专题02整式的乘法期中复习讲义 (12大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题02整式的乘法期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 吃透法则，不模棱两可 1.熟记单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式三类运算法则，精准掌握运算逻辑 2.牢记符号规则、防漏项技巧、结果整理要求，形成整式乘法知识体系 熟练运算，不慌不忙 1.能规范、准确完成各类整式乘法基础运算，符号零失误、步骤无跳步 2.会用转化思想解复杂题型，能通过项数自查快速找错，运算效率拉满 3.能完成整式乘法简单混合运算，做到算得快、算得对 直击考点，不丢一分 1.攻克符号错误、漏项、指数算错、未合并同类项四大高频易错点，基础题稳拿分 2.快速解答期中常考的计算、化简题，结果必化最简，贴合阅卷标准 3.能运用法则解决代数求值类综合题，适配期中题型考法，轻松应对 题型1.单项式乘单项式运算 题型2.单项式乘多项式的化简求值 题型3.单项式乘多项式的实际应用 题型4.多项式乘多项式的运算 题型5.多项式乘多项式与图形面积综合 题型6.(x+p)(x+q)型乘法运算 题型7.单项式乘法的参数求解问题 题型8.单项式乘多项式的参数求解问题 题型9.多项式乘积不含某项的参数确定 题型10.多项式乘法中的规律探究问题 题型11.整式乘法之整体代入求值 题型12.整式乘法的新定义运算 解答题7题 一、单项式 × 单项式（整式乘法的基础运算） 运算法则 把系数、同底数幂分别相乘；只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 运算步骤（三步法） 1.系数相乘：按有理数乘法法则算（先定符号，再算绝对值）； 2.同底幂相乘：遵循同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）； 3.单独字母保留：直接写入积中，指数不变。 二、单项式 × 多项式（借助分配律转化为单项式乘法） 运算法则 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 （乘法分配律：m(a+b+c)=ma+mb+mc）。 核心注意 1.不漏项：单项式要乘遍多项式的所有项，有几项乘几项； 2.带符号算：多项式的每一项都包含前面的符号，相乘时符号随项参与运算； 3.最后合并：乘完后若有同类项，必须合并同类项简化结果。 知识点03.多项式乘多项式 1.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.例题： 计算 (x+2)(x+3) 解：原式 = x・x + x・3 + 2・x + 2・3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 3.实用技巧（防漏项） 十字相乘思路：首首乘、首尾乘、尾首乘、尾尾乘，确保每一项都相乘到位。 4.核心注意 1.项数规律：m项多项式 ×n项多项式，初始积有m×n项，再合并同类项； 2.符号必带：所有项的符号均参与乘法运算，注意 “负负得正”； 3.结果整理：合并同类项后，按某一字母的 ** 降幂（或升幂）** 排列。 整式乘法通用易错点（高频提醒） 1.系数相乘时忽略符号，尤其是负系数与多项式负项相乘； 2.多项式乘法漏项，常见少乘常数项或一次项； 3.同底数幂相乘时指数算错（如把a2a3算成a6）； 4.运算后未合并同类项，结果未整理成最简形式； 5.单独字母的指数误省略（如把2x3y算成6x，遗漏y）。 核心速记 1.核心思想：所有整式乘法→最终都转化为单项式 × 单项式 2.单项式相乘：系数乘、同底幂加、单独字母直接带 3.多项式相乘：乘遍每一项 + 带符号运算，二项式用 “首首、首尾、尾首、尾尾” 防漏项 4.符号关键：多项式的项自带符号，乘的时候跟着走 5.自查技巧：m 项 ×n 项，合并前必是 m×n 项，少了就是漏乘 6.结果要求：乘完必合并同类项，最简才收尾 题型01.单项式乘单项式运算 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】若定义表示，表示，则运算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义运算，单项式乘法运算，先根据定义列出代数式，然后再利用单项式乘法法则解答即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意： ． 故选：A． 【跟踪专练2】若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是_____ 【答案】 【分析】依据同类项的定义求得，，依据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类项的定义，单项式乘单项式；解题的关键是掌握相关定义和运算法则． 【跟踪专练3】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式乘以单项式法则，进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意； B.，故该选项正确，符合题意； C.，故该选项错误，不符合题意； D.，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式法则，熟练掌握和运用单项式乘以单项式法则是解决本题的关键． 题型02.单项式乘多项式的化简求值 【典例】计算：_______． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法，熟练掌握单项式与多项式的乘法法则是解题的关键．利用单项式与多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练2】若，则的值为______． 【答案】10 【分析】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题关键．根据单项式乘以多项式法则可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：10． 【跟踪专练3】若关于x，y的多项式的结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则以及多项式不含某一项的意义是解题的关键．先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含项，即可求出m的值． 【详解】解： ， 多项式不含项， ， ， 故选：D． 题型03.单项式乘多项式的实际应用 【典例】有一块三角形的铁板，其中一边的长为，这边上的高为a，那么此三角形板的面积是__________． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式底高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据三角形的面积公式得： ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式，掌握三角形的面积公式底高和单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】一个长方体的长，宽，高分别是3m，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练2】定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是______． ①；        ②；        ③ 【答案】①③/③① 【分析】根据新运算的定义、整式的加法与乘法法则进行计算，逐个判断即可得． 【详解】解：，，则等式①成立； ， ，则等式②不成立； ， ，则等式③成立； 综上，等式成立的是①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了整式的加法与乘法，理解新运算的定义是解题关键． 【跟踪专练3】边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积．根据已知图形得出阴影部分的面积是：求出即可． 【详解】解：边长分别为和a的两个正方形，阴影部分的面积是： ， 故选：A． 题型04.多项式乘多项式的运算 【典例】若的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ______ ． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的项，合并系数，令含有x项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解: ∵不含有x的一次项， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 【跟踪专练1】若等式对任意恒成立，为常数，则的值为（   ） A． B．22 C． D．14 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴． 故选D． 【跟踪专练2】若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把已给等式左边展开得到，则，据此可得，根据无论t为何值，的值始终为定值，得到，据此求出s的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵无论t为何值，的值始终为定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，不符合题意，本选项错误； B. ，不符合题意，本选项错误； C. ，不符合题意，本选项错误； D. ，符合题意，本选项正确； 故选：D． 题型05.多项式乘多项式与图形面积综合 【典例】图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式：_____________． 【答案】 【分析】大长方形的长为，宽为，因此面积为，图中四个小长方形的面积和为，因此有 ． 【详解】解：由图形面积的不同计算方法可得，； 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算方法，用不同的方法表示图形的面积是得出等式的前提． 【跟踪专练1】如图，现有正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片若干张． 如果要拼成一个长为宽为的大长方形，则需要C类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．5张 D．4张 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，拼成的大长方形的面积是，即需要2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形和7张C类卡片，即可求解． 【详解】解：∵， ∴需要C类卡片7张， 故选：A． 【跟踪专练2】对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是6的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是36， 的最大值为． 故答案为： 【跟踪专练3】公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．用增加长椅后的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：长方形花坛放置长椅后的长为，宽为， 花坛放置长椅后的面积为， 而花坛原来的面积为 所以长椅的面积为， 故选：C． 题型06.(x+p)(x+q)型乘法运算 【典例】如果可分解为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了已知因式分解结果求参数，掌握多项式的乘法与因式分解是解题的关键．根据题意计算，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（    ）    A． B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出、． 【详解】解：根据题意，知：，， ，的值可能分别是，， 故选：A． 【跟踪专练2】已知，（，都为负整数），那______． 【答案】或或 【分析】本题考查了整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键. 根据整式的乘法得到，，再根据、都为负整数，从而求出的值. 【详解】解：， ，， ，都为负整数， 可分为或或， 或或， 的值为或或， 故答案为：或或． 【跟踪专练3】已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解答本题的关键． 根据多项式乘多项式的法则求得，，再进行分类讨论，从而得解． 【详解】解：， ，， 又，，是整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故可能的值为个， 故选：C． 题型07.单项式乘法的参数求解问题 【典例】已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 题型08.单项式乘多项式的参数求解问题 【典例】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键． 【跟踪专练1】已知中不含x的二次项，则__． 【答案】 【分析】首先利用单项式乘以多项式去括号，进而得出的系数为0，进而求出答案． 【详解】解：∵中不含x的二次项， ∴中，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 【跟踪专练2】若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 题型09.多项式乘积不含某项的参数确定 【典例】如果 的积中不含x的一次项，则m的值是_________． 【答案】5 【分析】先利用多项式乘多项式的法则求解，再利用一次项的系数为0求解即可． 【详解】解：（x-5）（x+m）=x2+mx-5x-5m=x2+（m-5）x-5m， ∵（x-5）（x+m）的积中不含x的一次项， ∴m-5=0，解得m=5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【跟踪专练1】若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题．正确的合并同类项是解题的关键． ，由结果不含有项，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ∵结果不含有项， ∴， 解得，， 故选A． 【跟踪专练2】已知，若b不影响W的取值，则常数______． 【答案】2 【分析】先根据整式乘法法则展开原式，合并同类项后，根据b不影响W的取值可知，W中所有含b的项的系数为0，据此列一元一次方程求解即可得到k的值． 【详解】解： ， 因为b不影响W的取值，所以含b的项的系数为0，即， 解得． 【跟踪专练3】使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式把展开，再合并同类项，让和项的系数为0即可． 【详解】解：原式, ∵乘积中不含和项， ∴， 解得． 故选：A． 题型10.多项式乘法中的规律探究问题 【典例】杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）的展开式中的各项系数直观地体现了出来，其中的展开式中各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如图所示． 根据上述材料，则展开式中x项的系数为______． 【答案】40 【分析】本题考查了数字的变化类，整式乘法的规律探索，找到变化规律是解题的关键．根据题中规律得出杨辉三角的第6行的每一项分别为：，则可得，再得出，即可求解． 【详解】解：由题意可得杨辉三角的第6行的每一项分别为：， ∴， ， 其中x项的系数为40， 故答案为：40． 【跟踪专练1】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法的规律，观察杨辉三角图形规律，可知的第三项系数为，据此求解即可得到答案． 【详解】解：由杨辉三角得， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 由此可知的第三项系数为， ∴的展开式中第三项的系数为：， 故选：C． 【跟踪专练2】观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，将变形为，利用规律进行求解即可． 【详解】解：由题意：， 根据题干规律，令， ； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得第四行的数字分别为1、4、6、4、1，再根据的展开式求得、，再代入求值即可． 【详解】解：∵， 由题意可得，， 故选：C． 题型11.整式乘法之整体代入求值 【典例】已知，，则___________． 【答案】3 【分析】先将代数式展开，再代入和计算结果． 【详解】原式 ， ∵，， ∴原式． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】先将代数式化简，再利用已知条件代入求值. 【详解】∵ , 又∵ , ∴ , ∴ 原式 . 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 【跟踪专练2】已知，则________． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由，得． 则． 所以． 故答案为：2026 【跟踪专练3】阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ． 题型12.整式乘法新定义运算 【典例】定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 【跟踪专练1】规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算：________． （2）的值为________． 【答案】 3 7 【分析】此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质． （1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可； （2）应用规定和积的乘方计算即可． 【详解】解：（1）根据定义，即， ∵， ∴， 解得：， 因此，． 故答案为：3； （2） ， 根据定义，，即，解得：． 故答案为：7． 【跟踪专练2】如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 【跟踪专练3】定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 【解答题】 1．阅读材料解决问题：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． (1)用“”或“”填空：因为__________0，所以__________； (2)已知为自然数，，试比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用整式的加减法则，进行计算，作答即可； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：， 故； （2）解：∵， ∴ ， ∴． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算； （2）利用幂的乘方与积的乘方计算； （3）利用单项式乘多项式的运算法则计算； （4）利用多项式乘多项式解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 3．观察下列各式： (1)根据以上的规律得：______（为正整数） (2)根据这一规律，计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察已知等式即可求解； （2）化为，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 4．一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）图（2）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （2）图（3）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （3）根据题意，画出长为，宽为的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式． 【详解】（1）解：由图（2）的面积关系可知，； 故答案为； （2）解：由图（3）的面积关系可知，； 故答案为； （3）解：以长为，宽为画长方形，如图所示， 由图可知，． 5．已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把分别代入后再化简，然后代入求值； （2）把代入等式后再解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）解：由题意可得：， 解得：． 6．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，单项式乘以多项式与图形面积． （1）如图，标注图形各顶点，，，，，再利用建立方程求解即可． （2）①结合（1）可得：，进一步分析即可； ②先表示，，，，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，标注图形各顶点， 由题意可得：， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为， ∴， 解得：． （2）解：①结合（1）可得： ， ∴（1）中的值每增加的值增加． ②∵， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： ， ∵的值不随的值的变化而变化， ∴， 解得：． 7．已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 【答案】， 【分析】先将多项式展开，合并同类项后，根据不含项得到项的系数为，根据常数项是得到常数项的等式，联立两个方程求解、的值． 【详解】解： 由展开式不含项，得， 由常数项为，得， 解得 ， 将代入得， 解得．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式的乘法期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 吃透法则，不模棱两可 1.熟记单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式三类运算法则，精准掌握运算逻辑 2.牢记符号规则、防漏项技巧、结果整理要求，形成整式乘法知识体系 熟练运算，不慌不忙 1.能规范、准确完成各类整式乘法基础运算，符号零失误、步骤无跳步 2.会用转化思想解复杂题型，能通过项数自查快速找错，运算效率拉满 3.能完成整式乘法简单混合运算，做到算得快、算得对 直击考点，不丢一分 1.攻克符号错误、漏项、指数算错、未合并同类项四大高频易错点，基础题稳拿分 2.快速解答期中常考的计算、化简题，结果必化最简，贴合阅卷标准 3.能运用法则解决代数求值类综合题，适配期中题型考法，轻松应对 题型1.单项式乘单项式运算 题型2.单项式乘多项式的化简求值 题型3.单项式乘多项式的实际应用 题型4.多项式乘多项式的运算 题型5.多项式乘多项式与图形面积综合 题型6.(x+p)(x+q)型乘法运算 题型7.单项式乘法的参数求解问题 题型8.单项式乘多项式的参数求解问题 题型9.多项式乘积不含某项的参数确定 题型10.多项式乘法中的规律探究问题 题型11.整式乘法之整体代入求值 题型12.整式乘法的新定义运算 解答题7题 一、单项式 × 单项式（整式乘法的基础运算） 运算法则 把系数、同底数幂分别相乘；只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 运算步骤（三步法） 1.系数相乘：按有理数乘法法则算（先定符号，再算绝对值）； 2.同底幂相乘：遵循同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）； 3.单独字母保留：直接写入积中，指数不变。 二、单项式 × 多项式（借助分配律转化为单项式乘法） 运算法则 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 （乘法分配律：m(a+b+c)=ma+mb+mc）。 核心注意 1.不漏项：单项式要乘遍多项式的所有项，有几项乘几项； 2.带符号算：多项式的每一项都包含前面的符号，相乘时符号随项参与运算； 3.最后合并：乘完后若有同类项，必须合并同类项简化结果。 知识点03.多项式乘多项式 1.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.例题： 计算 (x+2)(x+3) 解：原式 = x・x + x・3 + 2・x + 2・3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 3.实用技巧（防漏项） 十字相乘思路：首首乘、首尾乘、尾首乘、尾尾乘，确保每一项都相乘到位。 4.核心注意 1.项数规律：m项多项式 ×n项多项式，初始积有m×n项，再合并同类项； 2.符号必带：所有项的符号均参与乘法运算，注意 “负负得正”； 3.结果整理：合并同类项后，按某一字母的 ** 降幂（或升幂）** 排列。 整式乘法通用易错点（高频提醒） 1.系数相乘时忽略符号，尤其是负系数与多项式负项相乘； 2.多项式乘法漏项，常见少乘常数项或一次项； 3.同底数幂相乘时指数算错（如把a2a3算成a6）； 4.运算后未合并同类项，结果未整理成最简形式； 5.单独字母的指数误省略（如把2x3y算成6x，遗漏y）。 核心速记 1.核心思想：所有整式乘法→最终都转化为单项式 × 单项式 2.单项式相乘：系数乘、同底幂加、单独字母直接带 3.多项式相乘：乘遍每一项 + 带符号运算，二项式用 “首首、首尾、尾首、尾尾” 防漏项 4.符号关键：多项式的项自带符号，乘的时候跟着走 5.自查技巧：m 项 ×n 项，合并前必是 m×n 项，少了就是漏乘 6.结果要求：乘完必合并同类项，最简才收尾 题型01.单项式乘单项式运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】若定义表示，表示，则运算结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是_____ 【跟踪专练3】下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02.单项式乘多项式的化简求值 【典例】计算：_______． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则的值为______． 【跟踪专练3】若关于x，y的多项式的结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 题型03.单项式乘多项式的实际应用 【典例】有一块三角形的铁板，其中一边的长为，这边上的高为a，那么此三角形板的面积是__________． 【跟踪专练1】一个长方体的长，宽，高分别是3m，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义运算，比如，，那么关于“*”运算，以下等式成立的是______． ①；        ②；        ③ 【跟踪专练3】边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型04.多项式乘多项式的运算 【典例】若的乘积中不含x的一次项，则m的值为 ______ ． 【跟踪专练1】若等式对任意恒成立，为常数，则的值为（   ） A． B．22 C． D．14 【跟踪专练2】若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为__________． 【跟踪专练3】下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 题型05.多项式乘多项式与图形面积综合 【典例】图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式：_____________． 【跟踪专练1】如图，现有正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片若干张． 如果要拼成一个长为宽为的大长方形，则需要C类卡片（    ） A．7张 B．6张 C．5张 D．4张 【跟踪专练2】对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为__________． 【跟踪专练3】公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（　　） A． B． C． D． 题型06.(x+p)(x+q)型乘法运算 【典例】如果可分解为，则________． 【跟踪专练1】观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（    ）    A． B．， C． D．， 【跟踪专练2】已知，（，都为负整数），那______． 【跟踪专练3】已知（，，是整数），则可能的值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型07.单项式乘法的参数求解问题 【典例】已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】若，则的值为______． 【跟踪专练2】已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 题型08.单项式乘多项式的参数求解问题 【典例】若a，b均为整数，且，则等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．16 【跟踪专练1】已知中不含x的二次项，则__． 【跟踪专练2】若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为______． 【跟踪专练3】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 题型09.多项式乘积不含某项的参数确定 【典例】如果 的积中不含x的一次项，则m的值是_________． 【跟踪专练1】若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C．0 D．3 【跟踪专练2】已知，若b不影响W的取值，则常数______． 【跟踪专练3】使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型10.多项式乘法中的规律探究问题 【典例】杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）的展开式中的各项系数直观地体现了出来，其中的展开式中各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如图所示． 根据上述材料，则展开式中x项的系数为______． 【跟踪专练1】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是______． 【跟踪专练3】如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：（    ） A． B． C． D． 题型11.整式乘法之整体代入求值 【典例】已知，，则___________． 【跟踪专练1】若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【跟踪专练2】已知，则________． 【跟踪专练3】阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 题型12.整式乘法新定义运算 【典例】定义新运算：，则的运算结果是_____． 【跟踪专练1】规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，． （1）计算：________． （2）的值为________． 【跟踪专练2】如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【解答题】 1．阅读材料解决问题：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． (1)用“”或“”填空：因为__________0，所以__________； (2)已知为自然数，，试比较与的大小． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．观察下列各式： (1)根据以上的规律得：______（为正整数） (2)根据这一规律，计算： 4．一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 5．已知，，． (1)先化简，再计算当时，求该式子的值； (2)若，求x的值． 6．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 7．已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $