第5章 分式能力提升自测卷-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

**基本信息** 第5章分式单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合非遗、科技等真实情境，适配初中分式单元知识检测与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|12/36|分式概念、通分、性质|表格信息判断分式（第4题），考查抽象能力| |填空|4/12|分式值为0、方程求解|机器人分拣效率问题（第15题），体现数据意识| |解答|8/72|化简、方程应用、创新定义|非遗糖画行程问题（第7题）、友好分式定义（第23题），培养模型观念与创新意识|

第5章 分式能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1. 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在代数式：中，分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 3．分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … … … 无意义 * * * … A． B． C． D． 5．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来倍 C．不变 D．扩大到原来的9倍 6．解分式方程时，下列去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．两位糖画非遗传承人各带领一支小队，前往民俗市集的糖画展演区开展非遗展示．两队同时从市集入口出发，沿总长的市集通道行进，途中需携带铜勺、石板、麦芽糖等糖画工具．第一小队的行进速度是第二小队的倍，因工具整理更便捷，比第二小队早抵达展演摊位．两个小队的行进速度各是多少？设第二小队的速度为，第一小队的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．若分式方程无解，则a的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 10．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．计算的结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若分式的值为0，则实数x的值为______． 14．方程的解为_________． 15．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 16．若实数a，b同时满足，，则的值为__________． 3． 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）化简：； （2）解方程：． 18．（8分）先化简，再从，，1，2中选一个合适的数代入并求值． 19．（8分）某工厂现在比原计划平均每天多生产机器台，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需的时间相同，问现在平均每天生产机器多少台？ 20．（8分）学校体育组制作实心球，有甲、乙两种材质可选．已知甲材质的密度比乙材质的密度大，质量为的甲材质实心球与质量为的乙材质实心球体积相同．求甲、乙两种材质的密度分别是多少？(已知 是密度，m是质量，V是体积)， 依依和洛洛给出了不同的方法： 依依： 解：设乙材质的密度是，则甲材质的密度是． 由题意得： 洛洛： 由题意得： (1)洛洛解法中的“y”表示的是__________________． (2)选择其中一种方法，解决问题． (3)若要制作一个质量为的实心球，采用甲、乙两种材质按体积比为混合制作，则需要甲材质 ______ ，乙种材质 ______ ． 21．（10分）八年级学生前往距学校的博物馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍，求大巴的平均速度． 22．（10分）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 23．（10分）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 24．（10分）【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1. 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在代数式：中，分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，需根据“分母中含有字母的式子是分式”这一概念，逐一判断每个代数式是否为分式． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的式子. ∴的分母是常数2，属于整式； 不含字母的分母，属于整式； 的分母含有字母，是分式； 的分母含有字母，是分式； 综上，分式有2个， 故选：C． 2．如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简公分母的确定.将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 第一个分母：， 第二个分母：， ∴最简公分母是. 故选：C. 3．分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质对分式进行变形是解题的关键． 先利用分式的基本性质对原式变形，然后与选项对比即可解答． 【详解】解：∵ ∴． 故选A． 4．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … … … 无意义 * * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为0的条件． 根据分式有意义的条件排除C、D，根据分式值为0的条件排除A即可． 【详解】解：∵当时，y无意义， ∴分母在时为0， C、D：分母，当时，，不符合； 当时，， A：分子，当时，，不符合； B：分子，当时，，且分母，符合； 故选：B． 5．如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来倍 C．不变 D．扩大到原来的9倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 将x和y同时扩大3倍后代入分式，化简后与原分式比较即可解答． 【详解】解：将原分式中的x和y分别替换为和可得新分式为 ，即新分式是原分式的3倍， 所以分式的值扩大到原来的3倍． 故选A． 6．解分式方程时，下列去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解法，通过找公分母去分母化为整式方程．注意分母 与 互为相反数，需先变形． 【详解】解：∵， 又， ∴， 即 ， ∴ ， 两边同乘 ，得 ． 故选：D． 7．两位糖画非遗传承人各带领一支小队，前往民俗市集的糖画展演区开展非遗展示．两队同时从市集入口出发，沿总长的市集通道行进，途中需携带铜勺、石板、麦芽糖等糖画工具．第一小队的行进速度是第二小队的倍，因工具整理更便捷，比第二小队早抵达展演摊位．两个小队的行进速度各是多少？设第二小队的速度为，第一小队的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程． 根据时间等于距离除以速度，第二小队的时间为分钟，第一小队的时间为分钟，第一小队比第二小队早到2分钟，即第二小队的时间比第一小队多2分钟，即可列出方程． 【详解】解：设第二小队的速度为，第一小队的速度为， ∵时间=距离÷速度， ∴第二小队的时间为分钟，第一小队的时间为分钟． ∵第一小队比第二小队早到2分钟， ∴第二小队的时间-第一小队的时间分钟， 即． 故选：A． 8．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 9．若分式方程无解，则a的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分式方程无解说明方程的解为无解，无解使原分式分母为0，先去分母将分式方程化为整式方程，再将无解代入整式方程即可求出a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， 整理得， ∵ 分式方程无解， ∴ 原方程分母为， 解得， 把代入，得 ， 解得． 10．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解： 是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 11．计算的结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 14．方程的解为_________． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得， 检验：将代入（中，， 是分式方程的解． 15．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 【答案】400 【分析】设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹，根据时间差关系列分式方程求解，最后检验方程的解即可. 【详解】解：设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹． 根据题意，得 去分母，得 合并同类项，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 16．若实数a，b同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先通过加减消元法求出和的值，再将分式通分，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ； ， ， ； ∵， 将、代入： ． 3． 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的加法运算，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再根据同分母分式加法法则计算，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得：， 去括号，得：， 解得； 经检验，是原方程的解． 原分式方程的解为． 18．（8分）先化简，再从，，1，2中选一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法变成乘法，再化简，得，结合分母不为0进行分析，把代入，得，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴， ∴当时，原式． 19．（8分）某工厂现在比原计划平均每天多生产机器台，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需的时间相同，问现在平均每天生产机器多少台？ 【答案】台 【分析】结合题意信息，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划每天生产台， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：现在平均每天生产240台机器． 20．（8分）学校体育组制作实心球，有甲、乙两种材质可选．已知甲材质的密度比乙材质的密度大，质量为的甲材质实心球与质量为的乙材质实心球体积相同．求甲、乙两种材质的密度分别是多少？(已知 是密度，m是质量，V是体积)， 依依和洛洛给出了不同的方法： 依依： 解：设乙材质的密度是，则甲材质的密度是． 由题意得： 洛洛： 由题意得： (1)洛洛解法中的“y”表示的是__________________． (2)选择其中一种方法，解决问题． (3)若要制作一个质量为的实心球，采用甲、乙两种材质按体积比为混合制作，则需要甲材质 ______ ，乙种材质 ______ ． 【答案】(1)甲（或乙）材质实心球体积 (2)见解析 (3)720；1080 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）根据题意可得洛洛解法中的“y”表示的是甲（或乙）材质实心球体积； （2）根据分式方程的解法计算即可； （3）设需要甲材质，则乙种材质，根据题意得，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：洛洛解法中的“y”表示的是甲（或乙）材质实心球体积； 故答案为：甲（或乙）材质实心球体积 （2）解：依依： 解：设乙材质的密度是，则甲材质的密度是． 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：乙材质的密度是，则甲材质的密度是； 洛洛： 设甲（或乙）材质实心球体积为， 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：乙材质的密度是，则甲材质的密度是； （3）解：设需要甲材质，则乙种材质， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 此时 答：需要甲材质，则乙种材质． 故答案为：720；1080 21．（10分）八年级学生前往距学校的博物馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍，求大巴的平均速度． 【答案】大巴的平均速度是 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设大巴的平均速度是，则中巴的平均速度是，根据中巴用的时间比大巴少，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大巴的平均速度是，则中巴的平均速度是，根据题意得： 解得： 经检验时，是原方程的根， 答：大巴的平均速度是． 22．（10分）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 23．（10分）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】(1)是 (2)①；② 1​, 3​ 或 4​ 【分析】分析 ​​（1）计算 和 ​，判断是否相等． ​​（2）​​​①​ 设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②​ 令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【详解】（1）解：设． ， ， 故​ 是的“友好分式”， 故答案为： ​是； （2）​​​①​分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 24．（10分）【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 【答案】（1）①：第一组平均攀登速度为第二组为；②：第二组的平均攀登速度为 ；（2）第二组先到达顶峰 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式的混合运算： （1）①通过设未知数列方程求解；②通过时间差公式推导； （2）通过计算总时间并比较大小判断 【详解】解：（1）①设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 即 解得 答：第一组平均攀登速度为，第二组为 ②设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 解得 所以第二组的平均攀登速度为 解：（2）第一组总时间 第二组总时间 ∵ ， ∴，且, ,， ∴，即 ∴第二组先到达顶峰 答：第二组先到达顶峰 1 学科网（北京）股份有限公司 $