专题06 圆（6大考点）（辽宁专用）2026年中考数学一模分类汇编

命学科网 考点01 垂径定理及其应用 1.A 2.(1)AD是⊙0的切线 (2)6 3.(1)DE∥BC (25 5 考点02 圆周角定理及其推论 1.B 2.A 3.140° 4智 5.2V5 6.(I)LBEF=∠CAE ®明 7.(1)CD与00相切 (2)0E=2√2-2 考点03 与圆有关的位置关系 1.D 2.(1)直线BF是⊙O的切线 40 13.(1)DE是⊙0的切线 (2)2.5 4.(1)CD为00的切线 www.zxxk.com 让教 专题06圆 3/3 与学更高效 丽学科网 wWw. 20 23 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1.(1)AB=AC 2276 16 2.(1)CD是00切线 or 3.(1)AF是00的切线 (2)5V2 圆的相关计算 考点05 1.c 2 3.(1)5 (2)4r-3v5 4.(1)EA是⊙0的切线 10r 3 zxxk.com 让 2/3 改与学更高效动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆5大考点概览 考点01垂径定理及其应用 考点02圆周角定理及推论 考点03与圆有关的位置关系 考点04三角形的内切圆与外接圆 考点05圆的相关计算 考点01 垂径定理及其应用 1.(2026辽宁鞍山一模)如图，AB是O0的直径，点D是AC的中点，过点D作DF⊥AB于点E,交 O0于另一点F.若AC=12,AE=3,则⊙0的半径是() E B 0 15 A. B. 2 C.6 D.10 2 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键 先证AD=AF=CD,进而得出DF=AC,DF=AC=I2,由垂径定理得EF=)DF=6,再用勾股定理解 Rt△OEF即可. 【详解】解：“点D是AC的中点， ·AD=CD, :DF⊥AB, ·AD=AF, AD=AF =CD, DF=AC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DF=AC=12, DF⊥AB, :EF=-DF=6, 如图，连接0F,设O0的半径为，设0E=OA-AE=r-3, C B E 在Rt△OEF中，由勾股定理得OE2+EF2=OF2, :(r-3)2+62=r2, 解得片 故选：A. 2.(2026辽宁大连一模)如图，ABC内接于O0,BC为00的直径，过点O作0D⊥AC于点E,交 OO于点F,连接AD,∠C=∠D. (1)求证：AD是O0的切线： (2)若AB=2,EF=20E,求DF的长. 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，垂径定理，三角形中位线定理，熟练掌握切线的判定，勾股 定理，垂径定理是解题的关键 (1)连接OA,利用半径相等得到∠OAE=LC,再利用垂直的定义结合等量代换证得L0AD=90°，即可 证明AD是OO的切线； (2)利用垂径定理得到CE=EA,利用三角形中位线定理得到0E=1,再结合已知求得半径，证明 △OEA∽aOAD,利用相似三角形的性质即可求解 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：如图，连接OA, B D :0A=0C, L0AE=∠C, ,∠C=∠D, ∠OAE=∠D, :OD⊥AC, ∠AED=90°， .∠D+∠EAD=90°， .L0AE+LEAD=90°，即∠OAD=90°， AD是OO的切线： (2)解：OD⊥AC, .CE=EA, 0B=0C, OE为ABC的中位线， ÷0E=AB=1, 2 EF=20E=2, .0A=0F=3, :∠0EA=∠0AD=90°，∠A0E=∠D0A, △0EA∽△0AD, OE OA OA OD 时品 0D=9. .DF=0D-0F=9-3=6. 3.(2026辽宁葫芦岛一模)如图，AB是O0的直径，点C在O0上，D为BC的中点，过点D作O0的切 线DE,交AB的延长线于点E,连接CD,BC,BD 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：DE∥BC: (2)若O0的半径为3，DE=4,求CD的长 【答案】(1)见解析 ②v5 5 【分析】(1)连接OC,OD,OD交BC于点F,求出LODE=90°，∠OFB=90°，即可判断DE∥BC: (2)过点D作DH⊥BO于点H,求出DH,OH,BH,最后求出BD,由D为BC的中点即可求出CD的 长 【详解】(1)证明：连接OC,OD,OD交BC于点F, DE是OO的切线， B DE⊥OD, .∠0DE=90°， D为BC的中点， CD BD. .∠C0D=∠B0D, :0B=0C, OF⊥BC, ∠0FB=90°， .∠OFB=∠ODE, DE∥BC. (2)解：过点D作DH⊥BO于点H, :在Rt△ODE中，OD=3,DE=4, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0E=VD02+DE2=5, S0-ODx DE-OExDH. DH=12 OH =VOD -DH 9 ·BH=OB-OH= 5 .BD=DH+BH65 D为BC的中点， CD BD, CD=BD=65 考点02 圆周角定理及其推论 1.(2026辽宁鞍山一模)在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径.