专题05 四边形（5大考点）（辽宁专用）2026年中考数学一模分类汇编

可学科网 www.zxxk 专题05 考点01 多边形的性质与计算 1.D 2. 5 考点02 平行四边形的性质与判定 1.D 2. 2 3.(1)7 (2AF =BH +FH (③)△BFH的面积为斗或 4.(1)LA=∠CBE ②36 5 (3)①AC=CF;②32 考点03 矩形的性质与判定 1.D 2.C 3. 341/24 22 4.72°172度 5.5h5 33 6. 20+V10 3 7.(1)a=1 (2)8 (3)90° 3/3 com 让教与 四边形 学更高效 命学科网 wW ④a-8 8.(1)8-2√7 20MV=AN；②7或l8+36 4 2 9.(1)①3；②菱形 4 (2①7；②SDc=15 形的性质与判定 考点04 1.A 2.12 3.(1)12 5+V62(V6i-5 (2) 2 4.(I)①△AFB≌△ADC;②CF∥AD (2)成立 正方形的性质与判定 考点05 1.D 2.C 3o 4.2 5.(1)aCBE≌△BAG (2)25 (3)vf0 7 6.(1)BE=DG; (2)不成立；CD+DF=√2BE; 6)32+6或35+36 2 7.(1)四边形BCGE是正方形 w.zxxk.com 让 2/3 改与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2AM =BE (3)△ABD的面积为16或32 8.(1)AM=CN,AM∥CN;(2)四边形BB'DD'是菱形，(3)①；②88-56V2 3/3 专题05 四边形 5大考点概览 考点01多边形的性质与计算 考点02平行四边形的性质与判定 考点03矩形的性质与判定 考点04菱形的性质与判定 考点05正方形的性质与判定 多边形的性质与计算 考点01 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，线段，，是一个正多边形的三条边，延长，交于点M，若，则这个正多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）．    平行四边形的性质与判定 考点02 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，E为的中点，F为的中点，连接交于点G，则的值为____ 3．（2026·辽宁铁岭·一模）中，，，分别为，的中点，点为边上一点，过点作垂足为，交直线于，连接． (1)的长度是________； (2)如图，当点在线段上时，求证：； (3)当时，求的面积． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，当，时，求的长． (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：． ②当，时，请直接写出的值． 矩形的性质与判定 考点03 1．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在矩形中，是对角线，点E，F分别在边，上，，交于点G．若点G是的中点，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，四边形是矩形，，，交于点，平分，根据尺规作图的痕迹，若，则的长是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，垂直平分，交于点，点，在对角线上．当时，四边形的周长为____． 4．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，将矩形沿对角线折叠，点A落在点处，交于点E．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，若，则的长为________． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．若点将矩形所在边分为了两部分，则的长为___________． 7．（2026·辽宁沈阳·一模）在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， (1)如图1，当的面积为3时，求的值； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)当时，求的度数； (4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 8．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转α（），得到矩形，交射线于点M． (1)如图1，当点G在边上时，求的长． (2)设射线与射线相交于点N． ①如图2，当点N在的延长线上时，求证：． ②若，求的长． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形纸片中，，，为对角线，，分别为边，上的点，将矩形纸片沿折叠，点的对应点记为，点的对应点记为，使点落在直线上，与的交点为． (1)当点与点重合时． ①求的长； ②连接，判断四边形的形状，并说明理由． (2)当点落在射线上时，与的交点为． ①求的长； ②直接写出的面积． 菱形的性质与判定 考点04 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是上的动点，且．若菱形的面积等于24，，记，，则代数式的值为___________ 3．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，菱形的顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B在第一象限，反比例函数的图象经过点C，交于点D，点A的坐标为，菱形的面积为20． (1)求k的值； (2)求点D的坐标． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图：四边形中，，，垂足为，点在线段的延长线上，且，连接，． (1)如图1，当，时． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，当，不垂直时，②中与的位置关系是否仍然成立，若成立写出证明过程，若不成立，请说明理由． 正方形的性质与判定 考点05 1．（2026·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，正方形的边长为，为的中点，点在上，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 3．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标是________． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 5．（2026·辽宁朝阳·一模）如图1，正方形中，点E为边上一点，将沿翻折得，射线分别与、交于点O、G． (1)求证：； (2)如图2，当，时，求正方形的边长； (3)如图3，在（2）的条件下，线段，相交于点H，求的长． 6．（2026·辽宁阜新·一模）如图，四边形是正方形，点F是射线上的动点，连接，以为对角线作正方形，连接，，过点G作交射线于点H． (1)当点F在线段上时，求证： ①； ②． (2)当点F在线段的延长线上时，（1）中的②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出正确的结论． (3)若，时，请直接写出的长． 7．（2026·辽宁抚顺·一模）在“综合与实践”活动课上，老师提出问题：将绕点B顺时针旋转得到，其中，． (1)如图1，当点E落在外部，且时，延长交于点G，求证：四边形是正方形； (2)如图2，当点E落在内部，且时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N，求证：； (3)将绕点B顺时针旋转的过程中，当时，连接．若，，求的面积． 8．（2026·辽宁大连·一模）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，还蕴含着丰富的数学知识． 已知正方形纸片的边长为． 实践操作： （）如图，连接，将正方形纸片分别沿过点和点的直线折叠，使点和点都落在上，对应点分别是点和点，折痕分别与和交于点．猜想线段与线段之间的数量关系和位置关系是________； （）将图的纸片展开，如图，顺次连接点，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由； 操作探究： （）折叠正方形，使点落在上的点处，得到折痕（点分别是折痕与边和边的交点）． 如图，若恰好是边的中点，则的长为________； 如图，若为等腰直角三角形，连接，则四边形的面积是________． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形 ☆5大考点概脱 考点01多边形的性质与计算 考点02平行四边形的性质与判定 考点03矩形的性质与判定 考点04菱形的性质与判定 考点05正方形的性质与判定 考点01 多边形的性质与计算 1.(2026辽宁阜新一模)如图，线段AB,BC,CD是一个正多边形的三条边，延长AB,DC交于点M, 若∠M=90°，则这个正多边形是() A B M A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的外角，三角形内角和定理和等边对等角，正确记忆相关知识点是解题的 关键.由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可。 【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， .∠MBC=∠MCB, :∠M=90°， .∠MBC=∠MCB=(180°-∠M)=45°， 则该正多边形的边数为360°÷45°=8， :这个正多边形是正八边形 故选：D 2.(2026辽宁抚顺一模)如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE,则阴影 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 部分的面积为 (结果保留π). B D 【答】号 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出∠A的度数，利用扇形面积公式计算即可. 【详解】解：正五边形的内角和=(5-2)×180°=540°， ·∠4=540 =108°， ·S扇形ABE 108元22_6π 360 5 6π 故答案为： 【点晴】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是 解答本题的关键 考点02 平行四边形的性质与判定 1.(2026辽宁抚顺一模)如图，在口ABCD中，AB=10,AD=6,∠ABC=60°，将线段DC沿DC方向向 右平移，得到EF(点D的对应点为E,点C的对应点为F),连接AE,BE,BF,再将△BEF沿EF折叠， 使点B落在平面内的点G处.当GF⊥CD时，线段AE的长度为() G D A.3 B.4 C.5 D.3√5 【答案】D 【分析】先说明四边形ABFE为平行四边形，再由翻折可得∠BEF=∠GFE=90°，进而得到∠AED=90°， 再解直角三角形即可。 【详解】在口ABCD中，AB∥CD,AB=CD, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB∥EF,AB=EF, “四边形ABFE为平行四边形， :GF⊥CD, LGFC=90°， 又△BEF沿EF折叠，点B落在平面内的点G处， ∠BFE=LGFE=90°， :四边形ABFE为矩形， LAED=90°， 又∠ABC=60°， .∴.∠D=60°，∠DAE=30°， AD=6, DE=AD=3,4E=AD-DE=33 2.(2026辽宁抚顺一模)如图，在口ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中点，连接BE,CF交于点G, 则 的值为 CG A F D G 【路1月 【分析】延长BE,AD交于点H,证明△BCE≌△HDE(AAS),可得BC=DH,从而得到 BC △FGH∽△CGB,解答即可. 【详解】解：如图，延长BE,AD交于点H, A D C :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC, .∠CBE=∠H,∠BCE=∠EDH, :点E为CD的中点， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CE DE, :△BCE≌△HDE(AAS), .BC=DH, .AH =2BC, :点F为AD的中点， 2 1DH 2 FH=2BC,即 FH 3 2 C2 AD∥BC, △FGHACGB, FG FH 3 CG BC 2 3.(2026辽宁铁岭一模)Rt△ABC中，AB=AC=14,D,E分别为AC,BC的中点，点F为BC边上 一点，过点B作BG⊥AF垂足为G,交直线DE于H,连接FH, D G B 图1 图2 (I)DE的长度是 (②)如图1，当点F在线段BE上时，求证：AF=BH+FH; (3)当AF10时，求△BFH的面积. 【答案】(1)7 (2)证明见解析 ③△8FH的面积为 3 【分析】(1)利用中位线的性质求解即可： (2)连接AE,延长AE交BH延长线于M,利用等腰直角三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质 得出∠EAF=∠EBM,即可证明△AEF≌△BEM(ASA),得出AF=BM,EF=EM,进而可证明 △MEH≌△FEH(SAS),得出MH=FH,根据线段的和差关系即可得结论； (3)当点F在BE上时，连接AE,过点F作FN⊥AB于N,过点H作HP⊥BC于P,利用勾股定理可求 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 出BN=FN=6,BF=6√2，EF=√2根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠HBP=∠FAE,可得 m∠HBr=m∠FE阳号，即可求出PE=PH-7 ,利用三角形面积公式即可得△BFH面积：同 理，当点F在CE上时，连接AE,过点F作FQ⊥AB于Q,过点H作HK⊥BC于K,求出BF=8√2， EK-HK= ,即可得△BFH面积；综上即可得答案， 6 【详解】(1)解：：AB=AC=14,D,E分别为AC,BC的中点， DE为ABC的中位线， DE=24B=7 (2)证明：如图，连接AE,延长AE交BH延长线于M, M E D G B 图1 :Rt△ABC中，AB=AC=14,E为BC的中点， .AE⊥BC,∠AEF=∠BEM=90°，AE=BE,∠C=∠ABC=45°， ∴.∠MBE+∠M=90°， :BG⊥AF, .∠MAG+∠M=90°， ∴∠EAF=∠EBM, ∠EAF=∠EBM 在△AFE和△BME中， AE=BE ∠AEF=∠BEM=90° △AEF≌△BEM(ASA), .AF=BM,EF EM, :DE为ABC的中位线， DE∥AB,∠CED=∠ABC=45°， ∠AED=∠CED=45°， .∠MEH=∠FEH=45°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EM=EF 在△MEH和△FEH中， ∠MEH=∠FEH, EH =EH :.△MEH≌△FEH(SAS), .MH=FH, BM BH +MH, .AF BH+FH. (3)解：如图，当点F在BE上时，连接AE,过点F作FN⊥AB于N,过点H作HP⊥BC于P,此时， AN>DE,即AN>7,则BN=FN<7, D D B 图2 设BN=FN=x,则AN=14-x, AF 10,AF2=AN2+FN2, .x2+14-x)2=102, 解得：x1=6,x2=8(舍去)， .BF=2FN =62, AB=AC=14, BC=V2AB=142,BE=BC=7√2， EF=BE-BF=√2， tan∠FAE=EFV2 1 AE 7 :∠FAE+∠AFE=90°，LHBP+LBFG=90°，∠AFE=∠BFG, ∠HBP=∠FAE, ian∠HBP=tan∠FAE=PH-1 :PH⊥BC,∠HEB=45°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△EPH是等腰直角三角形，PE=PH, PE 1 PE-PH=1BE=72 8 5m8F-m=6x7g-头 x8=4 如图，当点F在CE上时，连接AE,过点F作FQ⊥AB于Q,过点H作HK⊥BC于K,此时，AQ<DE, 即AQ<7,则BQ=FQ>7, E G B 图2 同理可得，BQ=FQ=8,BF=8√2， ÷EF=BF-BE=82-72=V2,an∠FAE=EF=是 :∠FAE+∠AFE=90°，∠HBK+∠BFG=90°， .∠FAE=∠HBK, tan∠HBK=tan∠FAB=-s=。 BK=7· :∠CED=45°， :△HEK是等腰直角三角形，HK=EK, HK EK 1 BK BK 7 EK=HK=1BE-12 6 6 1 1 SBFm=BF-HK=×8V2x 7V228 2 63 综上所述：△s的1的面积为孕发号 4.(2026辽宁抚顺一模)在ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D落 在边AB上，连接BE. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠A=∠CBE. (2)如图2，当BC=2,AC=1时，求BD的长. (3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,过点B作AC的平行线交FE于点G,DE与BC交 于点K ①求证：AC=CF. ②当an4=4 ,DK=7时，请直接写出KE的值 【答案】()见解析 235 5 (3)①见解析：②32 【分析】(I)根据旋转可得知CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,进而即可得到结论； (2)根据BC=2,AC=1,LACB=90°，可得AB=√5，由aACF∽aABC,利用相似三角形的性质即可解 答； (3)①通过证明三角形全等得出线段相等关系；②先根据平行四边形的性质得到相关线段长度，再利用三 角函数，全等三角形性质以及相似三角形性质求出KE的值， 【详解】(1)证明：由旋转的性质，知CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, :∠A=∠ADC=180°-∠4CD,∠CBE=∠CEB-180-∠BCE 2 2 ∠A=∠CBE; (2) 解：如图I,过点C作CH⊥AD于点H. 图1 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RIAABC中，AC=L,BC=2, :AB=√AC2+BC2=5 :∠ACB=∠AHC=90°，∠A=∠A .△ACHn△ABC AC AH 1 AH AB AC ,即51 AH=5 :AC=CD,CH⊥AD .AD=2AH= 25 5 ∴BD=AB-AD= 3V5 5 (3)解：①证明：由旋转的性质，得∠ACB=∠DCE=90°，BC=CE,CA=CD .∠BCF=∠DCE=90° .ZBCD ZECF CA=CD .∠A=∠ADC FGAB .∠A+∠EFC=1809 :∠BDC+∠ADC=180° .LBDC=∠EFC .△BCD兰AECF .CD=CF .AC=CF; ②如图2，延长BC,GF交于点M. G B E M 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设AC=3k,则CF=3k :BG‖AF,FGI AB :四边形ABGF为平行四边形 .BG=AF=6k 4 在RIAABC中，tanA 3 .BC=4k :AB=AC2+BC2=5k ·DE=AB=5k :∠ACB=90° ∠A+LABC=900 (1)知∠A=∠CBE ∴.∠CBE+∠ABC=90 .BE⊥AB :S平行西边形ABGr=ABBE=AFBC .BE=AF.BC_6k.4k 24k AB 5k5 在0E中，由定，传0-0e-F-6t--, 由O可知BCD ECF,则EF=BD=k, ABIIFG ∠ABC=∠M :AC=CF,∠ACB=∠FCM aABC=△FMC .AB=MF=5k EM :∠BKD=∠MKE,∠ABC=∠M ∴△BDK∽△MEK BD DK 7 ·MEKE32 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 KE=32 考点03 ē形的性质与判定 1.(2026辽宁鞍山一模)如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，点E,F分别在边AB,BC上，BD, EF交于点G.若点G是EF的中点，AB=6,BC=9,AE=2,则BG的长是() A G A.5 B. 20 C. D.√3 3 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质是解题的关键。 根据矩形的性质可得AB=CD=6,∠ABC=∠C=90°，AB∥CD,从而可得∠ABD=∠BDC,然后利用直 角三角形斜边上的中线的性质可得EG=BG,从而可得∠BEG=∠ABD,进而可得∠BEG=∠BDC,再证 明aEBF∽△DCB,利用相似三角形的性质即可求出BF,利用勾股定理求出EF即可解答. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， AB=CD=6,∠EBF=∠C=90°，AB∥CD, ∴.∠ABD=∠BDC, AE=2, .BE=AB-AE=6-2=4, G是EF的中点， CEG=BG-EK ∠BEG=∠ABD, LBEG=∠BDC, △EBF∽△DCB, EB BF DC CB 4BF 69 BF=6, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF=√BF2+BE2=2V13, G-EF 故选：D 2.(2026辽宁抚顺-黄)知图，四边形48CD是知形，am∠CBD-AC,BD交于点0，DE平分 ∠BDC,根据尺规作图的痕迹，若CE=2,则OF的长是() A.2 B.√2+1 C.5+1 D.5 【答案】C 【分析】过点E作EH1BD于点1，由角平分线性质定理得EH=CE=2,根据an∠CBD=EH=!, RH2,得 BH=4;求得BC=25+2;再证明0F是ABC的中位线，可得OF=√5+1. 【详解】解：如图，过点E作EH⊥BD于点H, B :四边形ABCD是矩形， ∠BCD=∠ABC=90°，A0=C0=B0=D0, :DE平分LBDC,EH⊥BD, .EH CE =2, 在RIA BEH中，EH=2,an∠CBD=EH- RH2' BH=4; 在Rt△BEH中，由勾股定理，得BE=√EH2+BH2=2V5, :BC=BE+CE=25+2; 由尺规作图的痕迹，知∠AOF=∠ACB, .OF∥BC, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF AO FB OC 0A=0C, .AF =BF, :点F是AB的中点， OF是ABC的中位线， ∴.OF= 8c=5+1. 3.(2026辽宁抚顺一模)如图，在矩形ABCD中，AD=3,CD=4,EF垂直平分AC,交AC于点O, 点M,N在对角线AC上.当AN=CM=I时，四边形EMFV的周长为· D F M E B 【答案】3/2④ 22 【分析】连接AF，根据矩形的性质结合勾股定理可求得AC的长，由矩形的性质结合垂直平分线的性质证 明△FCO≌aEAO(AAS),从而可得OF=OE,进而证明四边形FNEM是菱形，设AF=CF=x,则 DF=CD-CF=4-x,依据勾股定理依次求得AF,OF,NF的长，最后根据菱形的性质求解周长即可 【详解】解：如图，连接AF, D M A E B 在矩形ABCD中，∠D=90°，AD=3,CD=4, AC=VAD2+CD2=V32+42=5, :EF垂直平分AC,交AC于点O, A0=0C=AC=5, 2 AF=CF, .AN =CM =1, AO-AN-0C-CM=5- >—22、入了子 2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ABCD是矩形， .ABII DC, .∠FC0=∠EA0, :∠FC0=∠EA0,∠FOC=∠E0A,OC=0A, △FCO≌△EAO AAS), :0F=0E, :OF=OE,NO=MO,EF⊥NM, :四边形FNEM是菱形， 设AF=CF=x,则DF=CD-CF=4-x, 在RIAADF中，由勾股定理得，AD?+DF2=AF2, 3+(4-x=,解得x-25 8, 即AF=25 :.OF=AF2-AO .NF =OF2+NO 四边形EMFN的周长为4NF=4 341341 8 2 4.(2026辽宁铁岭一模)如图，将矩形纸条如图折叠，若∠1=36°，则∠2的度数是 【答案】72°172度 【分析】本题可利用矩形纸条对边平行的性质，结合折叠前后对应角相等的特点，通过平角的定义建立∠1与 ∠2的数量关系，进而求解∠2的度数， 【详解】解：由图题意可得折痕为AC,BM|CV,令点H是NC延长线上一点， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H :∠1=36°，BM CN, ∠ACN=∠1=36°， 由折叠的性质可知，∠BCA=∠BCH, :∠BCH+∠2+∠ACN=180°. 36°+2∠2=180°， 2∠2=144°， ∠2=72°. 5,(2026辽宁抚顺·一模)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A处，AD交BC于点E.将 △CDE沿DE折叠，点C的对应点C恰好落在BD上，若AB=1,则CE的长为 B A 【答案】55 33 【分析】根据折叠的性质求出LCDE=LBDA'=∠ADB=30°，然后解直角三角形求出CE即可. 【详解】解：：矩形ABCD, ∴∠ADC=∠C=90°，CD=AB=1, :将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A处， .