17.2 平行四边形的判定（第4课时 三角形中位线定理）（教学课件）数学新教材华东师大版八年级下册

17.2 平行四边形的判定 第4课时 三角形中位线定理 第十七章 平行四边形 章节导读 17.1平行四边形的性质 17.2平行四边形的判定 角相等判定平行四边形 平行四边形的判定定理12 平行四边形性质定理1 2的应用 平行四边形的边角性质 平行四边形的判定定理3 平行四边形性质定理3 平行四边形中周长和面积的计算 平行四边形的判定应用 三角形中位线定理 2 学 习 目 标 1 2 3 理解三角形中位线的定义； 理解三角形中位线定理，能运用其进行论证和计算； 能综合运用三角形的中位线与平行四边形的性质、判定定理解决问题。 复习回顾 平行四边形的性质与判定定理： 平行四边形的性质 平行四边形的判定 1. 两组对边分别平行；2.两组对边分别相等； 3. 两组对角分别相等；4. 两条对角线互相平分. 1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 4 新知探究 三角形的中位线 如图，已知 □ ，延长边 至点 ，使 . 连结 ，交边 于点 .求证：. 证明:∵ 四边形 是平行四边形， ∴(平行四边形的对边平行且相等). ∴. 又∵， ∴. 在与中， ∵， ∴. ∴. 分析：要证，可证．由平行四边形性质得，再由得对应角相等，即可证全等，从而得． 5 如图，点分别是的两边的中点，即是连结的两边中点的线段，连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线. 归纳总结 三角形的中位线 符号表示： ∵点 分别是 的中点， ∴ 是 的中位线 . 一个三角形有几条中位线？ 6 新知探究 三角形中位线定理 思考1：一个三角形有几条中位线？ 根据三角形中位线的定义，我们在三边上找到三边的中点， 连结三个中点，可以得到三条中位线。 F 思考2：每条中位线与三角形的边有什么关系？ 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与AB的关系 猜想： 你能证明吗？试一试吧！ 7 新知探究 三角形中位线定理 如图，在中，点分别是边和的中点. 求证：，. 证明：如图，延长到，使，连结. 在和中， ∵， ∴. ∴ ∴. ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） F A B C D E ∴（平行四边形的对边平行）， （平行四边形的对边相等）. ∴ . 8 三角形中位线定理 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 符号表示：在中， ∵点 分别为的中点， ∴且 . 归纳总结 三角形中位线定理 A B C D E 应用: ①证明平行问题 ②证明一条线段是另一条线段的2倍或. 9 典例分析 例1 已知：如图，在中，. 求证：与相互平分. 证明：如图，连接. ∵， ∴C（三角形的中位线平行于第三边）. 同理可得，. ∴四边形是平行四边形 （两组对边分别平行的四边形是平行四边形）. ∴与互相平分. 三角形中位线定理 A B C D E F 推论：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 10 归纳总结 三角形中位线与中线 三角形的中位线 三角形的中线 区别 连结三角形两边中点的线段． 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段． 图示 性质 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 三角形的三条中线相交于一点,中线将三角形分为两个面积相等的小三角形. 联系 三角形的中位线与第三边上的中线互相平分． 一个三角形有3条中线和3条中位线． 11 知识拓展 稳定性与不稳定性 数学桥 利用了三角形具有稳定性 12 知识拓展 稳定性与不稳定性 将几根木条用钉子钉成如下形状，然后扭动它，你能发现什么？ 三角形具有稳定性，而平行四边形具有不稳定性. 13 知识拓展 稳定性与不稳定性 四边形的不稳定性在日常生活中有广泛的应用. 伸缩晾衣杆 伸缩门 14 1.三角形的周长为 56 cm，求它的三条中位线组成的三角形的周长. 随堂练习 基础过关(P100) 解:如图，由题意得cm. ∵ 分别是的中点， ∴ 都是的中位线. ∴ . ∴ (cm). ∴ 该三角形的三条中位线组成的三角形的周长为28 cm. 15 随堂练习 基础过关(P100) 2.如图，在中，分别是边 的中点， 则线段是 的______线，线段 是 的_____线，线段是的_____线. A B C D E 中位 中 中 16 随堂练习 基础过关(P101) 3.如图，在中，分别是 的中点，求四边形的周长. 解: ∵是的中点， ∴是的中位线. ∴. 同理可得. ∴. ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴. 同理可得. A B C E F D G H ∴ . ∴ 四边形的周长＝. 17 随堂练习 4.如图，点分别是四边形边的中点，如果且，则． 能力提升 分析：利用三角形的中位线定理，证明四边形EFGH是平行四边形 8 18 随堂练习 能力提升 5.如图，在Rt中，，是边上一点，为边上的动点，分别为的中点． 求的最小值． 解：如图，连接． ∵分别为的中点， ∴． 当时，的值最小（垂线段最短）， 此时有最小值． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故DE的最小值是． 19 随堂练习 能力提升 6.如图，在中，，为的中点，在的延长线上取一点，使，求证： 证明：取 的中点 ，连接. ∵， ∴为的中位线， ∴F. ∵为的中点，， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. F 构造三角形中位线是解决线段倍数关系的常用方法. 20 随堂练习 能力提升 7.如图，等边的边长是2，分别为的中点，延长至点，使，连接和． (1) 求证：； (2) 求的长. （1）证明：∵ 分别为 的中点， ∴为的中位线， ∴ . ∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点，等边的边长是 2， ∴，， ∴． 21 课堂小结 三角形的中位线 定义 连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线． 定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 感谢聆听! $