，若a2+b2=c2，则△ABC的形状是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 答案　A 解析　由a2+b2=c2，可知c>a且c>b， 则在△ABC中，边所对的角为最大角，其余弦值为=， 又∵a2+b2=c2，∴(a+b)2=c2+2ab>c2， ∴a+b>c，故边对应的角为锐角. ∴△ABC为锐角三角形. 8.如图所示，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(+·的最小值是(　　) A.2 B.0 C.-1 D.-2 答案　D 解析　由平行四边形法则得+=2，故(+·=2·，||=2-||，且，方向相反，设||=t(0≤t≤2)，则(+·=2·=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].因为0≤t≤2，所以当t=1时，(+·取得最小值，最小值为-2. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知集合M={m|m=in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　) A.(1-i)(1+i) B. C. D.(1-i)2 答案　BC 解析　根据题意，M={m|m=in，n∈N*}， 当n=4k(k∈N*)时，in=1； 当n=4k+1(k∈N)时，in=i； 当n=4k+2(k∈N)时，in=-1； 当n=4k+3(k∈N)时，in=-i， ∴M={-1，1，i，-i}. 选项A中，(1-i)(1+i)=2∉M； 选项B中，==-i∈M； 选项C中，==i∈M； 选项D中，(1-i)2=-2i∉M. 10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A.若A>B，则sin A>sin B B.若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解 C.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2<c2 D.若A=60°，a=2，则△ABC面积的最大值为 答案　ABD 解析　对于A选项，若A>B，则a>b，由正弦定理可得=，所以sin A>sin B，故A正确； 对于B选项，bsin A=4sin 30°=2，则bsin A<a<b，所以△ABC有两解，故B正确； 对于C选项，当△ABC为钝角三角形，且C为钝角时，cos C=<0，可得a2+b2<c2，若C不为钝角，则得不到a2+b2<c2，故C错误； 对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得4=a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时，等号成立，所以S△ABC=bcsin A=bc≤，故D正确. 11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　) A.若=+，则点M是△ABC的重心 B.若=2-，则点M在边BC的延长线上 C.若2=x+y，且x+y=1，则△MBC的面积是△ABC面积的 D.已知平面向量，满足·=·，=λ，且点M与点A不重合，则△ABC为等腰三角形 答案　ACD 解析　对于A，如图，设BC的中点为D，若=+=+=×2=，则点M是△ABC的重心，故A正确； 对于B，若=2-，即有-=-，即=，则点M在边CB的延长线上，故B错误； 对于C，如图，若2=x+y，且x+y=1， 由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故C正确； 对于D，因为·=·，所以·=·， 即·=·， 所以·cos∠BAM =cos∠CAM， 因为=λ，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM=∠CAM， 所以cos∠BAM=cos∠CAM， 所以||=||，所以△ABC为等腰三角形， 故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.如果1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，其中i是虚数单位，则pq=　　　　. 答案　-10 解析　因为1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根， 所以(1-2i)2+p(1-2i)+q=0， 即p+q-3-(2p+4)i=0， 所以解得 所以pq=-10. 13.已知向量a，b满足|b|=5，|a+b|=4，|a-b|=6，则向量a在向量b上的投影向量为　　　　. 答案　-b 解析　由题意可得(a+b)2=16，(a-b)2=36， 即a2+b2+2a·b=16，a2+b2-2a·b=36， 两式相减可得a·b=-5，又|b|=5， 得|a|cos〈a，b〉=-1， 则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·=-1×b=-b. 14.已知函数f(x)=|2x-2|,若f(a)=f(b)(a≠b),则a+b的取值范围是　　　　.  4.(－∞，2)　[画出函数f(x)的大致图象，不妨设a<b，如图所示. 由图象可知，a<1，b>1， ∴2b－2＝－(2a－2)， ∴2a＋2b＝4， 又∵2a＋2b>2＝2， ∴2<4，解得a＋b<2， ∴a＋b的取值范围是(－∞，2). 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知m∈R，复数z=(m-2)+(m2-9)i. (1)若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围； (2)若z的共轭复数与复数+5i相等，求m的值. 解　(1)由题意得解得m>3， 所以m的取值范围是{m|m>3}. (2)因为z=(m-2)+(m2-9)i， 所以=(m-2)+(9-m2)i， 因为与复数+5i相等， 所以解得m=-2. 16.(15分)已知-<x<sin x+cos x=. (1)求的值 (2)求sin x-cos x的值. 解　(1)∵sin x+cos x= ∴1+2sin xcos x=即sin xcos x=- ∴ ==sin xcos x=-. (2)由(1)知sin xcos x=-<0，又-<x< ∴cos x>0，sin x<0， ∴sin x-cos x=- =-=-. 17.(15分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3+，求c边长。 解　(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C， 因为a2+b2-c2=ab， 所以cos C=， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C===， 又因为sin C=cos B， 即cos B=， 又B∈(0，π)，所以B=. (2)由(1)可得B=，cos C=，C∈(0，π)， 从而C=，sin A=sin(B+C)=sin =×+×=. 方法一　由正弦定理有=， 从而b=·c=c， 由三角形面积公式可知， △ABC的面积可表示为S△ABC=bc·sin A =·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+， 可得c2=3+，所以c=2. 方法二　记R为△ABC外接圆的半径， 由正弦定理得 S△ABC=ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C =2R2··· =·R2=3+. 所以R=2. 所以c=2R·sin C=2×2×=2. 18.(17分)已知向量a=，b=，x∈. (1)求a·b及|a+b|； (2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-，求λ的值 解　(1)a·b=cos cos -sin sin =cos 2x， |a+b|= = ==2， 因为x∈，所以cos x≥0， 所以|a+b|=2cos x. (2)由(1)可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x， 即f(x)=2cos2x-1-4λcos x =2(cos x-λ)2-1-2λ2. 因为x∈，所以0≤cos x≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x=0时， f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾； ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2， 由已知得-1-2λ2=-，解得λ=； ③当λ>1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值1-4λ， 由已知得1-4λ=-，解得λ=，这与λ>1相矛盾. 综上所述，λ=. 19.(17分)如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且=3. 过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）. (1)用,分别表示; (2)如果=，=，求λ+3μ的最小值. 解　(1)由=， 可得=+. (2) =+=+ 由D，E，F共线，可知 由柯西不等式， 所以的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026-2高一年级4月学情检测 数学试卷 (满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题（本题共8小题，年小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.在复平面内，0为原点，向量OA对应的复数为1+2i,若点A关于y轴的对称点为B, 则向量0B对应的复数为(，) A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1-2i 2.设x,y∈R,向量a=(x,1),b-(1,),c=(2,4)且a⊥c,b∥c,则la+b1等于 A.5 B.2V5 C.10 D.10 3.已知复数z=i(3+),则，的虚部为· A.3 B.3i C.-3 D.-3i 4.已知a,b是两个不共线的向量，设A-a+5b,C-2a+8b,c⑦=3a-b,则共线的三 点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 5.己知cosu2=V3,则tan(a+)等于( cosa-sina A.2V3+1 B.23-1 C D.1-V3 2 6.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后 到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔在其南偏东70°方向，在B处观察灯 塔在其北偏东65°方向，那么B,C两点间的距离是() A.10W5海里 B.10W2海里 C.20V3海里 D.20W2海里 7.已知△ABC的三边长分别是Va,Vb,Vc,若a24b2=c2,则△ABC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D以上都有可能 高一数学第1页共4页 心之4出本)暖答演，四 8如图所示，半圆的直径AB=4,O为圆心，C是半圆上不同于4，B的任 意一点，若P为半径OC上的动点，则P+PBPC的最小值是(，) A.2 B.0 C.-1 D.-2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个 中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知集合M=(mm=in,n∈N,其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( A.(1-i01+i) B 1+ c D.(1-i2 10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB 。em:西（位2a B.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 套4( C.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2<c2 50-水(5 D.若A=60°，a=2,则△ABC面积的最大值为V3 11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是( A若AMAB+AC,则点M是△ABC的重心 B.若AM=2ABAC,则点M在边BC的延长线上 C.若2AM=xAE+yAC,且x+y-1,则△MBC的面积是△ABC面积的 .已知平面向量满足MM=MMC,丽-（隔+需），且点M与点A不重全 △ABC为等腰三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在题中的横线上） 12.如果1-2i是关于x的实系数方程2+pr+g0的一个根，其中i是虚数单位，则 pq=_ 13.己知向量a,b满足b-5,a+4,a-b外6，则向量a在向量b上的投影向量为 14.已知函数x)=2x-2,若a=bab),则a+b的取值范围是 高一数学第2页共4页 四、解答题（本题共5小题，共7分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(13分)已知m∈R,复数m-2)+(m2-9)i. ()若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围： (2)若z的共轭复数z与复数+5i相等，求m的值 16,(15分)已知受r受，simx+cosx号 ()求cox+sin2的值 1+tanx (2)求sinx-cosx的值. 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC-V2cosB,a2+b2-c2=v2ab (1)求B: (2)若△ABC的面积为3+V3,求c边长。 高一数学第3页共4页 187分已知向量a-(eos当，s如》(os手，-sn引x∈p.引 (1)求ab及1a+bl: (2)若x)ab-21a+b的最小值是多求的值 指的 19.(17分)如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且D=3DC.过D点的直线EF与 直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E,F两点不重合)· (1)用AB,AC分别表示AD: (2)如果AE-AB,AF=uAC,求+3u的最小值. E 08 2y8 口数0.年 寻出的 订.怎 高一数学第4页共4页