∠ADB=∠BDA', :将△CDE沿DE折叠，点C的对应点C恰好落在BD上， ∠CDE=∠BDA', ∠CDE=∠BDA'=∠ADB=二×90°=30°， 3 CE=CD-tan30°=lx5=5 33 6.(2026辽宁抚顺一模)如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD>AB,以点B为圆心，BA的长为半径画 弧，交BC于点E,连接DE,以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交DA,DE于点M,N,再分别 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以点M,N为圆心，大于MW的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线DP,交边AB于点G.若点G将 矩形所在边分为了1：4两部分，则DE的长为 M B E 【答案】 20+10 3 【分析】根据点G将矩形所在边分为1：4两部分进行分类讨论：①GB:GA=上：4，先延长DG交CB的延长线 于点Q,根据题意判断出AB=BE=5,DG是∠ADE的角平分线，结合矩形的性质证明△GQB∽△GDA和 △DOE为等腰三角形，接着设BQ=x,得到ED=EQ=5+x,BC=AD=4x,根据Rt△ECD进行勾股定理 进行列方程即可；②GB:GA=4L,同理可得△GQB∽aGDA,设AD=x,QB=4x,根据Rt△ECD通过勾 股定理列方程即可。 【详解】分类讨论：①GB:GA=14, 如图，延长DG交CB的延长线于点Q, G :矩形ABCD, AD∥BC,BC=AD,AB=CD=5,∠C=90°， △GQB△GDA, GB BO 1 GAAD4· 设BQ=x,则BC=AD=4x, :根据题意得：AB=BE=5, .EC=4x-5 :据题意得：DG是∠ADE的角平分线， ∠ADG=LEDG, :AD∥BC, ∠ADG=∠Q, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、∠Q=∠EDG, .ED=EO=5+x. 在Rt△ECD中， 由勾股定理得：CD2+EC2=ED2, 即：52+(4x-5)2=(5+x)2 解得x=5±0 3 当x=5-0时，此时AD<AB;不合题意，舍去. 3 “x=5+0 3 ÷DE=5+5+i0_20+V10 3 3 ②GB:GA=4:1, 同理可得△GQB∽△GDA, 设AD=x,则QB=4x .ED=EO=4x+5,EC=x-5. :在Rt△ECD中， .由勾股定理得：CD2+EC2=ED 即：52+(x-5)2=(4x+5)2 解得x=-5±210 3 :-5+210 3 5,即AD<AB, 又：-5-20 <0, 3 此种情况不成立. 7.(2026辽宁沈阳一模)在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,点E,F分别是边BC和边CD上的动点， DF=2BE,BE=Q,连接AF,AE,EF, F D F E G 图1 图2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，当△ADF的面积为3时，求a的值； (2)在(1)的条件下，求△AEF的面积： ⑥)当a=3时，求∠AFE的度数； 4 (4)如图2，将△CEF沿直线EF翻折，当点C的对称点G恰好落在AB边上时，求a的值 【答案】(I)a=1 (2)8 (3)90° ④a=9 8 【分析】(1)根据三角形的面积公式代入即可求得答案； (2)由(1)可得：a=1,再根据SHEF=S矩形ABcn-S4DF-SFCE-S.ABE,分别代入即可得到答案； 3 (3)当a=二时，分别求出DF,EC,FC的长，再分别利用勾股定理分别求出AF2，EF2,AE2的长，再 4 由勾股定理的逆定理即可得到答案； 3 （4)过点F作FH上AB,易证得FHGGBE,从而可求得GB=2,在R1△GBE中，由勾股定理可得： GE2=GB2+BE2,即可求得求a值。 【详解】(1)解：：DF=2BE,BE=a, .DF=2a, AD =3,S.4DF =3, SADe)DF·ADS 2*2a×3=3, a=1, (2)解：由(1)可得：a=1, .BE=1,DF=2, :AB=6,AD=3, CE=2,FC=4, S.4EF=S矩形4BCD-SHDF-SFCE-S.ABE, =3x6-x2x3-x2x4-x1x6 1 1 2 =18-3-4-3 =8 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 (3)解：由题可得，当a=二时， 4 3 AB=6,AD=3, EC=BC-BE=3-=FC=CD-DF=6-39 22 在RtAADF中，由勾股定理可得：AF2=AD2+DF2=32+ 在Rt△FCE中，由勾股定理可得：EF2=FC2+EC 在85E中，由购服定可：4E=4:c-6-目答 .AF2+EF2=AE2, .∠AFE=90°. (4)解：过点F作FH⊥AB,交AB于H, F E H B G 图2 :AB=6,AD=3,DF=2BE,BE=a,由折叠的性质可得： FG=FC=6-2a,EC=EG=3-a,∠FGE=C=90°， :∠B=∠FHG=90°=90°， ∠EGB+∠GEB=90°，∠FGH+∠EGB=90°， ∠FGH=∠GEB, .△FHGn△GBE, :FH_FG GBGE,即 _6-20=2, GB 3-a :GB=2' 3 在Rt△GBE中，由勾股定理可得：GE2=GB2+BE2, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：a=8 9 8.(2026辽宁抚顺：一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转a (0°<&<90°)，得到矩形AEFG,EF交射线CB于点M. M 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点G在边BC上时，求CG的长， (2)设射线AG与射线BC相交于点N. ①如图2，当点N在BC的延长线上时，求证：MN=AN. ②若CM=2CN,求BN的长. 【答案】(1)8-2万 20证明见解析：②7或18+36 2 【分析】(1)根据矩形的性质，旋转的性质，勾股定理即可解答； (2)①连接AM,根据旋转的性质证Rte AMB≌RtAAME(HL),结合AG∥EF得∠BMA=∠MAN即可解 答 ②分当点N在线段BC上或延长线上两种情况讨论，根据勾股定理列方程解答即可. 【详解】(1)解：：四边形ABCD为矩形， .AD BC=8. 四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG, .AG=AD=8. 在Rt△ABG中，∠ABG=90°， 由勾股定理，得BG=√AG2-AB2=√⑧2-62=2√7. .CG BC-BG =8-2/7. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①证明：如图1，连接AM. E B 图1 矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG, AE=AB,∠E=∠ABC=90° .∠MBA=180°-∠ABC=180°-90°=90°， ∠MBA=∠E=90° 在Rt△AMB和Rt△AME中， 「AM=AM AB=AE· .Rt△AMB≌Rt△AME(HL). .∠BMA=∠EMA. :AG∥EF, .∠EMA=∠MAN. .∠BMA=∠MAN. .MN =AN. ②根据题意，分以下两种情况： I如图2，当点N在线段BC上时，设BN=x,则CN=8-x, D 图2 CM =2CN, MN=CN=8-x.与①同理，易得AN=MN=8-x. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ABN中，∠ABN=90°，由勾股定理，得AN2=AB2+BN2, .(8-x2=62+x2. 7 解得x= 4 BN= Ⅱ如图3，当点N在线段BC的延长线上时， M B G 图3 设CN=m,则CM=2m,BN=8+m. .MN AN =3m. 在Rt△ABN中，∠ABN=90°，由勾股定理，得AN2=AB2+BN2, .(3m=62+(8+m) 解得m=2+3V6 2-3V6 2,m3= 2 (舍去) ∴Cw=2+3V6 2 BW=18+3V6 2 综上所述，BV的长为Z或18+36 2 9.(2026辽宁抚顺一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,BD为对角线，E,F分别为边 AD,BC上的点，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点A的对应点记为A,点B的对应点记为B,使点B落 在直线BD上，EF与BD的交点为O. 、⊙ D(B） A 备州图 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)当点B与点D重合时. ①求CF的长； ②连接BE,判断四边形EBFD的形状，并说明理由 (②)当点A落在射线CD上时，BF与CD的交点为G. ①求BF的长； ②直接写出△B'DG的面积. 【答案】(1)①3；②菱形，见解析 64 207；②S.spc=15 【分析】(1)①根据折叠，得出FB=FD,设CF=x,根据矩形和勾股定理得出CF2+CD2=DF2,代入参 数即可求解；②根据由折叠，知EF垂直平分BD,结合矩形的性质证明△EOD≌△FOB(AAS),推出四边形 EBFD是平行四边形，再根据EF⊥BD,判断四边形EBFD的形状即可： (2)①过点A作A'M⊥B'D于点M,由折叠，知FB=FB',BB'⊥EF,LA'B'F=90°，AB=A'B'=4, 由角度的等量代换推出∠A'DB'=∠A'B'D,得出A'D=A'B'=4,再分别证明△BCD△A'MD和 △BCD∽△BOF,根据相似的性质即可求解；②如图，过点B作B'N⊥A'D于点N,根据 Sm号M-DB=D-N,结合(2中线段长度，求出BN=5,再证明：8 NGFCG,解得 FG-,然后根据Rt△CGF,求出CG、DG,即可求出△B'DG的面想 【详解】(1)解：①由折叠，知FB=FD. :在矩形ABCD中，∠C=90°，CD=AB=4, .设CF=x,则BF=BC-CF=8-x. .DF=8-x. :在CDF中，由勾股定理，得CF2+CD2=DF2, x2+42=(8-x2. 解得x=3. CF=3. ②四边形EBFD是菱形，理由如下： 由折叠，知EF垂直平分BD, OD=OB,EF⊥BD. :在矩形ABCD中，AD∥BC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠EDO=∠FB0,∠DE0=∠BF0, :△EOD≌△FOB(AAS), .OE OF. :四边形EBFD是平行四边形. :EF⊥BD, :四边形EBFD是菱形. (2)解：①如图，过点A作A'M⊥B'D于点M, A B 由折叠，知FB=FB',BB'⊥EF,LA'B'F=90°，AB=A'B'=4, ∠DBC=∠BB'F, ∠ABD=∠A'B'D, :∠ABD=∠BDC, LA'B'D=∠BDC. ∠BDC=∠A'DB', ∠A'DB'=∠A'B'D. .A'D=A'B′=4， :矩形ABCD中，∠C=90°，BC=8,CD=4, BD=VBC2+CD2=V82+42=4V5, :在△BCD和△A'MD中， ∠DCB=∠A'MD ∠CDB=∠A'DM ∴△BCD∽△A'MD, 4 AD-MD,即8=45.4 BC BD CD A'M 4 MD 5,MD=45 A'M=8 5 :A'D=A'B,A'M⊥B'D, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DB'=2MD=8 5 BB'=4V5+8V528V5 5 B0=BB=14V5 :在△BCD和△BOF中， ∠DCB=∠BOF ∠CBD=∠CBD' △BCD∽△BOF, BO BF 14V5 8C8D即 BE 8 4v5 .BF=7 64 ②S,Bp6=15 如图，过点B作B'N⊥A'D于点N, A------- B 由之D得4M=·DB=5·BF=之， 5.m-7M-D8-D.BN. 1 2 即85×85=Bw4,解得：BW=16 55 :矩形ABCD,BC=8,BF=7, CF=1, :在△B'NG和△FCG中， [∠B'ND=∠GCF ∠B'GN=∠FGC' △B'NGn△FCG, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16 B'N=B'G-5=16 CF FG 1 5 :B'F =BF =7, B'G B'F-FG 16 FG FG 5 解待FG :在Rt△CGF中， :由勾股定理，得CG=√FG2-CF2 .DG=CD-CG=4- 48 33 :S.BDG= DG.B'N=1x8x16-64 235=15 形的性质与判定 考点04 1.(2026辽宁阜新一模)如图，菱形0ABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点0逆时针旋转每秒旋转 45°，则第54秒时，菱形的对角线交点D的坐标为() D 2 A.(1,-1 B.（-1,1 c.（2,0 D.(0,-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、图形的旋转，探索图形的规律，根据点B的坐标可知OB是平面直角 坐标系中第一、三象限的角平分线，根据点B的坐标和菱形的性质可知点D的坐标是(1，)，根据每秒旋转 45°可知每8秒旋转一圈，54秒时菱形旋转了6圈又6秒，根据6秒菱形旋转的角度，判断点D所在的象限， 根据象限求出坐标。 【详解】解：设直线OB的解析式是y=kx(k≠O), 把点B(2,2)的坐标代入y=, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可得：2k=2, 解得：k=1, ·直线OB的解析式是y=x, ∴.OB是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线， :四边形OABC是菱形， D点是OB的中点， ·点D的坐标是(1,1)， :360÷45=8, :旋转8秒时点D回到初始位置， 54÷8=6…6, :第54秒时，点D旋转了6圈又6秒， :6×45=270°， :点D旋转到第四象限， :点D的坐标是1，-1) 故选：A. 2.(2026辽宁抚顺一模)如图，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD上的动点， 且BE=BF=CG=AH.若菱形的面积等于24，BD=8,记EF=x,GH=y,则代数式2x+2y的值为 【答案】12 【分析】由菱形的性质求出AC=6,证明∠BEF=∠BAC,得EF∥AC,证出△BEF∽△BAC,得出 纪同理可容C从可证明EP+GHAC=6,合x+V6 【详解】解：如图，连接AC,交BD于点O, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,AB=BC=CD=AD, :菱形的面积为24，BD=8, ,AC·BD 2 =24 AC=6, BE=BF, 1 &∠BEF=∠BFE=2X180P-∠EBF), BA=BC, :∠BAC=∠BCA=180°-∠ABC), 2 ∠BEF=∠BAC, .EF∥AC, △BEF∽△BAC, EF BE ·ACBA BA DA, EF BE AC DA 同理可证△DHG∽△DAC, HG DH AC DA EF HG BE,DH ACAC DADA EF HG-BE+DH -H+DH DA-1. AC DA DA DA .EF+GH=AC=6, x+y=6, 2x+2y=2x+y=12. 3.(2026辽宁铁岭一模)如图，菱形OABC的顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B在第一象限， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 反比例函数y=(>0)的图象经过点C,交AB于点D,点A的坐标为(5,0)，菱形0ABC的面积为20. (①)求k的值： (2)求点D的坐标. 【答案】(1)12 5+6i2(61-5 2 3 【分析】(1)由点A的坐标得OA=5,由菱形的面积可求出点C的纵坐标，根据勾股定理可求出OE=3, 得出点C(3,4),从而可求出k的值： (2)确定点B的坐标，求出直线AB的解析式，与反比例函数联立方程组，解方程组可得点D的坐标。 【详解】(1)解：点A的坐标为5,0)， .0A=5, :菱形0ABC的面积为20， 5×yc=20, 解得yc=4, :点B在第一象限， 点C的纵坐标yc=4, :四边形OABC是菱形， ..0A=AB=BC=CO=5, 过点C作CE⊥x轴于点E, 在RtAOCE中，OC=5,CE=4, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据勾股定理得：0E=√0C2-CE2=V52-42=3, .点C的坐标为3,4)， :反比例函数y=过点C(3,4), .k=3×4=12; (2)解：：四边形OABC是菱形，所以AB∥OC,AB=OC=5, 又，点A的坐标为5,0)， .点B的坐标为5+3,4)，即(8,4) 设直线AB的解析式为y=c+b 5m+n=0 将点A(5,0),B(8,4)代入可得 8m+n=4' 4 m=- 3 解得 201 n=- 3 :直线AB的解析式为)=3-)， 420 4 20 y=一x- 3 联立直线AB与反比例函数的解析式得 2 3 x 解得x= 5±√61 2 x>0, “x=5+6 2 将x5+石代入y=2得：y2-到 5+6i2(6ī-5) 点D的坐标为 2’3 4.(2026辽宁抚顺一模)如图：四边形ABCD中，LABC=∠ACB=∠ADB,AE⊥BD,垂足为E,点F在 线段DE的延长线上，且FB=2DE,连接CF,AF. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 (I)如图1，当EF=ED,AC⊥BD时. ①求证：△AFB≌△ADC; ②猜想CF与AD的位置关系，并说明理由： (②)如图2，当EF<ED,AC不垂直BD时，②中CF与AD的位置关系是否仍然成立，若成立写出证明过程， 若不成立，请说明理由 【答案】(1)①见解析；②CF∥AD,理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂 直平分线的性质，熟练运用上述性质是解题的关键 (1)①证明AC是线段FD的垂直平分线，可得∠AFD=∠ADF,利用角度转换得到LBAF=∠CAD,即可 证明△AFB≌aADC(SAS); ②根据△AFB≌△ADC,可得BF=DC,通过线段转换得到CF=CD=DF=BF,即可证明△CFD是等边 三角形，得到∠CFD=60°，再证明ABC是等边三角形，即可得到四边形AFCD为菱形，即可解答； (2)在DE的延长线上取点G使EG=ED,得到AE是线段GD的垂直平分线，再证明 △AGB≌△ADC(SAS),继而得到△FDC是等腰三角形，得到LDCF=∠DFC,即可解答. 【详解】(1)①证明：EF=ED,EF⊥AC, :AC是线段FD的垂直平分线， :AF AD, ∠AFD=∠ADF, :∠ABC=∠ACB=∠ADB, :∠ABC=∠ACB=∠ADB=∠AFD, '∠ABC+LACB+LBAC=180°，∠AFD+LADF+∠FAD=I80°， .∠BAC=∠FAD, :∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠CAD, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAF=∠CAD, :∠ABC=∠ACB, :AB=AC, :AB=AC,∠BAF=∠CAD,AF=AD, AAFB≌aADC(SAS: ②解：CF∥AD,理由如下： :△AFB≌△ADC, :BF=DC, DF =2DE :BF DF=DC, :AC是线段FD的垂直平分线， :AF=AD,CF CD, :CF CD DF=BF, :△CFD是等边三角形， .∠CFD=60°， CF=BF, ∴△CFB是等腰三角形， :∠FBC=∠FCB, :∠CFD是△CFB的外角， ∠FBC+∠FCB=∠CFD=60°， .∠FBC=∠FCB=30°， :∠FBC+∠BCE=90°， :LBCE=60°， .AB=AC, △ABC是等边三角形， :BE⊥AC, .BE是AC的垂直平分线， :FA=FC, :FA=FC=AD=DC, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形AFCD是菱形， CF∥AD: (2)解：CF‖AD成立，理由如下， 如图，在DE的延长线上取点G使EG=ED, :∠ABC=∠ACB, :AB=AC, EG=ED,AE⊥BD, :AE是线段GD的垂直平分线， :AG=AD, “△AGD是等腰三角形， .∠AGD=∠ADB, :∠ABC=∠ACB=∠ADB, ∠ABC=∠ACB=∠ADB=∠AGD, :∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠AGD+∠ADF+∠GAD=180°， ∴∠BAC=∠GAD, ∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠CAD, .∠BAG=∠CAD, B D:AB=AC,∠BAG=∠CAD,AG=AD, △AGB≌△ADC(SAS), ∴.GB=DC,∠AGB=∠ADC, :∠AGB是△AGD的外角， :∠AGB=∠ADB+∠DAG, :∠ADB+∠CDF=∠ADB+∠DAG, ∠CDF=∠DAG, BG+GD=BF FD,GD=BF =2ED, :BG=FD, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :FD=CD, :△FDC是等腰三角形， ∠DCF=LDFC, :∠DCF+∠DFC+∠CDF=180°，∠AGD+LADB+∠DAG=I80°， ∠DFC=∠ADB, :CF∥AD 正方形的性质与判定 考点05 1.(2026辽宁抚顺·一模)边长为√2的正方形0ABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，如 图将正方形OABC绕顶点O逆时针旋转75°，使点B恰好落在抛物线y=ax2上，则a的值是() A. √2 B.-V5 C.v3 D.5 2 3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，连接OB,作BD⊥y轴于点D,正方形的性质求出OB的长， 旋转结合角的和差关系，求出∠BOD=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，求出B点坐标，即可得 出结果。 【详解】解：连接OB,作BD⊥y轴于点D, :正方形OABC,边长为√2， .BC=0C=V2,∠0CB=90°，∠A0B=45°， :OB =20C=2, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “旋转， :.0A与x轴正半轴的夹角为75°， ∠A0D=90°-75°=15°， .∠B0D=∠A0B-∠A0D=30°， BD-L0B=1:OD=V3BD=3 B-1,5, :点B落在抛物线y=ax2上， V3=ax(-1)2, “a=5; 故选：D 2.(2026辽宁抚顺一模)如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC, 则△CEF的面积为() E A.10 B.8 C.5 D.4 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，可证出△AEF∽△BCE,求出AF=1,由勾股定理可求出EF、CE的长度，即可 得出最终结果 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， CB=AB=4,∠B=∠A=90°， :E为AB的中点， ∴.AE=BE=2, :EF⊥EC, ∴∠FEA+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°， ∠FEA=∠BCE, 又：∠B=∠A=90°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△AEF∽△BCE, BC BE ·AEAF AF=1, .EF=VAF2+AE2=V5,CE=√BC2+BE2=2√5， 六△C6F的面积为:EFxCE=-5。 3.(2026辽宁铁岭.一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中 心的位似图形，且位似比为2：5，点A,B,E在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则F点坐标是 G F D A B 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得 S8号，结合正方形的性质求出08的长即可得0E的长，从面府 到F点坐标. 【详解】解：：正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为2：5， BC_OB_2 EF OE5' 又：正方形ABCD的边长为4， 即AB=BC=4, :EF=BE =10, OB 2 OB+BE 5' 解得OB=2 3 OE=OB+BE =50 故F点坐标是 io 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026辽宁盘锦一模)如图，正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴上，点B(6,2)在直线1： y=c+8上，直线I分别交x轴，y轴于点E,F,将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C 恰好落在直线I上.则m的值为 B A E 【答案】2 【分析】先根据待定系数法求得I的解析式，过点B作BM⊥OE于点M,过点C作CN⊥OF于点N,证明 △DAO≌△ABM，即可得到OA,OD的长，再证明△CDN≌△DA0,即可得到点C坐标，再根据平移可得平 移后的坐标，代入直线1，即可解答 【详解】解：：点B(6,2)在直线y=k+8上， 6k+8=2, .k=-1, ·直线解析式为y=-x+8, 如图，过点B作BM⊥OE于点M,过点C作CN⊥OF于点N, ME7成 则∠AMB=90°，∠CND=90°， :.∠ABM+∠BAM=90°， 在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AB=DA, ∠DAO+∠BAM=90°， ·.∠DAO=∠ABM, △DAO≌△4BM(AAS), ∴.OA=BM,OD=AM, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B6,2, ∴BM=2,OM=6, 0A=2, .AM=4, ∴.0D=4, 同理可得△CDN≌△DAO(AAS), .DN=OA=2,CN=DO=4, 0N=0D+DW=6, C4,6), 将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线1上， 则平移后点C(4,6-m), 6-m=-1×4+8, 解得m=2. 5.(2026辽宁朝阳·一模)如图1，正方形ABCD中，点E为边AB上一点，将△BCE沿CE翻折得△FCE, 射线BF分别与CE、AD交于点O、G. G 图1 图2 图3 (I)求证：△CBE≌△BAG; (2)如图2，当OG=3,OC=4时，求正方形ABCD的边长： (3)如图3，在(2)的条件下，线段CF,BD相交于点H,求DH的长 【答案】(1)见解析 (2)2√5 3)6vf0 【分析】(1)由正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°，即∠ABG+∠CB0=90°；由折叠的性质 可得∠BOC=90°，即LBCE+LCBO=90°，易得∠BCE=∠ABG,再根据ASA即可证明结论； 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)由全等三角形的性质可得BG=CE,设BO=x,则CE=BG=x+3, 证明aBCE∽△0CB可得BC2=C0.CE=4x+3),由勾股定理可得BC2=B02+C02=x2+16,进而得到方 程x2+16=4x+12,解得：x=2;然后代入求得BC的长即可解答； 3)由(2)可得：0B=2,正方形边长为25，运用等面积法以及勾股定理可得014、B1=2W5 如图：以B为原点，以AB为y轴，以BC为x轴建立直角坐标系，则 B(0,0),0 25,45cw5.0pl2w5.2w5),F45,85 5’5 55 再运用待定系数法求得直线BD的解析式 为)=、直线CF的解折式为)=一手485，然后联立即可求得点H的坐标，最后运用两点间距离公式求 3+ 3 解即可。 【详解】(1)证明：正方形ABCD, :.AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°， ∴.∠ABG+∠CB0O=90°， :将△BCE沿CE翻折得△FCE, CE⊥BF,OF=OB, .LB0C=90°， ∠BCE+LCB0=90°， ∠BCE=LABG, aCBE≌△BAG(ASA. (2)解：由(1)得CE⊥BF,OF=OB, ,△CBE≌△BAG, .BG=CE. 设BO=x,则CE=BG=x+3, :∠BCO=∠BCE,∠EBC=∠BOC=90°， △BCE∽△OCB, BC-CE,BC:-CO.CE=4(x+3) OC CB :BC2=B02+C02=x2+16. .x2+16=4x+12,解得：x=2, .BC2=4×(2+3)=20,即BC=2√5， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :正方形边长为25。 (3)解：由(2)可得：0B=2,正方形边长为25. 如图：过O作0OI⊥BC于1， G A F O S,moc=1 0.0c= BC0, 2×2x4=×2501,解得：01=45 5 ÷B1=0B2-0m-25 如图：以B为原点，以AB为y轴，以BC为x轴建立直角坐标系，则 B0,0),0 2W54W5 55 ,C25,0D(25,25) 由(1)可得：CE⊥BF,OF=OB, :F458V5 5’5 设直线BD的解析式为y=x,则2V5=2√⑤k,解得：k=1, :直线BD的解析式为y=x, 设直线CF的解析式为y=mx+n, 0=2√5m+n /s、4 3 则 8W545 ，解得： m+n 85 5 J n= 3 :直线CF的解析式为y=-4x+8V5 3 rt 485 85 X= 7 联立 3x+ y=- 3，解得： y=x P= 85 7 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8v58V5 25 85 25 &5 6√10 :DH= 7 6.(2026辽宁阜新一模)如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF,以CF为对 角线作正方形CGFE,连接BE,DG,过点G作GH⊥GD交射线AD于点H D D E 图1 图2 (I)当点F在线段AD上时，求证： ①BE=DG; ②CD-DF=V2BE. (2)当点F在线段AD的延长线上时，(1)中的②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写 出正确的结论 (3)若∠ECD=15°，AB=3时，请直接写出BE的长. 【答案】（①）见详解； (2)不成立；CD+DF=√2BE: ③35+v6成32+36 2 【分析】(1)①根据正方形性质证△BCE≌DCG(SAS)即可；②根据①的结论再证△FGH≌aCGD(ASA)即 可得结论； (2)结合图形证△BCE≌△DCG(SAS),△FGH≌aCGD(ASA)即可得结论： (3)分点E在正方形ABCD内部和外部两种情况解答即可. 【详解】(1)解：①证明：：四边形ABCD,四边形CGFE都是正方形， :∠BCD=∠ECG=90°，CB=CD,CE=CG, ∴.∠BCE=∠DCG, ∴.△BCE≌aDCG(SAS, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BE =DG; ②证明： D M :CF为正方形CGFE的对角线， ∠ECF=∠CFG=45°， :四边形ABCD是正方形， .AH∥BC, :ZBCF ZCFH, .∠BCE=∠HFG=LDCG, :∠DGC-∠DGF=90°，∠HGF-∠DGF=90°， ∴.∠DGC=∠HGF, .FG=CG, .△FGH≌△CGD(ASA), .HG=DG,HF=CD, ∴DH=√2DG, 由①得BE=DG=GH, :CD-DF FH-DF DH=2DG=2BE, ∴CD-DF=V2BE; (2)解：不成立，正确的结论为：CD+DF=V2BE, 如图： D F ------H E G B 证明：由(1)得△BCE≌△DCG(SAS), 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BE=DG,LBCE=∠DCG, :CF为正方形CGFE的对角线， ∴∠ECF=∠CFG=45°， :四边形ABCD是正方形， AH∥BC, .LBCF=∠CFH, ∠BCE=∠HFG=LDCG, :∠DGC+∠DGF=90°，∠HGF+∠DGF=90°， ∠DGC=∠HGF, .CG=FG, :△DGC≌△HIGF(ASA】 .CD=FH,GH=DG=BE, ∴.CD+DF=FH+DF=√2GH=√2BE (3)当∠ECD=15°，点F在AD的延长线上， D F --------H E B 当点E在正方形ABCD内部时，∠DCF=45°-15°=30°， AB=CD=3, DF=CD.tn30=3x 3 CD+DF =2BE, :BE=CD+DF_3+3_3W2+V6 2 当点E在正方形ABCD外部时，如图： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ----H B G :∠ECD=15°， ∠BCE=∠GFH=15°+90°=105°， ∠DFG=180°-105°=75°， ∠DFC=75°-45°=30°， AB=CD=3, .DF=CD 3 =35, tan30°tan30 CD+DF=2BE, :BE=CD+DF_3+353V2+36 √2 √2 2 :BE的长为35+6或32+36 2 2 7.(2026辽宁抚顺一模)在“综合与实践”活动课上，老师提出问题：将ABC绕点B顺时针旋转得到 △DBE,其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D. D E D G NE Q 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点E落在ABC外部，且∠A=∠ABE时，延长DE交AC于点G,求证：四边形BCGE是正方 形： (2)如图2，当点E落在ABC内部，且LBAC=∠ABE时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM 与AC交于点N,求证：AM=BE: (3)将ABC绕点B顺时针旋转的过程中，当∠BAC=∠ABE时，连接AD,若∠BAC=30°，BC=4,求 △ABD的面积. 【答案】(1)见解析 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)见解析 (3)△ABD的面积为16或32 【分析】(I)先证明四边形BCGE是矩形，再由△ABC≌△DBE可得BC=BE,从而得四边形BCGE是正 方形； (②)南己知∠ABE=∠B4C可待AN=BN,再由等积方法Sw二AN-BC=号BN,4M,结合已知即可证 明结论； (3)分类讨论当点E落在ABC内部时，当点E落在ABC外部时，分别根据已知条件计算即可. 【详解】(1)证明：：将ABC绕点B顺时针旋转得到aDBE, .△ABC≌△DBE, E D B .BC=BE, ∠BED=90°， .∠BEG=180°-∠BED=90°， :∠A=∠ABE, AC∥BE, .LCGE=∠BED=90°， :∠C=90°， 四边形BCGE是矩形， :四边形BCGE是正方形； (2)证明：：∠BAC=∠ABE, .AN =BN, :∠C=90°， .BC⊥AN. :AM⊥BE, 即AM⊥BN. S△IBN=)AN,BC=BNAM. 1 2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AN BN, .BC=AM. :△ABC≌△DBE, .BC=BE, .AM =BE D C (3)解：当点E落在ABC内部时，如答图3： D C B 过点A作AF⊥BD,垂足为F, .∠AFB=∠AFD=90°， :∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=4, AB=2BC=8,∠ABC=90°-30°=60°， :△ABC≌△DBE, .AB=BD=8,∠ABC=∠DBE=60°， :∠BAC=∠ABE=30° ∴∠CBE=60°-30°=30°， ∴∠CBF=∠CBE+∠DBE=90°， :四边形BCAF是矩形， .BC=AF=4, 1 SAD=BD.AF=5X8X4=16 当点E落在ABC外部时，如答图4. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ◇ C B :∠ACB=90°，∠BAC=∠ABE=30°，BC=4, .AB=2BC=8 :△ABC≌△DBE, AB=BD=8,∠ABC=∠DBE=60°， ∠BAC=∠ABE=30°， ∠ABD=30°+60°=90°， 5 wBDAB=方x8x8=32 1 综上所述，△ABD的面积为16或32 8.(2026辽宁大连一模)综合与实践 折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等.在折纸过程中，不仅可以 得到一些美丽的图形，还蕴含着丰富的数学知识. 己知正方形纸片ABCD的边长为4. 实践操作： (1)如图①，连接AC,将正方形纸片分别沿过点A和点C的直线折叠，使点B和点D都落在AC上，对 应点分别是点B和点D,折痕分别与BC和AD交于点M,N.猜想线段AM与线段CN之间的数量关系和 位置关系是 (2)将图①的纸片展开，如图②，顺次连接点B,B,D,D',猜想四边形BB'DD'是什么特殊四边形， 并说明理由； 操作探究： (3)折叠正方形ABCD,使点B落在CD上的点B处，得到折痕EF(点E,F分别是折痕与边BC和边 AD的交点)， ①如图③，若B恰好是CD边的中点，则AF的长为； ②如图④，若△B'CE为等腰直角三角形，连接BF,BB',则四边形ABBF的面积是 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、室 M 图① ② 图3 图④ 【答案】(1)4M=CN,AM∥CW:(2)四边形BB'DD是菱形，理由见解析；(3)①；；②88-56V2 【分析】(1)证明aABM≌aCDN(ASA)即可求解； (2)证明△BAD'≌△DAD'SAS)得到BD'=DD',同理可得BB'=DB',再证明△BAD'≌△BCB'（SAS得到 BD'=BB',即可得BD'=BB'=DB'=DD',即可求解； (3)①如图③，设AD与AB相交于点M,设BE=B'E=x,则CE=4-x,在RtaB'CE中，由勾股定理 5 图4-+2=，解得x}即得CE82再由△BECMB'D得9 C BE CE MD MB-DR,可得 0-子g-号进面年w=A0-0-又由：M:Dw8为G-S,可将4-支②同 4 3 理①可得CB'=CE=42-4,DG=DB'=8-4√2，AF=A'F=A'M=12-8√2，再根据 S医造影AB8F=SE方彩HBr-S,8Cg-S,BDG-S.ABr+SPc计算即可求解. 【详解】1)解：由折叠可得，∠BMM=∠BMM=∠B4C,∠DCN=∠DCN-DCA, :四边形ABCD是正方形， .AB=CD,LB=∠D=90°，∠BAC=∠DCA=45°， .∠BAM=∠B'AM=∠DCN=∠D'CN, :△ABM≌△CDN(ASA), .AM =CN, :∠B'AM=∠D'CN, AM∥CN, 故答案为：AM=CN,AM∥CN; (2)解：四边形BB'DD'是菱形，理由如下： :四边形ABCD是正方形， ∠BAD'=∠DAD',AB=AD, AD'=AD', 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △BAD'≌△DAD'(SAS), ∴.BD'=DD', 同理可得，BB'=DB', 由折叠可得，AB=AB,CD=CD', AB=CD, :AB'=CD', .AD'=CB', ∠BAD'=∠BCB'=45°，BA=BC, .△BAD'≌△BCB'(SAS), .BD'=BB', .BD'=BB'=DB'=DD', .四边形BB'DD'是菱形： (3)解：①如图③，设AD与AB相交于点M, :B是CD边的中点， :.B'C=DB'=ICD=2, 由折叠可得BE=B'E,AF=A'F,LA'B'E=∠B=90°，∠A'=LA=90°， 设BE=B'E=x,则CE=4-x, 在Rt△B'CE中，CE2+CB2=B'E2, (4-x)2+22=x2, 得×名 :CE=4-5=3 5 22BE= :∠A'B'E=90°， ∠CB'E+∠MB'D=90°， :∠CB'E+∠B'EC=90°， .ZB'EC ZMB'D 又：∠C=∠D=90°， △B'EC∽aMB'D, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B'C BE CE MDMB'DB'' 53 即22-2， MD-MB=2 MD=8,MB'= 3 3, AM=AD-MD=4-8-4 33 :∠A'=∠A=90°，∠A'MF=∠DMB', △A'MF∽△DMB', A'F MF DB'MB' 设AF=A'F=a,则FM= 3, 4 20’ 3 84 整理得，a=」 1 a=2' :AF=2 1 故答案为：方： M D B'②如图④，设AD与AB相交于点G, B--- E 图③ 当△B'CE为等腰直角三角形时，CB'=CE,∠CB'E=45°， 设CB'=CE=m,则B'E=√2m,BE=4-m, BE =B'E, 4-m=V2m, .m=4V2-4, 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CB'=CE=4V2-4, :DB'=4-(4N2-4=8-42,BE=4-(4V2-4=8-4V2, :LA'B'E=90°，∠CB'E=45°， ∠GB'D=45°， .∠GB'D为等腰直角三角形， DG=DB'=8-4V2,LDGB'=45°，B'G=V2DB'=V28-4V)=8V2-8, AG=4-(8-4V2)=4V2-4,∠4'GF=LDGB'=45°， ∠A'=90°， ·△AGF为等腰直角三角形， :A'F A'M, .AF=A'F=A'M, 设AF=A'F=A'M=n,则FG=AG-AF=4V2-4-n, :∠A'=∠D=90°，∠A'GF=LDGB', △A'GF∽△DGB', 品6D8 FG A'F 4N2-4-n= n 8W2-88-4W2' 解得n=12-8√2， “AF=A'F=A'M=12-8√2， S边形4BBr=SE方形HBCD-SBCg-S,BDG-SABF+SfFG =4x4-2x4×45-4-8-42-2x4×2-8)+x2-8 =16-(82-8-(48-322)-(24-162)+136-962), =16-82+8-48+322-24+162+136-96V2, =88-56V2, 故答案为：88-56√2： 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D B B E 图④ 2/6