精品解析：辽宁辽河油田于楼学校等校2025—2026学年度下学期九年级一模数学试卷

2025-2026学年度下学期九年级一模 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 2022年盘锦市被评为“中国河蟹第一市”，河蟹总产量约为79000t，数79000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的个数（ ） ①正五边形每个内角都为；②已知点与点关于轴对称，则；③在同一平面内过一点可以引圆的两条切线；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时，可能为6.5 D. 当时， 8. 某果园去年10月份的苹果产量为80吨，经过科学管理，第四季度（10月、11月、12月）总产量达到305吨．设去年11、12月份每月产量的平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（ ） A. B. 6 C. 10 D. 12 10. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，则的长为（　　） A. 15 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则____． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，以坐标原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，则点的对应点的坐标是_______． 14. 已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 15. 如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 18. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 19. 如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． （1）写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 20. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 21. 如图1，内接于，直线与相切于点，与相交于点，． （1）求证：； （2）如图2，若是的直径，是的中点，，求阴影部分面积． 22. 如图1，将两个全等的直角三角形按如图方式摆放．已知，，将绕点旋转，与边交于点，与边交于点． （1）求证：； （2）如图2，已知． ①求证：． ②求长； ③如图3，连接并延长，与的延长线相交于点，直接写出的面积． 23. 已知抛物线过点和两点，交轴于另一点．直线与抛物线交于点（在右侧） （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点是上方抛物线上一点，连接，分别交轴于点、点．当时，求点坐标； （3）如图2，将直线上方抛物线沿直线翻折成如图2的“心形”图案，其中点分别是翻折前后抛物线的顶点； ①当点共线时直线的解析式是_________； ②点是“心形”图案与轴的另一个交点，当线段上只有7个坐标为整数点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期九年级一模 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题干图可知，几何体的主视图是． 2. 2022年盘锦市被评为“中国河蟹第一市”，河蟹总产量约为79000t，数79000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1，当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟记概念是关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，合并同类项的运算法则进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A．原式不能合并同类项，故本选项不符合题意； B．原式，故本选项不符合题意； C．原式，故本选项不符合题意； D．原式，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 即， 解得：． 故选：B． 5. 如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案． 【详解】解：∵“将”位于点，“象”位于点 ∴如图所示，“炮”位于点． 6. 下列说法错误的个数（ ） ①正五边形每个内角都为；②已知点与点关于轴对称，则；③在同一平面内过一点可以引圆的两条切线；④对角线互相垂直相等的四边形是正方形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】解：①对于正五边形，由多边形内角和公式得内角和为，每个内角为，故①说法错误； ②∵与关于轴对称，∴，，∴，故②说法错误； ③同一平面内，只有点在圆外时才能作圆的两条切线，点在圆上只能作1条切线，点在圆内无法作切线，故③说法错误； ④对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直相等的四边形不一定是正方形，故④说法错误； 综上，错误的说法共有4个． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时，可能为6.5 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据待定系数法求出函数解析式，然后根据反比例函数的性质，数形结合逐项判断即可． 【详解】解：设， 把代入，得， 解得， ∴，故选项A正确，但不符合题意； 当时，，故选项B正确，但不符合题意； 当时，，解得， 观察图象，当时，， ∴不可能为6.5，故选项C错误，符合题意； 当时，， 观察图象，当时，，故选项D正确，但不符合题意． 8. 某果园去年10月份的苹果产量为80吨，经过科学管理，第四季度（10月、11月、12月）总产量达到305吨．设去年11、12月份每月产量的平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该果园11，12月份的苹果产量的月平均增长率为x，根据10月份及第四季度的总产量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设去年11、12月份每月产量的平均增长率为x，则11月份的苹果产量为，12月份的苹果产量为， 依题意，得：． 故选：D． 9. 如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（ ） A. B. 6 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得四边形为平行四边形，根据， 为的中点，则平行四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 四边形为平行四边形， 又 ∵， 为的中点， ∴， ∴ 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，则的长为（　　） A. 15 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图得出平分，根据平行四边形的性质以及等角对等边得出相等的线段，最后利用勾股定理及其逆定理进行求解． 【详解】解：由尺规作图可知，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． 根据二次根式的被开方数不小于零，分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题由圆内接四边形对角互补得，从而得出的度数，再由与互补计算． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，以坐标原点为位似中心，将放大为原图形的2倍，则点的对应点的坐标是_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的定义，即可得到答案． 【详解】解：以坐标原点为位似中心，将放大为原图形的倍，点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或， 即或． 故答案为：或 ． 14. 已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 15. 如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出是的中位线，所以取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究也取到最大值时的值，根据三点共线时，取得最大值，解出的坐标代入反比例函数即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 在中， 分别是的中点， 是的中位线， ， 已知长的最大值为， 此时的， 显然当三点共线时，取到最大值：， ， ， 设，由两点间的距离公式：， ， 解得：（取舍）， ， 将代入， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时的值． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【答案】（1）今年准备A道具件，B道具件． （2）第二组每小时摆件B道具． 【解析】 【分析】（1）设去年准备的A道具件，道具件，根据“今年A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A，B两种道具各多少件即可； （2）设第二组每小时摆件B道具，则第一组每小时摆件A道具，根据“第一组比第二组提前分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设去年准备的A道具件，道具件， ， 解得， 则（件），（件）， 答：今年准备A道具件，B道具件． 【小问2详解】 解：设第二组每小时摆件B道具， ， 经检验是原方程的解， 答：第二组每小时摆件B道具． 18. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1），， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 19. 如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． （1）写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 20. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）3米 （2）伸长到的最大长度为6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）易得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故：伸长到的最大长度为6米． 21. 如图1，内接于，直线与相切于点，与相交于点，． （1）求证：； （2）如图2，若是的直径，是的中点，，求阴影部分面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，进而可得，然后再根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图； ∵直线与相切于点， ∴ ∵， ∴ 即， ∵是的半径， ∴， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵是的直径，， ∴为中点，， ∵直线与相切于点，， ∴垂直平分， ∵是的中点， ∴， ∴ ， ∴在中，， 即, ∴ ， 如图，连接， ∴ ， ∵，垂直平分， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质、含 的直角三角形的性质，垂径定理，扇形面积公式，熟练掌握切线的性质、含的直角三角形的性质，垂径定理，扇形面积公式，是解题的关键． 22. 如图1，将两个全等的直角三角形按如图方式摆放．已知，，将绕点旋转，与边交于点，与边交于点． （1）求证：； （2）如图2，已知． ①求证：． ②求长； ③如图3，连接并延长，与的延长线相交于点，直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可证，即可证明； （2）①根据已知条件求得和的相似比为2，从而求得，然后根据等边对等角和等量代换即可证得； ②根据①的结论可证得，利用对应边成比例和勾股定理可求出，从而求得、，进而求得，然后过作于，易证，最后根据线段的和差和勾股定理可求得； ③过点G作于点H，由②可知，从而推出，接着易证，得到，根据线段的和差求得、、，代入求得，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 ①证明：∵， ∴，， ∴， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； ②解：在中，， 由①可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； 如图，过点F作于点D， 则， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，； ③解：如图，过点G作于点H， 由②可知，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 由②可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 23. 已知抛物线过点和两点，交轴于另一点．直线与抛物线交于点（在右侧） （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点是上方抛物线上一点，连接，分别交轴于点、点．当时，求点坐标； （3）如图2，将直线上方抛物线沿直线翻折成如图2的“心形”图案，其中点分别是翻折前后抛物线的顶点； ①当点共线时直线的解析式是_________； ②点是“心形”图案与轴的另一个交点，当线段上只有7个坐标为整数点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）将点和代入抛物线解析式，即可求出结果； （2）过点作轴垂足为，轴垂足为，垂足为，由平行线分线段成比例定理可得：，，再由，即可求出结果； （3）①由轴对称性质可得，可求出直线解析式为，将与联立求出点坐标，代入即可求出结果；②在图案上找到点的对应点，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，利用轴对称的性质可得点、的纵坐标相同，设点，，从而得出 ，因为线段上只有7个坐标为整数点时，所以，可求出的范围，进而得出的范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：过点作轴垂足为，轴垂足为，垂足为，如图所示， ∵抛物线关于轴对称，， ∴， ∵， ∴由平行线分线段成比例定理可得：， ∵点是上方抛物线上一点， ∴设，， ∵， ∴由平行线分线段成比例定理可得：， ∵， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①连接，由题意可知：“心形”图案关于直线轴对称，其中点是对应点， ∴， ∵直线解析式为， ∴设直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴顶点， ∴将代入得：， ∴直线解析式为， 将与，联立得：，解得：或， ∵在右侧， ∴， ∵点共线，将代入得： ，解得：或， 当时，与点重合，不符合题意，故舍去， ∴， ∴直线的解析式是； ②由“心形”图案关于直线轴对称，可在图案上找到点的对应点，直线与轴交于点，与轴交于点，连接， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵直线解析式为， ∴点，点， ∴， ∴， ∴，即， 设点，， ∵点， ∴线段上只有7个坐标为整数点时，即要使， ∴点在轴左侧， ∴， ∵，， ∴点、的纵坐标相同，即 ， ， ∴ ， ∴ ，即，解得： ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $