3.2.3 离散型随机变量的数学期望-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦离散型随机变量的数学期望这一核心知识点，从定义（概率意义下的加权平均数）出发，通过微点助解明确概念本质，衔接数学期望的性质及两点分布、二项分布、超几何分布的均值公式，构建从概念理解到公式应用的完整学习支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，以“微点助解”深化概念认知培养数学眼光，结合高考题、粽子抽取等实例设计题型训练数学思维，通过分布列构建与均值计算提升数学语言表达能力。课中助力分层教学，课后训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

3.2.3　离散型随机变量的数学期望 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.离散型随机变量的数学期望的定义 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为X的数学期望或均值. |微|点|助|解| 　　理解数学期望要注意以下三点 (1)离散型随机变量的数学期望是算术平均数概念的推广,是概率意义下的平均,由于离散型随机变量的所有取值的概率满足pi=1,所以数学期望是以概率pi为权数的加权平均数. (2)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量,可以取不同的值,但E(X)是X的一个特征数,它是不变的,它描述X取值的平均水平. (3)E(X)与随机变量X本身具有相同的单位. 2.离散型随机变量数学期望的意义 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平. 3.几种常见分布的数学期望 (1)两点分布的数学期望:若X服从两点分布,则有若X~B(1,p),则E(X)=p. (2)若离散型随机变量X服从二项分布,则有若X~B(n,p),则E(X)=np. (3)若离散型随机变量X服从超几何分布H(N,M,n),则有若X~H(N,M,n),则E(X)=. 4.数学期望的性质 若Y=aX+b,a,b为常数,则E(Y)=aE(X)+b. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化. (　　) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平. (　　) (3)若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4. (　　) (4)随机变量X的均值E(X)=. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.已知随机变量X~B,Y~H(10,m,2),若E(X)=E(Y),则m= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选B　由题意得E(X)=np=,E(Y)===.因为E(X)=E(Y),所以=,解得m=3. 3.若随机变量X的分布列如表,则X的数学期望为　　　　.  X -1 2 4 5 P 0.2 0.35 0.25 0.2 解析:E(X)=-1×0.2+2×0.35+4×0.25+5×0.2=2.5. 答案:2.5 题型(一)　离散型随机变量的均值 [例1]　(2025·北京高考,节选)有一道选择题考查了一个知识点,甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对,乙校有75人答对,用频率估计概率. (1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率. (2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数,求恰有1人做对的概率以及X的数学期望.　 解:(1)用频率估计概率,从甲校随机抽取1人,做对题目的概率为=. (2)设A为“从甲校抽取1人做对”, 则P(A)=0.8,P()=0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”, 则P(B)=0.75,P()=0.25, 设C为“恰有1人做对”,故P(C)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.35. 而X可取0,1,2, P(X=0)=P( )=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列如表: X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55. |思|维|建|模|　求离散型随机变量X均值的步骤 　　[针对训练] 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中有8个粽子,其中豆沙粽2个,蜜枣粽6个,这两种粽子的外观完全相同,从中随机取出3个. (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率; (2)设X表示取到豆沙粽的个数,求随机变量X的分布列与数学期望. 解:(1)依题意,既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为=. (2)由题意得X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0×+1×+2×=. 题型(二)　特殊分布的分布列与均值 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩,得到如下数据: (1)从这10名学生中随机选出1人,求其数学成绩不低于120分的概率; (2)杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励,现在从这10名学生中随机选出3人,记X为选出获得奖励的学生人数,求X的分布列和数学期望; (3)杜老师针对测试内容与学习计划,对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练,且在训练中进行多轮测评.规定:在一轮测评中,这3个模块至少有2个模块达到90分以上,则该轮测评记为合格.在复习训练中,甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为,每轮测评互不影响.若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次,求至少要进行多少轮测评. 解:(1)由题知数学成绩不低于120分的人数为7, 故数学成绩不低于120分的概率为P=. (2)由题知数学成绩不低于135分的人数为4,X的取值可能为0,1,2,3.P(X=0)==, P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==,所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 期望E(X)=0++2×+3×=. (3)设甲同学在一轮测评中合格为事件A, 则P(A)=×+=,又甲同学在n(n∈N+)轮测评中合格的次数Y~B, 则期望E(Y)=n≥5,解得n≥, 所以至少要进行20轮测评. |思|维|建|模| 求常见的几种分布的均值的关注点 (1)关键:根据题意准确判断分布类型. (2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,则可直接代入公式求得均值. 　　[针对训练] 2.某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡,“年龄在20岁到34岁之间的会员”为1号会员,占比20%,“年龄在35岁到59岁之间的会员”为2号会员,占比50%,“年龄在60岁到80岁之间的会员”为3号会员,占比30%.现对会员进行水果质量满意度调查,根据调查结果得知,1号会员对水果质量满意的概率为,2号会员对水果质量满意的概率为,3号会员对水果质量满意的概率为. (1)随机选取1名会员,求其对水果质量满意的概率; (2)从会员中随机抽取2人,记抽取的2人中,对水果质量满意的人数为X,求X的分布列和数学期望. 解:(1)设事件A:随机选取1名会员,其对水果质量满意,则P(A)=0.2×+0.5×+0.3×=. (2)由题意知X的可能取值为0,1,2,且X~B,则P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=np=2×=. 题型(三)　离散型随机变量均值的性质 [例3]　已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m 若Y=-2X,则E(Y)=　　　　.  解析:由离散型随机变量分布列的性质,得+++m+=1,解得m=, ∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.由Y=-2X, 得E(Y)=-2E(X)=-2×=. 答案: 　　[变式拓展] 1.本例条件不变,若Y=2X-3,求E(Y). 解:由公式E(aX+b)=aE(X)+b及E(X)=-,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×-3=-. 2.本例条件不变,若Y=aX+3,且E(Y)=-,求a的值. 解:因为E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-,所以a=15. |思|维|建|模| 求随机变量Y=aX+b的均值的方法 (1)定义法:先列出Y的分布列,再求均值. (2)性质法:直接套用公式E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b求解即可. 　　[针对训练] 3.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则以下正确的是 (　　) A.E(X)= B.E(2X+3)= C.E(2X+2)= D.E(2X+1)= 解析:选D　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,故E(X)=0×+1×=,故A错误;E(2X+3)=2E(X)+3=,故B错误;E(2X+2)=2E(X)+2=,故C错误;E(2X+1)=2E(X)+1=,故D正确. 4.[多选]已知随机变量X的分布列为 X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(X)=7.5,则以下结论正确的是 (　　) A.a无法确定 B.b=0.4 C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9 解析:选BCD　由分布列的性质,可知0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正确;∵E(X)=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,∴a=7,故A不正确;由均值的性质,可知E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5,故C正确;E(X+b)=E(X)+b=7.5+0.4=7.9,故D正确.故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $