第01讲 因式分解（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦初中数学因式分解核心知识点，从定义切入明确与整式乘法的互逆关系，通过公因式的确定搭建基础，系统梳理提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的步骤，最终实现两种方法的综合运用，形成从概念到方法再到综合应用的学习支架。 该资料以题型驱动学习，典例与变式结合，如判断因式分解变形、已知分解结果求参数、多步骤分解多项式等，培养学生抽象能力、运算能力和推理意识。课中辅助教师突出重点突破难点，课后练习题帮助学生规范分解步骤，查漏补缺，提升因式分解的准确性与彻底性。

第01讲 因式分解 考点1：因式分解的定义 考点2：公因式 考点3：提公因式公式法 考点4：公式法 考点5：提公因式与公式法综合 重点：掌握提公因式法和公式法进行因式分解。 难点：准确判断公因式、灵活选用公式，分解彻底且规范。 1.理解因式分解的概念，明确与整式乘法的互逆关系。 2.掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的基本步骤。 3.能正确、规范地对多项式进行因式分解，培养运算能力。 知识点1 因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 【题型1 判断是不是因式分解】 【典例1】下列从左到右的变形，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、右边为，是多项式，不是积的形式； B、右边为，是差的形式，不是积的形式； C、右边为，是积的形式，等式也成立，因此是分解因式的变形． D、右边为，是平方差形式，不是积的形式； 故选：C． 【变式1】下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、是因式分解，故此选项符合题意； C、，结果不是积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，结果含有分式，不是整式，因此不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列等式中，由左边到右边的变形，因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式积的形式，解题的关键是掌握因式分解的定义，需确保右边仅为整式乘积．根据因式分解的定义逐项分析各选项即可解答． 【详解】解：因式分解需满足左边为多项式，右边为整式积的形式， 、，左边为多项式，右边为整式积的形式，符合因式分解的定义； 、，是乘法运算，不符合因式分解的定义； 、，右边含加法运算，不符合因式分解的定义； 、，是乘法运算，不符合因式分解的定义； 故选：． 【变式3】下列等式中，从左边到右边变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解是将多项式化为整式乘积的形式是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．右边是不是整式乘积，不是因式分解，不符合题意； C．右边是不是整式乘积，不是因式分解，不符合题意； D．右边是是整式乘积，且左边，是因式分解，符合题意． 故选D． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【典例3】若，则________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解和多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出与的值，即可求出所求． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知，多项式可因式分解为，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与分解因式之间的关系，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵，多项式可因式分解为， ∴， ∴，即， 故答案为：1． 【变式2】已知多项式可分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式法则，因式分解，掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．因式分解的实质是整式乘法的逆过程． 根据整式乘法法则进行计算，根据常数项为a，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】若关于的二次三项式含有因式，则实数的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的意义．根据多项式乘法的法则，中与4相乘可得到，则可知：含有因式和，据此可得的值． 【详解】解：， 所以的数值是． 故答案为：． 知识点02 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型3 公因式】 【典例3】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：A． 【变式1】在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．根据公因式的定义即可得答案． 【详解】解：∵每一项都含有字母，且的最低次数为， ∴各项的公因式是． 故选：D． 【变式2】多项式中各项的最大公因式是______． 【答案】 【分析】根据公因式中系数是各系数的最大公约数，相同字母的最低次幂的积，解答即可． 本题考查了提取公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：多项式中各项的公因式是． 故答案为：． 【变式3】、、的公因式是_____________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求公因式，公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂组成的式子，据此求解即可． 【详解】解：、、的公因式是， 故答案为：． 知识点3 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【题型4 提公因式】 【典例4】分解因式： ____________． 【答案】 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式进行分解． 【详解】原式 ． 【变式1】因式分解：________． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式2】下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用提取公因式法对原式分解因式，根据分解结果得到原式的因数，即可选出不能整除原式的选项． 【详解】解：， 因此不能被整除， 故选：D． 【变式3】用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点4 公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【颗型5 平方差公式分解因式】 【典例5】分解因式：___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，平方差公式分解因式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提公因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 【变式2】下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式因式分解的应用，需明确平方差公式的形式为，即需是两个平方项的差的形式．据此进行解答即可． 【详解】解：∵平方差公式因式分解的式子需满足两个平方项相减的形式 ∴A选项是平方项与常数的和，不符合要求． B选项是完全平方式，为三项式，不符合平方差公式的两项形式． C选项，符合两个平方项相减的形式，可用平方差公式因式分解． D选项可提取公因式，不符合平方差公式形式． 故答案为：C 【变式3】把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，掌握用公式分解，分解后合并同类项并检查是否能继续分解是解题的关键． （1）观察式子为平方差形式，将看作，看作，直接用平方差公式分解； （2）将和看作平方项，用平方差公式分解后合并括号内的同类项； （3）将和看作平方项，用平方差公式分解后化简，再提取公因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型6 完全平方公式分解因式】 【典例6】把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解． 先处理符号，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式2】把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式3】若能用完全平方公式分解因式，则_________． 【答案】或 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，根据完全平方公式的结构特征，令二次三项式匹配完全平方式，得到的值，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵能用完全平方公式分解因式，且，， ∴应为， ∴， ∴或， 故答案为：或． 知识点5 提公因式与公式法结合 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 【典例7】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先处理符号，再由完全平方公式进行分解； （2）先提取公因式，再由完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． ． 【变式1】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先提取公因式x，再用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】把下列多项式因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再检查是否能继续分解． （2）先提取公因式，再对剩余部分化简，检查是否能继续分解，发现可用平方差公式继续分解． 【详解】（1）； （2） ． 【变式3】分解因式； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 1．下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 2．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用平方差公式进行分解因式，根据公式为进行分解因式，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 3．把多项式因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用完全平方公式法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． 该多项式为二次三项式，可通过完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选B． 4．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 【答案】B 【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， ∴分解后的因子为8，，，， 对应汉字为：利、津、爱、我， 组合后为“我爱利津”， 故选：B． 5．已知一个长方形的长和宽分别为m和n，满足 ，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．通过因式分解，将所求表达式转化为已知条件的乘积． 【详解】解：，， ． 故选：B． 6．因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 7．已知，，则计算的结果为_________． 【答案】6 【分析】利用平方差公式将所求代数式因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 8．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的计算和整体代入法．化简代数式，然后将条件式整体代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为：． 9．多项式分解因式的结果为，则原多项式中“▲”处所缺的项为_________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的互逆关系知识点，掌握将因式分解结果展开并与原式对比的方法是解题的关键． 将分解因式的结果展开，再与原多项式对比，确定对应项，从而求出▲处的项． 【详解】解：， 与原多项式 比较，可得：． 故答案为：． 10．如果多项式因式分解后有一个因式为，则＝_______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、二项式乘二项式的展开、解二元一次方程组，掌握二项式乘二项式的展开技巧是解题关键．根据题意，由于多项式有一个因式，可设另一个因式，通过比较系数求解即可． 【详解】设另一个因式为 ，则 ， 展开得 ， 比较系数，得 ，， 解得 ，， 代入 项系数，得，即 ， 解得 ． 故答案为：． 11．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式法进行因式分解即可； （2）综合提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 12．请你仔细观察以下等式，并运用你发现的规律完成下列问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)（______）； (2)（______）； (3)将因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照已知等式归纳总结得出的规律，写出结果即可； （2）根据（1）中得到的规律，右侧括号内最高次项为，对应左侧最高次项为，据此求解即可； （3）根据（1）中得到的规律对进行因式分解，再结合平方差公式对进行因式分解，然后对比两式即可． 【详解】（1）解：观察可知，， 则． 答：． （2）解：根据（1）中得出的规律可知：． 答：． （3）解：根据（1）中得出的规律可知：， ∵， ∴． 答：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 因式分解 考点1：因式分解的定义 考点2：公因式 考点3：提公因式公式法 考点4：公式法 考点5：提公因式与公式法综合 重点：掌握提公因式法和公式法进行因式分解。 难点：准确判断公因式、灵活选用公式，分解彻底且规范。 1.理解因式分解的概念，明确与整式乘法的互逆关系。 2.掌握提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的基本步骤。 3.能正确、规范地对多项式进行因式分解，培养运算能力。 知识点1 因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 【题型1 判断是不是因式分解】 【典例1】下列从左到右的变形，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列等式中，由左边到右边的变形，因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列等式中，从左边到右边变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【典例3】若，则________． 【变式1】已知，多项式可因式分解为，则的值为______． 【变式2】已知多项式可分解为，则的值为______． 【变式3】若关于的二次三项式含有因式，则实数的值是______． 知识点02 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型3 公因式】 【典例3】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】多项式中各项的最大公因式是______． 【变式3】、、的公因式是_____________． 知识点3 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【题型4 提公因式】 【典例4】分解因式： ____________． 【变式1】因式分解：________． 【变式2】下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 知识点4 公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【颗型5 平方差公式分解因式】 【典例5】分解因式：___________． 【变式1】分解因式：． 【变式2】下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【题型6 完全平方公式分解因式】 【典例6】把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【变式1】因式分解：______． 【变式2】把多项式分解因式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若能用完全平方公式分解因式，则_________． 知识点5 提公因式与公式法结合 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 【典例7】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【变式1】因式分解： (1)； (2)． 【变式2】把下列多项式因式分解： (1)； (2) 【变式3】分解因式； (1) (2) 1．下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 3．把多项式因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 5．已知一个长方形的长和宽分别为m和n，满足 ，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．因式分解：______． 7．已知，，则计算的结果为_________． 8．若，则的值为______． 9．多项式分解因式的结果为，则原多项式中“▲”处所缺的项为_________． 10．如果多项式因式分解后有一个因式为，则＝_______． 11．因式分解： (1)； (2)． 12．请你仔细观察以下等式，并运用你发现的规律完成下列问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)（______）； (2)（______）； (3)将因式分解． 学科网（北京）股份有限公司 $