如图所示是 “直角角尺”，∠A0B=90°，将点O放在圆周上，分别确定0A,OB与圆的交点C,D,读得数据0C=6, OD=8,则此圆的半径约为() 3 12345678 D B A.10 B.5 C.8 D.6 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理， 连接CD,根据90°的圆周角所对的弦为直径，再利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：如图，连接CD, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 3 12345678g DB :∠A0B=90°， :CD为圆的直径， 由勾股定理得CD=V0C2+0D2=V62+82=10, .此圆的半径约为二CD=5, 2 故选：B 2.(2026辽宁抚顺一模)在平面直角坐标系x0y中，半径为2的0P的圆心P的坐标为(-3,0)，将0P沿 x轴正方向平移，使0P与y轴相切，则平移的距离为() 1 5-4-3-201x A.1或5 B.1 C.1或3 D.3 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆 的半径.分为圆在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况写出答案即可， 【详解】解：：圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径2， :当0P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1： 当0P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5. 综上所述，将OP沿x轴正方向平移，使0P与y轴相切，则平移的距离为1或5. 故选：A, 3.(2026辽宁抚顺一模)如图，点A,B,C,D在⊙0上，AB∥OC,∠D=20°，则∠A0C= 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙ 【答案】140° 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键.连 接OB,由圆周角定理可知∠B0C=2LBDC=40°，因为AB∥OC,所以∠AB0=∠B0C=40°，因为 0A=0B,所以∠A=∠AB0=40°，则∠AOB可求，则题目可解. 【详解】解：连接OB, B ∠BDC=20°， .∠B0C=2×20°=40°， :AB∥OC, ∠AB0=∠B0C=40°， 0A=0B, .∠A=∠AB0=40°， .∠A0B=180°-40°-40°=100°， ∴.∠A0C=100°+40°=140°. 故答案为：140°. 4.(2026辽宁辽阳一模)如图，小明同学把一直角三角板的30角的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上， 三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点B,C,则图中BC的长为·（结果保留π） 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【路案】智 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得 ∠B0C=2LA=60°，再结合弧长公式列式计算，即可作答. 【详解】解：连接BO,CO,如图所示： BC=BC, ∴.∠B0C=2∠A=2x30°=60°， 则BC的长= 60 360° 2×4×π=4 元 故答案为：3 5.(2026辽宁抚顺一模)如图，AB是半圆O的直径，∠CAB=60°，按如下步骤作图：①以点B为圆心， 任意长为半径画弧分别交AB,BC于点M,N:②分别以点M,N为圆心，大于号MN的长为半径画弧，两 BD 弧相交于点P;③连接BP并延长分别交AC,半圆O于点D,E,连接AE. AE 的值为 【答案】2√3 【分析】本题主要考查了圆的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形和相似三 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角形的判定与性质，延长BC交AE的延长线于点E,证明△AEB≌△FEB,则有AE=FE=】AF,在 R1△ACB中可得BC=V5.利用同角的补角相等证明CBDCAF,则 BD.BC:5,求得AE BD AC AF-AC 【详解】解：延长BC交AE的延长线于点F,如图， F B M :AB是半圆O的直径， ∴.∠ACB=90°，∠AEB=90°. 由作图可知∠ABE=∠FBE, BE =BE, △AEB≌△FEB(ASA), .:AE EF, AE=FE-7AF. 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=60 BC =3. A :∠BEF=90°，∠ACF=90°， ∴.∠F+∠CDE=180°， .·∠BDC+∠CDE=180°， ∠F=∠BDC, △CBD∽aCAF, BD BC=3. AFAC BD =23. AE 故答案为2√5. 6.(2026辽宁铁岭一模)如图，己知ABC内接于O0,AB是O0的直径，点E在弧BC上，过E作O0 的切线，交AB的延长线于点F,若AE平分∠BAC. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：LBEF=∠CAE; (2)若BF=8,EF=16,求AC的长 【答案】()见解析 ®号 【分析】(1)连接OE,交BC于点G,根据切线的性质可得∠0EF=90°，从而可得∠BEF+∠0EB=90°， 再根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB=90°，从而可得∠EAB+∠OBE=90°，然后利用等腰三角形的性 质可得LOEB=LOBE,从而可得∠BEF=∠EAB,进而可得LCAE=∠EAB,即可解答； (2)根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得 AC∥0E,从而可得LC=∠0GB=90°，再利用垂径定理可得CG=BG,从而可得0G是△ACB的中位线，进 而可得AC=2OG,然后证明△FEB∽△FAE,从而利用相似三角形的性质可得AF=32,再利用线段的和差 关系面得48=24，从而可得0A=0B=0B2,最后利用平行线分线段成比例可得8G,从而进行 36 算可得：0G=S,即可解答。 【详解】(1)证明：连接OE,交BC于点G, EF与⊙O相切于点E, B ∠0EF=90°， .∠BEF+∠OEB=90°， :AB是OO的直径， ∠AEB=90°， ·∠EAB+∠OBE=90°， 0E=0B, ∠OEB=∠OBE, .∠BEF=∠EAB, ”AE平分∠BAC, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LCAE=∠EAB, :Z BEF ZCAE (2)解：：AB是⊙0的直径， ∠C=90°， :0A=0E, .∠BAE=∠AEO, :∠CAE=LEAB, .∠CAE=∠AE0, AC∥OE, .∠C=∠0GB=90°， 即OE⊥BC, :OE经过圆心， :CG BG, :0A=0B, .OG是△ACB的中位线， .AC=20G, :∠F=∠F,∠BEF=∠BAE, ∴△FEB∽△FAE, EF BF AF EF 168 AF 16' .AF=32, .AB=AF-BF=32-8=24, ..OA=OB=OE=AB=12, ∠0GB=L0EF=90°， .BC∥EF, ∴.△DBGAOFE, OB OG OF OE' 120G 12+812, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：0G=36 4C=20G=72 4c的长为号 7.(2026辽宁铁岭一模)如图1，在⊙0中，半径0A10B,点C为OB延长线上一点，点D为00上一点， 连接CD,且CD=CE,连接AD交OB于点E. D B A 图1 图2 (1)求证：CD与O0相切； (2)如图2，连接BD,若∠BDA=∠C,CD=2,求OE的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)0E=22-2 【分析】(1)根据直角三角形两锐角互余得出LDA0+∠AEO=90°，根据等腰三角形的性质得出 ∠DA0=∠AD0,∠CDE=∠CED,根据角的和差关系即可得出CD0=90°，即可得出CD与OO相切； 2根据圆周角定理得出∠8DA∠B0A=45,进而得出△CD0是等腰直角三角形，求出0C=22 OD=CD=OB=CE=2,根据线段的和差关系即可得答案. 【详解】(1)证明：：半径0A⊥0B, .∠DA0+∠AE0=90°， 0A=0D, ∠DA0=∠AD0, .CD=CE, ∠CDE=LCED, :∠CED=∠AEO, ·.∠CDE=∠AEO, CD0=∠AD0+∠CDE=∠DA0+∠AE0=90°， OD⊥CD, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CD与O0相切. (2)解：∠BDA和∠B0A是AB所对的圆周角和圆心角，LB0A=90°， ∠BDA=∠B0A=45°， :∠BDA=∠C, .∠C=45°， :∠CD0=90°，CD=2, ∴△CD0是等腰直角三角形，0D=CD=0B=CE=2,OC=√2CD=2√2， .OE =OC-CE=22-2 考点03 与圆有关的位置关系 1.(2026辽宁阜新· 模)如图，AC相切O0于点C,AB过点O,若∠CAB=40°，则∠ACB的度数是( B A.100° B.105 C.110° D.1150 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握 相关性质内容是解题的关键，先由切线的性质得L4C0=90°，再运用直角三角形的两个锐角互余，得 ∠C0A=50°，又因为半径相等以及三角形的外角性质，得∠BC0=25°，即可作答. 【详解】解：连接CO,如图所示： C D :AC相切⊙0于点C, LAC0=90°， :∠CAB=40°， ∠C0A=50°， :C0=B0, .∠BCO=∠CBO, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BCO+∠CBO=∠COA, ∠BC0=50°÷2=25°， 即∠ACB=∠AC0+∠BC0=90°+25°=115°， 故选：D 2.(2026辽宁葫芦岛一模)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、 E.点F在AC的延长线上，且LCAB=2LCBF. (I)求证：直线BF是⊙O的切线； (2)若AB=10, sin∠CBF=V ,求BF的长 5 【答案】(1)见解析 9 【分析】本题考查了圆的切线性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，正弦值的计算，通过 构造辅助线，构造垂直，进而可得平行，得到△AGC与△ABF相似是解决本题的关键 (1)根据圆的切线的性质，证明∠ABF=90°，根据等边对等角，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB,再由 ∠CAB=2LCBF结合三角形内角和即可求解； (2)通过构造辅助线得到直角三角形，根据∠BAE=∠CBF可得正弦值相等，由此可计算边长，再得相似， 通过相似可求解BF的长 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠ABC=∠ACB, 在ABC中，LABC+LACB+∠CAB=180°， 又：∠CAB=2LCBF, .2∠ABC+2∠CBF=180°， 则有LABC+LCBF=90°， ∠ABF=90°， AB⊥BF, 直线BF是OO的切线： 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：过点C作CG⊥AB交AB于点G,连接AE,如图， :AB为⊙O的直径， LAEB=90°，即AE⊥BC, ∠ABC+∠BAE=90°， 由(1)可知，LABC+∠CBF=90°， ∠BAE=∠CBF, :sin∠CBF. 5 在Rta AEB中，sin∠BAE= AB 5 又：AB=10, BE-5 ×10=25, :AB=AC,AE⊥BC CE=BE=25,即BC=4V5, 在RtAAEB中，AE=VAB2-BE2=√100-20=4V5, 在Rt△AEB中和在Rt△CGB中， sin∠ABE=AE-CG AB BC Cos∠ABE=BE_BG AB BC' 即45-CG.25BG 10=4W5'10=4N5' 解得CG=8,BG=4, AG=10-4=6, :CG⊥AB, .CG BF, △AGC-△ABF, ABBF,即68 AG CG 10BF' 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得BF=40 31 3.(2026辽宁抚顺一模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB上一点，点E是直角边AC上一 点，连接CD,ED,且CD=CB,ED=EA,以CD为直径画OO,交边AC于点F,交边BC于点G. 6 D E (1)求证：DE是O0的切线： (2)已知BG=1,BD=√5，求00的直径 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】(I)由CD=CB,ED=EA,得∠CDB=LB,∠EDA=∠A,而∠ACB=90°，所以 ∠CDB+∠EDA=∠B+∠A=90°，则∠ODE=90°，即可证明DE是OO的切线； (2)根据直径所对圆周角为直角，可知LCGD=LBGD=90°，在Rt△BGD中，利用勾股定理求出DG, 在Rt△CGD中，设CD=CB=x,则CG=x-1,利用勾股定理即可求解题目。 【详解】(1)证明：：CD=CB,ED=EA, ∠A=∠ADE,∠B=LCDB ∠ACB=90°， ∠A+∠B=90°， ∴∠ADE+∠CDB=90°， CD⊥DE, :CD为直径， DE是OO的切线： D E (2)解：连接DG, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D E :CD为直径， ∠CGD=∠BGD=90°. 在Rt△BGD中， :BG=1,BD=5, DG=BD2-BG2=2, 在Rt△CGD中， 设CD=CB=x,则CG=x-1 CD2=DG2+CG x2=(x-12+22, x=2.5. 答：⊙0的直径CD长为2.5， 4.(2026辽宁抚顺一模)如图，AB是00的直径，点C在⊙0上，D为射线BA上圆外一点，连接CD, ∠ACD=∠B (1)求证：CD为O0的切线， O已知E为CD上一点，4C平分∠E4B,若cE=4,amB弓求&4CD的面积， 【答案】()见解析 鸣 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理， 熟练掌握相关性质定理是解题的关键. (1)根据圆周角定理得到LACB=90°，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BCO,进而得到∠ACD=∠BC0, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证得∠DOC=∠ACB,从而得出结论： 2)根据角平分线的性质易让容L4EC:90P,在R△EC中，根据amZ∠CD仁求出伦的长，利 用勾股定理求出AC的长，同理，在Rt△ABC中求出BC、AB,再证明△DAE∽△DOC,进而得到 DEAE DC OC 即求出DE长，进而求出CD长，最后利用CDxE求解即可， 【详解】(1)证明：连接0C, BAB是OO的直径， ○ ∠ACB=90°， :0B=0C, ∴.∠B=∠BCO, :∠ACD=∠B, .∠ACD=LBCO, :.