第32讲 概率（复习讲义，3考点13题型4重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 统计与概率 第32讲 概率 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 随机事件与概率 题型01事件的分类 题型02判断事件发生的可能性大小 题型03根据概率公式求概率 题型04 已知概率求数量 题型05 几何中概率问题 命题点二 利用列表法或树状图求概率 题型01 用树状图求概率 题型02 用列表法求概率 题型03 列表法或树状图综合解答 命题点三 用频率估算概率 题型01 关于频率和概率关系说法的正误 题型02 用频率估算概率 命题点四 概率的应用 题型01 概率在转盘抽奖中的应用 题型02 概率在比赛中的应用 题型03 游戏的公平性 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 概率中实践探究解答题综合 06·优题精选·练能提分 23 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 事件的分类 / / 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能判断一个事件属于哪一类。 简单随机事件的概率计算 湖南省卷 T3 长沙市卷 T20 湖南省卷 T12 长沙市卷 T12 掌握简单随机事件的概率计算公式 P(A)=m/n​，能计算一步或两步概率。 用频率估计概率 湖南省卷 T20 / 理解频率与概率的关系，能用大量重复试验的频率估计概率。 概率的综合应用 长沙市卷 T20 / 能用列表法或树状图法求概率，解决实际问题。 命题预测 1. 事件的分类稳定考查（选择题/填空题，3分） 必然事件：一定会发生的事件（概率=1）；不可能事件：一定不会发生的事件（概率=0） 随机事件：可能发生也可能不发生的事件（0<概率<1） 2. 简单随机概率计算必考（选择题/填空题，3-6分） 一步概率：摸球、抽牌、掷骰子等；几何概型：面积比、长度比等；概率与统计结合：根据频数求概率 3. 两步概率高频考查（解答题，6-8分） 树状图法：适合步骤少、分步明显的问题；列表法：适合两步试验、结果不多的问题；放回与不放回：注意区别，不放回时总数减少 4. 频率估计概率综合考查（填空题/解答题，4-6分） 用频率估计概率：大量重复试验的频率稳定于概率；用概率反推频数：已知概率和总数，求频数。 备考建议 1. 基础知识巩固 事件分类：必然事件（P=1）、不可能事件（P=0）、随机事件（0<P<1）；概率公式：P(A)=m/n（古典概型）；频率估计：大量重复试验时，频率稳定于概率；两步概率：树状图法、列表法 2. 解题能力提升 审题要点：注意“放回”还是“不放回”；方法选择：两步试验用树状图或列表法；结果统计：有序列出所有结果，不重不漏 4. 重点突破题型 ① 摸球、抽牌、掷骰子的一步概率② 放回与不放回的两步概率（树状图）③ 用样本频率估计总体概率④ 概率与统计图表综合⑤ 几何概型（面积比、长度比） 考点一 事件的分类 事件类型 定义 概率取值 典型例子 易错提醒 必然事件 在一定条件下，一定发生的事件 P=1 太阳从东方升起；掷骰子点数≤6 概率为 1 的事件不一定是必然事件（仅在有限等可能结果中可直接等同） 不可能事件 在一定条件下，一定不发生的事件 P=0 掷骰子点数为 7；水中捞月 概率为 0 的事件不一定是不可能事件（仅在有限等可能结果中可直接等同） 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0<P<1 抛硬币正面朝上；明天会下雨 不能把 “可能性大” 当成 “一定发生”，也不能把 “可能性小” 当成 “一定不发生” 1.（2025·湖南怀化·一模）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列事件属于必然事件的是（      ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水滴石穿 D．缘木求鱼 2.（2025·湖南衡阳·模拟预测）“煮熟的鸭子飞了”这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 3.（2025·湖南益阳·模拟预测）下列成语所描述的现象属于随机事件的是（    ） A．水涨船高 B．美梦成真 C．登高望远 D．水中捞月 4.（2025·湖南怀化·三模）下列说法正确的是（   ） A．“长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨 B．投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次 C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件 D．“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖 考点二 简单的概率计算 一、概率公式 n：所有等可能出现的结果总数；m：事件A包含的结果数 二、适用条件 所有结果必须等可能（机会均等），否则不能直接用公式。 三、取值范围 ①必然事件：；②不可能事件：；③随机事件： 1.（2025·湖南·中考真题）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南长沙·中考真题）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______． 3.（2024·湖南·中考真题）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 考点三 利用列表法或树状图求概率 一、列表法 1.适用：两步试验，结果清晰、不易混乱 2.做法： ①横行写第一次试验所有结果 ②竖列写第二次试验所有结果 ③交叉处填写组合结果 3.优点：整齐直观，不易漏项 二、树状图法 1.适用：有先后顺序、步骤较多的试验 2.结构： ①第一层：第一次所有可能结果 ②第二层：在第一次基础上，第二次所有可能结果 3.优点：能清晰体现先后顺序 1.（2025·湖南长沙·中考真题）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； (2)在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； (3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 2.（2025·湖南永州·模拟预测）高老师准备从超市购买一些奖品．如图，高老师从学校出发，随机选择一条道路，需先经过广场，最终到达超市，则这条路线恰好是最短路线的概率是（　　） A． B． C． D． a               b 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）从，，，，中任取两数作为，，使抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧的概率为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南·模拟预测）为提高学生身体素养，某校在10月举行最美课间操比赛，最终甲、乙、丙三个班级进入决赛．决赛需进行五个单项比赛，计分规则如下：①单项比赛计分规则：五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．②团体决赛计分规则：各单项得分之和为团体最终成绩，名次按成绩由高到低排序；若成绩相同，则方差较小的班级排名靠前．现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理并绘制统计图表，部分信息如下：丙班在第二个单项比赛中，五名裁判的打分为：85，88，90，92，95．根据以上信息，回答下列问题： 项目 一 二 三 四 五 得分 95 m 88 92 90 丙班五个单项得分表 (1)上述m的值为___； (2)已知甲班团体总分为450分，乙班和丙班总分均为455分，请通过计算判断哪个班级获得冠军； (3)获得前两名的班级可分别从A、B、C三种图书中选择一套作为奖励，求两个班级选择同一套图书的概率． 命题点一 实数的分类 ►题型01 事件的分类 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名家长担任学校食品安全监督员，至少有两名家长来自同一个班 C．买《哪吒2》电影票，座位号是奇数号 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【变式1】（2025九年级下·湖南岳阳·学业考试）袋子中装有3个白球，1个红球．从中一次性取出2个球，下列事件是必然事件的是（   ） A．两个球都是白球 B．两个球都是红球 C．两个球中至少有一个白球 D．两个球中至少有一个红球 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）下列事件中，是随机事件的是（   ） A．太阳从东边升起 B．布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球 C．367人中至少有两人生日相同 D．走到十字路口正好是绿灯 【变式3】（2025·湖南常德·二模）天气预报称，明天全市是晴天的概率为99%，下列说法中正确的是（　　） A．明天全市将有99%的地方是晴天 B．明天全市将有99%的时间会是晴天 C．明天全市是晴天的可能性较大 D．明天全市一定会是晴天 【变式4】（2025·湖南长沙·三模）下列关于统计与概率的知识说法正确的是（   ） A．赵心童在2025年斯诺克世界锦标赛上获得冠军是必然事件 B．了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式 C．若一个游戏的中奖率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 D．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差，，则甲组数据比乙组数据更稳定 ►题型02 判断事件发生的可能性大小 【典例】（24-25九年级下·湖南·月考）将四张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有数字1、2、3、4，随机抽出一张，下列事件中发生可能性最大的是（   ） A．所抽卡片上的数字大于2 B．所抽卡片上的数字小于2 C．所抽卡片上的数字大于3 D．所抽卡片上的数字小于4 【变式1】（2025九年级上·湖南·专题练习）投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上，那么第4次投掷硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列说法中，正确的是(　　) A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间在降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上 C．“彩票中奖的概率是1%表示买100张彩票一定有1张会中奖 D．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天 【变式3】（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 ►题型03 根据概率公式求概率 【典例】（2025·湖南株洲·一模）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某社区开展“垃圾分类”知识竞赛，题库中环保类题目占60%，小明随机抽取一题，抽到环保类题目的概率是（    ）． A．0.4 B．0.6 C．1 D．0.5 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有8个，黄色玻璃球有12个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南岳阳·二模）“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句，在这句话中，“之”字出现的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南怀化·二模）以下是9个主要的中国传统节日：春节（农历正月初一）；元宵节（农历正月十五）；端午节（农历五月初五）；七夕节（农历七月初七）；中元节（农历七月十五）；中秋节（农历八月十五）；重阳节（农历九月初九）；腊八节（农历腊月初八）；小年（北方腊月二十三/南方腊月二十四），若从这9个节日中选一个节日，则抽到的节日在农历七月的概率为（   ） A． B． C． D． ►题型04 已知概率求数量 【典例】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在一个不透明的口袋中，装有除颜色外其他都相同的2个白球和个黑球．某同学进行如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色，放回，摇匀，重复上述过程．试验获得的数据如下表：根据表格数据可以估计出的值为（    ） 摸球的次数 100 200 500 1000 摸到白球的次数 21 39 102 199 A．4 B．8 C．16 D．20 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（    ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 【变式2】一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ） A．20 B．24 C．28 D．30 ►题型05 几何中概率问题 【典例】（2024·湖南·模拟预测）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）如图，掷飞镖游戏中，掷中阴影部分的概率是（　　）    A． B． C． D． 【变式3】如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为_________． 【变式4】（2025·湖南长沙·二模）刘老师行驶在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么她随机选择一条车道，选中直行车道的概率是_____． 命题点二 利用列表法或树状图求概率 ►题型01 用树状图求概率 【典例】（2024·湖南长沙·模拟预测）“五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是___________． 【变式2】（2025·湖南常德·一模）有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． ►题型02 用列表法求概率 【典例】（2026·湖南株洲四校·一模）“以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片上(如图)，分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为（   ） 【变式1】（2025·湖南衡阳·二模）在一次湖南旅游景点推荐活动中，主持人从长沙、张家界、岳阳、娄底四个地市中，随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍．假设长沙的代表景点是橘子洲头，张家界的代表景点是武陵源风景名胜区，岳阳的代表景点是岳阳楼，娄底的代表景点是紫鹊界梯田．那么，被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是_____． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的．如人的单、双眼皮由常染色体上的一对基因决定，决定双眼皮的基因是显性的，单眼皮的基因是隐性的，因此基因为和的人是双眼皮，基因为的人是单眼皮，父母可分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给其子女．若小帆父母的基因都是，则小帆是双眼皮的概率为________． 【变式3】某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． ►题型03 列表法或树状图综合解答 【典例】（2025·湖南永州·三模）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，初中某校开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； (2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁、戊五名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，用列表或树状图法求丙和丁同学同时被选中的概率是多少？ ∵一共有20种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟预测）落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，B组的圆心角是______度，本次调查数据的中位数落在______组内； (3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数； (4)若完成“作业超过90分钟”的5名同学中有三名男生和两名女生，学校想从5名同学中任选两名同学进行交流，请用列表或画树状图法求两名同学都是女生的概率． 【变式2】（2025·湖南武冈·二模）星期天，淇淇所在的社会实践小组到某级旅游景区对游客登山的方式进行了抽样调查．调查发现游客上山的方式共有种：．西上全程索道；．北上全程索道；．西上步行；．北上步行；．西上索道+步行；．北上索道+步行．淇淇和小组成员共调查了名游客，并把相关的数据绘制成如下不完整的统计图（图-1和图-2）． (1)根据统计图信息，求的值，并补全条形统计图； (2)5月1日，该景区共接待游客约万人，其中，，，登山方式的索道费用（含下山）分别为：元/人，元/人，元/人，元/人（不考虑其他因素）．估计这一天该景区的索道收入（用科学记数法表示）； (3)淇淇和嘉嘉都想走西上的路线（登山方式包括，，三种），请用列表法或画树状图法求两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）某校为提高学生体育运动能力，进一步增强学生的身体素质，现决定开设篮球、足球、排球、乒乓球、游泳5门运动课程．为了解学生需求，学校随机抽取部分学生进行调查（每人限选1门），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生一共有________人； (2)扇形统计图中，“排球”所在扇形圆心角的度数为________； (3)若全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数； (4)在选择“篮球”的3名学生中，有2名男生和1名女生，从这3名同学中随机抽取2名学生，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率（用画树状图或列表的方法解答）． 男1 男2 女 男1 男2，男1 女，男1 男2 男1，男2 女，男2 女 男1，女 男2，女 命题点三 用频率估算概率 ►题型01 关于频率和概率关系说法的正误 【典例】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【变式1】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【变式2】下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 ►题型02 用频率估算概率 【典例】（2025·湖南长沙·二模）年月日是我国第个植树节，某林业部门为了研究某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 移植的棵数 成活的棵数 成活的频率 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____．（结果精确到） 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么下列符合这一结果的实验最有可能的是___．（填序号） ①袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球； ②掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”； ③掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2； ④从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花． 【变式2】如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是_____________．（精确到）． 【变式3】绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1904 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950 下面有三个推断： ①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955； ②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95； ③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为3800粒． 其中推断合理的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．②③ 命题点四 概率的应用 ►题型01 概率在转盘抽奖中的应用 【典例】（24-25九年级下·湖南常德·月考）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【变式1】某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ►题型02 概率在比赛中的应用 【典例】用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【变式2】体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． ►题型03 游戏的公平性 【典例】（25-26九年级上·湖南·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 突破一 概率中实践探究解答题综合 【典例】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某校七年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：科技类，C：文学类，D：艺术类，E：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请你根据图中信息，解答下列问题： (1)在这项调查中，共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ； (3)在选择“E”的学生中有1名女生，3名男生，现从这四名学生中随机选出一名学生做读书分享，请求出刚好选到女生的概率． 【变式1】百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）为普及前沿科技知识，充分激发青少年对科技创新的浓厚兴趣，某中学于课后服务时段开设了人工智能实践课程，并在学校科技节活动期间举行了“人工智能知识竞赛”活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛． 收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的"人工智能知识竞赛"成绩，分数（单位：分）如下： 73，93，83，62，81，67，96，88，92，87 76，86，82，86，85，84，82，95，86，89 整理分析数据： 等级 成绩（单位：分） 频数/人数 A 4 B C D 2 请根据图中信息，解答下列问题： (1)统计表中______，______，并补全频数分布直方图； (2)这20名学生成绩的中位数在______（填“A”“B”“C”或“D”）等级； (3)据上面统计结果估计该校初一年级800人中，有多少人的成绩在80分及以下． (4)这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人代表学校参加区级竞赛，利用画树状图法或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率． 【变式3】某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验教学成果，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么？”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)本次调查采取的调查方式是______；（填写“普查”或“抽样调查”） (2)______，E所对应的扇形圆心角是______； (3)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”的有______人； (4)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，则两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为______． 【变式4】（2025·湖南衡阳·三模）在“开学第一课讲安全”活动中，某校开展了安全知识竞赛（百分制）活动，为了解学生的答题情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：．下面给出了不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图： 请根据以上信息完成下列问题： (1)本次被抽取的学生人数为 人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为 度； (2)补全频数直方图； (3)该校共有2000名学生参加了此次竞赛活动，请你估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数； (4)甲、乙、丙3名同学的竞赛成绩在95分以上，学校准备从这3名同学中任选2名作国旗下的安全主题分享活动，请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． / 甲 乙 丙 甲 / 甲乙 甲丙 乙 甲乙 / 乙丙 丙 甲丙 乙丙 / 1.（2025·湖南·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．“随意翻开数学书，恰好翻到第20页”是不可能事件 B．“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中篮筐”是必然事件 C．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适宜采用全面调查的方式 D．神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查，应采用全面检查 2.（2025·湖南长沙·二模）从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（　　） A． B． C． D． 3.（2025·湖南·一模）长沙约有2400年建城史，是楚文明和湘楚文化的发源地，境内历史名迹颇多．小明一家准备在岳麓书院、天心阁、橘子洲头、开福寺中随机选择一处游玩，则选到“橘子洲头”的概率是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南长沙·一模）美术课上，周老师将如图所示的多边形分成了三个区域，现需要用“红色”“黄色”“蓝色”三种颜色给这三个区域染色制作图案．染色需同时满足以下要求：①同一区域用同一种颜色染色；②相邻区域不能用同一种颜色染色；③每一个区域都需要染色．则A区被染色成“蓝色”的概率是（　　） A． B． C． D． 5.（2025·湖南长沙·二模）湖南是著名的吃货大省，“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”更是声名远扬．若随机从上面美食中选择两种进行品尝，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是（ ） A． B． C． D． 6.（2025·湖南长沙·一模）酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（    ） A． B． C． D． 7.（2025·湖南邵阳·三模）四个相同的烧杯中，分别装有氢氧化钠溶液、稀硫酸溶液、氢氧化钙溶液及蒸馏水，从中任选一个烧杯滴入几滴酚酞溶液，则该烧杯的溶液变成红色的概率是___________． 8.（2025·湖南株洲·三模）如果从，0，2三个数中任取一个数作为，则直线不经过第四象限的概率是___________． 9.（2025·湖南长沙·模拟预测）小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 10.（24-25九年级上·湖南湘西·期末）一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为_____． 11.（2025·湖南怀化·二模）某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____． (3)该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳． (4)甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率． 12.（2025·湖南长沙·二模）某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图、图两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： (1)九年级接受调查的同学共有多少名？并补全条形统计图； (2)九年级共有名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名； (3)若喜欢“交流谈心”的名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率． 13.（2025·湖南永州·模拟预测）为落实“双减”政策，增强学生体质，阳光中学积极开展体育健身活动．了解初三学生的投篮命中率，组织了初三学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对初三（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．      (1)初三（1）班的学生投中2次的人数为___________人，扇形统计图中___________； (2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为___________； (3)在投中3次的学生中，有2名男生2名女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 14.（2025·湖南岳阳·一模）2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 关注人数 42 30 (1)直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数； (2)若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？ (3)为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 15.（2025·湖南长沙·模拟预测）为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． (1)在本次调查中，一共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______； (3)若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人； (4)此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率． 1．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·中考真题）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 6．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． ， ， ， ， ， ， 7．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 8．（2025·湖北·中考真题）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 9．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为______． 10．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 11．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 12．（2025·四川遂宁·中考真题）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 13．（2025·山东东营·中考真题）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：      (1)参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； (2)请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角； (3)若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数． (4)若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 14．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 15．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 统计与概率 第32讲 概率 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 随机事件与概率 题型01事件的分类 题型02判断事件发生的可能性大小 题型03根据概率公式求概率 题型04 已知概率求数量 题型05 几何中概率问题 命题点二 利用列表法或树状图求概率 题型01 用树状图求概率 题型02 用列表法求概率 题型03 列表法或树状图综合解答 命题点三 用频率估算概率 题型01 关于频率和概率关系说法的正误 题型02 用频率估算概率 命题点四 概率的应用 题型01 概率在转盘抽奖中的应用 题型02 概率在比赛中的应用 题型03 游戏的公平性 05·重难突破·思维进阶难 43 突破一 概率中实践探究解答题综合 06·优题精选·练能提分 51 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 事件的分类 / / 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能判断一个事件属于哪一类。 简单随机事件的概率计算 湖南省卷 T3 长沙市卷 T20 湖南省卷 T12 长沙市卷 T12 掌握简单随机事件的概率计算公式 P(A)=m/n​，能计算一步或两步概率。 用频率估计概率 湖南省卷 T20 / 理解频率与概率的关系，能用大量重复试验的频率估计概率。 概率的综合应用 长沙市卷 T20 / 能用列表法或树状图法求概率，解决实际问题。 命题预测 1. 事件的分类稳定考查（选择题/填空题，3分） 必然事件：一定会发生的事件（概率=1）；不可能事件：一定不会发生的事件（概率=0） 随机事件：可能发生也可能不发生的事件（0<概率<1） 2. 简单随机概率计算必考（选择题/填空题，3-6分） 一步概率：摸球、抽牌、掷骰子等；几何概型：面积比、长度比等；概率与统计结合：根据频数求概率 3. 两步概率高频考查（解答题，6-8分） 树状图法：适合步骤少、分步明显的问题；列表法：适合两步试验、结果不多的问题；放回与不放回：注意区别，不放回时总数减少 4. 频率估计概率综合考查（填空题/解答题，4-6分） 用频率估计概率：大量重复试验的频率稳定于概率；用概率反推频数：已知概率和总数，求频数。 备考建议 1. 基础知识巩固 事件分类：必然事件（P=1）、不可能事件（P=0）、随机事件（0<P<1）；概率公式：P(A)=m/n（古典概型）；频率估计：大量重复试验时，频率稳定于概率；两步概率：树状图法、列表法 2. 解题能力提升 审题要点：注意“放回”还是“不放回”；方法选择：两步试验用树状图或列表法；结果统计：有序列出所有结果，不重不漏 4. 重点突破题型 ① 摸球、抽牌、掷骰子的一步概率② 放回与不放回的两步概率（树状图）③ 用样本频率估计总体概率④ 概率与统计图表综合⑤ 几何概型（面积比、长度比） 考点一 事件的分类 事件类型 定义 概率取值 典型例子 易错提醒 必然事件 在一定条件下，一定发生的事件 P=1 太阳从东方升起；掷骰子点数≤6 概率为 1 的事件不一定是必然事件（仅在有限等可能结果中可直接等同） 不可能事件 在一定条件下，一定不发生的事件 P=0 掷骰子点数为 7；水中捞月 概率为 0 的事件不一定是不可能事件（仅在有限等可能结果中可直接等同） 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0<P<1 抛硬币正面朝上；明天会下雨 不能把 “可能性大” 当成 “一定发生”，也不能把 “可能性小” 当成 “一定不发生” 1.（2025·湖南怀化·一模）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列事件属于必然事件的是（      ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水滴石穿 D．缘木求鱼 【答案】C 【分析】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】解：A. “水中捞月”是不可能事件，故该选项不符合题意； B. “守株待兔”是随机事件，故该选项不符合题意； C. “水滴石穿”是必然事件，故该选项符合题意； D. “缘木求鱼”是不可能事件，故该选项不符合题意． 故选：C． 2.（2025·湖南衡阳·模拟预测）“煮熟的鸭子飞了”这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，据此判断即可．根据事件类型的定义，煮熟的鸭子无法飞行，故为不可能事件． 【详解】∵煮熟的鸭子已失去飞行能力， ∴该事件不可能发生，为不可能事件， 故选：B． 3.（2025·湖南益阳·模拟预测）下列成语所描述的现象属于随机事件的是（    ） A．水涨船高 B．美梦成真 C．登高望远 D．水中捞月 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是必然事件，不符合题意； B、是随机事件，符合题意； C、是必然事件，不符合题意； D、是不可能事件，不符合题意； 故选B． 4.（2025·湖南怀化·三模）下列说法正确的是（   ） A．“长沙市明天降雨的概率为”，意味着长沙市明天有的时间下雨 B．投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次 C．“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是不可能事件 D．“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票一定会有张中头奖 【答案】B 【分析】本题考查了可能性的大小，根据事件的分类，概率值越大，表示事件发生的可能性越大，但不一定必然发生进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、“长沙市明天降雨的概率为”，即下雨的可能性较大，故该选项不符合题意； 、投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，故该选项符合题意； 、“从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是方块”是随机事件，故该选项不符合题意； 、“某彩票中头奖的概率是”，表示买张这种彩票不一定会有张中头奖，故该选项不符合题意； 故选：． 考点二 简单的概率计算 一、概率公式 n：所有等可能出现的结果总数；m：事件A包含的结果数 二、适用条件 所有结果必须等可能（机会均等），否则不能直接用公式。 三、取值范围 ①必然事件：；②不可能事件：；③随机事件： 1.（2025·湖南·中考真题）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查概率公式的计算，掌握其概率的计算是关键． 根据概率的基本公式，计算抽中戏剧类社团的概率． 【详解】解：共有5类社团活动（舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧），每类被抽中的可能性相等，抽中戏剧类社团属于其中1种可能结果， ∴概率为成功事件数除以总事件数，即：， 故选：D． 2.（2024·湖南长沙·中考真题）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______． 【答案】/ 【分析】本题考查概率公式，掌握概率的意义是解题的关键． 利用概率公式直接进行计算． 【详解】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为， 故答案为：． 3.（2024·湖南·中考真题）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有4枚棋子， ∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是． 故答案为： 考点三 利用列表法或树状图求概率 一、列表法 1.适用：两步试验，结果清晰、不易混乱 2.做法： ①横行写第一次试验所有结果 ②竖列写第二次试验所有结果 ③交叉处填写组合结果 3.优点：整齐直观，不易漏项 二、树状图法 1.适用：有先后顺序、步骤较多的试验 2.结构： ①第一层：第一次所有可能结果 ②第二层：在第一次基础上，第二次所有可能结果 3.优点：能清晰体现先后顺序 1.（2025·湖南长沙·中考真题）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知识竞赛，竞赛成绩以等级式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．） 等级 频数 频率 A m B C n D 6 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)本次调查随机抽取了______名学生的成绩；表中______，______； (2)在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为______度； (3)若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的2名学生恰好来自同一个班级的概率． 【答案】(1) (2) (3)见解析， 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图信息关联问题，以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据频数分布表求出总人数即可求解； （2）根据A等级所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】（1）解：由频数分布表可得，总人数为：（人）； ∴，， 故答案为： （2）解：“A等”所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为： （3）解：记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名学生为丙和丁，画出树状图： 一共有种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果． ． 2.（2025·湖南永州·模拟预测）高老师准备从超市购买一些奖品．如图，高老师从学校出发，随机选择一条道路，需先经过广场，最终到达超市，则这条路线恰好是最短路线的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设从学校到广场的路径分别为，从广场到超市的路径分别为， 则从学校到超市的路径， 列表： a               b 共6种等可能结果，其中最短路径是， ∴这条路线恰好是最短路线的概率是． 故选：D． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）从，，，，中任取两数作为，，使抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法与树状图法，二次函数的性质，概率公式，首先根据题意得到，，然后利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴； 列表如下： ∴共有20种等可能结果，其中使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的有2种结果， ∴使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的概率为． 故选：B． 4.（2025·湖南·模拟预测）为提高学生身体素养，某校在10月举行最美课间操比赛，最终甲、乙、丙三个班级进入决赛．决赛需进行五个单项比赛，计分规则如下：①单项比赛计分规则：五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．②团体决赛计分规则：各单项得分之和为团体最终成绩，名次按成绩由高到低排序；若成绩相同，则方差较小的班级排名靠前．现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理并绘制统计图表，部分信息如下：丙班在第二个单项比赛中，五名裁判的打分为：85，88，90，92，95．根据以上信息，回答下列问题： 项目 一 二 三 四 五 得分 95 m 88 92 90 丙班五个单项得分表 (1)上述m的值为___； (2)已知甲班团体总分为450分，乙班和丙班总分均为455分，请通过计算判断哪个班级获得冠军； (3)获得前两名的班级可分别从A、B、C三种图书中选择一套作为奖励，求两个班级选择同一套图书的概率． 【答案】(1)90 (2)乙班方差较小，乙班获得冠军 (3) 【分析】本题考查了方差、平均数、概率的计算： （1）根据①单项比赛计分规则进行计算即可； （2）求出乙班和丙班的方差，方差小的获得冠军； （3）采用列举法即可解答． 【详解】（1）解：裁判打分：， 去掉最高分95和最低分85，剩余分数为， 平均分， 故丙班第二个单项得分， 故答案为：90； （2）解：乙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 ； 丙班方差计算： 单项得分：， 平均分， 方差 结论：乙班方差更小，因此乙班获得冠军； （3）解：两班独立选择三种图书，共有9种等可能结果： ， 其中选择相同的有三种，概率． 命题点一 实数的分类 ►题型01 事件的分类 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名家长担任学校食品安全监督员，至少有两名家长来自同一个班 C．买《哪吒2》电影票，座位号是奇数号 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【分析】本题考查必然事件的判断，必然事件指在一定条件下必然会发生的事件，结合必然事件的定义及简单逻辑推理进行分析即可得出答案． 【详解】解：选项A：打开电视机时，中央台可能播放其他节目，该事件为随机事件，排除． 选项B：从两个班级任选三名家长，根据抽屉原理（若将3个物品放入2个抽屉，至少有一个抽屉有2个或以上物品），必然存在至少两名家长来自同一班级，故为必然事件． 选项C：座位号奇偶性由影院排号决定，概率为，属于随机事件，排除． 选项D：四本书中抽取一本，抽到《三国演义》的概率为，属于随机事件，排除. 故选：B 【变式1】（2025九年级下·湖南岳阳·学业考试）袋子中装有3个白球，1个红球．从中一次性取出2个球，下列事件是必然事件的是（   ） A．两个球都是白球 B．两个球都是红球 C．两个球中至少有一个白球 D．两个球中至少有一个红球 【答案】C 【分析】根据袋子中球的个数以及每样球的个数对摸出的2个球的颜色进行分析即可．本题考查了确定事件及随机事件，解题的关键是熟练掌握事件的分类，事件分为随机事件和确定事件，而确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：∵袋子中装有3个白球，1个红球， ∴从中一次性取出2个球，两个球都是白球是随机事件，故A选项不符合题意， ∴从中一次性取出2个球，两个球都是红球是不可能事件，故B选项不符合题意， ∴从中一次性取出2个球，两个球中至少有一个白球是必然事件，故C选项符合题意， ∴从中一次性取出2个球，两个球中至少有一个红球是随机事件，故D选项不符合题意， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）下列事件中，是随机事件的是（   ） A．太阳从东边升起 B．布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球 C．367人中至少有两人生日相同 D．走到十字路口正好是绿灯 【答案】D 【分析】本题考查必然事件和随机事件的有关概念：在一定条件下，必定发生的事件称为必然事件；一定不发生的事件称为不可能事件；如果一件事情可能发生，也可能不发生，那么这个事件是随机事件．解题的关键是根据以上定义对选项作出正确的判断． 根据随机事件定义对各个选项作出判断即可． 【详解】解：A、太阳从东边升起是必然事件，不符合题意； B、布袋里有2个红球，1个白球，从中同时摸出2个球，其中必有红球是必然事件，不符合题意； C、367人中至少有两人生日相同是必然事件，不符合题意； D、走到十字路口正好是绿灯是随机事件，符合题意， 故选：D． 【变式3】（2025·湖南常德·二模）天气预报称，明天全市是晴天的概率为99%，下列说法中正确的是（　　） A．明天全市将有99%的地方是晴天 B．明天全市将有99%的时间会是晴天 C．明天全市是晴天的可能性较大 D．明天全市一定会是晴天 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的意义，根据概率意义的理解逐项判断即可． 【详解】解：因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，所以A不符合题意； 因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市不一定的时间是晴天，所以B不符合题意； 因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天，晴天的可能性较大，所以C符合题意； 因为明天全市是晴天的概率是，所以明天全市可能有的地方是晴天,不一定全市一定晴天，所以D不符合题意． 故选：C． 【变式4】（2025·湖南长沙·三模）下列关于统计与概率的知识说法正确的是（   ） A．赵心童在2025年斯诺克世界锦标赛上获得冠军是必然事件 B．了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式 C．若一个游戏的中奖率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 D．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差，，则甲组数据比乙组数据更稳定 【答案】D 【分析】本题考查统计与概率，根据事件的分类判断A选项；根据全面普查与抽样调查的区别判断B选项；根据概率的意义判断C选项；根据方差的意义判断D选项． 【详解】解：赵心童在2025年斯诺克世界锦标赛上不一定获得冠军，因此不是必然事件，故A选项说法错误，不符合题意； 了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用抽样调查的方式，故B选项说法错误，不符合题意； 若一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏不一定会中奖，故C选项说法错误，不符合题意； 由可得甲组数据比乙组数据更稳定，故D选项说法正确，符合题意； 故选：D． ►题型02 判断事件发生的可能性大小 【典例】（24-25九年级下·湖南·月考）将四张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有数字1、2、3、4，随机抽出一张，下列事件中发生可能性最大的是（   ） A．所抽卡片上的数字大于2 B．所抽卡片上的数字小于2 C．所抽卡片上的数字大于3 D．所抽卡片上的数字小于4 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 分别求出四个选项的概率，然后判断即可． 【详解】解：正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片， 从这四张卡片中随机抽取一张，抽到一张分别是数字1，2，3，4的概率是， 抽到数字大于2的卡片的概率是， 抽到数字小于2的卡片的概率是， 抽到数字大于3的卡片的概率是， 抽到数字小于4的卡片是． 故选：D． 【变式1】（2025九年级上·湖南·专题练习）投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上，那么第4次投掷硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查可能性的大小，熟练根据概率的知识得出可能性的大小是解题的关键．根据每次投掷硬币正面朝上的可能性都一样得出结论即可． 【详解】解：每次投掷硬币正面朝上的可能性都为． 故选：A． 【变式2】下列说法中，正确的是(　　) A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间在降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上 C．“彩票中奖的概率是1%表示买100张彩票一定有1张会中奖 D．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天 【答案】D 【详解】试题解析：A、“明天降雨的概率是80%”表示明天有降雨的可能性，故错误； B、“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示抛一枚硬币正面朝上与反面朝上的机会是一样的，故错误； C、“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误； D、在同一年出生的367名学生，而一年中至多有366天，因而至少有两人的生日是同一天． 故选D． 【变式3】（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【分析】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键． 根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解． 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． ►题型03 根据概率公式求概率 【典例】（2025·湖南株洲·一模）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某社区开展“垃圾分类”知识竞赛，题库中环保类题目占60%，小明随机抽取一题，抽到环保类题目的概率是（    ）． A．0.4 B．0.6 C．1 D．0.5 【答案】B 【分析】本题可根据概率的意义，直接由环保类题目在题库中的占比得到抽到环保类题目的概率． 【详解】解：∵题库中环保类题目占， ∴抽到环保类题目的概率是0.6， 故选：B ． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有8个，黄色玻璃球有12个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率公式的应用．设袋子中蓝色玻璃球有x个，根据概率公式，可得，据此求出蓝色玻璃球的数量；然后用红色玻璃球的数量除以玻璃球的总量，即可解答． 【详解】解：设袋子中蓝色玻璃球有x个， 则， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴随机摸出一个为红色玻璃球的概率为：． 故选：C 【变式3】（2025·湖南岳阳·二模）“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”是《岳阳楼记》中的名句，在这句话中，“之”字出现的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，由先天下之忧而忧，后天下之乐而乐一共有14个字，其中“之”有2个，然后根据概率公式计算概率即可， 【详解】解：∵先天下之忧而忧，后天下之乐而乐一共有14个字，其中“之”有2个 ∴“之”字出现的概率是：， 故选：C 【变式4】（2025·湖南怀化·二模）以下是9个主要的中国传统节日：春节（农历正月初一）；元宵节（农历正月十五）；端午节（农历五月初五）；七夕节（农历七月初七）；中元节（农历七月十五）；中秋节（农历八月十五）；重阳节（农历九月初九）；腊八节（农历腊月初八）；小年（北方腊月二十三/南方腊月二十四），若从这9个节日中选一个节日，则抽到的节日在农历七月的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率公式．先得到节日在农历七月的有个，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：这9个节日中，节日在农历七月的有个， ∴抽到的节日在农历七月的概率为， 故选：B． ►题型04 已知概率求数量 【典例】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在一个不透明的口袋中，装有除颜色外其他都相同的2个白球和个黑球．某同学进行如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色，放回，摇匀，重复上述过程．试验获得的数据如下表：根据表格数据可以估计出的值为（    ） 摸球的次数 100 200 500 1000 摸到白球的次数 21 39 102 199 A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可． 【详解】解：通过大量重复试验后发现，摸到白球的频率稳定于0.2， ， 解得：． 经检验是原方程的解， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（    ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在左右，估计摸到白球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得： ， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以口袋中白球可能有20个， 故选：B． 【变式2】一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】D 【分析】直接由概率公式求解即可. 【详解】根据题意得=30%，解得：n=30， 经检验：n=30符合题意， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：D． 【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键. ►题型05 几何中概率问题 【典例】（2024·湖南·模拟预测）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比，面积比，体积比等． 首先确定阴影的面积在整个圆形瓷砖中所占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：因为在两个同心圆中，两条直径把大圆分成4等份，利用整体思想，可知：阴影部分的面积是大圆面积的一半，因此若在这个大圆区域内随机地掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是． 故选：D． 【变式1】如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，熟练运用概率公式是解题的关键． 先求出三角形的面积，然后用概率公式计算． 【详解】解：正方形面积， 三角形的面积 ， 则落在内部的概率是． 故选：C． 【变式2】（2025·湖南长沙·二模）如图，掷飞镖游戏中，掷中阴影部分的概率是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用阴影部分的面积除以圆的面积即可求得概率． 【详解】解：设圆的半径为r，则阴影的面积为，圆的面积为， ∴掷中阴影部分的概率是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何概率，会计算扇形的面积是解题关键． 【变式3】如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为_________． 【答案】4.2 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为， 则不规则图案的面积为：， 故答案为：4.2． 【变式4】（2025·湖南长沙·二模）刘老师行驶在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么她随机选择一条车道，选中直行车道的概率是_____． 【答案】/ 【分析】此题考查了简单概率，根据概率公式计算即可． 【详解】解：她随机选择一条车道，她可能的选择共有5种情况，选中直行车道的有3种情况， ∴选中直行车道的概率是， 故答案为：． 命题点二 利用列表法或树状图求概率 ►题型01 用树状图求概率 【典例】（2024·湖南长沙·模拟预测）“五月五日午，赠我一枝艾”．端午节，起源于中国，最初是上古先民以龙舟竞渡形式祭祀龙祖的节日．因传说战国时期的楚国诗人屈原在端午节抱石跳汨罗江自尽，后来人们亦将端午节作为纪念屈原的节日．某超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉．小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好得到不同馅的粽子的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好得到不同馅的粽子的结果有6种， ∴两人恰好得到不同馅的粽子的概率是． 故选：D． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是___________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率． 【详解】解：“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票分别用表示，画树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果， 其中小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的有2种， ∴小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南常德·一模）有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率． 【详解】解：树状图如图所示，    由上可得，一共有16种等可能性，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性， 所以抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为． 故答案为：． ►题型02 用列表法求概率 【典例】（2026·湖南株洲四校·一模）“以史为鉴，可以知兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆．在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片上(如图)，分别用图案表示了四个不同历史事件：鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝．将卡片置于不透明的箱子中，摇匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件都发生于新中国成立以后的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定四个历史事件发生在新中国成立以后的事件，再通过列表法列出所有抽取两张卡片的等可能结果，最后计算符合条件的结果数占总结果数的比例． 【详解】解：设鸦片战争、土地运动、五四运动、抗美援朝分别用、、、表示，其中新中国成立以后的事件为（土地运动）、（抗美援朝）． 列表如下： 由表可知，总共有种等可能的结果．其中，所抽取卡片中的事件都发生在新中国成立以后的结果有：、，共种． ∴． 【变式1】（2025·湖南衡阳·二模）在一次湖南旅游景点推荐活动中，主持人从长沙、张家界、岳阳、娄底四个地市中，随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍．假设长沙的代表景点是橘子洲头，张家界的代表景点是武陵源风景名胜区，岳阳的代表景点是岳阳楼，娄底的代表景点是紫鹊界梯田．那么，被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了列表或画树状图求概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键，根据题意列出表格即可求出概率． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示橘子洲头、武陵源风景名胜区、岳阳楼、紫鹊界梯田，列表得， A B C D A B C D 随机抽取两个地市，并从被抽取的地市中各选一个代表景点进行详细介绍，共有12种等可能的情况，其中被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的有6种， ∴被抽到介绍的景点中包含武陵源风景名胜区的概率是， 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因决定的．如人的单、双眼皮由常染色体上的一对基因决定，决定双眼皮的基因是显性的，单眼皮的基因是隐性的，因此基因为和的人是双眼皮，基因为的人是单眼皮，父母可分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给其子女．若小帆父母的基因都是，则小帆是双眼皮的概率为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们子女可以是双眼皮的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 母亲父亲 由表格中，一共有四种等可能性的结果数，其中他们子女可以是双眼皮的结果数有种，他们子女可以是双眼皮的概率为， 故答案为：． 【变式3】某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)________，所对应的扇形圆心角是________； (2)请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； （2）解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． （3）解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． ►题型03 列表法或树状图综合解答 【典例】（2025·湖南永州·三模）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，初中某校开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； (2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁、戊五名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，用列表或树状图法求丙和丁同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】(1)100，补全条形图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及丙和丁同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）， 条形图如图所示， 故答案为：； （2）解：“羽毛球”人数所占比例为：， 则扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数， 故答案为：； （3）解：设甲、乙、丙、丁、戊五名同学分别用字母A，B，C，D，E表示，根据题意画树状图如下： ∵一共有20种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴丙和丁同学同时被选中的概率是． 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟预测）落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，B组的圆心角是______度，本次调查数据的中位数落在______组内； (3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数； (4)若完成“作业超过90分钟”的5名同学中有三名男生和两名女生，学校想从5名同学中任选两名同学进行交流，请用列表或画树状图法求两名同学都是女生的概率． 【答案】(1)100，图形见解析 (2)72，C (3)估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人 (4) 【分析】本题考查了用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案 ． 【详解】（1）这次调查的样本容量是：， D组的人数为：， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：， ∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组， ∴中位数落在C组， 故答案为：72，C； （3）（人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人； （4）解：画树状图如图， ∵共有种等可能的结果，同时选出的两名同学都是女生得有种情况， ∴选取的两名同学都是女生的概率为． 【变式2】（2025·湖南武冈·二模）星期天，淇淇所在的社会实践小组到某级旅游景区对游客登山的方式进行了抽样调查．调查发现游客上山的方式共有种：．西上全程索道；．北上全程索道；．西上步行；．北上步行；．西上索道+步行；．北上索道+步行．淇淇和小组成员共调查了名游客，并把相关的数据绘制成如下不完整的统计图（图-1和图-2）． (1)根据统计图信息，求的值，并补全条形统计图； (2)5月1日，该景区共接待游客约万人，其中，，，登山方式的索道费用（含下山）分别为：元/人，元/人，元/人，元/人（不考虑其他因素）．估计这一天该景区的索道收入（用科学记数法表示）； (3)淇淇和嘉嘉都想走西上的路线（登山方式包括，，三种），请用列表法或画树状图法求两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)索道收入元 (3)见解析，两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的概率为 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，科学记数法，用列表法或树状图求概率，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由扇形统计图得选择方式登山的游客有人，所占百分比为，根据求得样本容量，即的值，利用总人数减去、、、、登山方式的人数即可求解方式的人数； （2）先求抽查的人里，，，，方式的索道费用，再利用样本估计总体即可求解； （3）用列表法列出两个人走西上路线的全部情况，其中两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的有种，利用随机事件的概率计算公式即可求解． 【详解】（1）解：由题图可知，选择方式登山的游客有人，所占百分比为， ， 选择方式登山的游客人数为， 补全条形统计图如图所示： （2）解：索道收入为 元． （3）解：两个人走“西上全程索道”的全部情况如下表：     淇淇嘉嘉 A C E A C E 由列表可知，共有种等可能情况，其中两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式的有种， 则（两个人恰好都选择“西上全程索道”登山方式）． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）某校为提高学生体育运动能力，进一步增强学生的身体素质，现决定开设篮球、足球、排球、乒乓球、游泳5门运动课程．为了解学生需求，学校随机抽取部分学生进行调查（每人限选1门），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生一共有________人； (2)扇形统计图中，“排球”所在扇形圆心角的度数为________； (3)若全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数； (4)在选择“篮球”的3名学生中，有2名男生和1名女生，从这3名同学中随机抽取2名学生，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率（用画树状图或列表的方法解答）． 【答案】(1)4 (2) (3)275人 (4) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，，用样本估计总体，求概率，从统计图中有效的获取信息，掌握概率公式，是解题的关键． （1）用足球的人数除以其所占百分比，即可； （2）用360度乘以选择“乒乓球”的学生人数所占百分比，即可； （3）用全校人数乘以选择“乒乓球”的学生人数所占百分比，即可； （4）列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：人， 即本次调查的学生一共有40人； 故答案为：40 （2）解：， “排球”所在扇形圆心角的度数为； 故答案为： （3）解：人， 即全校选择“乒乓球”的学生人数275人； （4）解：根据题意，列出表格，如下： 男1 男2 女 男1 男2，男1 女，男1 男2 男1，男2 女，男2 女 男1，女 男2，女 一共有6种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况， ∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 命题点三 用频率估算概率 ►题型01 关于频率和概率关系说法的正误 【典例】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【变式1】关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【变式2】下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． ►题型02 用频率估算概率 【典例】（2025·湖南长沙·二模）年月日是我国第个植树节，某林业部门为了研究某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 移植的棵数 成活的棵数 成活的频率 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，随着数据的增加，频率稳定在上下，所以可以估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是． 【详解】解：由统计表可知，随着移植棵数的增加，成活的频率稳定在上下， 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是． 故答案为： ． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么下列符合这一结果的实验最有可能的是___．（填序号） ①袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球； ②掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”； ③掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2； ④从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花． 【答案】③ 【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 分别计算出每个事件的概率，其值在0.16—0.19的即符合题意． 【详解】解：①、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； ②、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； ③、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； ④、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意． 故答案为：③． 【变式2】如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是_____________．（精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率值估计概率，解题的关键在于熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值．根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值求解即可． 【详解】解：∵大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值， ∴抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是， 故答案为：． 【变式3】绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1904 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950 下面有三个推断： ①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率是0.955； ②根据上表，估计绿豆发芽的概率是0.95； ③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为3800粒． 其中推断合理的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】①利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，n=400，数值较小，不能近似的看为概率，①错误；②利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，可得②正确；③用4000乘以绿豆发芽的概率即可求得绿豆发芽的粒数，③正确． 【详解】①当n=400时，绿豆发芽的频率为0.955，所以绿豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误； ②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计绿豆发芽的概率是0.95，此推断正确； ③若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为4000×0.950=3800粒，此结论正确． 故选D． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 命题点四 概率的应用 ►题型01 概率在转盘抽奖中的应用 【典例】（24-25九年级下·湖南常德·月考）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【答案】A 【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③， 故选A． 【变式1】某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 【变式2】如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了概率和随机事件的概论，根据已知条件，结合指针停在每个扇形的可能性相同，指针停在哪个扇形区域都是随机事件，即可求解． 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． ►题型02 概率在比赛中的应用 【典例】用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 【变式1】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【变式2】体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． ►题型03 游戏的公平性 【典例】（25-26九年级上·湖南·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种， ∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为． ∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 突破一 概率中实践探究解答题综合 【典例】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某校七年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：科技类，C：文学类，D：艺术类，E：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请你根据图中信息，解答下列问题： (1)在这项调查中，共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ； (3)在选择“E”的学生中有1名女生，3名男生，现从这四名学生中随机选出一名学生做读书分享，请求出刚好选到女生的概率． 【答案】(1)80 (2)见解析， (3) 【分析】本题主要考查了概率公式、条形统计图和扇形统计图等知识点，理解概率公式是解题的关键． （1）根据A的人数及所占百分比求出调查学生的总人数； （2）总人数减去A，B，C，E的人数，可求D人数，再补全统计图即可；360度乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：在这项调查中，共调查学生（名）． 故答案为：80． （2）解：D类的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为． 故答案为：． （3）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中刚好选到女生的结果有1种， ∴刚好选到女生的概率为． 【变式1】百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）为普及前沿科技知识，充分激发青少年对科技创新的浓厚兴趣，某中学于课后服务时段开设了人工智能实践课程，并在学校科技节活动期间举行了“人工智能知识竞赛”活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛． 收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的"人工智能知识竞赛"成绩，分数（单位：分）如下： 73，93，83，62，81，67，96，88，92，87 76，86，82，86，85，84，82，95，86，89 整理分析数据： 等级 成绩（单位：分） 频数/人数 A 4 B C D 2 请根据图中信息，解答下列问题： (1)统计表中______，______，并补全频数分布直方图； (2)这20名学生成绩的中位数在______（填“A”“B”“C”或“D”）等级； (3)据上面统计结果估计该校初一年级800人中，有多少人的成绩在80分及以下． (4)这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人代表学校参加区级竞赛，利用画树状图法或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)12，2；见解析 (2)B (3)160人 (4) 【分析】本题考查了统计表、中位数、利用样本估计总体、画树状图法求概率等知识，熟练掌握统计与概率的相关知识是解题的关键； （1）根据给出的数据进行统计即可得出a、b的值，进而可补全统计图； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）利用样本估计总体的知识求解即可； （4）画树状图展示所有等可能的结果数，找出符合题意的结果数，然后根据概率公式求解即可. 【详解】（1）解：成绩在的人数有12人，所以， 成绩在的人数有2人，所以； 故答案为：12，2； 补全统计图如下： （2）解：， 这20名学生成绩的中位数在B组， 故答案为：B； （3）解：（人）， 答：据上面统计结果估计该校初一年级800人中，有160人的成绩在80分及以下． （4）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果共有8种， 所以抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率. 【变式3】某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验教学成果，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么？”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)本次调查采取的调查方式是______；（填写“普查”或“抽样调查”） (2)______，E所对应的扇形圆心角是______； (3)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”的有______人； (4)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，则两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为______． 【答案】(1)抽样调查 (2)50， (3)120 (4) 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，列表或画树状图求概率，解题的关键是数形结合，根据题意画出树状图或列出表格． （1）根据调查方式进行判断即可； （2）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可； （3）用800人乘以D类所占的百分比即可； （4）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，本次调查采取的调查方式是抽样调查； 故答案为：抽样调查； （2）解：抽取的学生人数为（人）， 选择C的学生人数为（人）， 故； E所对应的扇形圆心角是， 故答案为：50，； （3）解：（人）， 故答案为：120； （4）解：列表如下： A B C D E A B C D E 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种， ∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 【变式4】（2025·湖南衡阳·三模）在“开学第一课讲安全”活动中，某校开展了安全知识竞赛（百分制）活动，为了解学生的答题情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：．下面给出了不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图： 请根据以上信息完成下列问题： (1)本次被抽取的学生人数为 人，扇形统计图中E组对应扇形的圆心角为 度； (2)补全频数直方图； (3)该校共有2000名学生参加了此次竞赛活动，请你估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数； (4)甲、乙、丙3名同学的竞赛成绩在95分以上，学校准备从这3名同学中任选2名作国旗下的安全主题分享活动，请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】(1)80，36 (2)见解析 (3)1100人 (4)，图见解析 【分析】本题考查统计图的综合应用，利用样本估计总体，利用列表法或树状图法求概率，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 （1）C组人数除以所占的比例求出抽取的人数即可；360度乘以E组所占的比例，进行求解即可； （2）总人数减去其他已知人数，然后补全图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：（人）， 扇形统计图中组对应扇形的圆心角， 故答案为：80，36． （2）解：D组的人数为：（人）， 补全频数直方图，如图所示： （3）解：（人）， 答：估计该校参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为人； （4）解： 列表如下：从甲，乙，丙3名同学任选2名作国旗下的安全主题分享活动，共有6种可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学共有2种可能结果，故所求概率． / 甲 乙 丙 甲 / 甲乙 甲丙 乙 甲乙 / 乙丙 丙 甲丙 乙丙 / 1.（2025·湖南·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．“随意翻开数学书，恰好翻到第20页”是不可能事件 B．“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中篮筐”是必然事件 C．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适宜采用全面调查的方式 D．神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查，应采用全面检查 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，调查方式的选择，根据一定条件下一定会发生的事件为必然事件，一定不会发生的事件为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件为随机事件，以及范围窄，具有特殊意义的用普查，范围广，有破坏性的用抽样调查，进行判断即可． 【详解】解：A、“随意翻开数学书，恰好翻到第20页”是随机事件，原说法错误，不符合题意； B、“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中篮筐”是随机事件，原说法错误，不符合题意； C、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，原说法错误，不符合题意； D、神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查，应采用全面检查，原说法正确，符合题意； 故选D． 2.（2025·湖南长沙·二模）从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据概率公式求解即可． 【详解】解：从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，抽到的学号为男生的概率是； 故选：A． 3.（2025·湖南·一模）长沙约有2400年建城史，是楚文明和湘楚文化的发源地，境内历史名迹颇多．小明一家准备在岳麓书院、天心阁、橘子洲头、开福寺中随机选择一处游玩，则选到“橘子洲头”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键， 根据概率的定义，选到 “橘子洲头” 的概率选到 “橘子洲头” 这一种结果总共有4种结果，即可解答． 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“橘子洲头”的结果有1种， ∴恰好选中选到“橘子洲头”的概率是； 故选：C． 4.（2025·湖南长沙·一模）美术课上，周老师将如图所示的多边形分成了三个区域，现需要用“红色”“黄色”“蓝色”三种颜色给这三个区域染色制作图案．染色需同时满足以下要求：①同一区域用同一种颜色染色；②相邻区域不能用同一种颜色染色；③每一个区域都需要染色．则A区被染色成“蓝色”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题关键．直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：A区共有“红色”“黄色”“蓝色”三种颜色可选， A区被染色成“蓝色”的概率是， 故选：A． 5.（2025·湖南长沙·二模）湖南是著名的吃货大省，“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”更是声名远扬．若随机从上面美食中选择两种进行品尝，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，先画出树状图，再根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：把“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”分别记为，画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的结果有种， ∴选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是， 故选：． 6.（2025·湖南长沙·一模）酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为(盐酸)， (硫酸)， (钠碱)， (钾碱)， 若从中任取2瓶混合， 则会发生中和反应的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；会发生中和反应的有和，和，和，和，列表可得出所有等可能的结果数以及会发生中和反应的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：根据题意可得列表如下： 共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，所以会发生中和反应的概率为； 故选D 7.（2025·湖南邵阳·三模）四个相同的烧杯中，分别装有氢氧化钠溶液、稀硫酸溶液、氢氧化钙溶液及蒸馏水，从中任选一个烧杯滴入几滴酚酞溶液，则该烧杯的溶液变成红色的概率是___________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查的知识点是概率的计算以及酸碱溶液与酚酞的显色反应．解题的关键在于明确概率公式的应用，准确判断出能使酚酞变红（即碱性）的溶液种类，从而确定和的值代入公式求解．根据概率的计算公式求解，需要先确定总的情况数以及溶液能使酚酞变红的情况数，再代入公式计算． 【详解】解：∵有四个相同的烧杯，分别装有不同的液体，从中任选一个烧杯， ∴总的选法有种，即总的情况数． 酚酞溶液遇碱性溶液变红，氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液呈碱性，稀硫酸溶液呈酸性，蒸馏水呈中性． ∴能使酚酞溶液变红的是氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液，共种情况，即溶液能使酚酞变红的情况数． ∴． 故答案为： 8.（2025·湖南株洲·三模）如果从，0，2三个数中任取一个数作为，则直线不经过第四象限的概率是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式以及一次函数的性质，先根据题意列表得出所有等可能的结果与所得一次函的图象不经过第四象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： k 0 2 由表知，共有3种等可能结果，其中一次函数的图象不经过第四象限的有以及有2种结果， 所以直线不经过第四象限的概率是． 故答案为：． 9.（2025·湖南长沙·模拟预测）小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 【答案】6 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据总面积乘以“点落在阴影部分”的频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：估计此二维码中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 10.（24-25九年级上·湖南湘西·期末）一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为_____． 【答案】4 【分析】此题考查了用频率估计概率，掌握“经过大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在一个常数，这个常数等于该事件发生的概率”，据此即可解答． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到白球的频率稳定在， ∴箱子里球的总个数（个）， ∴红球的个数（个）， 故答案为：4． 11.（2025·湖南怀化·二模）某校为丰富学生的课间活动内容，开设了A：篮球、B：足球、C：跳远、D：跳绳四个活动场地，为了解学生对这4项活动的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，将数据进行整理并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_____． (3)该校共有6000名学生，请你估计该校有多少名学生选择跳绳． (4)甲、乙两名学生要选择参加活动，若他们每人从A，B，C，D四类活动中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类活动的概率． 【答案】(1)见详解 (2) (3)2400名 (4) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图，利用画树状图或列表法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据C选项的人数和占比求出总人数，进而可求出选项D的人数，即可补全条形统计图． （2）用360度乘以A选项人数的占比即可． （3）用样本估计总体即可． （4）画出树状图求概率即可． 【详解】（1）解：总人数有：人， 参加D项活动的人数有：（人） 补全条形统计图如下： （2）解： （3）解：(名) （4）解∶ 由题意，画树状图如下： 由图可知，甲、乙两名学生选择参加四类活动的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，则两人恰好选择同一类的概率为， 12.（2025·湖南长沙·二模）某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图、图两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： (1)九年级接受调查的同学共有多少名？并补全条形统计图； (2)九年级共有名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名； (3)若喜欢“交流谈心”的名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率． 【答案】(1)九年级接受调查的同学共有名，补全条形统计图见解析； (2)估计该校九年级听音乐减压的学生有名； (3)选取的两名同学都是女生的概率为． 【分析】本题考查了用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可求得总人数，求出听音乐的人数即可补全条形统计图； （）用总人数乘以样本中“听音乐”人数所占比例即可求解； （）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案 ． 【详解】（1）解：九年级接受调查的同学总数为（名），   则“听音乐”的人数为（名）， 补全图形如下： （2）解：估计该校九年级听音乐减压的学生约有（名）， 答：估计该校九年级听音乐减压的学生有名； （3）解：画树状图如图， ∵共有种等可能的结果，同时选出的两名同学都是女生得有种情况， ∴选取的两名同学都是女生的概率为． 13.（2025·湖南永州·模拟预测）为落实“双减”政策，增强学生体质，阳光中学积极开展体育健身活动．了解初三学生的投篮命中率，组织了初三学生定点投篮，规定每人投篮3次．现对初三（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．      (1)初三（1）班的学生投中2次的人数为___________人，扇形统计图中___________； (2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为___________； (3)在投中3次的学生中，有2名男生2名女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)：22，55 (2) (3) 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表或画树状图法求概率，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图间的信息进行关联，掌握列表或画树状图法求概率的原理． （1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，除以总人数即可求出所占的百分数； （2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可； （3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解． 【详解】（1）解：九年级（1）班的学生人数（人）， 投中2次的人数为：（人）， 扇形统计图中， 故答案为：22，55； （2）解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为：， 故答案为：； （3）解：画树状图如下：    由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到2名男生的情况有2种， ， 即恰好抽到2名男生的概率是． 14.（2025·湖南岳阳·一模）2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）： 市民最关注的比赛项目人数统计表 比赛项目 关注人数 42 30 (1)直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数； (2)若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？ (3)为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 【答案】(1)，， (2)4000人 (3) 【分析】本题考查统计表和扇形统计图，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体，树状图求概率等知识，正确识图是解题的关键． （1）先算出总人数，再运用总人数乘上，得出的值，再求出的值，然后计算D的占比，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． （3）先画树状图，得出共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人）， ∴（人）， ∴（人）， ∴D所在扇形圆心角的度数为：， （2）解：依题意，（人） 答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人． （3）解：根据题意，画出树状图如下图： 根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果， 其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：． 15.（2025·湖南长沙·模拟预测）为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图． (1)在本次调查中，一共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______； (3)若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人； (4)此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率． 【答案】(1)40 (2)作图见解析， (3)225 (4) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，列表或画树状图求概率，读懂条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键． （1）利用A选项的人数除以其占比即可求解； （2）根据抽取的总人数求出B选项的人数，再补全统计图即可，用乘以B项的占比即可求解圆心角； （3）用总人数600人乘以D的占比即可； （4）画树状图得出所有等可能的结果数和小数和小学恰好去同一个研学基地的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：40； （2）解：B中人数：，， 补全条形统计图如图： 故答案为：； （3）解：（人）， 故答案为：225； （4）解：画树状图如下： 总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种， ∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为． 1．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（、等），当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． 故选：B． 2．（2025·河南·中考真题）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 3．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 4．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2025·青海西宁·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【分析】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键． 根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解． 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 6．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种， ∴． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为， 故答案为：． 8．（2025·湖北·中考真题）窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是______． 【答案】 【分析】该题考查了概率公式，根据概率公式求解即可． 【详解】解：共有“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”三种窗格， 故选中“步步锦”的概率是， 故答案为：． 9．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可能的情况和符合条件的情况是解题的关键． 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种， 则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为． 故答案为：． 10．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 11．（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 12．（2025·四川遂宁·中考真题）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（），，；（）补图见解析；（）人；（） 【分析】（）由组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （）根据（）所得组学生人数补全频数分布直方图即可； （）用乘以成绩不低于分的人数占比即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴本次共抽取了名学生的模具设计成绩， ∴组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数， ∴中位数分， 组对应圆心角的度数为， 故答案为：，，； （）补全频数分布直方图如下： （）， 答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人； （）画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 13．（2025·山东东营·中考真题）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建（烹饪）、（种植）、（陶艺）、（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题：      (1)参加这次调查的学生总人数为多少？将条形统计图补充完整； (2)请计算扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角； (3)若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择小组的学生人数． (4)若该校在，，，四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目和的概率． 【答案】(1)，补充条形统计图见解析 (2) (3)估计选择D小组的学生人数为500人 (4) 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，利用列表法求概率，掌握由样本百分比估算总体数量的方法，圆心角的计算方法，列表法是解题的关键． （1）根据C组的人数与占比计算求解调查总人数，由此得到B组人数，即可补全条形图； （2）根据圆心角的计算方法求解即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可求解； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：调查总人数为：（人）； 选择B人数为：（人）； 答：参加调查的总人数为180人， 补全条形图如下， （2）解：， 答：B部分扇形所对应的圆心角为； （3）解：（人）， 答：估计选择D小组的学生人数为500人． （4）解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种， ∴． 14．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】(1) (2)，见详解 (3) 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 15．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90 (2)统计图见解析 (3) 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $