专题 3.2.2 几个常用的分布（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题 3.2.2 几个常用的分布 教学目标 1.理解超几何分布、二项分布、两点分布的概念，掌握它们的分布列形式、适用条件及符号表示。 2.能识别具体随机试验中服从的分布类型，会用对应的分布列计算相关概率。 3.了解三种分布之间的联系与区别，理解二项分布与超几何分布的关系。 教学重难点 1.重点： 超几何分布、二项分布的概念、分布列及适用条件，能正确识别并应用模型计算概率。 2.难点： （1）二项分布与超几何分布的区分：学生易混淆 “有放回抽样” 与 “无放回抽样” 的试验条件，难以判断模型的选择。 （2）复杂情境下的模型识别：多步骤随机试验中，准确判断事件是否满足独立重复试验、有限总体无放回抽样等条件，是应用模型的关键难点。 知识点01 两点分布 如果随机变量X只取值 0 或 1，且其概率分布是P(X=1)=p, P(X=0)=1−p, p∈(0,1),则称随机变量X服从两点分布，记作X∼B(1, p)。 【即学即练】 （24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两点分布 【分析】，结合题目条件得到方程，求出答案. 【详解】且，解得. 故选：D 知识点02 二项分布 1.伯努利试验：一般地，在相同条件下进行n次重复试验，如果每次试验只有两种可能的结果A与，并且P(A)保持不变，各次试验的结果相互独立，那么称这样的试验为伯努利试验，它也是一种n次独立重复试验。 2.二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A出现的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X有概率分布：注意到 正好是二项式(p+q)n的展开式中的第(k+1)项，故称随机变量X服从二项分布，记作X∼B(n, p)，其中n, p为参数，p为事件发生的概率。 【即学即练】 （25-26高二上·湖北十堰·月考）某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽那么称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，那么称该次实验是失败的. (1)第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率； (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、独立重复试验的概率问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）由题意服从，再应用二项分布的概率求法求概率即可； （2）由题意第二小组第7次成功，前面6次有3次失败，再确定3次中2次连续失败，另一次不与上述2次相邻的情况数，应用独立事件乘法公式即可求概率. 【详解】（1）由题设，随机变量服从，则，， 所以至少两次实验成功的概率； （2）由题意可知，第二小组第7次成功，前面6次有3次失败，则概率为， 若前6次实验，3次失败中2次连续失败，另一次不与上述2次相邻， 相当于先将成功的3次排成一列，所成列中有4个空， 再把连续的2次失败和与之不相邻的1次失败作为2个不同元素插入其中2个空中， 所以有种可能， 所以所求概率为. 知识点03 超几何分布 一般地，若N件产品中有M件次品，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为 其中k=0,1,2,…,l，l=min{M,n}，且M≤N, n≤N−M, n,M,N∈N+。成分布列 为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作X∼H(N,M,n) 【即学即练】 （24-25高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，由题意分析服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列即可； （2）利用第一问直接求出能过关的概率． 【详解】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3， 且服从超几何分布， 所以． 所以，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （2） 他能过关的概率为． 题型01 两点分布及应用 【典例1】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、两点分布、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】由两点分布分别求得的概率，再，由求出，由条件概率公式计算. 【详解】随机变量均服从两点分布， ，， 又， ，由条件概率公式， 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【答案】C 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点分布 【分析】按照两点分布的性质计算. 【详解】依题意可得，解得. 故选：C 【变式1-3】（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、两点分布 【分析】由概率之和为1即可列方程求解. 【详解】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 题型02 利用二项分布求分布列 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)分布列见解析. 【知识点】利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）某人每次的射击是相互独立且互不影响的，相当于多次重复试验．满足二项分布定义，可以用二项分布性质求解． （2）求离散型随机变量的分布列时要注意随机变量的所有可能取值． （3）应用独立重复试验的概率求法求分布列即可. 【详解】（1）因为此人每次击中目标的概率是， 所以他射击6次，击中目标次的概率． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 （2）的取值为，若，则前次均未击中目标． 则, 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 （3）由（2）可得， 所以的分布列为： 1 2 3 【变式2-1】（2025高二·全国·专题练习）某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动的三口人，每人从中任取1个球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返现金．若某家庭参与了该活动． (1)若该家庭获得的返现金额为X（单位：元），求的值； (2)求该家庭获得的返现金额X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意先求得取到红球的概率为，取到黑球的概率为，再根据独立重复试验中事件概率的计算方法求得的值； （2）X的可能值为12，20，28，36，先计算每一次摸球得到的不同返现金额的概率，即可求该家庭获得的返现金额的分布列. 【详解】（1）根据题意，取得红球的概率为，取到黑球的概率为． 则． （2）由题意得，该家庭获得的返现金额X的可能值为12，20，28，36 ． ， ， ． 故该家庭获得的返现金额X的分布列如下． X 12 20 28 36 P 【变式2-2】（25-26高二·全国·寒假作业）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式进行计算即可. （2）根据二项分布求出的分布列. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 【变式2-3】（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】利用二项分布求分布列、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用间接法求解； （2）判断X属于二项分布，并求出X的可能取值, 求出每个取值对应的概率，列表即可 【详解】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为， ，故． （2）由题可知． 的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 题型03 根据二项分布求概率 【典例3】（2025高二·全国·专题练习）设随机变量X服从二项分布，随机变量Y服从二项分布，若，求. 【答案】 【知识点】利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为X服从二项分布， 则，又，解得， 故. 【变式3-1】（25-26高二下·全国·课后作业）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 【变式3-2】（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列 【分析】根据二项分布概率公式计算求解. 【详解】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 【变式3-3】（2025高二·全国·专题练习）经验表明，预订餐厅而不来就餐的顾客比例为20%.某餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，则顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？ 【答案】 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】根据二项分布概率公式计算求解. 【详解】设X表示来到餐厅的顾客人数，则X服从二项分布， 所求概率为. 题型04 服从二项分布的随机变量概率最大问题 【典例4】（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 【变式4-1】（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】确定随机变量的可能取值，应用超几何分布的概率求法求出对应概率值，即可得. 【详解】由题意，的可能值为，则， 所以，，，，， 所以当取得最大值时. 【变式4-2】（25-26高二下·浙江宁波·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 【答案】7或8 【知识点】独立重复试验的概率问题、服从二项分布的随机变量概率最大问题、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】首先求出改进后，1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后落入2号球槽的概率，根据二项分布列出2号球槽中落入k个小球的概率最大时的不等式组，进而可得解. 【详解】由题意知1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后共碰撞4次，落入2号球槽需向右1次，向左3次， 因为改进后，的概率向左，的概率向右滚下， 所以落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为X，则， 令最大，则， 即， 解得，因为， 所以2号球槽中落入或个小球的概率最大. 【变式4-3】（25-26高二·全国·寒假作业）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2). 【知识点】利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）根据二项分布求出的可能取值和对应的概率，进而得到的分布列. （2）根据题意先列出的表达式，进而确定最值. 【详解】（1）所有可能的取值为，且. ； ； ； . 故的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）设事件为“被选出的人中恰好有位男生”， 则30个人中剩下个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为， 所以. 所以，解得. 所以， 故当时，最大. 题型05 建立二项分布模型解决实际问题 【典例5】（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，； (2),理由见解析. 【知识点】求离散型随机变量的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用二项分布求分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 【变式5-1】（25-26高二·全国·寒假作业）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）应用独立重复试验概率及互斥事件概率和公式计算求解； （2）应用二项分布求解概率，再应用得出分布列. 【详解】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 【变式5-2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、独立重复试验的概率问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）基本事件总数，田忌获胜包含的基本事件只有一种可能，由此能求出田忌获胜的概率； （2）根据（1）及题意三次比赛，田忌获胜次数服从，再由求概率. 【详解】（1）齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，基本事件有， 田忌获胜包含的基本事件只有一种可能，即： 田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马， 田忌获胜的概率为； （2）由（1），每次田忌获胜概率为，所以三次比赛，田忌获胜次数服从， 所以田忌至少赢得两次比赛的概率 . 【变式5-3】（25-26高二上·山东聊城·期末）某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先求出6个球中随机摸取2个球的情况数，再求从2个红球中随机摸取2个红球的情况数，进而可求得顾客获得一等奖的概率； （2）先求不获奖的概率，设3名顾客中获奖的人数为，服从二项分布，进而可求. 【详解】（1）设事件为“顾客获得一等奖”， 从6个球中随机摸取2个球的情况数为种， 从2个红球中随机摸取2个红球的情况数为种 则. （2）由题意得每次抽奖独立，则不获奖的概率为，则获奖的概率为， 设3名顾客中获奖的人数为，则， 则， ， 所以. 题型06 超几何分布的分布列 【典例6】（24-25高二下·全国·课后作业）若该批产品共有100个产品，合格率为，抽样方案选择的是，即在该批产品中随机抽取5件产品，若不合格品数为0，则该批产品通过检测．若用随机变量表示抽样中合格品的个数，请写出的分布列，并求出该批产品通过检测的概率． 【答案】分布列见解析，. 【知识点】超几何分布的分布列、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由题知，的可能取值为2，3，4，5，利用超几何分布求出分布列与通过检测的概率. 【详解】由题合格产品有件，不合格产品有3件， 的所有可能取值为2,3,4,5，， ， ，故的分布列为 2 3 4 5 故该批产品通过检测的概率. 【变式6-1】（25-26高二下·全国·课后作业）在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据题意，可推得服从超几何分布，利用超几何分布概率公式计算即可判断. 【详解】依题意，随机变量服从超几何分布， 则，， 当时，， 故C正确. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二下·浙江金华·月考）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】补全频率分布直方图、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据频率直方图的性质即可求解； （2）利用频率直方图计算电池续航时间不少于35小时的组数，然后利用超几何分布概率公式求解即可. 【详解】（1）根据频率之和等于1可得， ，解得. （2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 【变式6-3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1～8.现从中任取4个球，以表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）利用分步乘法计数原理以及组合数可计算分布列； （2）根据计算即可. 【详解】（1）由题意可知，的可能取值有， 则，， ，，， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 （2）由（1）知，. 题型07 求超几何分布的概率 【典例7】（25-26高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，由题意分析服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列即可； （2）利用第一问直接求出能过关的概率． 【详解】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 所以， 所以，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （2）他能过关的概率为 【变式7-1】（2025高二·全国·专题练习）学校要从10名候选人中选2名组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人．假设每名候选人都有相同的机会被选中，若X表示高二（1）班的候选人中被选中的人数，写出X的分布列． 【答案】答案见解析 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】由题意随机变量X服从超几何分布，根据超几何分布的公式求解分布列即可． 【详解】由题意随机变量X可取0,1,2， ， ， ， 高二（1）班的候选人中被选中的人数X的分布列如下表． X 0 1 2 P 【变式7-2】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】超几何分布的分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）至少有一个是文创类项目，可以是一个或者两个文创项目，利用互斥事件加法公式和古典概型公式求解； （2）按照步骤结合超几何分布的性质计算. 【详解】（1）记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， （2）由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 【变式7-3】（25-26高三·全国·一轮复习）网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评”“中评”“差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，对年龄分为“50岁以下”和“50岁以上（含50岁）”两类人群进行了统计，得到给予“好评”“中评”“差评”评价的人数如下表所示． 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 50岁以下 9000 3000 2000 50岁以上（含50岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到“好评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好评”，但抽取次数最多不超过5次，求抽取了5次的概率； (2)从给予“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，抽取的3人中年龄在50岁以下的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、超几何分布的分布列 【分析】（1）先求得抽取到“好评”的概率，再分第5次抽到好评和没抽到好评求解； （2）易知抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为6人，4人，再根据服从参数为10，3，6的超几何分布求解. 【详解】（1）从参与评价的网民中随机抽取1人，抽取到“好评”的概率为， 则抽取了5次的概率为； （2）在给予“中评”评价的网民中，50岁以下与50岁以上（含50岁）的人数之比为3∶2， 因此在抽取的10人中，50岁以下与50岁以上（含50岁）的人数分别为6和4． 依题意知X服从参数，，的超几何分布， 所以，，1，2，3． 所以,, 于是X的分布列为 X 0 1 2 3 P 题型08 常用分布的综合问题 【典例8】（25-26高二·全国·寒假作业）某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3)分布列见解析 【知识点】求超几何分布的概率、写出简单离散型随机变量分布列、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1求出参数即可. （2）根据独立重复试验确定质量超过的袋数X的所有可能取值和对应的概率，进而得到其分布列. （3）根据超几何分布求出的分布列即可. 【详解】（1）由题意可得：， 解得. （2）根据样本估计总体的思想，取一袋食盐， 该食盐的质量超过的概率为. 从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验， 质量超过的袋数X的所有可能取值为， 且服从二项分布， . ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 0.49 0.42 0.09 （3）质量超过的食盐数量为袋， 随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布. ，， ， 随机变量的分布列为: 0 1 2 【变式8-1】（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 【变式8-2】（24-25高二下·天津滨海新区·期末）继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表： 训练营 A B C D E F G H 参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 (1)若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值； (2)在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立． （i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率； （ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii）6轮 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）由题意得到随机变量的可能取值，利用古典概率和组合数求出相应的概率，列出分布列，由公式可得期望； （2）（i）由二项分布的概率公式可得； （ii）由二项分布的期望公式计算可得. 【详解】（1）由题意得，参与人数超过30人的共有5个，未超过30人的共有3个，则随机变量的可能取值为 ， . 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 则随机变量的均值为 （2）（i）设甲学员单轮测试“优秀”的事件为， 则 （ii）设理论上至少需测试轮， 记甲学员在测试中获得“优秀”的次数为，则 则 又因为，所以的最小值是6. 所以理论上至少需要测试6轮. 【变式8-3】（25-26高二·全国·寒假作业）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围（单位：立方米） 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： (1)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列； (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)6 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）先确定第二阶梯水量的户数的可能取值，然后求出对应的概率，进而得到其分布列. （2）根据二项分布列出，进而确定最值. 【详解】（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户. 第二阶梯水量的户数的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得， 所以，其中0，1，2，…，10. 设， 若，则，； 若，则，. 所以当或，可能最大， ，所以的取值为. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课后作业）若服从参数为的超几何分布，则事件中含有的基本事件个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布的定义，分析即可得答案. 【详解】事件表示从含件次品的件产品中，任取件产品， 其中恰有件次品，则必有件正品， 因此事件中含有个基本事件． 故选：B 2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）口袋内装有除颜色外均相同的3个红球和1个白球，有放回的抽取两次，事件：“抽取的2球中恰有1个红球和1个白球”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】确定每次抽取红球、白球的概率，分析“恰有1个红球1个白球”的两种情形，分别计算概率后求和得到结果. 【详解】有放回抽取时，每次抽红球的概率为，抽白球的概率为， “恰有1个红球1个白球”包含两种情形：第一次红、第二次白，或第一次白、第二次红， 第一种情形的概率：， 第二种情形的概率：， 总概率为：. 故选：B 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题中的组合计数问题、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、求超几何分布的概率 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 4．（25-26高三上·湖北荆州·月考）设事件每次成功的概率为，现进行3次独立重复试验，如果在事件至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立重复试验的概率问题 【分析】由题意得3次试验全部成功的概率为，事件至少成功1次的概率为，由此利用条件概率公式即可求得. 【详解】因为事件每次成功的概率为， 所以3次试验全部成功的概率为，事件至少成功1次的概率为. 由条件概率公式得：，整理得：， 解得（舍）或（舍）或. 故选：D. 5．（25-26高二上·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立重复试验的概率问题 【分析】求出抛掷一次掷出的点数为3的倍数的概率，再根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】抛掷一枚骰子，出现的点数可能为，其中点数为3的倍数的为， 所以抛掷一次质地均匀的骰子，掷出的点数为3的倍数的概率为， 所以抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率为. 故选：C. 7．（25-26高二下·全国·单元测试）如城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论不成立的是（   ） A．这5个家庭均有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D．这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 【答案】B 【知识点】独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】由题得小汽车的普及率为， 对于A：这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题，故A正确； 对于B：这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为， 所以该命题是假命题，故B错误； 对于C：这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题，故C正确； 对于D：这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为， 所以该命题是真命题，故D正确． 故选：B. 8．（25-26高二下·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（   ） A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 【答案】BCD 【知识点】独立重复试验的概率问题、判断随机试验中的随机变量 【分析】二项分布需满足固定次数n次独立重复试验、每次试验只有两个对立结果、成功概率p恒定、随机变量表示成功的次数这四大核心条件，据此逐项分析. 【详解】对于A：满足独立重复试验的全部条件，随机变量表示固定次数试验中成功的次数，服从二项分布； 对于B：的取值是，，显然不符合固定次数和成功概率恒定，因此不服从二项分布； 对于C:随机变量定义为 “直到摸出白球为止的试验次数”，本质是刻画 “首次摸到白球” 的试验次数，并非二项分布要求的 “固定n次试验中摸到白球的次数”，不符合二项分布的定义； 对于D：试验为不放回抽样，每次试验的概率会随抽样结果变化，不满足二项分布 “独立重复、概率恒定” 的条件，故不服从二项分布． 故选：BCD. 10．（25-26高二上·全国·课堂例题）下列例子中随机变量X服从二项分布的有（    ） A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数 C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 【答案】AC 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、独立重复试验的概率问题 【分析】根据二项分布的特征和定义即可判断. 【详解】对于A，设事件E为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”， 则，则在n重伯努利试验中事件E恰好发生了次的概率， 符合二项分布的定义，即有.故A正确； 对于B，X的取值是1，2，3，…，n，， 显然不符合二项分布的定义，因此X不服从二项分布.故B错误； 选项C与D的区别是：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的， 因此X不服从二项分布，对于C，X显然服从二项分布，且.故C正确，D错误. 故选：AC. 11．（24-25高二下·福建龙岩·期中）某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋 要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（    ） A．每位家长选择跳绳的概率为 B．的可能取值有4个 C． D． 【答案】AD 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立重复试验的概率问题 【分析】根据古典概型计算判断A，应用次独立事件概率乘积公式计算判断B，C，D. 【详解】每位家长选择跳绳的概率，A选项正确； 的可能取值为0，1，2，3，4， ， 故B，C错误，AD正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（25-26高三上·北京·开学考试）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是______． 【答案】/ 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据超几何分布公式计算即可. 【详解】设事件A表示“取出的3个球中恰好有2个黄色乒乓球”， 则， 故答案为：. 13．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知随机变量，则__________. 【答案】/0.875 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据二项分布的概率公式求出，再根据即可求解. 【详解】因为随机变量， 所以， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则____________ . 【答案】/0.375 【知识点】利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题 【分析】可知，利用二项分布的概率公式求解. 【详解】由题意可知，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·单元测试）某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响． (1)求该运动员试跳三次，第三次才成功的概率； (2)求该运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由题意可得，可求，进而利用独立事件的概率乘法公式可求解； （2）由独立重复试验概率公式求解即可. 【详解】（1）设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为，则失败概率为．依题意有，解得． 由于每次试跳成功与否相互之间没有影响， 所以试跳三次中第三次才成功的概率为． （2）设该跳高运动员单次试跳成功的概率为， 则该跳高运动员的三次试跳可看成三次独立重复试验， 则该跳高运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率． 16．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)答案见解析 (2)①0.108；②打折更划算 【知识点】均值的实际应用、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据超几何分布结合对应的奖金，列出相应的概率即可； （2）消费1000元可知抽奖3次，而抽到100元的可能恰好是抽到20元，30元，50元这种组合；对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 17．（25-26高二·全国·寒假作业）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）先确定的可能取值，求出对应的概率，进而得到其分布列. （2）设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，分别求出甲、乙两人答对题数服从二项分布的概率，再根据独立事件的概率公式求出的表达式，进而确定最值. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 ， 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2.2 几个常用的分布 教学目标 1.理解超几何分布、二项分布、两点分布的概念，掌握它们的分布列形式、适用条件及符号表示。 2.能识别具体随机试验中服从的分布类型，会用对应的分布列计算相关概率。 3.了解三种分布之间的联系与区别，理解二项分布与超几何分布的关系。 教学重难点 1.重点： 超几何分布、二项分布的概念、分布列及适用条件，能正确识别并应用模型计算概率。 2.难点： （1）二项分布与超几何分布的区分：学生易混淆 “有放回抽样” 与 “无放回抽样” 的试验条件，难以判断模型的选择。 （2）复杂情境下的模型识别：多步骤随机试验中，准确判断事件是否满足独立重复试验、有限总体无放回抽样等条件，是应用模型的关键难点。 知识点01 两点分布 如果随机变量X只取值 0 或 1，且其概率分布是P(X=1)=p, P(X=0)=1−p, p∈(0,1),则称随机变量X服从两点分布，记作X∼B(1, p)。 【即学即练】 （24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 二项分布 1.伯努利试验：一般地，在相同条件下进行n次重复试验，如果每次试验只有两种可能的结果A与，并且P(A)保持不变，各次试验的结果相互独立，那么称这样的试验为伯努利试验，它也是一种n次独立重复试验。 2.二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A出现的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X有概率分布：注意到 正好是二项式(p+q)n的展开式中的第(k+1)项，故称随机变量X服从二项分布，记作X∼B(n, p)，其中n, p为参数，p为事件发生的概率。 【即学即练】 （25-26高二上·湖北十堰·月考）某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽那么称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，那么称该次实验是失败的. (1)第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率； (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率. 知识点03 超几何分布 一般地，若N件产品中有M件次品，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为 其中k=0,1,2,…,l，l=min{M,n}，且M≤N, n≤N−M, n,M,N∈N+。成分布列 为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作X∼H(N,M,n) 【即学即练】 （24-25高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 题型01 两点分布及应用 【典例1】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【变式1-2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 题型02 利用二项分布求分布列 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 【变式2-1】（2025高二·全国·专题练习）某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动的三口人，每人从中任取1个球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返现金．若某家庭参与了该活动． (1)若该家庭获得的返现金额为X（单位：元），求的值； (2)求该家庭获得的返现金额X的分布列． 【变式2-2】（25-26高二·全国·寒假作业）有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列. 【变式2-3】（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 题型03 根据二项分布求概率 【典例3】（2025高二·全国·专题练习）设随机变量X服从二项分布，随机变量Y服从二项分布，若，求. 【变式3-1】（25-26高二下·全国·课后作业）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025高二·全国·专题练习）经验表明，预订餐厅而不来就餐的顾客比例为20%.某餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，则顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？ 题型04 服从二项分布的随机变量概率最大问题 【典例4】（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【变式4-1】（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-2】（25-26高二下·浙江宁波·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 【变式4-3】（25-26高二·全国·寒假作业）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值. 题型05 建立二项分布模型解决实际问题 【典例5】（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【变式5-1】（25-26高二·全国·寒假作业）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列. 【变式5-2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【变式5-3】（25-26高二上·山东聊城·期末）某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 题型06 超几何分布的分布列 【典例6】（24-25高二下·全国·课后作业）若该批产品共有100个产品，合格率为，抽样方案选择的是，即在该批产品中随机抽取5件产品，若不合格品数为0，则该批产品通过检测．若用随机变量表示抽样中合格品的个数，请写出的分布列，并求出该批产品通过检测的概率． 【变式6-1】（25-26高二下·全国·课后作业）在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二下·浙江金华·月考）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率. 【变式6-3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1～8.现从中任取4个球，以表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 题型07 求超几何分布的概率 【典例7】（25-26高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【变式7-1】（2025高二·全国·专题练习）学校要从10名候选人中选2名组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人．假设每名候选人都有相同的机会被选中，若X表示高二（1）班的候选人中被选中的人数，写出X的分布列． 【变式7-2】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【变式7-3】（25-26高三·全国·一轮复习）网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评”“中评”“差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，对年龄分为“50岁以下”和“50岁以上（含50岁）”两类人群进行了统计，得到给予“好评”“中评”“差评”评价的人数如下表所示． 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 50岁以下 9000 3000 2000 50岁以上（含50岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到“好评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好评”，但抽取次数最多不超过5次，求抽取了5次的概率； (2)从给予“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，抽取的3人中年龄在50岁以下的人数为X，求X的分布列． 题型08 常用分布的综合问题 【典例8】（25-26高二·全国·寒假作业）某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【变式8-1】（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【变式8-2】（24-25高二下·天津滨海新区·期末）继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表： 训练营 A B C D E F G H 参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 (1)若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值； (2)在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立． （i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率； （ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 【变式8-3】（25-26高二·全国·寒假作业）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围（单位：立方米） 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： (1)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列； (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课后作业）若服从参数为的超几何分布，则事件中含有的基本事件个数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）口袋内装有除颜色外均相同的3个红球和1个白球，有放回的抽取两次，事件：“抽取的2球中恰有1个红球和1个白球”的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北荆州·月考）设事件每次成功的概率为，现进行3次独立重复试验，如果在事件至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二上·陕西渭南·期末）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷三次，恰好出现两次掷出的点数为3的倍数的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·全国·单元测试）如城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论不成立的是（   ） A．这5个家庭均有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D．这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 8．（25-26高二下·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（   ） A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 10．（25-26高二上·全国·课堂例题）下列例子中随机变量X服从二项分布的有（    ） A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数 C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数 11．（24-25高二下·福建龙岩·期中）某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋 要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（    ） A．每位家长选择跳绳的概率为 B．的可能取值有4个 C． D． 三、填空题 12．（25-26高三上·北京·开学考试）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是______． 13．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知随机变量，则__________. 14．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则____________ . 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·单元测试）某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响． (1)求该运动员试跳三次，第三次才成功的概率； (2)求该运动员在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率． 16．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 17．（25-26高二·全国·寒假作业）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $