专题09 二次函数（10大考点）（四川专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题08 二次函数 10大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点06二次函数中定值问题 考点02二次函数的系数符号与图象综合 考点07二次函数中线段的存在性问题 考点03二次函数与其它函数综合 考点08二次函数中特殊三角形的存在性问题 考点04二次函数的实际应用 考点09二次函数中特殊四边形的存在性问题 考点05二次函数与角度问题综合 考点10二次函数中线段的最值问题 二次函数的图象与性质 考点01 1．（2026·四川泸州·一模）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．函数的最大值是7 C．抛物线开口向上 D．顶点的坐标为 2．（2026·四川泸州·一模）对于抛物线，下列说法正确的是() A．可由抛物线向左平移个单位长度得到 B．顶点坐标是 C．与轴无交点 D．当时，随的增大而增大 3．（2026·四川泸州·一模）已知抛物线，对任意的自变量x都有，若该抛物线过点，，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川绵阳·一模）下列关于二次函数及其图象描述错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为， C．当时，取最大值4 D．当时，随的增大而增大 5．（2026·四川泸州·一模）若抛物线与x轴只有一个交点，则a的值为______． 6．（2026·四川内江·一模）点在二次函数的图象上，若，，则_____．(填“>”，“=”或“<”)． 7．（2026·四川·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 8．（2026·四川泸州·一模）已知抛物线． (1)利用配方法把抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点A的坐标； (2)求抛物线与x轴的交点B、C的坐标，并写出时x的取值范围． 二次函数的系数符号与图象综合 考点02 1．（2026·四川成都·一模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法错误的是（   ） A． B．函数的最小值是 C．当时，随的增大而增大 D．和3是方程的两个根 2．（2026·四川·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（为任意实数），③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 4．（2026·四川巴中·一模）如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·四川绵阳·一模）已知y关于x的二次函数，下列结论中：①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点；③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 6．（2026·四川绵阳·一模）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·四川绵阳·一模）抛物线交x轴于点．下列结论：①；②；③当时，无论m取何值都有；④若时，抛物线交y轴于点C，且是等腰三角形，或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点且，，则；则其中正确的是（  ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2026·四川泸州·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·四川绵阳·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法： ； ； ； （为任意实数）；若图象上存在点和点，当时，满足后，则的取值范围为．其中正确的个数是（    ）    A． B． C． D． 10．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号） 二次函数与其它函数综合 考点03 1．（2026·四川绵阳·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川德阳·一模）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二次函数的实际应用 考点04 1．（2026·四川泸州·一模）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ (3)每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 3．（2026·四川绵阳·一模）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2      3      4 竖直高度 0                          根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 4．（2026·四川南充·一模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． (1)任务一：建立函数模型 求y与x的函数表达式及自变量的取值范围； (2)任务二：设计销售方案 设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润． 5．（2026·四川广元·一模）材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 6．（2026·四川成都·一模）如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． (1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． (2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) (3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 7．（2026·四川德阳·一模）材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ (2)求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 8．（2026·四川成都·一模）项目式学习∶ 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1． 由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2． 汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速x（） 0 5 10 15 20 25 刹车距离y（） 0 6.5 17 31.5 50 72.5 【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y(单位：)为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的y关于x的函数表达式． 【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 【任务三】 研发中心生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围． 二次函数与角度问题综合 考点05 1．（2026·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线与x轴交于点M，直线与直线交于点N，当点N在第一象限，且时，______． 2．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若 ，求点的坐标． 二次函数中定值问题 考点06 1．（2026·四川绵阳·一模）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 2．（2026·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 3．（2026·四川·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点A作交抛物线于点P，点Q是第三象限内抛物线上的点，连接交于点H，连接，当时，求点Q的坐标； (3)如图2，作直线，分别交y轴正负半轴于点M、N，交抛物线于点P、Q，设点M、N的纵坐标分别为m，n，且，那么直线是否经过定点？如果是，求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由． 4．（2026·四川南充·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求证：； (3)如图2，若动直线与抛物线交于M、N两点（直线与BC不重合），连接、，直线与交于点．当时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由． 二次函数中线段的存在性问题 考点07 1．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点．对称轴为直线的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为点，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 1．（2026·四川德阳·一模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．二次函数中特殊三角形的存在性问题 考点08 (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·四川泸州·一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·四川内江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD 轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大?并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2021·四川南充·）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026·四川绵阳·一模）已知：抛物线y（x+k）（x﹣7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OB＝OC． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG＝3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC＝45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标． 6．（2026·四川达州·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线上，在点E移动的过程中，当是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标． 7．（2025·四川自贡·一模）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．     (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 1．（2026·四川内江·一模）如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点．二次函数中特殊四边形的存在性问题 考点09 (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标； (3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由． 2．（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 3．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 二次函数中线段的最值问题 考点10 1．（2026·四川广元·一模）已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（2026·四川广元·一模）如图1，抛物线 过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求 的最大值． (3)设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ． 3．（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 4．（2026·四川德阳·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点． (1)求二次函数的解析式； (2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值． 5．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点． (1)当时，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若点位于直线下方的抛物线上，线段与交于点，当最大时，求点的坐标； (3)点坐标为，点坐标为，连接，若抛物线与线段有交点，求的取值范围． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数 10大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点06二次函数中定值问题 考点02二次函数的系数符号与图象综合 考点07二次函数中线段的存在性问题 考点03二次函数与其它函数综合 考点08二次函数中特殊三角形的存在性问题 考点04二次函数的实际应用 考点09二次函数中特殊四边形的存在性问题 考点05二次函数与角度问题综合 考点10二次函数中线段的最值问题 二次函数的图象与性质 考点01 1．（2026·四川泸州·一模）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．函数的最大值是7 C．抛物线开口向上 D．顶点的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 根据二次函数顶点式的性质分析即可． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下，函数的最大值是，顶点的坐标为， ∴只有D正确． 故选D． 2．（2026·四川泸州·一模）对于抛物线，下列说法正确的是() A．可由抛物线向左平移个单位长度得到 B．顶点坐标是 C．与轴无交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线顶点式性质，分析顶点坐标、开口方向、平移关系及与x轴交点情况． 【详解】解：∵抛物线为， ∴顶点坐标为，，开口向上． 对于A：向左平移个单位得，与给定抛物线不符，∴A错误． 对于B：顶点为，不是，∴B错误． 对于C：令，得，，方程有两个实数根，∴与x轴有交点，C错误． 对于D：∵开口向上，对称轴，∴当时，随的增大而增大，∴D正确． 故选：D． 3．（2026·四川泸州·一模）已知抛物线，对任意的自变量x都有，若该抛物线过点，，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知是抛物线的对称轴，且抛物线开口向上，开口向上时函数值越小说明点到对称轴的距离越小，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵对任意的自变量x都有， 即， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵该抛物线过点，，且， ∴， 解得． 4．（2026·四川绵阳·一模）下列关于二次函数及其图象描述错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为， C．当时，取最大值4 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】根据二次项系数小于0可判断A；求出时x的值可判断B；把解析式化为顶点式可判断C；求出对称轴结合增减性可判断D． 【详解】解：A、∵二次项系数， ∴抛物线的开口向下，原说法正确，不符合题意； B、当时，，解得或， ∴抛物线与轴交点坐标为，，原说法正确，不符合题意； C、∵，且抛物线的开口向下， ∴当时，取最大值4，原说法正确，不符合题意； D、∵， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线的开口向下， ∴当时，随的增大而减小，原说法错误，符合题意． 5．（2026·四川泸州·一模）若抛物线与x轴只有一个交点，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点．根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解． 【详解】解：由题意得：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 6．（2026·四川内江·一模）点在二次函数的图象上，若，，则_____．(填“>”，“=”或“<”)． 【答案】 【分析】化二次函数一般式为顶点式，找到对称轴，根据对称轴的性质，可判断． 【详解】解：二次函数化为， 对称轴为直线， 由，，知较离对称轴近， 且开口向下，只有最大值，即离对称轴越近，值越大， 所以． 本题的答案是：> 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称轴，熟记性质并求出二次函数的对称轴是解题的关键． 7．（2024·四川·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 8．（2026·四川泸州·一模）已知抛物线． (1)利用配方法把抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点A的坐标； (2)求抛物线与x轴的交点B、C的坐标，并写出时x的取值范围． 【答案】(1)，顶点A坐标为； (2)抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为；或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把一般式化为顶点式，即可得出顶点A坐标； （2）当时，，解得，，运用二次函数的图象性质，即可得出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点A坐标为； （2）解：依题意，当时，， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为； ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或． 二次函数的系数符号与图象综合 考点02 1．（2026·四川成都·一模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法错误的是（   ） A． B．函数的最小值是 C．当时，随的增大而增大 D．和3是方程的两个根 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质．根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为直线以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象，发现： 开口向上，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 二次函数的图象与轴的一个交点为， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点为； A、∵二次函数的图象与轴的交点在原点下方， ∴，故本选项不符合题意； B、∵，抛物线的顶点坐标为， ∴函数的最小值是，故本选项不符合题意； C、∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减少，故本选项符合题意； D、∵二次函数的图象与轴的交点为和， ∴和3是方程的两个根，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（2026·四川·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（为任意实数），③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的开口方向和对称轴可得，，即可判断①正确；根据当时，取得最大值，最大值为，由此即可判断②正确；根据当和时，可判断③和④正确；根据抛物线与直线、的交点即可判断⑤正确． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向下，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，则结论①正确； 当时，， 由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，均有，即，结论②正确； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，结论③正确； 由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，结论④正确； 方程可化为或， ∵方程有四个根， ∴方程有两个不相等的实数根，方程也有两个不相等的实数根， ∴二次函数与直线有两个交点，这两个交点关于直线对称， 设方程的两个根分别为， ∴， ∴， 同理可得：方程的两个根的和也等于， ∴若方程有四个根，则这四个根的和为，结论⑤正确； 综上，正确的结论有5个， 故选：D． 3．（2026·四川成都·一模）如图，二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，且图象经过点，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．是方程的一个根 【答案】D 【分析】根据开口方向、与y轴交点、对称轴及抛物线对称性，逐一判断A、B、C选项，由方程等价于，利用对称性得是根，判断D选项． 【详解】解：A．∵二次函数图象开口向下， ∴，故选项错误，不符合题意； B．∵图象与y轴的交点在正半轴， ∴当时，，故选项错误，不符合题意； C．∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ，此范围包含对称轴左侧和右侧部分区域， ∴随增大而增大不成立，故选项错误，不符合题意； D．方程 ， 即求二次函数图象上函数值为时对应的值． ∵对称轴为，且图象经过点； ∴点关于对称轴的对称点横坐标为： 即点也在二次函数图象上； 当时，，成立，是方程的一个根，选项正确，符合题意． 4．（2026·四川巴中·一模）如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质逐项判断即可得到相关不等式的关系，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，①错误； 由图象可知，抛物线对称轴，结合①中可得，即，②正确； 如图所示： 当时，，③正确； ，， ， 由①知，则，即，则， ，即，④正确； 综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个， 故选：C． 5．（2026·四川绵阳·一模）已知y关于x的二次函数，下列结论中：①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点；③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题．将时的函数关系式变形为顶点式，可判断①；当时，该函数关系式可变形为，可得当时，y的值与m无关，求出的根，求出对应的y值，即可得定点坐标，可判断②；③当时，求出该函数图象与x轴的交点的横坐标，可判断③． 【详解】解：①当时，， ∴顶点坐标为，故①正确． ②当时，， 当时，y的值与m无关， 此时，， 当时，； 当时，， ∴函数图象总经过两个定点，，故②正确； ③当时，由得：， ， ∴． ∴，． ∴， ∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确． 故选A． 6．（2026·四川绵阳·一模）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系判断①，由抛物线对称轴及二次函数性质判定②，根据抛物线平移特征判断③，根据平移特征和抛物线性质判定④． 【详解】解：①抛物线，，为常数，经过，两点， 一元二次方程的根为：，，则结论①正确； ②抛物线的对称轴为直线， 当时的函数值与的函数值相等， ， 当，随的增大而减小， ， ，②结论错误； ③当时，，则抛物线顶点的纵坐标为：，且， 将抛物线向下平移个单位得到新的抛物线解析式为： ，由二次函数图象特征可知，的图象位于轴下方，顶点恰好在轴上，即恒成立， 对于任意实数总有，即，③正确； ④将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线解析式为，函数对应的一元二次方程， 若方程的根为整数，则其根只能是，或，或，对应的值只有三个，则结论④错误． 综上，结论正确的有①③． 故选：． 7．（2026·四川绵阳·一模）抛物线交x轴于点．下列结论：①；②；③当时，无论m取何值都有；④若时，抛物线交y轴于点C，且是等腰三角形，或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点且，，则；则其中正确的是（  ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点、，可知二次函数的对称轴为直线，即，可得与的关系，可判断①；根据对称轴公式，将点代入可得、的关系，即可判断②；函数开口向下，时取得最大值，可判断③；由图象知时，当时，两种情况利用勾股定理即可求得的值，可以判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断⑤． 【详解】解：如图， ①二次函数与轴交于点、． 二次函数的对称轴为，即， ．故①正确； ②． ∴， 二次函数与轴交于点、． ，， ， ．故②错误； ③， 抛物线开口向下． 时，二次函数有最大值． ． 即．故③正确； ④由图象可得，． 当时，则，解得， 当时，则，解得 故是等腰三角形时，或，故④正确； ⑤∵抛物线交轴于点、，交y轴于正半轴， ∴开口向下， ∵，， ∴点E在点F左侧，中点横坐标为， 则中点在对称轴右侧， ∴点比更接近对称轴， ，故⑤正确； 故正确的为①③④⑤． 故选：C 8．（2026·四川泸州·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题是有关抛物线的一道综合性题目，主要考点是抛物线的对称性、开口方向判断二次项系数的符号、抛物线解析式的多种表示方法等．熟练掌握抛物线的定义和性质和解析式是解决此题的关键． ①根据抛物线的对称性求出与x轴的另外一个交点，观察图形即可判断其正确性；②把抛物线的对称轴用含有a、b的代数式表示出来，其开口方向又向下，即可判断其正确；③根据抛物线的解析式求出与y轴的交点用含有a的代数式表示出来，根据抛物线与轴的交点在和之间，即可求得a的取值范围；④由题可知二次函数过，即，结合对称轴可得，代入即可求解． 【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为， 当时，，故①正确； ②抛物线开口向下，故， 对称轴为， ， ，故②错误； ③设抛物线的解析式为，则， 令得：． 抛物线与轴的交点在和之间， ． 解得，故③正确； ④二次函数的图象与轴交于点， ， 对称轴为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个 故选：C． 9．（2026·四川绵阳·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法： ； ； ； （为任意实数）；若图象上存在点和点，当时，满足后，则的取值范围为．其中正确的个数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置可判断，根据特殊点可判断；根据最值可判断④；根据对称性可判断⑤，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】设抛物线与轴的交点为，， ∵由抛物线的开口向下，对称轴为直线， ， ∴， ∴当时，，当时，， 故错误，正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴，故正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； 如图所示，和点满足，    ∴和点关于对称轴对称， ∴，， ∵， ∴，， 解得，故正确； 综上：正确，共个， 故选：． 10．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用到对称轴的距离进行判定求解；⑤当时，取得最大值求解． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， ∵对称轴为直线， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵对称轴为直线， ，即， ∴，故结论②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即，故结论③正确； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴到对称轴的距离分别为， ∴，故结论④错误． ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故⑤错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 二次函数与其它函数综合 考点03 1．（2026·四川绵阳·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象．根据一次函数与反比例函数图象找出、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、三象限， ∴， 对于二次函数， ∴对称轴为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧；排除选项A和B； ∵反比例函数的图象在第二象限内， ∴，则， ∴二次函数的图象与轴交点在轴下方， 满足上述条件的函数图象只有选项D． 故选：D． 2．（2026·四川德阳·一模）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 二次函数的实际应用 考点04 1．（2026·四川泸州·一模）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ (3)每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 【答案】(1)双 (2)元 (3)每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解． 【详解】（1）解： （双） 答：商场平均每天可售出双鞋子． （2）设每双降价元． 解得： 让顾客尽可能得实惠， 答：每双鞋子降价元． （3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 当元时，最大元． 答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)；6m (2) (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标； （3）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点，∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为，当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为6m； （2）解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴，解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则 ， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 3．（2026·四川绵阳·一模）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2      3      4 竖直高度 0                          根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点，则抛物线的对称轴为：直线． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，那么该运动员竖直高度的最大值为，把顶点坐标连同代入所给的函数解析式，求得的值后即可求得相应的函数解析式； （2）落入沙坑，则竖直高度为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，求得后取正值即为和的长度，比较的大小即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：． ∴该运动员竖直高度的最大值为米． 设函数关系式为：． ∵经过点， ∴， 解得：． ∴函数解析式为：． （2）取． 第一次训练时，． 解得：(不合题意，舍去)，． ∴． 第二次训练时，． 解得：(不合题意，舍去)，． ， ， ． 4．（2026·四川南充·一模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． (1)任务一：建立函数模型 求y与x的函数表达式及自变量的取值范围； (2)任务二：设计销售方案 设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润． 【答案】(1) ，自变量取值范围为； (2) 最大日销售利润为8600元． 【分析】（1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可； （2））根据题意，可得，整理可得，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 将点代入， 可得， 解得， ∴y与x的函数表达式为， ∵销售单价不低于成本价， ∴， 又∵， ∴， ∴自变量的取值范围为； （2）根据题意，可得 ， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， 又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元， ∴当时，日销售利润取最大值， 此时（元）， 答：最大日销售利润为8600元． 5．（2026·四川广元·一模）材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）销售单价应定为元或元； （3）销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数与一次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式以及关于的函数解析式即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件， 日销量， 由材料一可得，销售单价不低于元， 由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数． 的取值范围为，且为正整数． 日销售利润， 关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）由题意得，当时，即， 整理得，即， 解得，， ， 销售单价应定为元或元， 答：销售单价应定为元或元； （3）， 且为正整数， 当或时，最大， 当时，（元）， 当时，（元）， 最大利润为元， 答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元． 6．（2026·四川成都·一模）如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为． (1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． (2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度) (3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的函数解析式为； (2)； (3)存在，点的坐标为； 【分析】（）先根据抛物线顶点设出顶点式，代入原点求出抛物线解析式并确定其自变量取值范围；再将落点的横坐标代入抛物线解析式得到点坐标，最后将点坐标代入过原点的直线方程，求出直线解析式并确定其自变量取值范围； （）先由点的坐标求出到的距离，再结合已知时间算出平均速度，最后利用平均速度公式和速度关系式，逐步求出初速度与末速度； （）先假设存在满足的点，利用勾股定理列出方程；再设，代入坐标表示出和，通过换元法化简方程，求解后舍去不符合取值范围的解，最后将有效解代入抛物线解析式，得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线解析式： ∵小球能达到的最高点的坐标为， ∴设抛物线顶点式， 由图可知抛物线过原点，代入得， ∴， 令，则， 解得：， ∴自变量的取值范围：； 即：抛物线解析式为， 直线解析式： ∵小球在斜坡上的落点的横坐标为， 设点代入抛物线， 得：， ∴， 把点代入斜坡直线，得， ∴， ∴直线解析式为， ∴自变量的取值范围：， 即：直线的函数解析式为； （2）解：由（）得， ∴到的距离， ∵小球从点滑落到点需要秒， ∴平均速度， ∵与满足， 即， ∴， 即：， ∴， ∴； （3）解：存在点，使得， 则满足：， 设点的坐标为，（） ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， 整理，得， 令，则方程变为：， 去括号，合并同类项，得， 将代回，得， 整理，得， ，对应点，舍去； ，即：对应点，舍去； ，解得， 结合，， ∴代入抛物线解析式，得 ， ∴点的坐标为． 7．（2026·四川德阳·一模）材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ (2)求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 【答案】(1)A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； (2)；当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）根据题意列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚， 由题意得， 解得， 答：A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； （2）解： ， ， 抛物线开口向下，当时，w随x的增大而增大， ， 当时，w有最大值，最大值为（元）． 答：当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 8．（2026·四川成都·一模）项目式学习∶ 任务主题：探究某型号汽车的刹车性能 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 素材收集：1． 由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 2． 汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车时车速x（） 0 5 10 15 20 25 刹车距离y（） 0 6.5 17 31.5 50 72.5 【任务一】 ①在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y(单位：)为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； ②测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的y关于x的函数表达式． 【任务二】 现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 【任务三】 研发中心生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：）与刹车速度x（单位：）满足：，若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围． 【答案】【任务一】①见解析；②；【任务二】该司机是因为超速行驶导致了交通事故；【任务三】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式的运用．解答时求出二次函数的解析式是关键． 任务一：①通过描点、连线就可以得出函数的大致图象； ②由函数图象，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可； 任务二：令，求得的值，对比即可； 任务三：根据二次函数的性质可得汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴，列不等式组即可解答． 【详解】［任务一］①解：根据描点作图即可得到下图： ②解：设抛物线解析式为 把代入得： ， 解得 ∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为； ［任务二］该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下： 在中，令得： ， 解得：或（舍去）， ∵， ∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故； ［任务三］解：∵，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴， 由题意得 ， 解得：． 二次函数与角度问题综合 考点05 1．（2026·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线与x轴交于点M，直线与直线交于点N，当点N在第一象限，且时，______． 【答案】 【分析】由题意易得对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点，，，然后可得，则有，连接交对称轴于点H，过点D分别作，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意可得如图所示： ∵，图象开口向下， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点， 令，得， ∴， 点与点关于对称轴对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， 连接交对称轴于点H，过点D分别作， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 由点A与点D关于对称轴对称可知：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点 ，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， (3)存在，， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）分别代入，，易得点坐标，点坐标，设点坐标为，过作轴，可得，，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，所以． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，可得，，设，，所以，在由，可得，带入数值可得：，，所以，，，G过点作的垂线，垂足为，所以按照面积法可得的面积为，代入数值可得，所以，所以，因为，故，根据题意易得图形的抛物线为，然后分成两种情况分析①当在原抛物线上时，②当在翻折后的抛物线上时，根据，可得点坐标为和． 【详解】（1）由题意可得抛物线，过点 ， 故代入上式：， 可得， 故抛物线的表达式为． （2）将，代入抛物线中，即， 解得：，， 故点坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线中， 解得：， 故点坐标为， 由题设点坐标为， 过作轴， ∴轴， ∴，， ①当时，， 即， ∴， ②当时，， 即， ∴， ∴． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，如图所示： 根据翻折的规律可得，， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 带入数值可得， 解得：，， ∴，，， G过点作的垂线，垂足为， ∴按照面积法可得的面积为， 代入数值可得， 解得， 故由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 原抛物线解析式，可化为， 故抛物线顶点坐标为， ∵过点作轴的垂线：，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形， ∴翻折后抛物线解析式为 ，即 ， ∴图形的抛物线为， ①当在原抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得（舍），， ∴． ②当在翻折后的抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得，（舍）， ∴． 综上可得，点坐标为、． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，相似三角形、勾股定理解三角形，综合性较强，熟练掌握相关知识是解决这道题的关键． 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若 ，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)当时，取得最大值，此时点的坐标为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点坐标，将其代入抛物线的解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到抛物线的表达式； （2）先求抛物线与轴交点的坐标，再用待定系数法求直线的解析式，过点作轴交于点，构造相似三角形，将转化为，用含的代数式表示出的长度，将整理为二次函数的顶点式，利用二次函数的最值性质求出点的坐标； （3）由得出为等腰直角三角形，确定射线的平移方向与平移向量，根据二次函数平移规律求出平移后的抛物线的解析式，通过作垂线进行角的转化，将转化为，利用正切函数的等量关系构建含绝对值的方程，分点在轴上方、下方两种情况解方程，结合题意取舍根，得到点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：令抛物线解析式中，得， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入得，解得， ∴直线的表达式为， 设点的坐标为，过点作轴交于点，则点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时，故点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接， ∵， ∴，由平移性质知， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点的坐标为，则， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，由得， ①当点在轴下方时，，则， 解得或(，舍去)； ②当点在轴上方时，，则， 解得或(，舍去)． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质、解析式求法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值求解、二次函数的平移规律以及锐角三角函数的应用，关键是利用待定系数法求函数解析式，通过作平行线构造相似三角形将线段比转化为线段长度比求解最值，结合平移方向与距离确定新抛物线解析式，利用角的转化和正切函数的等量关系构建方程求解点的坐标． 二次函数中定值问题 考点06 1．（2026·四川绵阳·一模）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】(1)； (2)，； (3)见解析． 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 2．（2026·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值，定值为4 【分析】（1）先根据已知条件确定B、C的坐标，再利用正切的定义确定点A的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）设D，再说明，如图：过D作轴于E，利用正切的定义可得，整理后求解可得或，最后确定D点坐标即可； （3）如图：过P作轴于Q，设，且，则．易得，证明可得，进而求得．同理证明可得，最后代入化简即可解答． 【详解】（1）解：， ，． ， ． ． 设抛物线解析式为，代入， 得：，解得：． 该抛物线解析式为． （2）解：设D， ，， ． 如图：过D作轴于E， ．整理得：． ， ，解得：，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，或． （3）解：是定值，定值为4，理由如下： 如图：过P作轴于Q，设，且，则． ． ， ． ，即． ． ， ． ，即． ． ． 的值为常数4，故是定值． 3．（2026·四川·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点A作交抛物线于点P，点Q是第三象限内抛物线上的点，连接交于点H，连接，当时，求点Q的坐标； (3)如图2，作直线，分别交y轴正负半轴于点M、N，交抛物线于点P、Q，设点M、N的纵坐标分别为m，n，且，那么直线是否经过定点？如果是，求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点，理由见解析 【分析】（1）求出，，可得，，再用待定系数法得抛物线的解析式为；（2）设直线交y轴于G，过H作轴于K，过Q作轴于T，求出，直线解析式为，设，可得，代入得，即知； （3）直线解析式为，可得，同理可得，设直线解析式为，用待定系数法得，令得，故直线过定点． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 把，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线交y轴于G，过H作轴于K，过Q作轴于T，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由，得直线解析式为， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点Q在第三象限， ∴， 把代入得：， 解得（舍去）或， ∴，， ∴； （3）解：直线经过定点，理由如下： 由，得直线解析式为， 联立，解得或， ∴， 由，得直线解析式为， 联立，解得或， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得：， 结合可解得， ∴直线解析式为， 令得， ∴直线过定点． 4．（2026·四川南充·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在图1中，连接并延长交的延长线于点，求证：； (3)如图2，若动直线与抛物线交于M、N两点（直线与BC不重合），连接、，直线与交于点．当时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)定值3 【分析】（1）把代入列方程计算即可； （2）由，，可得，，则，再根据顶点，得到，则，证明，得到，最后根据，得到； （3）直线解析式为，则直线解析式为，设，，联立直线与抛物线根据根与系数关系得到，直线解析式为，联立直线与抛物线解析式得到； 同理由直线与抛物线交于，，可得，结合，得到，最后代入点P的横坐标计算即可． 【详解】（1）解：把代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴顶点， 连接， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：点P的横坐标为定值，理由如下： ∵， ∴设直线解析式为， 代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， 设，， ∵直线与抛物线交于M、N两点， ∴联立得， ∴，， ∵， ∴设直线解析式为， ∴设直线解析式为， 把代入解析式得， 解得：， ∴直线解析式为， ∵直线与交于点， ∴联立，解得， ∵直线与抛物线交于，， 联立得，解得， ∴， 同理由直线与抛物线交于，，可得， ∵， ∴， 整理得 ∴， ∴点P的横坐标为定值． 二次函数中线段的存在性问题 考点07 1．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，此题计算量较大，准确地计算是解题的关键． （1）根据正切的定义求得，进而得出的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，根据，得到方程，求出的值即可求点坐标； （3）设，，由，可得，，设为直径的圆的圆心为，则，则，设，根据，可得，由是定点，可知，即可求点坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）存在这样的点、使得，理由如下： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得(舍)或 ， ∴； （3）设，， ， 整理得， ∴，， 设为直径的圆的圆心为，则， 如图，过点作，轴， ∴， ∴， 设， ， ， 整理得， 是定点， ， ． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点．对称轴为直线的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为点，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据，分在内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， 点，点， 设抛物线的表达式为， 把点，点的坐标分别代入，得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：存在． 抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， 点的横坐标为， ，， ①如图， ，即是的中点，点在直线上 ， 点在直线上， 可得， 解得或（舍去）， 故此时的值为． ②如图， 设点的坐标为，则， M， ， ① ②， 联立①②， 解得（舍去）或 综上，的值为或． 1．（2026·四川德阳·一模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．二次函数中特殊三角形的存在性问题 考点08 (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据二次函数解析式求出顶点P，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点，进而求出，过点Q作x轴的垂线，交于点F，设，，可求，再根据，可得，解方程求出m的值，代入解析式求出点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点、， ，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得与的面积相等， ， 顶点， 当时，，则， 设直线的解析式为， 过点，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，则， ， 与的面积相等， ， 如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F， 设，则， ， ， ，即， 或， 解得或2或或， ， 舍去， 当时，； 当时，； 当时，； 或或． 【点睛】注意用“铅垂法”求三角形的面积，Q、F两点之间的数值距离是两点纵坐标差的绝对值． 2．（2026·四川泸州·一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2－2x+1；（2）四边形AECP的面积最大值为，此时点P(，)；（3）存在，点Q坐标为：(4,1)或(－3,1)． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据抛物线的对称性可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠PCF＝∠EAF，根据相似三角形的判定，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：（1）将A(0,1)，B（9,10）代入y=x2+bx+c得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=x2－2x+1； （2）由y=x2－2x+1知，抛物线的对称轴是x=3， ∵AC∥x轴，A(0,1)， ∴A与C关于对称轴对称，C(6,0)，AC=6 由A(0,1),B(9,10)得直线AB的解析式为：y=x+1， 设P（m，m2－2m+1），则E(m，m+1)， ∴PE=－m2+3m， ∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC =·AC·EF+·AC·PF， =·AC·PE， =×6×（－m2+3m）， =， ∴当m=时，四边形AECP的面积取最大值，此时点P(，)； （3）存在，点Q坐标为（4,1）或（－3,1）． 由y=x2－2x+1知点P(3, -2)， ∴PF=3，CF=3， ∴∠PCF=45°，同理，∠EAF=45°， 即∠PCF=∠EAF， 由勾股定理得：AB=，AC=6，PC=， 设Q（n，1）， ①当△CPQ∽△ABC时，， 即，解得：n=4， 即Q(4,1)． ②当△CQP∽△ABC时，， 即，解得：n=－3， 即Q(－3,1)． 综上所述，符合题意的点Q坐标为：(4,1)或(－3,1)． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例式，要分类讨论，以防遗漏． 3．（2026·四川内江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD 轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大?并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为(−3，4) (3)存在，点M的坐标为：，， 【分析】（1）由直线方程可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值，可求得抛物线解析式，再令y=0可求得C点坐标； （2）过E作EH⊥PD于H，可求得EH，设出P点坐标，则可表示出D、E、F的坐标，从而可表示出PD和EF，利用梯形面积公式可表示出四边形PDEF的面积，根据二次函数的最值，可求得P点坐标； （3）可求得直线AG和A′G′的方程，从而可表示出M、N点的坐标，从而可表示出MN、FM、FN的长，分MN=FM、MN=FN和FM=FN三种情况分别求解即可． 【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于A、B两点，∴A(−4，0)，B(0，4)． ∵抛物线经过A、B两点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）如图，过点E作EH⊥PD于点H，则EH∥OA． ∵OA=OB=4， ∴∠OAB=45°． ∴∠HDE=45°，且DE=． ∴HE=HD=2． 设点P的坐标为(，--3+4)， 则点D为(，+4)，点E为(+2，+6)，点F为(+2，--7-6)．    ∴|PD|=-−3+4-(+4)=--4，   |EF|=--7-6-(+6)=--8-12． ∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF) = ×2(--4--8-12) =-2-12-12 =-2(+3)2+6． ∴当=-3时，S四边形PDEF有最大值6． 此时点P的坐标为(−3，4)． （3）满足条件的点M的坐标为：，，．理由如下： ∵OG=2， ∴点G的坐标为(0，-2)，且A(-4，0)． 设直线AG的方程为，把A、G坐标代入可得，解得． ∴直线AG的方程为． ∴可设直线的方程为-2=- + -2．（＞0） 令=0可得− + -2=0，解得=-4， ∴点M的坐标为(-4，0)． 联立直线与直线AB方程可得，解得． ∴点N的坐标为(，)． ∵F为OA的中点，∴OF=2，即F(-2，0)． ∴MF2=(-4+2)2=-4+4， MN2=(-4-)2+(0−)2=()2+()2=， NF2=(+2)2+()2=． 当△FMN为等腰三角形时，分以下三种情况讨论： ①当MN=MF时，即=-4+4， 解得=或=． 此时点M的坐标为或． ②当MN=NF时，即=， 解得=-6(舍去)或=2． 此时点M的坐标为(-2，0)．    (点M与点F重合，舍去)． ③当MF=NF时，即-4+4=， 解得=0(舍去)或=． 此时点M的坐标为(，0)． 综上所述，平移后点M的坐标为，， 【点睛】本题为二次函数的综合，涉及知识点有待定系数法、四边形的面积、二次函数的最值、平移、勾股定理及分类讨论思想．在（1）中求得A、B坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标表示出四边形PDEF的面积是解题的关键，在（3）中分别表示出MF、NF、MN的长是解题的关键．本题考查知识点多，综合性强，计算量大，难度较大． 4．（2021·四川南充·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 5．（2026·四川绵阳·一模）已知：抛物线y（x+k）（x﹣7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OB＝OC． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG＝3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC＝45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)T（，） 【分析】（1）由图象可得B点坐标，代入函数解析数即可求解； （2）表示出点P坐标，由正切公式可表示出d与m的关系，即可求出； （3）作出辅助线，得到□CGPW，利用正切函数求出m与k的值，得到G点坐标，然后表示出∠GAB的正切值，从而求出T点坐标． 【详解】（1）当y＝0时，﹣（x+k）（x﹣7）＝0， 解得：x＝﹣k或7， ∴点B的坐标为（7，0），A（﹣k，0）， ∵OB＝OC， ∴OC＝OB＝7， ∴点C的坐标为（0，7）， 将点C的坐标代入抛物线表达式得：（0+k）（0﹣7）＝7， 解得：k＝2， ∴y（x+2）（x﹣7）x2x+7， 故抛物线的表达式为yx2x+7； （2）过点P作PK⊥AB与点K，PE⊥y轴于点E，如图1， ∵y（x+2）（x﹣7）， ∴P（m，（m+2）（m﹣7）），A（﹣2，0）， ∴AK＝m+2， tan∠PAB， ∴DO＝AO•tan∠PAB＝2（）＝7﹣m， ∴CD＝7﹣（7﹣m）＝m， ∴d＝m． （3）过点C作WC⊥ED使得WD＝PD，TL⊥AB，连接WD，WP， 设EC＝k， 则PG＝3k， ∵∠WCD＝∠DEP，CD＝EP，WD＝PD， ∴△WCD≌△DEP， 则△PWD为等腰直角三角形， ∴∠WPD＝45°＝∠CFD， ∴WP∥CG， ∴四边形CGPW为平行四边形， ∴CW＝PG＝3k＝ED， ∴CD＝2k＝PE， ∴tan∠APE， 由（2）可得tan∠PAB， ∴， ∴m＝4，k＝2， ∴EO＝7+2＝9，EG＝10， ∴G（10，9），A（﹣2，0）， ∴tan∠GAB， 再设T坐标为（t，（t+2）（t﹣7））， 则tan∠TAB， ∴t， ∴T（）． 【点睛】本题主要考查二次函数综合运用能力，涉及二次函数图象与解析式、平行四边形的证明和正切函数，难度较大，属于中考压轴题，第（3）小题的关键是构造平行四边形，运用正切公式求解 6．（2026·四川达州·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线上，在点E移动的过程中，当是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)． (2)； (3)或或或． 【分析】（1）将点和点代入即可； （2）如图1，连接，，求出，设点，得到，利用勾股定理解得，即可得到答案； （3）当点P与点C重合时，或；当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J，分当点P在x轴上方和当点P在x轴下方时分类讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点， ； （2）解：如图1，连接，， 点D和点F关于直线对称， ， ，轴， ∵二次函数的对称轴为： ， ， ， 设点， ， 在中，， 解得， ； （3）解：当点P与点C重合时，或； 当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 当点P在x轴下方时，如图3，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交PK于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 综上，符合条件的点E的坐标为：或或或． 7．（2025·四川自贡·一模）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．     (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大为 (3)是， 【分析】（1）分割法得到四边形的面积，即可得出结果； （2）三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，则：，进而得到四边形的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据平移规则，求出抛物线的解析式，设，根据三角形的中线平分面积，得到为的中点，进而得到点坐标，设，结合点H在上列出方程，利用韦达定理解得m和n的关系，再把的坐标代入，求出，根据直线过点，将解析式写为，得到，令，求出值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形的面积 ； （2）∵在中，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形的面积最大时，的面积最大， 过点作，过点作，则：， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积最大， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，最大为； （3）直线是过定点： 由（2）知：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴为的中点， ∵过点的直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵直线交该图象于点， ∴， 则， ∴，， ∴， 那么，， 解得：， ∴直线：， 即：， ， ∴当，即：时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键． 1．（2026·四川内江·一模）如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点．二次函数中特殊四边形的存在性问题 考点09 (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标； (3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能成为平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．平行四边形的性质以及一元二次方程的解法． （1）利用待定系数分别求出二次函数与一次函数的解析式； （2）由轴，，得到，则，设点的坐标为，那么点的坐标为，因此列方程，解方程得到，即可得到点坐标； （3）由，若，以点为顶点的四边形为平行四边形；分类讨论：①当点在点上方，②当点在下方，分别求解即可得到点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 二次函数的解析式为； 设一次函数的解析式为， 把分别代入得，， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：轴， ， ， ， ，即， 设点的坐标为，那么点的坐标为， ，， 又直线与轴交于点， 当时， 点的坐标为，， ， 解得（不合题意，舍去），， 点的坐标为； （3）解：以点为顶点的四边形能成为平行四边形． 理由如下： 若，则以点为顶点的四边形为平行四边形， ①当点在点上方，， 得（舍去），， （2）当点在下方，，得． 当，； 当，． 所以点的坐标为：或或． 2．（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，； (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）把和代入求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点为直线下方抛物线上的点，如图， 设， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴面积的最大值为， ∴； （3）解：由题意可得：， 的对称轴为． ∵，， ∴，， 当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点， ∵在的对称轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图， ∵在的对称轴上， ∴， ∴， ∵，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为， 依题意得：， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 3．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）可证明，则为定值，则可证明当有最大值时，有最大值；根据，推出，仿照（2）求出取得最大值时点E的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 二次函数中线段的最值问题 考点10 1．（2026·四川广元·一模）已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②点在上； ③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形； ④直线与相切． 正确的结论是（   ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的解析式即可判定；求得、的长进行比较即可判定，过点作，交抛物线于，如果，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得为直角三角形即可进行判定； 【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连，连，， 二次函数的顶点为，最大值为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，故正确，符合题意； ，解得， 抛物线的解析式为， 当时，，解得：或， ，； ， ， ， ， ， 点在上，故②正确，符合题意； ， ，解得：或， ， ， 四边形不是平行四边形，故错误，不符合题意； 由抛物线可知， ， ，，， ， 为直角三角形， ， ， ， 直线与相切，故正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 2．（2026·四川广元·一模）如图1，抛物线 过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求 的最大值． (3)设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是银题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）；，即可求解； （3）先根据二次函数的性质求得，再分两种情况：当时，当时，y值最小，最小值为；当时，当时，y值最小，最小值为；根据，得关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， 故抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：设点的坐标为， 由点、的坐标得，直线的表达式为， 则点的坐标为， 设四边形的面积为， 则； 则， 则， ，故有最大值． 当时，的最大值为． （3）解：∵，， 又∵， ∴当时，y有最大值4， ∵函数y在内最大值为p，最小值为q， ∴， 当时，当时，y值最小，最小值为， ∴， ∵， ∴， 化简整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，当时，y值最小，最小值为， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）， 综上，m的值为． 3．（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 4．（2026·四川德阳·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点． (1)求二次函数的解析式； (2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析 (3)的最大值为． 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数解析式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的解析式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立； （3）求解出直线的函数解析式，作轴于点，则，求得，设点P的坐标为，用含的函数解析式表示出，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：不存在实数m使得，理由如下： 为二次函数图象上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得； （3）解：作轴于点，则， ∵对于二次函数， ∴令，则， 点C的坐标为， 设直线对应函数的解析式为， 由题意，得， 解得， 直线对应函数的解析式为； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为． 5．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点． (1)当时，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若点位于直线下方的抛物线上，线段与交于点，当最大时，求点的坐标； (3)点坐标为，点坐标为，连接，若抛物线与线段有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当时，抛物线与线段有交点 【分析】（1）先令抛物线解析式中，因式分解求出、两点坐标，再结合的面积求出的长度，确定点坐标，代入解析式求出的值，从而得到抛物线的表达式； （2）先求出直线的解析式，过点、分别作轴的平行线交直线于点、，利用相似三角形将​转化为，设出点的坐标表示出的长度，将表示为关于的二次函数，求出其最大值对应的值，进而得到点的坐标； （3）先分别代入、两点坐标求出对应的值，再求出线段的解析式，联立抛物线与直线的方程得到一元二次方程，再根据判别式等于求出抛物线与线段相切时的值，验证切点横坐标在线段范围内后，综合得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于，两点， ∴令，则， ， 解得，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 把点的坐标代入，得 ， 解得， 把代入解析式，得 ； （2）解：如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ∴， ∴， ∴， ∵直线过，， ∴设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴， 当时，， ∴点， 设点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大为， 此时， ∴当最大时，点的坐标为； （3）解：若过点， ∴， 即， 若过点， ∴， 即， ∵，， ∴设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴， 若抛物线与线段有交点， ∴， ∴， 当线段与抛物线仅有一个交点时， ， 解得：，（舍去）， 综上，当时，抛物线与线段有交点． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $