专题01整式的乘法进阶八类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题01 整式的乘法进阶八类题型 典例详解 类型一、幂乘方的逆用 类型二、幂的大小比较 类型三、待定系数的确定 类型四、整式的运算与求值 类型五、整体代入 类型六、降次转化 类型七、整式乘法中的规律探究 类型八、整式乘法中的代数推理 压轴专练 类型一、幂乘方的逆用 【典例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（        ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏南京·月考）已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）________． 【变式1-3】（2022八年级上·重庆九龙坡·专题练习）计算：______． 类型二、幂的大小比较 【典例2】（25-26七年级下·江苏·期中）已知，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【变式2-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 类型三、待定系数的确定 【典例3】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【变式3-1】（25-26七年级下·江苏·期中）若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式3-2】（21-22六年级下·山东烟台·期中）若的结果中关于x的二次项的系数为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D．53 类型四、整式的运算与求值 【典例4】（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．2020 B．2026 C．2024 D．2022 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中 【变式4-2】（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【变式4-3】（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 类型五、整体代入 【典例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【变式5-1】（24-25九年级下·北京西城·开学考试）已知，求的值． 【变式5-2】（24-25八年级上·北京怀柔·期末）已知，求代数式的值． 类型六、降次转化 【典例6】（21-22九年级下·湖南株洲·自主招生）已知，则的值为______． 【变式6-1】（25-26八年级上·北京·期中）代数式求值 (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求的值． 【变式6-2】（20-21七年级下·浙江湖州·期末）先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 【变式6-3】（24-25八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为______； (2)若，求代数式的值； (3)若，求证：． 类型七、整式乘法中的规律探究 【典例7】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）观察：，，，……．根据以上各式的规律，若，则的值是（  ） A． B．0 C．1 D．2 【变式7-1】（25-26七年级下·江苏南京·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值等于________． 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 …… 【变式7-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ； ； ； 根据这一规律完成下面各题： (1)______； ______； ______； (2)计算：． 【变式7-3】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现： …… (1)启航小组提出的问题是：试求的值，请你合理推算； (2)展翅小组提出的问题是：判断的值的末位数是几，请你写出推断过程； (3)若，求的值． 类型八、整式乘法中的代数推理 【典例8】（2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【变式8-1】（2026·安徽蚌埠·一模）新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【变式8-2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【变式8-3】（25-26八年级上·河南许昌·期末）观察下列两位数相乘的运算规律： ， ， ， …… (1)按照以上规律计算：_______=______． (2)设这两个两位数的十位上的数字为（为小于10的正整数），请用含的等式表示上述运算规律，并加以证明． 1.（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 3.（25-26七年级下·四川达州·月考）已知，，且，求的值． 4.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 5.（22-23八年级上·北京·期中）先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解： ， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： (1)若，则代数式的值为________ (2)若，求代数式的值； (3)已知：，求代数式的值． 6.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】 (1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 7.（25-26七年级下·广东佛山·月考）十位数字相同，个位数字的和为10的两个两位数相乘时，可以用以下方法“速算”：用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积．如：，其结果为624，，其结果为2016． (1)仿照上面的方法，写出计算的“速算”过程与结果： = ； (2)若两个两位数的个位数字分别为a，b，且，十位数字为m，用含a，b，m的式子表示上述“速算”的结论为 ，请填空并写出推理过程． 8.（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 9.（25-26七年级下·江苏镇江·月考）按要求解答问题： (1)解方程：； (2)已知，求的值． 10.（25-26七年级下·广东茂名·月考）在计算时，甲把错看成6，得到的结果是；乙把错看成了，得到的结果是． (1)求，的值； (2)计算的正确结果． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法进阶八类题型 典例详解 类型一、幂乘方的逆用 类型二、幂的大小比较 类型三、待定系数的确定 类型四、整式的运算与求值 类型五、整体代入 类型六、降次转化 类型七、整式乘法中的规律探究 类型八、整式乘法中的代数推理 压轴专练 类型一、幂乘方的逆用 【典例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，，，那么，，之间满足的等量关系不成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，结合“底数相等，幂相等，则指数相等”的性质，逐个验证选项即可得到不成立的关系式． 【详解】解：∵，，， 对选项A：∵， ∴，A成立，不符合题意； 对选项B：∵， ∴，B成立，不符合题意； 对选项C：∵， ∴，C成立，不符合题意； 对选项D：不能得出，D选项符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏南京·月考）已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件中的底数4和8转化为底数为2的幂，再利用幂的运算法则对所求式子变形，代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）________． 【答案】 2 【分析】将拆分为，再结合积的乘方法则计算. 【详解】解： ． 【变式1-3】（2022八年级上·重庆九龙坡·专题练习）计算：______． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行简便计算即可. 【详解】解：原式. 类型二、幂的大小比较 【典例2】（25-26七年级下·江苏·期中）已知，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用幂的乘方法则计算，把底数化为相同的，再比较指数即可． 【详解】解：，，， ， ． 【变式2-1】（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的大小比较，利用幂的乘方逆运算将四个幂化为同指数，再根据指数相同底数大于1时，底数越大幂越大的规律比较大小，最后结合排除法确定选项。 【详解】解：原式中各指数44，33，22都是11的倍数，根据幂的乘方逆运算，可得： ， ， ， ， 对正指数幂，指数相同且底数都大于1时，底数越大幂越大，且底数满足 ，即． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则将两个幂化为同指数幂，再比较底数大小即可. 【详解】解：，， ， ， ． 【变式2-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型三、待定系数的确定 【典例3】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据题意先求出的值，即可得出，求出a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含x的二次项，且常数项为， ∴，解得：， ∴． 【变式3-1】（25-26七年级下·江苏·期中）若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则把展开，再根据展开后不含x的一次项，且常数项为，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，再代入即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 由得：， 把代入得：， ∴． 【变式3-2】（21-22六年级下·山东烟台·期中）若的结果中关于x的二次项的系数为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D．53 【答案】C 【分析】首先将化简，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解： ∵的结果中关于x的二次项的系数为， ∴ ∴． 类型四、整式的运算与求值 【典例4】（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．2020 B．2026 C．2024 D．2022 【答案】B 【分析】利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】根据多项式的乘法法则化简原式后代入的值． 【详解】解：原式 当时，原式． 【变式4-2】（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)；1 【详解】（1）解： ， 当， 时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 【变式4-3】（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式乘多项式——化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用多项式乘以多项式和分配律展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 类型五、整体代入 【典例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 【变式5-1】（24-25九年级下·北京西城·开学考试）已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查整式的化简求值，运用整式加减的运算，去括号合并同类项，最后代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式5-2】（24-25八年级上·北京怀柔·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ∴， 当时，原式． 类型六、降次转化 【典例6】（21-22九年级下·湖南株洲·自主招生）已知，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了整体代入的方法，整式乘法混合运算，灵活运用整体思想及熟练掌握整式乘法混合运算法则是解决本题的关键． 先利用已知条件得到，利用整体代入得到，再展开得到，再将代入进而可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 【变式6-1】（25-26八年级上·北京·期中）代数式求值 (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求的值． 【答案】(1)，5 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，完全平方公式，平方差公式，提公因式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据完全平方公式与平方差公式计算括号内的，最后进行整式的加减，即可求解； （2）根据已知条件可得，然后将代数式化简，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解：∵， ∴， ∴ ， ． 【变式6-2】（20-21七年级下·浙江湖州·期末）先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值． 方法一：∵，∴，∴原式． 方法二：∵，∴，∴原式． (1)应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）； (2)拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）用整体代入法进行计算； （2）用逐步降次法进行计算． 【详解】（1）∵， ∴， ∴原式 ； （2）∵， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是正确应用“逐步降次法”和“整体代入法”两种方法进行解答． 【变式6-3】（24-25八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为______； (2)若，求代数式的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题目中所给的例子进行计算即可； （2）根据题目中所给的例子进行计算即可； （3）根据题目中所给的例子进行计算，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原式得证． 类型七、整式乘法中的规律探究 【典例7】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）观察：，，，……．根据以上各式的规律，若，则的值是（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据已知等式归纳出通用规律：(为正整数)，再结合已知等式变形求解． 【详解】解：∵，，，……， ∴， ∴当时，． 又， ， ． 【变式7-1】（25-26七年级下·江苏南京·月考）我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值等于________． 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 …… 【答案】2 【分析】依据题意，令，得，又令，则，则，从而可得，即可得解． 【详解】解：， 当时，， ， 又令， ， ， ． 【变式7-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式： ； ； ； 根据这一规律完成下面各题： (1)______； ______； ______； (2)计算：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据已知等式写出第4个等式即可；观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，即可得一般式； 令，，第二个多项式最高次为，代入一般式求解即可； （2）令，，，代入一般式求解即可． 【详解】（1）解：观察给出的等式可得规律， ， ， 令，，第二个多项式最高次为，代入一般式得： ； （2）解：令，，，代入上述一般式得， ， 两边同时除以得：． 【变式7-3】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）张老师组织学校数学兴趣小组展开探究发现： …… (1)启航小组提出的问题是：试求的值，请你合理推算； (2)展翅小组提出的问题是：判断的值的末位数是几，请你写出推断过程； (3)若，求的值． 【答案】(1)63 (2)3，过程见解析 (3)1 【分析】（1）将原式乘上，再根据题干的规律即可求解； （2）由题意可知，原式，再根据2的次幂（是正整数）末位数的周期规律推导可得的末位数为4，进而得出的末位数，即可解答； （3）由已知得到，求得，再逆用幂的乘方法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 从2的1次幂开始，末位数依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……， ∴2的次幂（是正整数）末位数以4为周期进行循环， ∵， ∴的末位数为4， ∴的末位数为3， 即的值的末位数是3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 类型八、整式乘法中的代数推理 【典例8】（2026·河北石家庄·一模）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)，证明见解析 【分析】（1）按照规律计算即可； （2）利用代数式表示两个乘数，根据总结的规律列出等式，再根据整式的运算进行证明即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； （2）解：设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（）， 这两个两位数分别为，， 观察发现规律为：， 证明： ， ， ． 【变式8-1】（2026·安徽蚌埠·一模）新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】(1)（i）792，297；（ii）23，32 (2) 【分析】（1）观察题中等式即可发现规律； （2）根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据题中等式的规律可得，（i）； （ii）； （2）解：对左边式子提取公因式11： ， 对右边式子提取公因式11： ， ∴横线上填：． 【变式8-2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 【变式8-3】（25-26八年级上·河南许昌·期末）观察下列两位数相乘的运算规律： ， ， ， …… (1)按照以上规律计算：_______=______． (2)设这两个两位数的十位上的数字为（为小于10的正整数），请用含的等式表示上述运算规律，并加以证明． 【答案】(1)；2024 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示数、图形的规律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）观察题目给出的示例，发现规律为：十位数字相同、个位为4和6的两位数相乘，计算方式是“十位数字×（十位数字+1）”． （2）用含a的式子表示这两个两位数，分别为和．根据示例规律写出等式，将左边展开化简，最终得到与右边完全相同的表达式，从而证明规律成立． 【详解】（1）解：按照以上规律计算： ， 故答案为：；2024 （2）解：规律： 证明：左边 右边 ∴左边=右边，等式成立． 1.（25-26七年级下·广东佛山·月考）已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是将所有已知等式统一化为底数为3的幂．先将和化为以3为底的幂，再利用建立等式，最后根据指数相等得到关系． 【详解】解：， ， 又, 且， ， 即， 且， ， 故选：． 2.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据积的乘方公式和幂的乘方逆运算求解即可； （2）根据积的乘方公式的逆用求解即可． 【详解】解：（1） ， ； （2） ， ， ， ， 解得． 3.（25-26七年级下·四川达州·月考）已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法及其逆用、积的乘方的逆用、幂的乘方运算法则，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 4.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 5.（22-23八年级上·北京·期中）先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解： ， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： (1)若，则代数式的值为________ (2)若，求代数式的值； (3)已知：，求代数式的值． 【答案】(1)3 (2) (3)9 【分析】（1）由得，然后对所求式子展开，再代入计算即可； （2）由得，然后对所求式子展开，并进行代换，再化简合并即可； （3）由得，然后对所求式子变形，并进行代换，再化简合并即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：3； （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ， ， ， 即代数式的值为9． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确理解“降次代换法”，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】 (1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，可得，化简即求解； （2）令，代入求得，令，代入求得，求出，令，求出，即可求解； （3）分别求出当时和当时，式子的值，结合（2）中的解题方法，即可求解； （4）求出时，式子的值，即可求解． 【详解】（1）当时，， 整理，得， 故． （2）当时，， 当时，， 整理，得， 故 ∴． 当时，， ∴． （3）当时，， 当时，， 奇数次数项系数之和为． （4）当时，， 即各项系数和为． 【点睛】通过观察所给的式子，将所求的式子进行恰当的赋值，从而求解是解题的关键． 7.（25-26七年级下·广东佛山·月考）十位数字相同，个位数字的和为10的两个两位数相乘时，可以用以下方法“速算”：用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积．如：，其结果为624，，其结果为2016． (1)仿照上面的方法，写出计算的“速算”过程与结果： = ； (2)若两个两位数的个位数字分别为a，b，且，十位数字为m，用含a，b，m的式子表示上述“速算”的结论为 ，请填空并写出推理过程． 【答案】(1)， (2)，推理过程见解析 【分析】（1）根据题目的方法进行解答即可； （2）根据题目的方法进行推理即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：， （2）解：，推理过程如下：． 8.（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 9.（25-26七年级下·江苏镇江·月考）按要求解答问题： (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘单项式、多项式乘多项式法则展开，然后去括号、移项、合并同类项，系数化为1即可； （2）将A、B代入，然后根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：∵， ∴ ． 10.（25-26七年级下·广东茂名·月考）在计算时，甲把错看成6，得到的结果是；乙把错看成了，得到的结果是． (1)求，的值； (2)计算的正确结果． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据题意得出，，再分别列出方程求解即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 又， ，即：， 解得． （2）解：当，时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $