重难专题03 刷透正态分布的七大必刷题型（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第三册

重难专题03 刷透正态分布的七大必刷题型 题型一 正态分布的图像与基本性质 1．（2025·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）已知随机变量X服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·海南海口·月考）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变小 4．（24-25高三·全国·一轮复习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海·月考）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为________. 题型二 利用正态分布的对称性计算概率及求参数 1．（25-26高三上·四川眉山·月考）设随机变量，则（   ） A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.70 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）若随机变量，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（25-26高三上·河南商丘·期末）某校期末考试的数学成绩服从，若，则（   ） A．90 B．85 C．80 D．75 4．（2026·浙江·模拟预测）已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 5．（2026·山西晋中·模拟预测）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量，且，则___________． 7．（25-26高三下·广东·月考）若随机变量，且，则的值为______． 8．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 题型三 3σ原则的应用 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 2．（25-26高三上·江苏常州·月考）如果随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A．越小，该变量在一次测量中落在的概率越大 B．越小，该变量在一次测量中落在的概率越小 C．越小，该变量在一次测量中落在的概率越大 D．越小，该变量在一次测量中落在与落在的概率相等 3．（25-26高二下·全国·课后作业）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）通常认为服从正态分布的随机变量X的取值几乎总是落在区间内，统计学上称为原则，即，．若，称X服从标准正态分布，则_______． 5．（24-25高二下·福建莆田·期末）若随机变量服从正态分布，则______.（附：若，则） 题型四 正态分布的实际应用题 1．（2025高二上·全国·专题练习）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数服从正态分布，且落在内的零件个数为81850，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．2280 B．2370 C．2410 D．4550 2．（25-26高三·全国·暑假作业）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南鹤壁·一模）（多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布，则下列结论正确的是（　　） 附：若随机变量，则． A．约有95%的用户每日步数在3600到10800之间 B．每日步数多于5400和多于9000的用户比例大致相等 C．若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户 D．随机抽取100名用户，他们每日步数的方差接近1800 5．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则） 6．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 7．（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 题型五 正态分布与其他概率公式的综合 1．（25-26高二下·辽宁大连·月考）已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·云南·月考）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南长沙·月考）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 . A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某超市销售一种袋装低钠盐，这种盐每袋的质量（单位：）服从正态分布，且，则__________.若购买10袋这种低钠盐，则这10袋低钠盐中质量在之间的袋数的方差为__________. 5．（25-26高三上·湖北·期中）已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 6．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 题型六 正态分布与统计的综合 1．（2026·云南红河·模拟预测）某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 2．（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 3．（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 5．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 题型七 正态分布与数列的综合 1．（2023·山东泰安·模拟预测）某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为______． 附：，， 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望. (2)现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为. （i）求该同学第二关通过的概率； （ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时，恒成立，求M的最小值. 附：若随机变量服从正态分布 则 3．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 3．（2022·辽宁大连·模拟预测）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率； （参考数据：若随机变量，则， (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题03 刷透正态分布的七大必刷题型 题型一 正态分布的图像与基本性质 1．（2025·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C 【解析】因为服从正态分布，故， 故，故的图象关于点对称， 故选：C. 2．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）已知随机变量X服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，对比选项可知，只有D正确. 故选：D. 3．（24-25高三下·海南海口·月考）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变小 【答案】C 【解析】由正态分布性质可知a、b不变，所以不变. 故选：C． 4．（24-25高三·全国·一轮复习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 5．（24-25高二下·上海·月考）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为________. 【答案】0.3/ 【解析】随机变量的概率分布密度函数， 则，故， 故图中阴影部分的面积为. 故答案为：0.3 题型二 利用正态分布的对称性计算概率及求参数 1．（25-26高三上·四川眉山·月考）设随机变量，则（   ） A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.70 【答案】B 【解析】因为随机变量，， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）若随机变量，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为随机变量，所以正态曲线的对称轴是， 又，可得，则. 故选：C. 3．（25-26高三上·河南商丘·期末）某校期末考试的数学成绩服从，若，则（   ） A．90 B．85 C．80 D．75 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 即. 故选：C. 4．（2026·浙江·模拟预测）已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 【答案】BC 【解析】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，则，则，即，故B正确； 对于C，因为，而， 故，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以，故D错误. 故选：BC. 5．（2026·山西晋中·模拟预测）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由随机变量，可得正态分布曲线关于对称， 因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 6．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量，且，则___________． 【答案】0.9772 【解析】由，得， 根据，得， 所以. 7．（25-26高三下·广东·月考）若随机变量，且，则的值为______． 【答案】 【解析】设，因为，则， 所以，解得，故. 8．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 【答案】/ 【解析】因为随机变量满足，,， 由正态分布的对称性可得，即，所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 题型三 3σ原则的应用 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【答案】B 【解析】由题得，， . 故选：B. 2．（25-26高三上·江苏常州·月考）如果随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A．越小，该变量在一次测量中落在的概率越大 B．越小，该变量在一次测量中落在的概率越小 C．越小，该变量在一次测量中落在的概率越大 D．越小，该变量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】A 【解析】对于选项A：因为数据的标准差越小，说明数据在均值附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于选项BC：根据原则，可知在，的概率是定值，故BC错误； 对于选项D：根据正态分布曲线的对称轴是，在与落在的公共区域是， 而区间与对应区间的面积，显然不相等， 所以无论怎么变化，根据图形可知：在的概率大于在的概率，故D错误. 故选：A. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为正态曲线在上单调递增，在上单调递减，所以正态曲线关于直线对称，所以； 因为，结合，可知； 因为， 且，，， 所以，所以； 因为， 所以． 故选：ACD 4．（2026·河南·模拟预测）通常认为服从正态分布的随机变量X的取值几乎总是落在区间内，统计学上称为原则，即，．若，称X服从标准正态分布，则_______． 【答案】 【解析】因为，且． 所以． 故答案为：0.15865. 5．（24-25高二下·福建莆田·期末）若随机变量服从正态分布，则______.（附：若，则） 【答案】0.4772 【解析】因为随机变量服从正态分布，， 则. 因为正态曲线关于轴对称，所以. 故答案为：0.4772. 题型四 正态分布的实际应用题 1．（2025高二上·全国·专题练习）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数服从正态分布，且落在内的零件个数为81850，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．2280 B．2370 C．2410 D．4550 【答案】A 【解析】由题意可知，， ， 则所抽取的零件总数约为， 故估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为． 故选：A. 2．（25-26高三·全国·暑假作业）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， ， ， . 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为100个数据的平均值， 方差， 所以的估计值为72，的估计值为6． 设该市高中生身体素质指标值为，由， 得， ， 故． 故选：C 4．（2026·河南鹤壁·一模）（多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布，则下列结论正确的是（　　） 附：若随机变量，则． A．约有95%的用户每日步数在3600到10800之间 B．每日步数多于5400和多于9000的用户比例大致相等 C．若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户 D．随机抽取100名用户，他们每日步数的方差接近1800 【答案】AC 【解析】设用户每日步数为， 对于A，，故A正确； 对于B，，二者显然不相等，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，正态分布的参数表示随机变量的方差，如果随机抽取部分样本进行统计，与1800接近的是标准差，而不是方差，故D错误. 故选：AC 5．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则） 【答案】1 【详解】依题意可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故至多为1． 故答案为：1． 6．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【解析】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 7．（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【解析】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 题型五 正态分布与其他概率公式的综合 1．（25-26高二下·辽宁大连·月考）已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 故选：D. 2．（24-25高三下·云南·月考）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由知， 则， ， 可知10名学生的成绩在65分以上的人数， 所以， 故选：C． 3．（25-26高二下·湖南长沙·月考）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 . A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【答案】BCD 【解析】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A错误； 对于B，由A中结论可得，得， 又， 于是，即， 因此，即，则，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，， 设， 由， 解得，， 由，解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高二下·甘肃白银·期末）某超市销售一种袋装低钠盐，这种盐每袋的质量（单位：）服从正态分布，且，则__________.若购买10袋这种低钠盐，则这10袋低钠盐中质量在之间的袋数的方差为__________. 【答案】 0.8/ 1.6 【解析】. 依题意可得，则. 故答案为：0.8，1.6 5．（25-26高三上·湖北·期中）已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. (1)求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； (2)某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【解析】（1）因为，，则， 所以任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率为 . （2）因为每辆车是否更换相互独立，且概率为，由题意可知， 由二项分布的期望公式可得， 分布列为. 6．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【解析】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 题型六 正态分布与统计的综合 1．（2026·云南红河·模拟预测）某公司生产一种产品，为检测生产的某批产品质量是否达标，现从中随机抽取若干件，测量这些产品的质量指标值，得到频率分布直方图如下： 根据测量经验，这种产品的质量指标值近似服从正态分布，其中近似为样本平均值．记质量指标值内的产品为优等品，内的产品为一等品，公司规定一等品或者优等品为合格品，以各组数据的中间值为代表，以频率估计概率，下列说法正确的是（    ） （参考数据：，） A． B．该公司生产的产品为优等品的概率为13.59% C．该公司生产10000件这种产品，记表示这10000件产品中一等品的件数，则的数学期望为6827 D．若该公司计划销售该产品，一等品每件定价为2元，优等品每件定价为3元，则该公司生产该产品10000件并售出全部合格品的收入约为17731元 【答案】BCD 【解析】对于A，由题意可知样本均值的估计值 ， 所以，故A错误； 对于B，由题意可知，，， ，则优等品的概率为 ，故B正确； 对于C，已知，所以抽到一等品的概率， 随机变量服从二项分布，所以，故C正确； 对于D，由题意知收入约为元，故D正确； 故选：BCD． 2．（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由频率分布直方图，得，解得． （2）由题意得 ， 则，， ，， 即随机变量Y的期望约为. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【解析】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 【答案】(1)①6；② (2)厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由见解析 【解析】（1）①根据题意，，得，即厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6． ②， ，则， 易知一件搪瓷水杯等级系数位于区间内的概率约为0.6827，依题意知的二项分布， ． （2）厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下： 用样本估计总体，可得厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为． 厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36元/件， ， 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为30元/件，， 又，故厂生产的搪瓷水杯更具可购买性． 5．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大. 【解析】（1）根据直方图可得，， 由题知，，则， 等品的质量指标值不小于， 即. （2）（ⅰ）指标值在和的总件数为， 指标值在的件数是， 由题知，可能的取值是. ，， ，， 分布列为： . （ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品， 由题知，， 由（1）知，等品的概率为， 则，于是， ， 记， 则， 则递增， 递减， 故当时利润最大. 题型七 正态分布与数列的综合 1．（2023·山东泰安·模拟预测）某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为______． 附：，， 【答案】4 【解析】因为蓝莓果重量服从正态分布其中， ， 设第次抽到优等果的概率（）， 恰好抽取次的概率，所以， 设，则， 两式相减得：， 所以， 由，即，的最大值为． 故答案为：． 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）雨花台中学的办学特色是“红色文化引领、科学教育见长”，在刚刚结束的校园科技节活动中，全校同学参加了科技知识竞赛活动，为了解学生对有关科技知识的了解情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生的成绩进行调查，成绩全部分布在75—145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图可认为这次全校同学的成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)， 现从我校所有参赛的学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的数学期望. (2)现决定组织知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整. 第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为. 已知甲同学第一关通过的概率为. （i）求该同学第二关通过的概率； （ii）记甲同学通过第n关的概率为 当时，恒成立，求M的最小值. 附：若随机变量服从正态分布 则 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解析】（1）因为， 则，所以， 由题知，所以. （2）（i）由题知，甲同学第一关通过的概率为，即 所以第二关通过的概率为. （ii）记甲同学第关通过为事件A， 依题意有， 当时，， 所以， 所以， 所以，又因为，则， 所以数列是首项为， 公比为的等比数列， 所以， 当为奇数时，， 则随着的增大而减小，所以， 当为偶数时，， 又，所以的最小值为. 3．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)100 【解析】（1）由题意可知，， ， 所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为； （2）每一次摸到红球和白球的概率都是， 设积分为，则,， ， 即， 所以是首项为，公比为的等比数列， ， 则， 所以估计获得一等奖的顾客人数为100人. 3．（2022·辽宁大连·模拟预测）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率； （参考数据：若随机变量，则， (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析，参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元. 【解析】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为： ； （2）∵， ∴. （3）由题可知， 遥控车移到第格有两种可能： ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为； ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为， ∴， ∴时，，又∵， ∴当时，数列首项为，公比为的等比数列， ∴， 以上各式相加，得， ∴时，， ∴到达“胜利大本营”的概率， ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0， ∴的期望， ∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元 学科网（北京）股份有限公司 $