∠ACD+∠AC0=∠BC0+∠AC0=∠ACB=90°， 即∠D0C=90°， OC⊥CD, :0C是⊙0的直径， CD为OO的切线： (2)解：：∠ACD=∠B, :tan∠ACD=tanB=2 :AC平分∠EAB, ∠EAC=LBAC, LEAC+LACD=∠BAC+∠B=90°， ∠AEC=90°， AE⊥CD, 在Rt△AEC中，tan∠ACD=AE-1 CE2' 即华 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=2, AC=VAE2+CE2=V42+22=25, 在Rt△ABC中，an∠ACD=4C=L BC=2' 即251 =一 BC 2 :.BC=45, AB=VAC2+BC=25+(45=10, :0A=0C=1AB=5, 2 :∠AED=∠DC0=90°、∠D=∠D, △DAEn△DOC, DE AE DC OC 即DE=2 DE+45 解得DE=8 820 .CD=CE+DE=4+°= 33 -×20×2=20 .S=5×CD×AE=×9 23 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1.(2026辽宁抚顺一模)四边形ABCD是⊙0的内接四边形，连接AC,BD,延长CD至点E. E 图1 图2 (I)如图1，若∠ADB=∠ADE,求证：AB=AC. (2)如图2，若BC=CD=3,⊙0的半径为2，求△BCD的面积. 【答案】(1)见解析 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2277 16 【分析】(I)由圆内接四边形的性质可得∠ADE=∠ABC,再结合圆周角定理得出∠ABC=∠ACB,即可得 证： (2)连接CO并延长交BD于点H,交OO于点F,连接OB,OD,BF,先证明CH垂直平分BD,得出 D:90°，由圆周角定理可得∠CBF=90°，解直角三角形得出sin∠BD CH-},求出B0=2DH-,最后由三角影面积公式计算即可符出结果 2 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， :∠ABC+LADC=180°. :∠ADE+∠ADC=180°， ∠ADE=∠ABC. :∠ADB=∠ADE,∠ADB=LACB, .∠ABC=∠ACB. :AB=AC. (2)解：如图，连接CO并延长交BD于点H,交OO于点F,连接OB,OD,BF. E :0B=0C=OD BC=CD, 图2 :.CH垂直平分BD .BH=DH,∠CHD=90°. :CF为O0的直径， :∠CBF=90°. 在BCF中，BC=3,CF=4, sin∠BFC= BC 3 C℉4' .∠BDC=∠BFC, 3 ∴.sin∠BDC= 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△CDH中，4CHD=90,CD=3,sin∠CDH=CH=3 CD=4' 4 .DH =CD2-CH2 3 4 .BD=2DH= 3V7 ∴.SBcD= D.CH 13万、9277 2 22416 2.(2026辽宁盘锦一模)己知：如图，ABC内接于O0,点E为O0上一点，连接EB,EA,其中EA经 过圆心O,EA的延长线交射线CD于点D,若LACD=∠ABC, B (1)求证：CD是00切线； (2)若AC=5,∠ACD=30°，求EC的长. 【答案】(1)见解析 ag 【分析】(1)过C作圆的直径CM,连接AM,由圆周角定理得到∠MAC=90°，∠ABC=∠M,推出 ∠ACD+∠ACM=90°，即可证明CD是⊙O切线； (2)由圆周角定理得到∠A0C=2∠M-60°，求出∠C0E=120°，判定△0AC是等边三角形，得到 OA=AC=5,由弧长公式即可求出EC的长 【详解】(1)证明：过C作圆的直径CM,连接AM, M B D .∠MAC=90°， .∠M+∠ACM=90°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ACD=∠ABC,∠ABC=∠M, ∠ACD=∠M, ∠ACD+∠ACM=90°， 直径CM⊥DC, CD是OO切线： (2)解：由(1)知∠M=∠ACD=30°， :∠A0C=2LM=60°， ∠C0E=180°-60°=120°， 0A=0C, 二△OAC是等边三角形， ∴.OA=AC=5, :EC=120m×5_10m 1803 3.(2026辽宁锦州一模)如图，ABC内接于0O,AB=AC,CD是⊙0的直径，射线BD,CA相交于点 E,AG⊥BE于点G,交CD的延长线于点F. E F冷 (1)求证：AF是⊙0的切线： (②)若tanE= DF2,求o0的半径 A 【答案】(1)见解析 (2)5√2 【分析】(1)连接AO并延长交BC于点H,由题意得点O在BC垂直平分线上，易证∠ABD=∠BAH,推 出AH‖BD,结合AG⊥BE,推出HA⊥AF,即可证明； (2)连接AD,证明ADFBDA,求出AP=55,再证明&ADFCAF,求出CF-455,即可解 4 答 【详解】(1)证明：连接A0并延长交BC于点H, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A :ABC内接于⊙O, :点O在BC垂直平分线上， AH⊥BC,BH=CH, ·∠AHB=90°，即∠ABH+∠BAH=90°， :CD是O0的直径， .∠DBC=90°，即∠ABD+∠ABH=90°， ∠ABD=∠BAH, .AH‖BD, AG⊥BE, HA⊥AF, ∴∠HAF=90°， :OA是00的半径， :AF是⊙0的切线； (2)解：连接AD, E A G FD 0、 :CD是O0的直径， ∠DAC=90°，即∠DA0+∠CA0=90°， 由(1)知∠0AF=90°，即∠DA0+∠DAF=90°， .∠CAO=∠DAF, 由(1)知AH⊥BC, AB=AC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AH平分∠BAC, ∠CA0=∠BA0, :AH‖BE, LBAO=∠DBA,LE=∠CAO, ∠CA0=∠DBA=LDAF=LE, .DE=CD,AE=AB DA⊥CE, ∠ADE=∠ADC, :∠FDG=LBDC, ∠ADE+∠FDG=LADC+∠BDC,即∠ADF=∠ADB, △ADF△BDA, .AF=AB AC DF AD AD :∠E=∠CA0,OC=0A, .∠E=∠AC0, tan E=3' 1 tanE=tan∠AC0=4D-l AC3' AFAC=3, DF AD r6, 4P=155, 4 :∠DAF=∠ACO,∠F=∠F, .△ADFn△CAF, :AF、DF CF AF 225 .AF2=CFDF= 8， C℉=45V2 4 CD=CF-DF=102 a00的半径为I0w5x对=55. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 圆的相关计算 考点05 1.(2026辽宁抚顺一模)如图，圆锥的底面半径OB=5,高OC=12,则这个圆锥的侧面积是() ---)B A.30元 B.45元 C.65元 D.80元 【答案】C 【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可. 【详解】圆锥的母线BC的长=√52+122=13 1 :这个圆锥的侧面积=二×2π×5×13=65π 2 故选：C 【点晴】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长 2.(2026辽宁朝阳一模)如图，直线4Il2,直线m分别交1、Z于点A、B,以A为圆心，AB长为半径 画弧，分别交、I于直线m同侧的点C、D,LADB=35°，AB=9,则CD的长等于 跨案1 【分析】连接AC,由等腰三角形等边对等角以及平行线的性质，求出∠DAC的度数，再利用弧长公式进行 求解即可。 【详解】解：连接AC,如下图所示： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7 由作图可知，AB=AC=AD=9, LADB=∠ABD=35°， :412, ∠ADB=∠DBC=35°， .LABC=∠ABD+∠DBC=70°， :∠DAC=∠ABC=70°， CD=700 360° 2×元x9=7 2 3.(2026辽宁抚顺一模)如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，过点C作⊙0的切线，交AB的延长 线于点D,连接AC,OC,过点A作AE⊥OC交CO的延长线于点E,若BD=2,CD=2√5. (①)求AE的长； (2)求图中阴影部分的面积. 【答案】() 2)4r-3V5 3 【分析】(1)由切线性质定理及勾股定理求得圆的半径，进而求得∠AOE=∠COD=60°，再在Rt△AOE中 由正弦函数关系即可求解： (2)由(1)所求可求得∠AOC，利用S阴影=S扇形4Bc-S.4oc即可求解. 【详解】(1)解：：CD是⊙0的切线，0C是⊙0的半径， 0C⊥CD. ∠0CD=90°， 设OC=OB=r,则0D=OB+BD=r+2. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△0CD中，由勾股定理，得OC2+CD2=OD2, r2+(23)2=(r+2)2, 解得r=2. ·0A=0B=0C=2,0D=4. 在Rt△0CD中，∠0CD=90°，CD=2V3,0D=4, :sin∠coD=CD-25V5 OD 42 ∠C0D=60°， .∠A0E=∠C0D=60°， AE⊥OC, ∠E=90°， 在R△A0E中，sin∠AOE=4E OA :AE=04:sim∠40E=2xsin60°=2x5-5: 2 (2)解：：∠C0D=60°， :∠A0C=120°， 0A=2, 120元×224元 .S扇形40C= 360 3 :OC=2,AE=√3，AE⊥OC, ∴5c=)0CAB=x2x5=5, 2 2 Ss=5c-50c-红-V5-4红-35 3 3 4.(2026辽宁抚顺一模)如图，点C在以AB为直径的⊙0上，点D是BC的中点，点E在BC的延长线上， 连接AE,且∠EAC=∠ADC. D B (I)求证：EA是⊙0的切线： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ②若sn∠CMD-2,01=5,求BC的长. 【答案】()见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的切线的判定、特殊角的三角函数值、弧长公式等知识点，灵活 运用相关知识成为解题的关键。 (1)根据圆周角定理可得∠ACB=90°即∠CAB+∠ABC=90°，再说明∠ADC=∠ABC,进而求得 ∠EAB=90°，即可证明结论； (2)如图，连接0C,由特殊角的三角函数值可得∠CAD=30°，进而求得∠BAD=∠CAD=30°，然后说明 ∠C0B=120°，最后根据弧长公式求解即可。 【详解】(1)证明：：AB是⊙0的直径， ·∠ACB=90°， ∠CAB+∠ABC=909 .AC=AC, ∠ADC=∠ABC, .∠EAC=∠ADC, .∠EAC=∠ABC, ∠CAB+∠EAC=90°，即LEAB=90°， .EA⊥AB, :AB是⊙O的直径， :EA是⊙O的切线。 (2)解：如图，连接0C, D 1 :sin∠CAD= B ·∠CAD=30° 点D是BC的中点， :BD =CD, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LBAD=∠CAD=30°， :∠CAB=60°， ∴.∠C0B=120° :0A=5, ∴BC的长为"=120mx5_10z 180 1803 1/6 专题06 圆 5大考点概览 考点01垂径定理及其应用 考点02圆周角定理及其推论 考点03与圆有关的位置关系 考点04三角形的内切圆与外接圆 考点05圆的相关计算 垂径定理及其应用 考点01 1．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 2．（2026·辽宁大连·一模）如图，内接于，为的直径，过点O作于点E，交于点F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，是的直径，点C在上，D为的中点，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若的半径为3，，求的长． 圆周角定理及其推论 考点02 1．（2026·辽宁鞍山·一模）在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（   ） A．10 B．5 C．8 D．6 2．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则_____． 4．（2026·辽宁辽阳·一模）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为______．（结果保留） 5．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是半圆O的直径， ，按如下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③连接BP并延长分别交，半圆O于点D，E，连接．的值为________． 6．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，已知内接于，是的直径，点E在弧上，过E作的切线，交的延长线于点F，若平分． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在中，半径，点为延长线上一点，点为上一点，连接，且，连接交于点． (1)求证：与相切； (2)如图，连接，若，，求的长． 与圆有关的位置关系 考点03 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，相切于点C，过点O，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点D、E．点F在的延长线上，且． (1)求证：直线是⊙O的切线； (2)若，，求的长． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，，点D是斜边上一点，点E是直角边上一点，连接，且，，以为直径画，交边于点F，交边于点G． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的直径． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，点C在上，D为射线上圆外一点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)已知E为上一点，平分，若，，求的面积． 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1．（2026·辽宁抚顺·一模）四边形是的内接四边形，连接，，延长至点E． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，的半径为2，求的面积． 2．（2026·辽宁盘锦·一模）已知：如图，内接于，点E为上一点，连接，，其中经过圆心O，的延长线交射线于点D，若． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 3．（2026·辽宁锦州·一模）如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 圆的相关计算 考点05 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，圆锥的底面半径OB＝5，高OC＝12，则这个圆锥的侧面积是（   ） A．30π B．45π C．65π D．80π 2．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于______． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，过点A作交的延长线于点E，若， (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，点在以为直径的上，点是的中点，点在的延长线上，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $