专题3.2.3 离散型随机变量的数学期望（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题 3.2.3 离散型随机变量的数学期望 教学目标 1.结合实例理解 离散型随机变量数学期望（均值） 的概念、统计意义，掌握定义公式。 2.能根据分布列，熟练计算一般离散型随机变量的数学期望。 3.掌握数学期望的线性运算性质，会用性质简化计算。 4.熟记两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望公式并直接应用。 5.能运用数学期望解决决策、均值比较、实际应用类问题。 教学重难点 1.重点： （1）离散型随机变量数学期望的定义、计算公式。 （2）数学期望线性性质的理解与应用。 （3）两点分布、二项分布、超几何分布的期望公式记忆与直接计算。 （4）利用分布列求期望、结合期望解决简单实际问题。 2.难点： （1）深刻理解数学期望的本质：概率加权平均数，区分随机变量均值与样本平均值。 （2）数学期望线性性质的推导、灵活变形应用（含常数、线性变换）。 （3）复杂背景实际问题建模，提取随机变量、列分布列、用期望做方案决策与优劣比较。 （4）易混概念辨析：期望、方差、样本均值、总体均值的区别。 知识点01 数学期望（均值） 1.定义：若离散型随机变量X的分布列为： 则称 为随机变量X的数学期望，简称期望，也叫均值。 2.解读： （1）意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平、中心位置，是大量重复试验下取值的稳定平均值。 （2）本质：以概率为权重的加权算术平均数，区别于普通算术平均。 （3）性质：E(X)是常数，不是随机变量，不随试验结果改变；样本均值是随机变量，大样本下趋近于总体期望。 【即学即练】 （2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)先派出乙． 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、均值的实际应用 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派甲丙乙进行闯关所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 知识点02 两点分布的数学期望 两点分布：X∼B(1,p)，E(X)=p 【即学即练】 （24-25高二下·广东惠州·月考）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 【答案】/ 【知识点】两点分布、两点分布的均值 【分析】根据两点分布可得，再结合已知可得，进而可求. 【详解】∵随机变量X服从分布，且， ∴， ∴， 所以 故答案为： 知识点03 二项分布的数学期望 二项分布：X∼B(n,p)，（n次独立重复试验），E(X)=np 【即学即练】 （24-25高二下·贵州铜仁·月考）已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有___________种． 【答案】150 【知识点】排列组合综合、分组分配问题、二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望得到，然后采用先分组后排序的方法计算即可. 【详解】由，得，即， 故分配方案共有150种． 故答案为：150 知识点04 超几何分布的数学期望 超几何分布：X∼H(N,M,n)（总体N个，其中次品M个，抽取n个，X为次品数），E(X)= 【即学即练】 （24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 知识点05 数学期望的线性性质 1.设X为离散型随机变量，a,b为任意常数，令Y=aX+b，则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b 2.常用推论 （1）常数的期望：E(C)=C（C为常数） （2）数乘性质：E(aX)=aE(X) （3）平移性质：E(X+b)=E(X)+b （4）可加性：E(X1 +X2 )=E(X1 )+E(X2 )（无需变量独立） 【即学即练】 （多选）（25-26高二上·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】均值的性质、计算条件概率、由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】对A，由分布列的性质求解判断；对B，由分布列求解判断；对C，先求出，再根据均值的性质求解；对D，根据条件概率公式计算. 【详解】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 题型01 两点分布的均值 【典例1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 【答案】C 【知识点】两点分布的均值、两点分布 【分析】根据两点分布的期望公式即可求解. 【详解】因为随机变量服从参数为的两点分布， 所以， 又，所以. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二下·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【知识点】两点分布的均值 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二下·河北石家庄·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】/ 【知识点】两点分布的均值 【分析】直接根据两点分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，. . 【变式1-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）若随机变量X服从参数为p的两点分布，则________． 【答案】 【知识点】两点分布的均值、两点分布 【分析】利用两点分布的期望公式求解即可. 【详解】由两点分布的性质得两点分布的期望. 故答案为： 题型02 二项分布的均值 【典例2】（25-26高二上·北京·期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． (1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1； (2). 【知识点】二项分布的均值、利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）求出的可能取值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用独立重复试验的概率公式列式求解. 【详解】（1）随机变量的可能取值为，则，， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （2）有3次摸到红球则停止摸球，恰好摸5次停止的事件是前4次摸到红球2次，第5次摸到红球， 所以恰好摸5次停止的概率为. 【变式2-1】（25-26高三上·河北·期中）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 【答案】A 【知识点】二项分布的均值、总体百分位数的估计 【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 【答案】/ 【知识点】二项分布的均值、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【详解】由题意可知，每个人第2天选择餐厅的概率为， 且， 所以. 【变式2-3】（25-26高二下·全国·单元测试）某人参加某项资格认证考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，若此人未能通过的科目数的均值是2，则________． 【答案】 【知识点】二项分布的均值 【分析】由题意可得，由二项分布的数学期望公式可得，求解即可. 【详解】因为通过各科考试的概率为，所以不能通过考试的概率为，可知， 所以，解得． 故答案为：. 题型03 超几何分布的均值 【典例3】（2025·四川成都·一模）口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 【答案】(1)两种游戏中第二次摸到白球的概率均为； (2)； (3)，游戏一的“不确定性”更高. 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、均值的实际应用 【分析】（1）应用古典概型的概率求法求游戏一中第二次摸到白球的概率，应用独立事件的乘法、互斥事件的加法求游戏二中第二次摸到白球的概率； （2）根据已知分别写出、的可能值，进而求出其分布列，应用独立事件的乘法、互斥事件的加法求； （3）根据已知求出与，作差比较大小，即可得结论. 【详解】（1）对于游戏一，设“第二次摸到白球”，则； 对于游戏二，设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则； （2）对于游戏一，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，， 对于游戏二，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，， 因为游戏一与游戏二的结果相互独立， 所以 ； （3）由（2）知， ； 同理 . 因为， 所以，故游戏一的“不确定性”更高. 【变式3-1】（23-24高二下·广东清远·月考）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】超几何分布的均值 【分析】设选到深度贫困村数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以． 故选：B 【变式3-2】（25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【答案】/ 【知识点】超几何分布的均值 【分析】分别求出时的概率，再由期望的公式求得的期望. 【详解】由题可得，的可能取值为. ； ； ； . 所以的期望为. 【变式3-3】（2026高二下·全国·专题练习）在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________． 【答案】/ 【知识点】超几何分布的均值 【分析】求出的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项共4项，分别求出，，，从而求出． 【详解】的二项展开式共10项，其中系数为奇数的项有第一项：， 第二项：，第九项：，第十项：，共4项， 所以，，， 所以． 答案：. 题型04 均值的性质 【典例4】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【答案】0 【知识点】两点分布、均值的性质、两点分布的均值 【分析】根据两点分布确定X的期望，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，， 所以， 所以， 因为，所以 故答案为：0. 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由题设，可得， 且，可得， 所以，则. 故选：D 【变式4-2】（24-25高二下·江苏苏州·期中）已知随机变量X的分布列如图： X 0 1 p a 则a=______；设，则Y的数学期望=______. 【答案】 【知识点】均值的性质、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题 【详解】； . 【变式4-3】（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量的概率分布如表且；则_______﹔ 1 2 4 0.4 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、均值的性质 【分析】根据分布列的概率性质，结合题意，求出参数，再根据数学期望的性质计算可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故答案为：15. 题型05 由离散型随机变量的均值求参数 【典例5】（2025·广东·模拟预测）掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为______． 【答案】/ 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、均值的性质 【分析】根据概率的性质和期望的定义分析求解. 【详解】设，则，且， 由，得， 因为， 当且仅当时，等号成立， ，即， 此时，， ，合题意， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式5-1】（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望公式计算. 【详解】因为随机变量服从二项分布，故，得. 故选：C 【变式5-2】（2025高三·天津·专题练习）已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】先由数学期望公式求，再根据数学期望的性质建立方程，求解即得参数值. 【详解】由， 因，则， 解得：． 故选：A. 【变式5-3】（24-25高二下·上海·期中）已知，，随机变量的分布列如下： 若．则______． 【答案】 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】由分布列的性质以及期望的计算公式，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，且， 即，所以. 故答案为： 题型06 均值的实际应用 【典例6】（24-25高二下·山东威海·期中）数学考试中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个正确答案，全部选出正确答案得6分．若正确答案是2个，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是2个的概率为，正确答案是3个的概率为．某学生对其中一道题完全不会，他随机的进行填涂． (1)若他只随机选择1个选项，求他的得分X的分布列与数学期望： (2)若他随机选择2个选项，求他的得分Y的分布列与数学期望： (3)若，该同学随机选择1个选项还是随机选择2个选项，能使得分更好？ 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2)分布列见解析，数学期望为； (3)随机选择1个选项能使得分更好． 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、均值的实际应用、利用全概率公式求概率 【分析】(1)确定的取值是，,根据条件概率和全概率公式求解的每一个取值对应的概率,得到分布列后根据期望公式求解即可; (2) 确定的取值是,根据条件概率和全概率公式求解的每一个取值对应的概率,得到分布列后根据期望公式求解即可; (3) 当时，比较的大小,即可判断. 【详解】（1）的取值范围是， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 3           从而． （2）的取值范围是， ， ， ， 所以的分布列为 0 4 6           从而； （3）当时，， ， 所以该同学随机选择1个选项能使得分更好． 【变式6-1】（24-25高二下·安徽·月考）为了迎战下届奥运会，在甲、乙两名射手之间进行一次选拔赛.已知甲、乙两名射手在每次射击时击中的环数均大于6，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为5a，2a，2a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.4，0.3，0.2.设ξ，η分别表示甲、乙每次击中的环数. (1)求ξ，η的分布列; (2)求ξ，η的均值，并以此比较甲、乙两人的射击技术. 【答案】(1)分布列见解析 (2)，甲的射击技术更好 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、均值的实际应用 【分析】（1）先根据概率和为求出和乙射中7环的概率即可列出分布列； （2）利用随机变量的期望公式，得到，从而得到结论. 【详解】（1）依据题意知，，解得. 因乙射中10，9，8环的概率分别为0.4，0.3，0.2， 故乙射中7环的概率为， 则ξ的分布列为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.2 0.2 0.1 η的分布列为 η 10 9 8 7 P 0.4 0.3 0.2 0.1 （2）结合（1）中ξ，η的分布列， 可得， ， 故，说明甲平均射中的环数比乙高， 故甲的射击技术更好. 【变式6-2】（24-25高二下·云南临沧·期末）小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. (1)规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. (2)若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)第一题选题库中的题目，理由见解析. 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式、均值的实际应用 【分析】（1）（i）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；（ii）根据已知分别求第一次答对、第一、二次都答对的概率，再应用条件概率公式求概率； （2）根据已知求第一题为，第二题为和第一题为，第二题为对应的期望，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）（i）由题设，小明第一题选择A题库概率为，则第一题选择B题库概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 所以小明恰好获得100元奖金的概率为； （ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且， 所以， ， 综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率； （2）由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件， 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 所以，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目. 【变式6-3】（24-25高二下·海南海口·期中）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一个球得2分，没有投进得0分；在区每投进一个球得3分，没有投进得0分.学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立. (1)试分别估计甲在区、区投篮命中的概率； (2)若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区、区共投篮10次，且投篮得分的期望值不低于14分，求甲选择在区投篮的最多次数. 【答案】(1)， (2) (3)6次 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）通过表中的数据，用投进的次数除以总次数即可估计投篮命中的概率. （2）根据题意先将区投篮得分高于区投篮得分的情况，然后针对每种情况求概率，最后将求得的概率相加就是最后的结果. （3）首先求出甲在区投篮一次的期望值，然后根据题意列出不等式，进而可求得最大值. 【详解】（1）甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为； 甲在区投篮20次，投进10次，所以估计甲在区投篮进球的概率为. （2）由（1），知甲在区投篮进球的概率为，在区投篮进球的概率为. 甲在区投3个球，得分可能是0，2，4，6，在区投2个球，得分可能是0，3，6. 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有： 区2分区0分，概率为， 区4分区0分，概率为， 区4分区3分，概率为， 区6分区0分，概率为， 区6分区3分，概率为. 故甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为. （3）由题意，知甲在区投篮一次得分的期望值是， 甲在区投篮一次得分的期望值是. 设甲在区投篮次，则甲在区投篮次，则总的期望值为，解得. 故甲选择在区投篮的次数最多是6次. 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】二项分布的均值 【详解】，则，故． 2．（25-26高二·全国·寒假作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 【答案】C 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率和为1以及列方程组求解a、b即可． 【详解】由分布列的性质得，①， 又由，得②， 由①②解得， ． 故选：C． 3．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列的性质概率之和为1，再由，得到的两个方程，求解即得. 【详解】由分布列的性质，可得，即， 因为，所以，即， 解得，. 故选：C． 4．（25-26高三下·河南周口·月考）某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据.卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】C 【知识点】二项分布的均值、均值的性质 【分析】根据题意可知属于二项分布，利用二项分布期望公式及期望性质求解. 【详解】设每个数据包成功接收的概率为， 由题意可知成功接收的数据包个数服从二项分布，即， 所以，. 5．（25-26高二下·天津·月考）随机变量，则等于（    ） A．16 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】二项分布的均值、均值的性质 【详解】因为随机变量，所以期望 ， 再根据期望的线性性质：有， 代入得： . 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求离散型随机变量的均值、实际问题中的组合计数问题 【分析】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，再分别求出对应概率并计算期望即可． 【详解】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3， ；， ， ． 7．（2026·重庆渝中·二模）小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 【答案】A 【知识点】二项分布的均值 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 8．（2026·重庆·模拟预测）某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】有放回与无放回问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】确定随机变量的取值，分别计算每个取值的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】被抽到次数最多的礼品的抽中次数的可能取值为1，2，3，4. ：4次抽取中每个礼品都恰好被抽到1次，即4个礼品的排列， 故. ：4次都抽到同1个礼品，故. ：有1个礼品被抽到3次，另1个礼品被抽到1次，故. 所以. 故. 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】超几何分布的均值 【分析】先判断随机变量的分布类型，再根据超几何分布的期望公式计算，最后比较大小及求和判断选项正误. 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数，所选5人中男生的人数服从超几何分布， 即 故错误； 又由超几何分布的均值公式，可得： , 所以 故正确， 故选： 10．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）一个袋子中有3个大小相同的球，其中有1个红球、2个白球.从袋中不放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为X；从袋中有放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为Y，则（   ） A．X的所有可能取值为0或1 B．Y的所有可能取值为0或1 C． D． 【答案】AD 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由题意确定的取值可判断AB，再由离散型的概率计算出相应的概率可判断C，由期望公式可判断D. 【详解】对于A，由题意可得，摸得红球的个数为0或1，所以X的所有可能取值为0或1，故A正确； 对于B，由题意可得，有放回的摸球，每次都可摸到红球、摸到1次红球、摸到0次红球， 所以Y的所有可能取值为0或1或2，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，， ，， 所以，即，故D正确. 故选：AD 11．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（    ） A．的可能取值为0，1，2，3 B． C． D． 【答案】BC 【知识点】均值的性质、超几何分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】由题可知服从超几何分布，且，，，，，即可判断选项A；根据离散型随机变量分布列概率的性质即可判断选项B；超几何分布的均值公式即可判断选项C；由离散型随机变量均值的性质即可判断选项D. 【详解】由题可知服从超几何分布，且，，，，. 易知的可能取值为1，2，3，故选项A错误； ，故选项B正确； 由，，，结合超几何分布的均值公式可得，故选项C正确； 由离散型随机变量均值的性质可得，故选项D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（22-23高二下·浙江嘉兴·期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为______. 【答案】/ 【知识点】两点分布的均值、两点分布 【分析】X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解. 【详解】由题意可得，X服从两点分布， ， 故. 故答案为：. 13．（25-26高三下·河北·开学考试）甲乙两人比赛投篮，在每局比赛中两人分别投篮两次，若每局投进的次数之和不小于3，则称该局比赛胜利．已知甲乙两人投篮相互独立，且投进的概率均为．记甲乙两人胜利的局数为X，若进行了27局比赛，则______． 【答案】16 【知识点】独立事件的乘法公式、二项分布的均值 【分析】先利用相互独立事件的概率公式求出每局游戏中甲乙两名队员获得胜利的概率，再由二项分布的期望公式即可求期望. 【详解】每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于次则胜利， 每局游戏胜利包括三种情况： 甲投中次，乙投中次，概率为， 甲投中次，乙投中次，概率为， 甲投中次，乙投中次，概率为， 所以每局游戏甲乙两名队员获得胜利的概率为， 若游戏的局数是，为甲乙两名队员获得胜利的局数，则， 所以. 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）现一次性抛掷颗质地均匀的正方体骰子（每颗骰子的点数都是1，2，3，4，5，6），这颗骰子的点数中，最小点数记为随机变量.若的数学期望不大于，则的最小值是________. 【答案】5 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】首先求出关于n的表达式，构造函数，根据函数的单调性可求得结果. 【详解】由题意，得随机变量可取颗骰子的点数都不小于的概率为， 点数都不小于的概率为，其中， 所以， 所以， 令，则， 记， 因为都关于单调递减， 所以关于单调递减， 又，，所以的最小值为5. 四、解答题 15．（25-26高二下·浙江衢州·期中）我校有两个相互独立的消防安全警报系统（简称系统）甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率分别为和． (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值； (2)设系统甲在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析为： 0 1 2 3 期望为. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件同时发生的概率建立方程求解； （2）根据次独立重复试验的概率公式求出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件A， 那么，解得. （2）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， 所以随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 所以 16．（2026·重庆·模拟预测）某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)180 (2) 【知识点】补全频率分布直方图、超几何分布的均值、超几何分布的分布列、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数； （2）求出订单处理量在中的客服人数，根据超几何分布的概率计算可求 的分布列和数学期望 . 【详解】（1）由题意得， 设订单处理量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9， 则，，解得， 订单处理量的第75百分位数为180. （2）订单处理量在中的客服人数为，其中女性2人，男性8人， 表示抽取的女性人数，的可能取值为 ， ， ， 的分布列： 计算期望：. 17．（25-26高二下·浙江宁波·月考）某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修. (1)若发生故障的机床数为，求的分布列； (2)已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘名维修工人，设该车间每月获利为. （i）当，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值； （ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数的值，并说明理由. 【答案】(1)的分布列为： 0 1 2 (2)（i）；（ii）1人，理由见解析 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用二项分布求分布列、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由题意得可能取，且，由二项分布概率公式计算出概率后可得分布列； （2）（i）当时，根据机床发生故障的台数，确定出的可能取值，写出分布列计算出均值； （ii）再分别计算出时的获利均值，比较后可得. 【详解】（1）可能取，且 所以，， ，. 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）3台机床都无故障或只有1台有故障，则， 3台机床中有2台有故障，则， 3台均有故障，则， 所以，，， 故的分布列为： 24 15 6 ； （ii） 时，由题意可能取值：， 的分布列为： 27 18 9 0 ， 时，至多有2台机床发生故障时，， 有3台发生故障时，， ，， 的分布列为： 21 12 ， 时，3台机床无论有无故障都能正常获利，所以. 最大，即招聘维修工人1人. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2.3 离散型随机变量的数学期望 教学目标 1.结合实例理解 离散型随机变量数学期望（均值） 的概念、统计意义，掌握定义公式。 2.能根据分布列，熟练计算一般离散型随机变量的数学期望。 3.掌握数学期望的线性运算性质，会用性质简化计算。 4.熟记两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望公式并直接应用。 5.能运用数学期望解决决策、均值比较、实际应用类问题。 教学重难点 1.重点： （1）离散型随机变量数学期望的定义、计算公式。 （2）数学期望线性性质的理解与应用。 （3）两点分布、二项分布、超几何分布的期望公式记忆与直接计算。 （4）利用分布列求期望、结合期望解决简单实际问题。 2.难点： （1）深刻理解数学期望的本质：概率加权平均数，区分随机变量均值与样本平均值。 （2）数学期望线性性质的推导、灵活变形应用（含常数、线性变换）。 （3）复杂背景实际问题建模，提取随机变量、列分布列、用期望做方案决策与优劣比较。 （4）易混概念辨析：期望、方差、样本均值、总体均值的区别。 知识点01 数学期望（均值） 1.定义：若离散型随机变量X的分布列为： 则称 为随机变量X的数学期望，简称期望，也叫均值。 2.解读： （1）意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平、中心位置，是大量重复试验下取值的稳定平均值。 （2）本质：以概率为权重的加权算术平均数，区别于普通算术平均。 （3）性质：E(X)是常数，不是随机变量，不随试验结果改变；样本均值是随机变量，大样本下趋近于总体期望。 【即学即练】 （2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 知识点02 两点分布的数学期望 两点分布：X∼B(1,p)，E(X)=p 【即学即练】 （24-25高二下·广东惠州·月考）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 知识点03 二项分布的数学期望 二项分布：X∼B(n,p)，（n次独立重复试验），E(X)=np 【即学即练】 （24-25高二下·贵州铜仁·月考）已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有___________种． 知识点04 超几何分布的数学期望 超几何分布：X∼H(N,M,n)（总体N个，其中次品M个，抽取n个，X为次品数），E(X)= 【即学即练】 （24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 知识点05 数学期望的线性性质 1.设X为离散型随机变量，a,b为任意常数，令Y=aX+b，则E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b 2.常用推论 （1）常数的期望：E(C)=C（C为常数） （2）数乘性质：E(aX)=aE(X) （3）平移性质：E(X+b)=E(X)+b （4）可加性：E(X1 +X2 )=E(X1 )+E(X2 )（无需变量独立） 【即学即练】 （多选）（25-26高二上·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 题型01 两点分布的均值 【典例1】（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 【变式1-1】（24-25高二下·河北衡水·期中）一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（   ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【变式1-2】（25-26高二下·河北石家庄·月考）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【变式1-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）若随机变量X服从参数为p的两点分布，则________． 题型02 二项分布的均值 【典例2】（25-26高二上·北京·期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． (1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 【变式2-1】（25-26高三上·河北·期中）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 【变式2-2】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 【变式2-3】（25-26高二下·全国·单元测试）某人参加某项资格认证考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是，若此人未能通过的科目数的均值是2，则________． 题型03 超几何分布的均值 【典例3】（2025·四川成都·一模）口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 【变式3-1】（23-24高二下·广东清远·月考）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【变式3-3】（2026高二下·全国·专题练习）在的二项展开式中任取2项，若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数，则随机变量的均值________． 题型04 均值的性质 【典例4】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么________. 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·江苏苏州·期中）已知随机变量X的分布列如图： X 0 1 p a 则a=______；设，则Y的数学期望=______. 【变式4-3】（23-24高二下·辽宁·期末）已知随机变量的概率分布如表且；则_______﹔ 1 2 4 0.4 题型05 由离散型随机变量的均值求参数 【典例5】（2025·广东·模拟预测）掷一枚质地不均匀的骰子，记向上面的点数为X，若，则的最小值为______． 【变式5-1】（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025高三·天津·专题练习）已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二下·上海·期中）已知，，随机变量的分布列如下： 若．则______． 题型06 均值的实际应用 【典例6】（24-25高二下·山东威海·期中）数学考试中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个正确答案，全部选出正确答案得6分．若正确答案是2个，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是2个的概率为，正确答案是3个的概率为．某学生对其中一道题完全不会，他随机的进行填涂． (1)若他只随机选择1个选项，求他的得分X的分布列与数学期望： (2)若他随机选择2个选项，求他的得分Y的分布列与数学期望： (3)若，该同学随机选择1个选项还是随机选择2个选项，能使得分更好？ 【变式6-1】（24-25高二下·安徽·月考）为了迎战下届奥运会，在甲、乙两名射手之间进行一次选拔赛.已知甲、乙两名射手在每次射击时击中的环数均大于6，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为5a，2a，2a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.4，0.3，0.2.设ξ，η分别表示甲、乙每次击中的环数. (1)求ξ，η的分布列; (2)求ξ，η的均值，并以此比较甲、乙两人的射击技术. 【变式6-2】（24-25高二下·云南临沧·期末）小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. (1)规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. (2)若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 【变式6-3】（24-25高二下·海南海口·期中）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一个球得2分，没有投进得0分；在区每投进一个球得3分，没有投进得0分.学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立. (1)试分别估计甲在区、区投篮命中的概率； (2)若甲在区投3个球，在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； (3)若甲在区、区共投篮10次，且投篮得分的期望值不低于14分，求甲选择在区投篮的最多次数. 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某班有54名学生，其中18名学生数学成绩优秀，每次从该班随机抽取1名学生，观察后放回，连续抽取6次，其中数学成绩优秀的学生数，则（    ） A．13 B．12 C．5 D．4 2．（25-26高二·全国·寒假作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 3．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．（25-26高三下·河南周口·月考）某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据.卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 5．（25-26高二下·天津·月考）随机变量，则等于（    ） A．16 B．8 C．5 D．4 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆渝中·二模）小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（   ） A．4天 B．8天 C．10天 D．16天 8．（2026·重庆·模拟预测）某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）一个袋子中有3个大小相同的球，其中有1个红球、2个白球.从袋中不放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为X；从袋中有放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为Y，则（   ） A．X的所有可能取值为0或1 B．Y的所有可能取值为0或1 C． D． 11．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（    ） A．的可能取值为0，1，2，3 B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高二下·浙江嘉兴·期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为______. 13．（25-26高三下·河北·开学考试）甲乙两人比赛投篮，在每局比赛中两人分别投篮两次，若每局投进的次数之和不小于3，则称该局比赛胜利．已知甲乙两人投篮相互独立，且投进的概率均为．记甲乙两人胜利的局数为X，若进行了27局比赛，则______． 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）现一次性抛掷颗质地均匀的正方体骰子（每颗骰子的点数都是1，2，3，4，5，6），这颗骰子的点数中，最小点数记为随机变量.若的数学期望不大于，则的最小值是________. 四、解答题 15．（25-26高二下·浙江衢州·期中）我校有两个相互独立的消防安全警报系统（简称系统）甲和乙，系统甲和乙在任意时刻发生故障的概率分别为和． (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值； (2)设系统甲在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望． 16．（2026·重庆·模拟预测）某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 17．（25-26高二下·浙江宁波·月考）某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修. (1)若发生故障的机床数为，求的分布列； (2)已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘名维修工人，设该车间每月获利为. （i）当，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值； （ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数的值，并说明理由. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $