数学真题重组（全国一卷01）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

2026年高考真题重组卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025·全国二卷）已知，则（   ） A． B． C． D．1 1．【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A. 2．（2025·全国一卷）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．【答案】C 【解析】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3．（2025·全国一卷）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 3．【答案】D 【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 4．（情境题）（2024·全国二卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 4．【答案】C 【解析】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选C. 5．（2025·全国二卷）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 5．【答案】B 【解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 6. （2025·全国一卷）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.【答案】B 【解析】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 7．(创新题)（2024·全国二卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．【答案】D 【解析】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 8．(热点)（2025·全国一卷）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 8．【答案】B 【解析】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·全国一卷）（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 9．【答案】AD 【解析】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 10．(热点)（2025·全国一卷）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 10．【答案】ACD 【解析】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 11．（创新题）（2023·全国一卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 11．【答案】ABD 【解析】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·全国二卷）已知平面向量若，则___________ 12．【答案】 【解析】，因为，则， 则，解得. 则，则. 13．（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 13．【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 14．(创新题)（2024·全国二卷）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 14．【答案】24,112 【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (热点)（2024·全国一卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 15．【解析】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即，（4分） 注意到， 所以.(5分) （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而，（9分） 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ，（11分） 由已知的面积为，可得， 所以.（13分） 16．（15分） （2025·全国二卷）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 16．【解析】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面，（4分） 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面．（6分） （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以.（8分） 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则.（11分） 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以.（14分） 所以平面与平面夹角的正弦值为.（15分） 17．（15分） (情境题)（2024·全国二卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 17．【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率.（4分） （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛.（8分） (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， （13分） 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，（14分） 同理 ， 因为，则，， 则，（16分） 应该由甲参加第一阶段比赛.（17分） 18．（17分） （热点）（2025·全国一卷）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 18．【解析】（1）由题可知,，所以，（2分） 解得， 故椭圆C的标准方程为；（4分） （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为.（8分） 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为.（8分） (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径,（13分） 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以.（17分） 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故.（17分） 19．（17分） (创新题)（2025·全国一卷） （1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 19．【解析】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为.（5分） 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是.（5分） （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得，（12分） 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立.（12分） （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故，（14分） 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故，（16分） 综上，可取，使得等号成立. 综上，.（17分） 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着.（15分） ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是.(17分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考真题重组卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 6 C D C B B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD ACD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.√2 13.n214.24,112 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2 abcosC,对比己知a2+b2-c2=V2ab, 可得cosC-+b-c2-2abV5 2ab 2ab 2 因为C∈0，π，所以sinC>0, 从而sinC=V1-cos2C 2 又因为snC=Ecms8,博sB-方（4分) 注意到B∈0，π， 所以B=号5分剂 (2由0)可得8-号mC=盟，Ce0,从而C子4=号普-径 2 1/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5π 而sinA=sin =sim(g+）-5x3+2x是-6+2 + 12 (4'62222-4 a b 由正弦定理有 sin 5 sin 12 sin元， 3 4 2c,b 从而a-6+2.5c-5+c。 22=6 ,(9分) 4 2 由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为 3 absnc-号56e935。.a1分 -C· -C Γ22 2 28 由已知4BC的面积为3+V5,可得3+5c=3+5, 8 所以c=22.(13分) 16.(15分) 【解析】(1)设AD=1,所以AB=3,CD=2,因为F为CD中点，所以DF=1,因为EF I/AD, AB/1CD,所以AEFD是平行四边形，所以AEIIDF,所以A'EIID'F, 因为D'Fc平面CD'F,A'E￠平面CD'P,所以A'EII平面CD'F, 因为FC/IEB,FCc平面CD'F,EBt平面CD'F,所以EB/I平面CD'F,(4分) 又EB∩AE=E,EB,AEc平面A'EB,所以平面A'EBII平面CD'F, 又A'Bc平面A'EB,所以A'BII平面CD'F,(6分) (2) 因为∠DAB=90°，所以AD⊥AB,又因为AB/IFC,EF/IAD,所以EF⊥FC, 以F为原点，FE,FC以及垂直于平面BECF的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 因为D'F⊥EF,CF⊥EF,平面EFD'A'与平面EFCB所成二面角为6O°， 所以∠D'FC=60°.(8分) 则B12,0,C0,1.0,D0,{,5 022 E1,0,0),F(0,0,0), 2/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以BC=(-1,-1,0,CD= 0-9E=.m好9 设平面BCD'的法向量为n=(x,y,z),则 BC=0 v+ 所以 2 2 CD五=0 z=0,令y=5,则：=1，x=-5,则i=(55,(11分) x-y=0 设平面EFD'A'的法向量为m=（x1,,2), FEm=0 1 则 所以2 220 y+ FD'm=0 x=0 令y=√5，则z=-1,x=0,所以m=0,V3,-1 所以cos(m,n)= m列 0+3-1 1 n 3+3+1x+3万.(14分) 所以平面BCD'与平面EFD'A'夹角的正弦值为 √42 (15分) 7 17.(15分) 【解析】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少 投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.6)1-0.5)=0.686.(4分) (2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P=[1-1-p)]g 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P=[1-(1-q)]p, 0<p<9, .P-P2=q3-(g-pq)3-p3+(p-p9)月 =(g-p)(q2+p9+p2）+(p-q):[(p-p9)2+(q-p9)2+(p-p9g-p9)] =(p-q)3p2g-3pq-3p92） =3pg(p-9q)(pg-p-q）=3pq(p-q)[(1-p)1-q)-1]>0, 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴P>P,应该由甲参加第一阶段比赛.(8分) )若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15， P(X=0)=1-p)3+[1-1-p)]1-q)°， P(X=5)=1-(1-p)C91-g, P(X=10)=[1-1-p)]C921-q), P(X=15)=1-1-p)°]q2, .E(X)=151-1-p)°]9=15(p3-3p2+3p小g(13分) 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩y的所有可能取值为0,5,10,15，(14分) 同理E(Y)=15(g3-3g2+3qp ·.E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)] =15(p-9)pg(p+9-3), 因为0<p<q,则p-q<0,p+9-3<1+1-3<0, 则(p-q)pq(p+q-3)>0,(16分) ：应该由甲参加第一阶段比赛.(17分) 18.(17分) √a2+b2=√10 【解析】(1)由题可知，A0,-b,Ba,01,所以e=9_22 ,(2分) c2=a2-b2 解得a2=9,b2=1,c2=8, 故椭圆C的标准方程为号+少=1；(4分) (2)(i)设R(xo,yo),易知m≠0， 法一：所以k=,故么+=n+,且m,>0. m xo m 因为A(0,-,4RAP=3,所以Vx+(+12×Vm2+(n+12=3, m=3.解得=m2+n+12，所以%=二0二” m2+(n+12 4/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3m n+2-m2-n2 所以点R的坐标为 (8分) m2+n+12m2+n+12 法二：设R=元AP,元>0，则AR4P=3→2m2+(n+12门=3，所以 3 m2+n+l2,=AP=(m,n+1)= 入= 3m 3(n+1 m+(n+m2+a+ 故 3m n+2-m2-n 点R的坐标为 (8分) m2+(n+1)2m2+(n+12 R B n+2-m2-n2 (i)因为kor= m2+(n+1) 3m -n+2-m-kp-,由：=3站，可得 3m m m2+(n+1 3n_n+2-m-n,化简得m2+m2+8-2=0,即m2+n+4=18(m≠0)， 3m 所以点P在以N(0,-4)为圆心，3√2为半径的圆上（除去两个点）， P为2到圆心N的距离加上半径，(13分) 法一：设Q(3cos0,sin0),所以 2W=(3cos0)2+(sin0+4)2=9cos20+sin20+8sin0+16 =8cos20+1+8sin0+16 =81-sin20+8sin0+17 =-8sin20+8sin0+25 =8s如0-+27≤27.当且仅当sn0-时取等号. 所以P0=27+32=35+2).(17分) 5/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 法二：设Q(x2,o小，则豆+后=1， 0N=x后+(yo+4=9-9y后+y哈+8yo+16=-86+8yo+25 -86+27≤27，当且仅当%号时取等号 故P0l=V27+3V2=35+V).(17分) 19.(17分) 【解析】(1)法1：f'(x)=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x, 故sin2x≥0， 当0<x<T时，cos3x>0即f'(x)>0, 6 当君<x<平时，cos3r<0即f<0, 故在0，上为增函数，在， 6'4 为减函数， 6 故在[0到引上的最大值为 =5c0s o5n=35.(5分) -COS- 6 6 法2：我们有cos5x=cos(x+4x)=cosxcos44x-sinxsin4x cosx(2cos2 2x-1)-sin x.2sin 2xcos 2x =cosx2(2c0s2x-l刂°--sinx2-2 sin2x cosx(8cosx-8cos2x+1)-4cosx cos 2xsin2x =8cos3x-8cosx+cosx-4cosx(2cos2x-1)(1-cos2x) =16cos5 x-20cosx+5cosx. 所以： f(x)=5cosx-cos5x=5cosx-(16cos x-20cosx+5cosx)=20cosx-16cos5 x =4cosx(5-4cosx)s4lcos5-4cosx)=4cos5-2cosx)5+2cos 引ewo小ewa÷,5-as-5+owe） 6/9 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 321 35 s+oks+it5-2s小--，5+2os刘j 25 32 =3vV3 这得到f八国≤35，同时又有了名 =5cos-co 6 5=35, 故f国在[0到上的最大筐为35，在R上的最大值也是35.5分) (2)法1：由余弦函数的性质得cosx≤c0s0的解为2k+0,2kπ+2π-0]，k∈Z, 若任意[2kπ+0,2kπ+2π-0]，k∈Z与a-0,a+0]交集为空， 则a-0>2kπ+2π-0且a+0<2kπ+2元+0，此时a无解， 矛盾，故无解：故存在k∈Z,使得[2km-0,2m+0]na-0,a+0)≠0，(12分) 法2：由余弦函数的性质知cosy≤cos0的解为2kπ+0,2(k+1)π-0(k∈Z), 若每个2kπ+0,2(k+1)π-6]与[a-0,a+0交集都为空， 则对每个keZ,必有2(k+1)π-0<a-0或2kπ+0>a+0之一成立. 此即k<名-1或>2，但长度为1的闭区间 a-1 a 上必有一整数k, 2π 2π 2 2 该整数k不满足条件，矛盾. 故存在yea-0,a+0],使得cosy≤cos0成立.(12分) (3)法1：记hx=5cosx-c0s5x+p), 因为h(x+2π)=5cosx+2π)-cos5x+10π+p)=h(x, 故h(x为周期函数且周期为2π，故只需讨论x∈[0,2π，p∈[0，π的情况. 当p=π时，h(x=5cosx-cos5x+π=5cosx+cos5x≤6， 当0=0时，h(x)=5c0sx-c0s5x, 此时(x)=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x,x∈(0,2π， 令h()=0,则x=工，π，5，元，7m3π1π 6'26元1 6’2’6 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 面哈=h告=359=A受=0mg=-M得=-35.a到=4 6 6 h0)=2m)=4,故(=h(=hal马)=3V5,（14分) 6 6 当0∈(0，π，在(2)中取p=a,则存在y∈[p-0,p+θ]，使得cosy≤cos0, 放5cosr≥5y5,故5c0sx-c0s5x+p≥3V5,（16分) 2 综上b之35，可取x=名9=0使得等号成立 综上，bn=35.(17分) 法2：设8。x)=5cosx-cos5x+p ①一方面，若存在p,使得g。（x)=5cosx-cos5x+p)≤b对任意x恒成立， 则对这样的p,同样有g（x)=一g（x+π)≥-b 所以g（x≤b对任意x恒成立，这直接得到b20 设9-工=m,则根据8(x≤b恒成立，有 66 66 le.(-g+引5os-g+}mfg+受5awrg-引)+(引6omf名-引=6omm-到 所以.kom.com+到引o(m到引均不超过 再结合cos2x=2cosx-1, 斜c2mor2m+om2m）不超过2-1-1 受设b<36,则1B写 1 18 18 8/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故cos2m,cos 但这是不可能的，因为三个角2m,2m+牙，2m-2受和单位圆的交点将单位圆三等分， 3 这三个点不可能都在直线x=】左侧 所以假设不成立，这意味着b≥35.(15分) ②另一方面，若b=33,则由(1)中已经证明f(x)≤33， 知存在p=0，使得5cosx-cos(5x+p)=5cosx-cos5.x=fx)≤3V3=b 从而b=3√5满足题目要求 综合上述两个方面，可知b的最小值是3√5.(17分) 9/9 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025·全国二卷）已知，则（   ） A． B． C． D．1 2．（2025·全国一卷）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2025·全国一卷）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 4．（情境题）（2024·全国二卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5．（2025·全国二卷）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 6. （2025·全国一卷）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(创新题)（2024·全国二卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．(热点)（2025·全国一卷）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·全国一卷）（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 10．(热点)（2025·全国一卷）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 11．（创新题）（2023·全国一卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·全国二卷）已知平面向量若，则___________ 13．（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14．(创新题)（2024·全国二卷）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (热点)（2024·全国一卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 16．（15分） （2025·全国二卷）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 17．（15分） (情境题)（2024·全国二卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 18．（17分） （热点）（2025·全国一卷）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 19．（17分） (创新题)（2025·全国一卷） （1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂☐ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C[D] 2[A][B][CD] 6[A][B][C][D] 口 3[A][B][C]D] 7[A][B][C[D] 4[A][B][CD] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[AJ[B][C[D] 11[A][B][C[D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025·全国二卷）已知，则（   ） A． B． C． D．1 2．（2025·全国一卷）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2025·全国一卷）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 4．（情境题）（2024·全国二卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5．（2025·全国二卷）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 6. （2025·全国一卷）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(创新题)（2024·全国二卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．(热点)（2025·全国一卷）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·全国一卷）（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 10．(热点)（2025·全国一卷）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 11．（创新题）（2023·全国一卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·全国二卷）已知平面向量若，则___________ 13．（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14．(创新题)（2024·全国二卷）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (热点)（2024·全国一卷）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 16．（15分） （2025·全国二卷）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 17．（15分） (情境题)（2024·全国二卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 18．（17分） （热点）（2025·全国一卷）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 19．（17分） (创新题)（2025·全国一卷） （1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $