第13讲 二次函数的图像与性质（复习讲义，4考点13题型4重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数专题，覆盖概念、图像性质、变换及与方程不等式关系等核心考点，通过考情剖析、知识导航、考点解析、分层训练构建系统复习体系，助力学生突破重难点。 亮点在于“重难突破”模块设计，如铅锤法求面积、存在性问题探究等策略，培养学生数学思维与创新意识。分层练习配合真题训练，确保高效提升应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

第三章 函数 第13讲 二次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 二次函数的相关概念 题型01 二次函数的概念 题型02 用待定系数法求二次函数解析式 命题点二 二次函数的图像与性质 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 题型03 比较二次函数函数值大小 题型04 函数图像的综合判定 题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 题型06 二次函数的对称性 题型07 二次函数的最值问题 类型一 自变量x在实数范围内时求最值 类型二 自变量在特定范围内的时求最值 类型三 建立函数关系求最值 类型四 含参最值问题 命题点三 二次函数的图像变换 题型01平移变换 题型02对称变换与翻折变换 命题点四 二次函数与方程、不等式 题型01二次函数与x轴交点坐标的问题（方程） 题型02二次函数与不等式 05·重难突破·思维进阶难 30 突破一 铅锤法求与二次函数有关的面积 突破二 线段的最值问题 突破三 与二次函数有关的存在性问题 突破四 与二次函数有关的新定义问题 06·优题精选·练能提分 37 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 二次函数的概念与表达式 湖南省卷T26 长沙市卷T25 湖南省卷T25 长沙市卷T25 理解二次函数的概念（y=ax²+bx+c，a≠0），能根据已知条件确定二次函数解析式（一般式、顶点式、交点式）。 二次函数的图像与性质 湖南省卷 T26 长沙市卷T24 湖南省卷T26 长沙市卷T25 掌握二次函数图像特征（抛物线），理解a、b、c对图像的影响，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等性质。 二次函数的图形变换 湖南省卷 T26 长沙市卷T24 湖南省卷T26 长沙市卷T25 掌握二次函数图像的平移规律（左加右减，上加下减），能根据变换写出新函数解析式。 二次函数与方程、不等式 湖南省卷 T26 长沙市卷T25 湖南省卷T26 长沙市卷T25 理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，能通过图像判断方程根的情况、不等式解集。 命题预测 1. 基础考查稳定（选择题/填空题，3-6分） 概念与解析式：根据已知条件（三点、顶点、交点等）求解析式；图像性质：判断开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等基本性质；基础变换：简单的平移变换规律应用 2. 综合应用强化（解答题，8-12分） 与几何综合：常与三角形、四边形、圆等几何图形结合；动点问题：坐标系中动点的轨迹形成二次函数关系；最值问题：实际应用中的最大利润、最小成本等 3. 创新融合突出（压轴题，10-15分） 新定义函数：如"对偶函数"等创新概念的二次函数探究；跨模块综合：与一次函数、反比例函数、几何变换的综合；探究性问题：参数变化对函数性质的影响分析 4. 实际应用深化（应用题，6-10分） 建模应用：抛物线型实际问题（拱桥、投篮轨迹等）；优化问题：资源分配、路径规划等最优化问题；动态分析：随时间或其他因素变化的二次函数模型 备考建议 1.夯实基础性质：重点掌握二次函数的形式转化（一般式↔顶点式）、开口 / 顶点 / 对称轴的计算，确保基础题（如求顶点坐标、判断增减性）不丢分。 2.强化数形结合训练：多练习 “根据函数表达式画草图分析性质”“结合图像判断参数符号（如a、b、c的符号）” 的题目，提升图像分析能力。 3.突破实际应用与综合题：1）实际问题：总结 “利润 / 面积最值” 的建模步骤（设变量→列函数式→求最值）；2)几何综合题：梳理 “动点 + 二次函数”“存在性问题” 的解题逻辑（先表示坐标→列方程→分析解的合理性）。 4.关注创新题型：练习新定义背景下的二次函数题，培养材料阅读、信息提取能力，适应中考的灵活命题趋势。 考点一 二次函数的相关概念 1.二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 3.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 使用条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【解读】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 1.（2026·湖南常德·模拟）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 2.（2025·湖南湘西·模拟）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 3.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 考点二 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的图像特征与a，b，c及的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 1.（2025·湖南岳阳·一模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．函数的最大值是5 C．顶点坐标 D．当时，随的增大而增大 2.（2025·湖南娄底·三模）若二次函数的图象经过点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南娄底·二模）如图，已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于两点．下列结论中错误的有（   ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④（m为任意实数）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.（2025·湖南永州·三模）已知二次函数（是常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最小值是，则的值为（   ） A．4 B．或1 C． D．1 4.（2025·湖南岳阳·模拟预测）新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点三 二次函数的图像变换 1. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2. 二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 1.（2025·湖南郴州·一模）把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 2.（2025·湖南娄底·三模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 3.（2025·湖南长郡·二模）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 考点四 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 1.（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 (t为常数)与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标都满足，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南湘潭·创新班选拔题）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 3.（2025·湖南株洲·模拟）已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 4.（2025·湖南益阳·模拟预测）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 5.（2025·湖南岳阳·模拟）已知二次函数，则下列说法中正确的是（   ） ①当时，则方程有两个不同的实数根； ②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线； ③当时，若二次函数的图象与轴负半轴交于和，且，方程的解为，，若，则有． ④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则． A．①② B．①④ C．①③ D．③④ 命题点一 二次函数的相关概念 ►题型01 二次函数的概念 二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2. 忽略二次项系数不能为0的限制条件. 【典例】（2025·湖南长沙·学易金卷）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南长沙·月考）若二次函数的图象开口向上，则 ． 【变式2】（2025·湖南·模拟）当 时，是关于的二次函数． ►题型02 用待定系数法求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 【典例】（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)当时，的取值范围是 ； (3)方程的两根是 ； (4)当时，的取值范围是 ． 【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·月考）二次函数图象过、、三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且． (1)求的坐标； (2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数的图象过三点 (1)求函数的解析式； (2)问是否存在m，n()，使函数在范围内的最小值是，最大值是？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 命题点二 二次函数的图像与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 【典例】（2025·湖南株洲·一模）对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．过定点 C．有最小值 D．与轴一定有交点 【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟）当自变量时，下列函数随的增大而增大的是(  ) A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南·月考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ ►题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）将的图象先向上平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的新图象的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南武冈·中考模拟压轴卷）已知函数，当时，则y的取值范围为 ． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知反比例函数（为常数）的图象经过二次函数的图象的顶点A，下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．反比例函数的表达式为 C．该二次函数的图象与轴没有交点 D．点A关于轴对称的点的坐标为 【变式3】（2025·湖南张家界·二模）已知抛物线的解析式为． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)我们规定：若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上“点”．若抛物线上存在唯一的“点”，求出点的坐标． ►题型03 比较二次函数函数值大小 设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为 ．（用“<”号连接） 【变式1】（2025·湖南岳阳汨罗·模拟）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）已知抛物线经过点，，，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南岳阳·二模）如果一个函数的图像与直线有交点，我们称这个交点为这个函数的等值点（即横坐标与纵坐标的值相等）．如果二次函数有两个相异的等值点，，且，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型04 函数图像的综合判定 解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解. 【典例】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式1】（2025·湖南怀化·模拟）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ) A．B．C． D． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南张家界·模拟）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 【典例】（2025·湖南郴州·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④；⑤关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2025·湖南娄底·二模）如图，已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于两点．下列结论中错误的有（   ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④（m为任意实数）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4】（2025·湖南常德·三模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数为( ) A．个 B．个 C．个 D．个 ►题型06 二次函数的对称性 1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称的两点纵坐标相同，且这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2)若抛物线上有两点，则抛物线的对称轴方程为x= 3）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 4）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y） 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． (1)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (2)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (3)当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【变式1】（2025·湖南十三州市·一模）二位同学在研究函数（a为实数，且）时，甲发现当时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程必有两个不相等的实数根．则（　　） A．甲、乙的结论都错误 B．甲的结论正确，乙的结论错误 C．甲、乙的结论都正确 D．甲的结论错误，乙的结论正确 【变式2】（2025·湖南株洲·月模拟）已知，是抛物线上不同的两点，当时，恒有，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型07 二次函数的最值问题 类型一 自变量x在实数范围内时求最值 【典例】（2025·湖南·模拟预测）已知关于的二次函数的最小值为．当变化时，则的最大值为 ． 【变式1】（2025·湖南·一模）已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．6 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示∶ x … 0 1 3 … y … 2 5 5 … 有下列结论∶ ①抛物线的对称轴是直线； ②这个函数的最大值大于5； ③点B的坐标是； ④当时，． 其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【变式3】（2025·湖南常德·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 类型二 自变量在特定范围内的时求最值 【典例】（2025·湖南常德·二模）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 【变式1】（2025·湖南怀化·模拟）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，当且仅当某点的横纵坐标数值完全一致时，该点被定义为“完美点”．如若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“完美点”，已知二次函数(a是常数，)的图象上有且只有一个“完美点”，且当时，函数的最小值为，最大值为7，则m的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南郴州·模拟）已知函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)当时，求抛物线的顶点坐标与点C的坐标； (2)当时，求函数的表达式； (3)当时，函数有最小值，求m的值． 类型三 建立函数关系求最值 【典例】（2025·湖南张家界·模拟）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝＋mx＋5的图像上，则2a－b的最大值等于（    ） A．4 B．－4 C．－4.5 D．4.5 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A．8 B．6 C．12 D．14 【变式3】（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 类型四 含参最值问题 【典例】（2025·湖南张家界·模拟）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，当时，的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 命题点三 二次函数的图像变换 ►题型01 平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 【典例】（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线 (a为常数)，该函数图象的顶点为 M． (1)若 求顶点M的坐标； (2)将抛物线L先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线，其顶点为 与x轴交于点A 和点B(点A在点B的左侧)，且点 在直线 上，若 求a的值； (3)在（2）的条件下，点P为直线l下方抛物线上一动点，抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)，当 面积最大时，求点 P 的坐标和 面积的最大值． 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟）将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标为 ． 【变式2】（2025·湖南衡阳·联考模拟）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式3】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，其横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点M，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．在（2）的条件下，当线段的值最大时，连接．过点A的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线平行于直线交抛物线于另一点Q，连接．求证：直线必过一定点． ►题型02 对称变换与翻折变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 注意：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值. 【典例】1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）将函数的图象沿y轴翻折所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【变式2】（2025·湖南常德·模拟）如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟）项目式学习 材料一 某公园是某市最早的公园，承载着一代又一代人的美好记忆．下图为某项目小组为这个公园设计的公园大门上半部分的截面示意图，如图1所示，大门顶部呈抛物线型，水平横梁米，的最高点到的距离米，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 材料二  经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入，两条抛物线型的结构，如图2所示，其中两条抛物线，关于所在直线对称．，，为框架，点是与的交点，点是与的交点，，，． 材料三  为了大门更加稳固，在图2的基础上再加入一个矩形的框架，如图3所示，其中点，在上，点，分别在，上，且，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数关系式为 ①直接写出的长； ②要做一个与矩形框架同样大小的牌匾，上书“大同公园”四个大字，为使牌匾美观大气，需要矩形框架的宽度尽量做到最宽，请你求出的最大值． 【变式4】（2025·湖南武冈·模拟）已知：二次函数，当时，函数有最大值. (1)求此二次函数图象与坐标轴的交点； (2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值. 命题点四 二次函数与方程、不等式 ►题型01 二次函数与x轴交点坐标的问题（方程） 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 【变式1】（2025·湖南永州·模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为 ． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（2025·湖南祁阳·模拟）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标． 【变式4】（2025·湖南娄底·二模）如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值． ►题型02 二次函数与不等式 b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟）根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【变式3】（2025·湖南怀化·模拟）如图，已知抛物线，根据图象，回答下列问题：   (1)判断下列各代数式的符号：a，b，c，，，； (2)写出不等式的解集； (3)若方程，有两个不相等的实根，求k的取值范围． 突破一 铅锤法求与二次函数有关的面积 【典例】（2025·湖南娄底·二模）已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若抛物线上有一点M，使，求M点坐标点． 【变式1】（2025·湖南娄底·三模）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求的值． 【变式2】（2025·湖南娄底·三模）已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 突破二 线段的最值问题 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若是抛物线在第四象限图象上一点，过作轴于点，并交于点，过点作轴交于点，求线段的最大值； (3)如图2，、是抛物线在第四象限图象上两动点，连接，，它们交于点．若点与点的横坐标之和为4，求点的横坐标的值． 【变式2】（2025·湖南岳阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线与此新图象有且仅有三个交点．求当时，代数式的最大值． 【变式3】（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 突破三 与二次函数有关的存在性问题 【典例】（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【变式1】如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，与直线交于，两点．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若在第一象限的抛物线上有一点E，连接，求四边形面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【变式3】（2025·湖南衡阳·三模）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【变式4】（2025·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线． (1)求的值； (2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标； (3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长． 突破四 与二次函数有关的新定义问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：如果和都是关于的函数，那么我们把叫做的均值函数．例如，如果，，那么我们把叫做的均值函数． (1)已知的均值函数经过点，求的值； (2)已知的均值函数的顶点坐标为，求的最大值； (3)已知（且）． ①当时，的均值函数的最小值为，求的值； ②若的均值函数与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【变式1】（2025·湖南株洲·三模）定义，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”．下列关于“零和点”的说法中错误的是（   ） A．函数图象上的“零和点”就是原点 B．函数图象上“零和点”的横坐标为是2 C．函数图象上至少有一个“零和点” D．函数图象上有且只有一个“零和点” 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）我们约定：若抛物线：和抛物线：的顶点分别为不重合的两点与，同时满足：在的图象上，在的图象上．则称抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，根据该约定，完成下列问题： (1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”． ①：的“携手共进”抛物线一定经过______． ②：与：是互为“携手共进”的抛物线______． ③若两条抛物线是互为“携手共进”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数______． (2)若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“携手共进”的抛物线，且当时，抛物线最低点的纵坐标为，求m的值； (3)已知抛物线：的顶点为点A，与x轴交于点M、N，抛物线：的顶点为点B，与x轴交于点P、Q，若抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，且，请问线段AB是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各小题． (1)判断下列函数是否为“函数”，若是，在括号里打“”；若不是，则打“”． （    ）； （    ）； （    ）． (2)是否存在，两点，既是一次函数上的“点”，又是二次函数上的“点”？若存在，求出，的坐标（可用表示）；若不存在，说明理由． (3)若关于x的二次函数（是常数），同时满足下列三个条件：，，该函数截x轴得到的线段长度为，证明该函数是“函数”并求出的值． 1.（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 2.（2025·湖南·模拟）已知二次函数，y与x的部分对应取值如下表： x 0 1 y 1 2 1 则下列结论中正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当时， D．方程有两个不相等的实数根 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）已知反比例函数（为常数）的图象经过二次函数的图象的顶点A，下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．反比例函数的表达式为 C．该二次函数的图象与轴没有交点 D．点A关于轴对称的点的坐标为 4.（2025·湖南长沙·模拟预测）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为 ．（用“<”号连接） 5.（2025·湖南武冈·模拟）关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 6.（2025·湖南·三模）把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 7.（2025·湖南·模拟）已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8.（2025·湖南株洲·三模）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点，其中，下列四个结论，①；②当时，随自变量的增大而增大；③与的另一个交点的横坐标为；④当时，．正确的结论有 （在横线上填写序号）． 9.（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 10.抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11.（2025·湖南·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为 y（cm2），则y关于x的函数图象是（    ） A．B． C． D． 12.（2024·湖南娄底·三模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13.（2025·湖南长沙·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，若直线与该二次函数的图象的另一个交点为，与反比例函数的图象只有一个交点，判断点纵坐标的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作直线平行于轴，交抛物线于点F，H（点在点左边），当点在直线下方抛物线上运动时，求的最大值． 14.（2025·湖南长沙·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“中考必胜函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“必胜点”． (1)判断以下函数上是否是“中考必胜函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”； ①________②________③________ (2)关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”吗？如果是，指出有多少个“必胜点”，如果不是，请说明理由； (3)若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“必胜点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值． 15.（2025·湖南长沙·二模）定义：一个点的横坐标的平方与常数t的和等于纵坐标，则称该点为“t阶平方点”． (1)下列函数存在“0阶平方点”的是 ． ①； ②； ③； (2)若一次函数上有且仅有一个“t阶平方点”，且该“t阶平方点”关于的对称点也是“t阶平方点”，求n的值． (3)已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，其中，点C是横坐标为0的“t阶平方点”，且，F为y轴上一点，直线，上的另外一个“t阶平方点”分别为点D，E，若同时满足下列两个条件： ①， ②四边形是菱形； 设该菱形的面积为m，且当时，函数的最大值等于，求t的值． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为 ． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 3.（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 4.（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 5.（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 6.（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 7.（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 8.（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第13讲 二次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 17 命题点一 二次函数的相关概念 题型01 二次函数的概念 题型02 用待定系数法求二次函数解析式 命题点二 二次函数的图像与性质 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 题型03 比较二次函数函数值大小 题型04 函数图像的综合判定 题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 题型06 二次函数的对称性 题型07 二次函数的最值问题 类型一 自变量x在实数范围内时求最值 类型二 自变量在特定范围内的时求最值 类型三 建立函数关系求最值 类型四 含参最值问题 命题点三 二次函数的图像变换 题型01平移变换 题型02对称变换与翻折变换 命题点四 二次函数与方程、不等式 题型01二次函数与x轴交点坐标的问题（方程） 题型02二次函数与不等式 05·重难突破·思维进阶难 87 突破一 铅锤法求与二次函数有关的面积 突破二 线段的最值问题 突破三 与二次函数有关的存在性问题 突破四 与二次函数有关的新定义问题 06·优题精选·练能提分 128 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 二次函数的概念与表达式 湖南省卷T26 长沙市卷T25 湖南省卷T25 长沙市卷T25 理解二次函数的概念（y=ax²+bx+c，a≠0），能根据已知条件确定二次函数解析式（一般式、顶点式、交点式）。 二次函数的图像与性质 湖南省卷 T26 长沙市卷T24 湖南省卷T26 长沙市卷T25 掌握二次函数图像特征（抛物线），理解a、b、c对图像的影响，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等性质。 二次函数的图形变换 湖南省卷 T26 长沙市卷T24 湖南省卷T26 长沙市卷T25 掌握二次函数图像的平移规律（左加右减，上加下减），能根据变换写出新函数解析式。 二次函数与方程、不等式 湖南省卷 T26 长沙市卷T25 湖南省卷T26 长沙市卷T25 理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，能通过图像判断方程根的情况、不等式解集。 命题预测 1. 基础考查稳定（选择题/填空题，3-6分） 概念与解析式：根据已知条件（三点、顶点、交点等）求解析式；图像性质：判断开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等基本性质；基础变换：简单的平移变换规律应用 2. 综合应用强化（解答题，8-12分） 与几何综合：常与三角形、四边形、圆等几何图形结合；动点问题：坐标系中动点的轨迹形成二次函数关系；最值问题：实际应用中的最大利润、最小成本等 3. 创新融合突出（压轴题，10-15分） 新定义函数：如"对偶函数"等创新概念的二次函数探究；跨模块综合：与一次函数、反比例函数、几何变换的综合；探究性问题：参数变化对函数性质的影响分析 4. 实际应用深化（应用题，6-10分） 建模应用：抛物线型实际问题（拱桥、投篮轨迹等）；优化问题：资源分配、路径规划等最优化问题；动态分析：随时间或其他因素变化的二次函数模型 备考建议 1.夯实基础性质：重点掌握二次函数的形式转化（一般式↔顶点式）、开口 / 顶点 / 对称轴的计算，确保基础题（如求顶点坐标、判断增减性）不丢分。 2.强化数形结合训练：多练习 “根据函数表达式画草图分析性质”“结合图像判断参数符号（如a、b、c的符号）” 的题目，提升图像分析能力。 3.突破实际应用与综合题：1）实际问题：总结 “利润 / 面积最值” 的建模步骤（设变量→列函数式→求最值）；2)几何综合题：梳理 “动点 + 二次函数”“存在性问题” 的解题逻辑（先表示坐标→列方程→分析解的合理性）。 4.关注创新题型：练习新定义背景下的二次函数题，培养材料阅读、信息提取能力，适应中考的灵活命题趋势。 考点一 二次函数的相关概念 1.二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 3.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 使用条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【解读】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 1.（2026·湖南常德·模拟）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次． 【详解】解：选项A：，为一次函数，不是二次函数； 选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； 选项C：，是整式，，一定为二次函数； 选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选C． 2.（2025·湖南湘西·模拟）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【答案】敏敏 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 3.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）已知抛物线经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若随的增大而减小，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数增减性是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线， 得， 解得， 该抛物线的解析式为． （2）解：由得，该抛物线的对称轴为， ， 当时，随的增大而减小， ∴x的取值范围为． 考点二 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的图像特征与a，b，c及的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 1.（2025·湖南岳阳·一模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．函数的最大值是5 C．顶点坐标 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小,据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、对于抛物线的，开口向下，选项说法正确，符合题意； B、对于抛物线，开口向下，在时，函数的最大值是3，选项说法不正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法不正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法不正确，不符合题意； 故选：A． 2.（2025·湖南娄底·三模）若二次函数的图象经过点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数离对称轴越远，函数值越大即可求解． 【详解】解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，，， ∴， 故选：A． 3.（2025·湖南娄底·二模）如图，已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于两点．下列结论中错误的有（   ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④（m为任意实数）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点． 对于①，先确定a，b，c的值，进而判断；先求出对称轴，再根据点离对称轴的距离，及抛物线的增减性判断②；根据，，代入函数关系式，即可判断③；根据二次函数的最值，可判断④． 【详解】解：由图象开口向上，可知，图象交y轴负半轴，可知， ∵抛物线与轴交于，， ∴对称轴， ∴． ∴，故①错误； 二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，， 该函数的对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵，抛物线开口向上，在抛物线上，点到对称轴距离越远，函数值越大， 则，故②错误； 时，， ；故③正确； 对称轴是直线，， 当，有最小值， ， ，故④错误； 综上所述：错误的有①②④，共3个． 故选：D． 4.（2025·湖南永州·三模）已知二次函数（是常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最小值是，则的值为（   ） A．4 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最小值是，在对称轴的右边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为1． 故选：D． 4.（2025·湖南岳阳·模拟预测）新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，理解“图象数”的定义是解题关键．由“图象数”可知二次函数为，则对称轴为直线，再求出点的坐标，根据二次函数图象的开口方程和增减性求解即可． 【详解】解：由题意可知，“图象数”为的二次函数为， 对称轴为直线， ， ， 解得：或， 或， ， 二次函数图象开口向上， 当时，的取值范围为， 故选：A 考点三 二次函数的图像变换 1. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2. 二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 1.（2025·湖南郴州·一模）把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 2.（2025·湖南娄底·三模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据平移方式可得出抛物线C2的解析式．再根据点（4，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点（4，n）代入两个解析式求值即可． 【详解】将抛物线C1：向右平移m个单位长度后C2的解析式为：． ∵点（4，n）为“平衡点”， ∴点（4，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ∴， 解得：（舍）或， 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图象的平移和二次函数图象上点的坐标特征．理解题意，掌握“平衡点”的定义是解题关键． 3.（2025·湖南长郡·二模）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 【答案】12． 【分析】连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可． 【详解】解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D， 由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′， ∴四边形APP′A′是平行四边形， ∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2）， ∴PO2，∠AOP＝45°， 又∵AD⊥OP， ∴△ADO是等腰直角三角形， ∴PP′＝22＝4， ∴AD＝DO＝sin45°•OA3， ∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：412． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AB， 是解题关键． 考点四 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 1.（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 (t为常数)与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标都满足，则t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数图象的交点，解题的关键是将两函数图象的交点求解转化为二次函数图象与x轴的交点问题．将函数图象的交点转化一元二次方程的解，进而转化为二次函数与x轴的交点问题，然后根据二次函数的性质以及x的取值范围求得t的取值范围即可． 【详解】解：抛物线 (t为常数)与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标都满足， ∴方程即在范围内有两个不相等的实数根， 问题转化为二次函数的图象在范围内与x轴有两个交点， 由二次函数性质知，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 且当和时，， ∴，解得， 故选：D． 2.（2024·湖南湘潭·创新班选拔题）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 3.（2025·湖南株洲·模拟）已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， ∴当对应的的值一定有， ∴一元二次方程的解的范围是． 故选：C． 4.（2025·湖南益阳·模拟预测）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 5.（2025·湖南岳阳·模拟）已知二次函数，则下列说法中正确的是（   ） ①当时，则方程有两个不同的实数根； ②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线； ③当时，若二次函数的图象与轴负半轴交于和，且，方程的解为，，若，则有． ④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则． A．①② B．①④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】题目主要考查二次函数的性质及与一元二次方程的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的性质，作出相应草图，依次判断即可． 【详解】解：①，， ∴， ∴方程有两个不同的实数根，正确； ②，当时，， ∵二次函数的图象过点， ∴该图象的对称轴为直线，错误； ③如图所示，画草图如下： 方程的解可看作与交点的横坐标， 由图可得：，错误； ④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，， ∴当时，即有两个根， 对应的二次函数为，开口向下， ∵， ∴当时，，整理得，正确； 综上可得：正确的有①④， 故选：B． 命题点一 二次函数的相关概念 ►题型01 二次函数的概念 二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2. 忽略二次项系数不能为0的限制条件. 【典例】（2025·湖南长沙·学易金卷）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（2026·湖南长沙·月考）若二次函数的图象开口向上，则 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数的定义，函数表达式需满足指数为2，且二次项系数大于0以确保开口向上． 本题考查了二次函数的定义和开口方向，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上， ∴ 且， 由 得， 解得 或； 当 时，，满足条件； 当 时，，不符合二次函数定义（二次项系数不能为零）， 故． 故答案为：2． 【变式2】（2025·湖南·模拟）当 时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义明确“自变量最高次数为2且二次项系数不为0”这两个条件． 根据二次函数的定义，列出关于的条件：一是自变量的次数，二是二次项系数，求解并结合条件确定的值． 【详解】解：要使函数是关于的二次函数， 则的最高次数必须为2， 即， 且二次项系数． 解方程， 得， 所以． 当时，，函数化为，不是二次函数； 当时，，且指数，满足条件． 因此，． 故答案为． ►题型02 用待定系数法求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 【典例】（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)当时，的取值范围是 ； (3)方程的两根是 ； (4)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）当时，有最大值，当时，，从而求出范围； （）根据图象即可求解； （）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：根据图象可知抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）解：当时，有最大值，当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象可知，方程的两根是，， 故答案为：，； （4）解：根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 【变式1】（25-26九年级上·湖南益阳·月考）二次函数图象过、、三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且． (1)求的坐标； (2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)，最大值 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数解析式的求法，解答此题的关键是熟知二次函数的解析式为，顶点坐标公式为，． （1）根据、两点的坐标及点在轴正半轴上，且，求出点的坐标即可； （2）设二次函数的解析式为，把、、三点的坐标代入解析式，可求出、、的值，然后利用二次函数的性质求其最大值即可，也可通过两点式求出函数解析式，再求最值． 【详解】（1），， ，， ， ，即点的坐标为； （2）解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 由于这个函数图象过点，可以得到， 又由于该图象过点，， 则， 解方程组，得， 所求的函数解析式为． ， 当时，有最大值； 解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为， 点在图象上， 把坐标代入得：，解得：， 所求的二次函数解析式为， 点，的坐标分别是点，， 线段的中点坐标为，即抛物线的对称轴为直线， ， 当时，有最大值，为． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数的图象过三点 (1)求函数的解析式； (2)问是否存在m，n()，使函数在范围内的最小值是，最大值是？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，关键是分情况讨论和根据特征点解题． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论，分别根据二次函数的图像与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过， ∴， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 对于，对称轴为直线， ∴①当时，函数在范围内，随增大而减小， ∴当时，，时，， ∴，， 两式相减得：， ∴或，均不符合题意，舍； ②当时，函数在范围内，随增大而增大， ∴当时，，时，， ∴，， 解得：或；或， ∴满足题意得话：，； ③当时， 此时当时，， 解得：，不符合题意，舍， 综上所述：，． 命题点二 二次函数的图像与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 【典例】（2025·湖南株洲·一模）对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．过定点 C．有最小值 D．与轴一定有交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴抛物线开口向上，故该选项正确，不符合题意； B.当时，函数值， ∴抛物线过定点，该选项正确，不符合题意； C.抛物线爱你开口向上，有最小值，该选项正确，不符合题意； D.，当时，，抛物线与轴无交点，该选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟）当自变量时，下列函数随的增大而增大的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，一次函数当大于时随增大而增大，二次函数当开口向下时在对称轴右侧随增大而减小． 【详解】A．，，随增大而减小； B．，，开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小； C．，，随增大而增大； D．，，开口向下，对称轴，当时，随增大而减小． 故选：C． 【变式2】（2026·湖南·月考）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴的性质，开口方向，增减性以及解不等式组的解集等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴为直线，结合开口向上，即可判断①；把代入，再化为顶点式，即可判断②；结合开口向上，抛物线在取到最小值，且为，即可判断③；根据增减性且把和分别代入，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 则开口向上， 则当时，随的增大而增大； 故①是正确的； ∵， ∴， 当时，， ∴抛物线经过坐标原点； 故②是正确的； ∵的对称轴为直线， ∴把代入， 得， ∵，开口向上，在取到最小值，且为， 不论为何值，； 故③是错误的； ∵在时，随的增大而增大，且关于的一元二次方程在的范围内有实数根， ∴， ∴， ∴， 故④是错误的； 故选：A． ►题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）将的图象先向上平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的新图象的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，把化成顶点式等知识点，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 先把化成顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可直接得出答案． 【详解】解： ， 将的图象先向上平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的新图象的解析式为： ， 故选：． 【变式1】（2025·湖南武冈·中考模拟压轴卷）已知函数，当时，则y的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】先把该二次函数的解析式化为顶点式，然后确定函数图像的开口方向和顶点坐标，即求得函数的最小值，再分别求得和时的函数值，最后归纳即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数图像开口方向向上，顶点坐标为， ∴时，有最小值， ∵当时，；当时，； ∴当时，y的范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特点等知识点，根据题意得出二次函数的顶点坐标是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知反比例函数（为常数）的图象经过二次函数的图象的顶点A，下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．反比例函数的表达式为 C．该二次函数的图象与轴没有交点 D．点A关于轴对称的点的坐标为 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、反比例函数的表达式以及关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是会求顶点坐标．先求出二次函数的顶点坐标，再代入反比例函数求出表达式，然后逐一分析选项． 【详解】A．，点的坐标为，故错误，本选项不符合题意； B．将点代入反比例函数，解得，故正确，故本选项符合题意； C．当时，有，该二次函数的图象与轴有两个交点，故错误，本选项不符合题意； D．点关于轴对称的点的坐标为，故错误，本选项不符合题意． 故选B． 【变式3】（2025·湖南张家界·二模）已知抛物线的解析式为． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)我们规定：若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上“点”．若抛物线上存在唯一的“点”，求出点的坐标． 【答案】(1)顶点的坐标为 (2)点的坐标是 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握一次函数与二次函数的性质． （1）将解析式化为顶点式，即可解答； （2）根据题意整理得方程，由可求得a的值，进而解方程得x的值，可得P的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的顶点的坐标为． （2）解：∵点，满足， ∴点在直线上运动， 根据题意联立方程组，得 消去得， 即． ∵抛物线上存在唯一的“点”， ∴，解得， 将代入0， 得， 解方程，得， 将代入， 得， 所以点的坐标是． ►题型03 比较二次函数函数值大小 设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为 ．（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握抛物线开放向向下时，距离对称轴越远的点的函数值越小成为解题的关键． 先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵函数（为常数）， ∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南岳阳汨罗·模拟）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④． 【详解】解：∵抛物线（a是常数，， ∴， 故①正确； 当时，， ∴点在抛物线上， 故②正确； 当时，， 当时，， 故③错误； 根据对称点的坐标得到， ， 故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）已知抛物线经过点，，，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，抛物线上的点离对称轴越近，则对应的函数值越小，反之越大，根据这一特点即可作出选择． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，开口向上， ， 点B离对称轴最近，其次是点C，点A离对称轴最远， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握当抛物线开口向上时，抛物线上的点离对称轴越近，则对应的函数值越小或越大，反之越大或越小，是解题的关键． 【变式3】（2025·湖南岳阳·二模）如果一个函数的图像与直线有交点，我们称这个交点为这个函数的等值点（即横坐标与纵坐标的值相等）．如果二次函数有两个相异的等值点，，且，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数和方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，根据题意得方程有两个不相等的实数根，进而得，，，再根据得，再得关于c的不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意可得方程，即有两个不相等的实数根， ∴，，， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上，c的取值范围是， 故选：D． ►题型04 函数图像的综合判定 解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解. 【典例】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函数图象确定、的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴交点情况，从而判断二次函数图象． 【详解】解：从一次函数的图象来看， 图象从左到右上升， ； 图象与轴交点在正半轴，即当时，， ． 对于二次函数： ， 二次函数图象开口向上，排除、选项； 对称轴为， ，， ，即对称轴在轴右侧； 当时，，即二次函数与轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是选项． 故选： ． 【变式1】（2025·湖南怀化·模拟）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ) A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的图象可得再分析反比例与一次函数的图象即可． 【详解】由抛物线图像可知， 所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限． 故选D 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． 【变式3】（2025·湖南张家界·模拟）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当时，，即与轴交于点； ∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意； B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意； C、D选项均不符合该种情况； 当时，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D ． 【变式3】（2025·湖南·模拟）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． ►题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 【典例】（2025·湖南郴州·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象与y轴的交点可判断A；根据图象与x轴的交点可判断B、D；根据图象的开口方向、对称轴以及时的函数值可判断C，进而可得答案． 【详解】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交， ∴，故选项A结论错误，不符合题意； ∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，故选项B结论错误，不符合题意； ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， ∵当时，， ∴，即，故选项C结论正确，符合题意； ∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线， ∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间， ∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④；⑤关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断、、与0的大小关系，从而可判定①；然后将由对称轴可知，可判定②；由图象知当时，，可判定③；图象过代入二次函数中可得，由，则，可判定④；由二次函数最小值小于0，从而可判断有两个不相同的解，可判定⑤． 【详解】解：①由图可知：，，， ， ， 故①错误，不符合题意； ②由题意可知：， ， 故②正确，符合题意； ③由图象可知：当时，，即， 故③正确，符合题意； ④将代入， ， ， ， 故④正确； 由图象可知：二次函数的最小值小于0， 方程有两个不相同的解， 故⑤错误． ∴正确的有②③④共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出、、的数量关系，本题属于基础题型． 【变式3】（2025·湖南娄底·二模）如图，已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于两点．下列结论中错误的有（   ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④（m为任意实数）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点． 对于①，先确定a，b，c的值，进而判断；先求出对称轴，再根据点离对称轴的距离，及抛物线的增减性判断②；根据，，代入函数关系式，即可判断③；根据二次函数的最值，可判断④． 【详解】解：由图象开口向上，可知，图象交y轴负半轴，可知， ∵抛物线与轴交于，， ∴对称轴， ∴． ∴，故①错误； 二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，， 该函数的对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵，抛物线开口向上，在抛物线上，点到对称轴距离越远，函数值越大， 则，故②错误； 时，， ；故③正确； 对称轴是直线，， 当，有最小值， ， ，故④错误； 综上所述：错误的有①②④，共3个． 故选：D． 【变式4】（2025·湖南常德·三模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数为( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据抛物线图像的性质得到a的范围，根据对称轴和x轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③正确，由数形结合可得到④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为n， ∴对于任意实数m，， ∴，故③正确； ∵顶点坐标，且开口向下 ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④错误； 故选：B． 【点睛】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键． ►题型06 二次函数的对称性 1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称的两点纵坐标相同，且这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2)若抛物线上有两点，则抛物线的对称轴方程为x= 3）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 4）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y） 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． (1)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (2)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (3)当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)1或8 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可先求得抛物线的解析式，从而得到顶点坐标，即可得到值； （2）分情况讨论：当轴时，点，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案；当轴时，则，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案； （3）根据题意可知，求得的取值范围，然后用表示出点，的坐标，接着用表示出，，结合，得到关于的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 抛物线解析式为， 顶点坐标为， 点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为， ， 解得：. . （2）解：①轴， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， 当轴时，点，关于直线对称， ， ，则，， ，， 点与点的纵坐标的差为； ②轴 同理，当轴时，则，关于直线对称， ，，则， ，； 点与点的纵坐标的差为； 综上所述，点与点的纵坐标的差为1或8； （3）解：如图所示， ，都在对称轴的左侧，则， ， ，，即， ；， ， ，即， 解得：或（舍去）， 的值为． 【变式1】（2025·湖南十三州市·一模）二位同学在研究函数（a为实数，且）时，甲发现当时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程必有两个不相等的实数根．则（　　） A．甲、乙的结论都错误 B．甲的结论正确，乙的结论错误 C．甲、乙的结论都正确 D．甲的结论错误，乙的结论正确 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式及二次函数的对称性；先确定与x轴的两个交点的横坐标分别为和，再由二次函数的对称性求出顶点的横坐标，确定其范围；将化为，求判别式与0比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数与x轴的两个交点的横坐标分别为和， 由二次函数的对称性可知：函数顶点的横坐标为：， ∵，∴， ∴，此时y＜0 ∴函数的顶点一定在第四象限，故甲同学的结论正确； ∵， ∴，且， 其判别式， ∴方程必有两个实数根， 故甲同学结论正确，乙同学结论不正确， 故选：B． 【变式2】（2025·湖南株洲·月模拟）已知，是抛物线上不同的两点，当时，恒有，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和二次函数的对称轴可得抛物线的对称轴为，结合二次函数的图象和性质可求得，即得到抛物线的解析式；求得当时，；当时，，即可以推得抛物线与轴的交点坐标和其关于对称轴对称的点的坐标，推得当时，，结合题意即可求解． 【详解】解：∵，是抛物线上不同的两点， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴函数在时有最小值， ∴当或时，， 如图： ∵当时，恒有，即点A和点B在上， ∴t最大取到2，最小取到1， 又∵时，点A和点B重合，不符合题意； ∴t的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． ►题型07 二次函数的最值问题 类型一 自变量x在实数范围内时求最值 【典例】（2025·湖南·模拟预测）已知关于的二次函数的最小值为．当变化时，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴，最值的计算是关键． 根据题意得到当，二次函数的最小值为，由此得到，结合二次函数最值的计算即可求解． 【详解】解：关于的二次函数， ∵， ∴函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当，二次函数的最小值为， ∴， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向下， ∴当，的最大值为， 故答案为： ． 【变式1】（2025·湖南·一模）已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，二次函数的性质，由二次函数的性质得，，求出、的值，代值计算即可． 【详解】解：时，函数取最大值3， ， ， 解得：，， ， 故选：A． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示∶ x … 0 1 3 … y … 2 5 5 … 有下列结论∶ ①抛物线的对称轴是直线； ②这个函数的最大值大于5； ③点B的坐标是； ④当时，． 其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】C 【分析】选择其中的两个点坐标代入解析式，确定解析式后，解答即可. 本题考查了待定系数法，抛物线的性质，熟练掌握性质和待定系数法是解题的关键. 【详解】解：将代入得: ， 解得 ∴, ∴抛物线开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为,故①错误,②正确. ∵点A的坐标为, ∴点B的坐标为,故③错误. ∵, ∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离, ∴,故④正确, 故选：C. 【变式3】（2025·湖南常德·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 类型二 自变量在特定范围内的时求最值 【典例】（2025·湖南常德·二模）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线 函数的最大值为2，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键． 【详解】解：二次函数 ∴该函数的对称轴为直线， 函数的最大值为2， 当时， 时， 函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去)， 当 时， 时，函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去) ， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得：或(舍去)， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得或4(舍去)， 或， 故选：D． 【变式1】（2025·湖南怀化·模拟）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，当且仅当某点的横纵坐标数值完全一致时，该点被定义为“完美点”．如若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“完美点”，已知二次函数(a是常数，)的图象上有且只有一个“完美点”，且当时，函数的最小值为，最大值为7，则m的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键． 令，则，再利用建立方程解得，即可求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质进行分析即可． 【详解】解：令，则 ∴ 解得， ∴ ∵开口向下，顶点为， ∴的最大值为， ∵或时，， ∴当时，最小值为，则，且时， 解得， 故答案选：C 【变式3】（2025·湖南郴州·模拟）已知函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)当时，求抛物线的顶点坐标与点C的坐标； (2)当时，求函数的表达式； (3)当时，函数有最小值，求m的值． 【答案】(1)顶点坐标：， (2)抛物线为或； (3) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点坐标，函数的最值问题； （1）把代入，再进一步求解即可； （2）设，，可得，，结合，再建立方程求解即可； （3）由函数的对称轴为直线：，开口向上，可得当时，函数有最小值，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：当时，抛物线为：， ∴顶点坐标：， 当时，， ∴； （2）解：函数与x轴交于A、B两点， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，抛物线为与轴有两个交点，符合题意； 当时，抛物线为与轴有两个交点，符合题意； 综上：抛物线为或； （3）解：∵函数的对称轴为直线：，开口向上， 当时，函数有最小值， 当时， 当时，函数有最小值， 解得：， 当时， 当时，函数有最小值， 解得：， 当时， 当时，函数有最小值， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当时，函数有最小值，则. 类型三 建立函数关系求最值 【典例】（2025·湖南张家界·模拟）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为，此时． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． 【详解】（1）解：当时 ， ∴； （2）解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； （3）解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝＋mx＋5的图像上，则2a－b的最大值等于（    ） A．4 B．－4 C．－4.5 D．4.5 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴是y轴，得到m=0，于是抛物线变形为y=+5，把P（a，b）代入解析式，用含有a的代数式表示b，构造关于a的二次函数，配方法确定最值即可 【详解】∵点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝＋mx＋5的图像上， ∴m=0，b=+5， ∴2a－b=2a--5=， ∴当a=1时，有最大值，且为-4， 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，配方法求二次函数的最值，熟练掌握抛物线的对称轴，会借助函数的解析式变形代数式，准确转化为二次函数的最大值解答是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（    ）． A．8 B．6 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了动点的函数图象性质的应用，结合图象分析题意是解题关键． 设，证明，列出关系式，结合图象求出值，进而求出矩形面积． 【详解】解：根据图2得， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∴， 当时，有最大值， ， ∴矩形的面积为 12 ， 故选：C． 【变式3】（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义： 点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴， ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴对称轴， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为， ∴， 即． 类型四 含参最值问题 【典例】（2025·湖南张家界·模拟）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①根据当时，该函数最小值为求解即可；②由称轴在直线与之间可知当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意），则，分别求出最小值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， （2）解：①， ∴抛物选开口向上， ， ∴当时，该函数最小值为 ∵该函数的最小值为， ， ∴， ②∵抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等 当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意） 当时， 当时， ∵两个函数的最小值相等， ，即 【点睛】本题考查二次函数的对称轴与最值，涉及的知识点是二次函数的对称轴公式、顶点式变形、函数的单调性．解题中用到的方法是 “顶点式分析法”，通过将函数化为顶点式，快速确定对称轴与最值；解题关键是根据的符号判断函数的开口方向，进而确定最值的位置．易错点是忽略的符号对函数开口方向的影响，误判最值的位置． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则可得当时，取得最大值，由此即可得． 【详解】解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． (1)若，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，当时，的取值范围； (3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，将抛物线的解析式化为顶点式即可得解； （2）由（1）可得当时，有最小值为，再分别求出当和时的的值，即可得解； （3）由二次函数的解析式可得二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为，结合题意可得直线在内，求得，求出当时，；当时，；再分两种情况：当，即时；当，即；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴若，抛物线顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴当时，有最小值为， 当时，，当时，， 故当时，的取值范围为； （3）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线，二次函数的开口向上，当时，取得最小值为， ∵当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴直线在内， ∴， 解得：， 当时，；当时，； ∵的最大值与的最小值的差等于3， ∴当，即时，当时，有最大值，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当，即时，当时，有最大值，即，故不符合题意； 综上所述，． 命题点三 二次函数的图像变换 ►题型01 平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 【典例】（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线 (a为常数)，该函数图象的顶点为 M． (1)若 求顶点M的坐标； (2)将抛物线L先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线，其顶点为 与x轴交于点A 和点B(点A在点B的左侧)，且点 在直线 上，若 求a的值； (3)在（2）的条件下，点P为直线l下方抛物线上一动点，抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)，当 面积最大时，求点 P 的坐标和 面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值，此时 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数与面积综合； （1）由得到抛物线顶点坐标为，把代入计算即可； （2）平移后得到抛物线解析式为，则顶点为，代入得到，再根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，先联立抛物线和直线l求出，，过作轴交直线l于，设，则，则，，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当时，顶点M的坐标为； （2）解：将抛物线先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线解析式为， ∴顶点为， ∵点 在直线 上， ∴， 整理得， 令解得， ∵与x轴交于点和点 (点A在点B的左侧)， ∴，， ∴， 整理得， 联立，解得； （3）解：在（2）的条件下，， 联立，解得或， ∵抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)， ∴，， 过作轴交直线l于，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时． 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟）将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线， ∴抛物线顶点坐标是． 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南衡阳·联考模拟）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 【变式3】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，其横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点M，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．在（2）的条件下，当线段的值最大时，连接．过点A的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线平行于直线交抛物线于另一点Q，连接．求证：直线必过一定点． 【答案】(1) (2)线段的最大值为，此时点P的坐标为 (3)见解析 【分析】（1）将点，代入中，得二元一次方程，解方程即可； （2）过点P作轴交于点N，求出，则当最大时，也最大，用待定系数法求出直线的表达式为，设，，得，利用二次函数的性质求最值，进而可得答案； （3）根据二次函数平移的性质得拋物线的表达式为，令，，利用待定系求法求出直线的表达式为，再根据直线过点得，依次求得直线、、的解析式，当时，，即可得出结论． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点P作轴交于点N， 在中，令得， 点C的坐标为， 点B的坐标为， ， ， 轴， ， ， ， 则当最大时，也最大， 设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为， 设，， ， 当时，最大，最大为， 则， 线段的最大值为，此时点P的坐标为； （3）证明：， 将抛物线平移后得到拋物线的表达式为，如图所示， 令，， 设直线的表达式为， 把，两点代入， 得， 解得， 则直线的表达式为， 直线过点， ， ， 点D在抛物线上，且其横坐标为， ， 由（2）知，得直线的表达式为， ，且， 直线的表达式为， 当时， 解得（舍去），， ， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， ， 直线的表达式为， 当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平移的性质，一次函数的性质． ►题型02 对称变换与翻折变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 注意：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值. 【典例】1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） 我 A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知的对称轴为直线，根据函数的性质可知当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，进而可排除A、B选项，对于C选项可看作直线与的交点问题，对于D选项可通过图象进行求解． 【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误； 由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 如图， 由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确； 如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误； 故选C． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）将函数的图象沿y轴翻折所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称，熟练掌握二次函数的对称点的特征是解题的关键． 根据关于y轴对称的点的特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变，将原函数中的x替换为即可得到新函数表达式． 【详解】解：函数的图象沿y轴翻折后，变为， 将替换为得， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南常德·模拟）如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与与与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟）项目式学习 材料一 某公园是某市最早的公园，承载着一代又一代人的美好记忆．下图为某项目小组为这个公园设计的公园大门上半部分的截面示意图，如图1所示，大门顶部呈抛物线型，水平横梁米，的最高点到的距离米，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 材料二  经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入，两条抛物线型的结构，如图2所示，其中两条抛物线，关于所在直线对称．，，为框架，点是与的交点，点是与的交点，，，． 材料三  为了大门更加稳固，在图2的基础上再加入一个矩形的框架，如图3所示，其中点，在上，点，分别在，上，且，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数关系式为 ①直接写出的长； ②要做一个与矩形框架同样大小的牌匾，上书“大同公园”四个大字，为使牌匾美观大气，需要矩形框架的宽度尽量做到最宽，请你求出的最大值． 【答案】(1)的函数解析式为 (2)①12米；②的最大值为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意得到，，，然后利用待定系数法即可解答； （2）①先联立与的解析式，求得点的横坐标，然后根据抛物线的对称性得到点的和坐标，即可解答；②设，其中，则，表示出，然后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， 设抛物线的函数解析式为， 将，代入得， 解得： 的函数解析式为； （2）解：①∵点是与的交点， ∴联立与的解析式，得 解得：或， ∴点是的横坐标为， ∵抛物线，关于所在直线对称，点是与的交点，，，， ∴点和点关于y轴对称， ∴点的横坐标为6， ∴， ∴的长为12； ②设，其中，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：的最大值为米． 【变式4】（2025·湖南武冈·模拟）已知：二次函数，当时，函数有最大值. (1)求此二次函数图象与坐标轴的交点； (2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值. 【答案】(1)抛物线与轴交于(0，-3)，与轴交于(-1，0)，(3，0)；(2)实数的最大值为3 【分析】(1)求出对称轴，结合，可知当时，随增大而增大，所以时，，把，代入解析式求出的值，然后解方程即可； (2)折叠部分对应的解析式：，根据求出的取值范围，即，再结合，即可求得实数的最大值. 【详解】(1)抛物线的对称轴为：. ∴，抛物线开口向上，大致图象如图所示. 当时，随增大而增大； ∵当时，函数有最大值， ∴当时，， ∴， 解得：. ∴ 当，， ，x2-2x-3=0， 解得：或， ∴抛物线与轴交于，抛物线与轴交于，. (2)∵关于的一元二次方程恒有实数根， ∴，即恒成立， ∴恒成立. ∵（1）中的抛物线解析式为y=x2-2x-3， ∴函数的最小值为=-4， ∵点是(1)中抛物线沿x轴翻折得到的抛物线弧部分上任意一点， ∴， ∴（k取值的下限）， ∴实数的最大值为3. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2-4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点．熟练掌握二次函数的性质是解题关键. 命题点四 二次函数与方程、不等式 ►题型01 二次函数与x轴交点坐标的问题（方程） 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南永州·模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接，，由抛物线的解析式可求出，，的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，利用相似三角形的判定和性质可求出的长，进而可求出的长． 本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键． 【详解】解：连接，， 抛物线的解析式为， 点的坐标为， 的长为， 设，则， 解得：或， ， ，， 为半圆的直径， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】∵二次函数的图象经过点（﹣1，0）， ∴方程一定有一个解为：x=﹣1， ∵抛物线的对称轴为：直线x=1， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0）， ∴方程的解为：，． 故选C． 【变式3】（2025·湖南祁阳·模拟）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】(1)，，直线的函数表达式为： (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式； （2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：令 ，， 设直线的函数表达式为：， 把代入得： ， 解得： ， 直线的函数表达式为：． （2）解：解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为 ，． ， ， ， 分两种情况： ①当时，得． 解得：，（舍去）， 当时，． 点的坐标为； ②当时，得． 解得：，（舍去）， 当时，， 点的坐标为． 当点是线段的三等分点时，点的坐标为或． 【变式4】（2025·湖南娄底·二模）如图1，抛物线与轴相交于点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)请直接写出点、、的坐标； (2)如图1，过定点的直线与此抛物线交于两点，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，若点、是此抛物线上的两个动点，且，连接，以、分别为切点作此抛物线的切线，两切线交于点，过点作轴交于点，求证：线段的长度为定值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)1 【分析】（1）分别令和求解即可； （2）首先求出顶点，如图所示，设点，连接，然后求出，然后根据求出，得到，然后表示出直线表达式为，然后与抛物线联立，求出，，然后代入求解即可； （3）设待定系数法求得直线的解析式为：，联立抛物线解析式得出，根据根与系数的关系得出，进而求得，得出，代入得，进而求得的长为定值，即可求解． 【详解】（1）∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，； （2）∵， ∴顶点， ∵过定点的直线与此抛物线交于两点， ∴如图所示，设点，连接， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将代入得，， ∴， ∴， ∴将直线和抛物线联立得， ， 整理得，， ∴，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为或； （3）证明：设， ， 则， ∴， 待定系数法求得直线的解析式为：， 联立， 解得， ， 设解析式为， 联立得， ∵与抛物线相切线交于点， ∴与抛物线只有1个交点，此交点为， 则， ， ， 同理可得， 联立， 解得：， 又∵ ， ， 则， ∵轴， ， 将代入， 得， ， ∴线段的长度为定值． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，面积问题，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键． ►题型02 二次函数与不等式 b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟）根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)①见解析；②，；③或 (2)①见解析；②，；③ (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数与不等式（组），数形结合是数学中的重要思想之一． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的开口方向以及抛物线的对称轴作出图象，根据图象写出不等式的解集； （2）参考（1）的解题过程进行计算； （3）参考（1）的解题过程进行计算，但是需要分类讨论：、、三种情况． 【详解】（1）解：①， 则该抛物线与x轴交点的坐标分别是，，且抛物线开口方向向下， 所以其大致图象如图①所示： ②由①知，方程的解为，； ③根据图示知，不等式的解集为或． 故答案为：，；或； （2）解：①构造函数，画出图象，如图②所示； ②当时，方程的解为：，； ③由图（2）知，不等式的解集是：； （3）解：当时，关于x的不等式的解集是或； 当时，关于x的不等式的解集是； 当时，关于x的不等式的解集是全体实数． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 【变式3】（2025·湖南怀化·模拟）如图，已知抛物线，根据图象，回答下列问题：   (1)判断下列各代数式的符号：a，b，c，，，； (2)写出不等式的解集； (3)若方程，有两个不相等的实根，求k的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程及不等式的关系． （1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，从而得出a、b、c的值，并能计算出，，的值； （2）先求出抛物线与x轴另一个交点的坐标，再根据图象写出不等式的解集，即时，所对应的x的取值； （3）抛物线与有两个不同的交点，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知其顶点坐标为，   ∴可设抛物线解析式为， 又∵图象过， ∴代入得：，得， ∴， ∴，，， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 由图可知：当时，，即， ； （2）解：由对称性得：抛物线与x轴另一个交点为，   ∴不等式的解集为或； （3）解：方程，有两个不相等的实根，相当于抛物线与有两个不同的交点，   ∴． 突破一 铅锤法求与二次函数有关的面积 【典例】（2025·湖南娄底·二模）已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若抛物线上有一点M，使，求M点坐标点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积的综合问题，全等三角形的构造，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N．由得到，可求直线的解析式为：．设，则，即可求解得最大值，即面积最大值； （3）过A作交于点K，作轴于点H，则，证明，求出，再求出直线表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：把点A，C的坐标代入， 得， 解得， ∴抛物线线的解析式为：； （2）解：∵点C的坐标为， ∴． 如图，过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N． ∵抛物线线的解析式为， 当，则， 解得：或， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 故直线的解析式为：． 设， 则， 当时，有最大值，此时四边形面积有最大值为； （3）解：如图，过A作交于点K，作轴于点H， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为 ， ， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（舍去），或， ． 【变式1】（2025·湖南娄底·三模）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求的值． 【答案】(1)； (2)面积的最大值是，点的坐标为； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入得到 ，解方程组求出的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得 的面积为，配方可得，从而可知当 时，的面积有最大值，，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为是抛物线与直线的交点，可得方程 ，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为，把点和点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ∴点的横坐标为，点H的纵坐标为， ， ， 整理得：， ∴可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）解：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 在一元二次方程中， ， ∴一元二次方程：有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为， ∴． 【变式2】（2025·湖南娄底·三模）已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B、C坐标，进而求出直线的表达式为，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再由，，列出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的表达式为， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 点的坐标为， 如图，过点作轴交于点． 设点的坐标为，则点的坐标为， ，， ， ， 当时，取最大值， 当时，， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的表达式为， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为3， 设， 由（2）得，， 分以下三种情况讨论： ①当为的对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ②当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得， ， ； ③当为的边，且为对角线时， ∵平行四边形对角线中点坐标相同， ， 解得 ， ． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 突破二 线段的最值问题 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得，，根据待定系数法，可得的解析式，根据解方程组，可得答案． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）设直线的解析式为， 则 解得， 直线的解析式为， 设，， 过点D作轴交于M点，如图1， 则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值是； （3）存在． 假设存在这样的点D，中有一个角与相等， 点F为的中点， ，， 过点B作，交的延长线于G点，过点G作轴，垂足为H，如图2， ①若， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得 直线的解析式为， 联立， 解得，或（舍）， ②若， 同理可得，，， ， 同理可得，直线的解析式为， ， 解得或（舍）， 综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数综合题，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标． 【变式1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若是抛物线在第四象限图象上一点，过作轴于点，并交于点，过点作轴交于点，求线段的最大值； (3)如图2，、是抛物线在第四象限图象上两动点，连接，，它们交于点．若点与点的横坐标之和为4，求点的横坐标的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，线段长度问题，一次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）利用交点��和直接写出抛物线方程； （2）通过坐标几何方法，推导和的长度表达式，并利用二次函数求最大值； （3） 设和的横坐标之和为 ，求出直线和的方程，解交点得横坐标恒为 ，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∵轴于点，轴交于点， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则， ∴ ∴当时，线段的最大值为； （3）解：设的横坐标为，根据题意可得 ∵、是抛物线在第四象限图象上两动点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 同理可得直线的解析式为： 联立 解得： 即点的横坐标的值为。 【变式2】（2025·湖南岳阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线与此新图象有且仅有三个交点．求当时，代数式的最大值． 【答案】(1)； (2)四边形周长的最小值为，； (3)当时，代数式的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）连接，利用对称性求得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）先求得翻折后的解析式为，推出直线与只有唯一的一个交点，利用根的判别式求得（舍去不符合题意的），求得代数式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象过点和， ∴， 解得， ∴此抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点， ∴点， 连接， 由函数的对称性质知， ∴四边形的周长， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ， ∴四边形周长的最小值为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：由题意得，抛物线在轴以下的部分沿轴翻折，翻折后的解析式为，如图， 当直线与图中的新图象只有三个交点时， 则直线与只有唯一的一个交点， 联立得， 整理得， 则， 解得或， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，代数式 ， ∵当时，的值随的增大而减少， 故当时，代数式的值最大； 当时，的值随的增大而增大， 故当时，代数式的值最大； 又∵当时，； 当时，； 而， ∴当时，代数式的最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、周长的计算、点的对称性、翻折变换等知识点，运算能力是本题解题的关键． 【变式3】（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在，的坐标为或 (3)的最小值为 【分析】（1）由解析式知，由，即，知，即，再把，代入中，即可解出、的值； （2）先求出，设，，当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时．再分别根据平行四边形的对角线性质列方程即可求解每种情形下的点坐标； （3）由待定系数法可知直线的表达式为，设，，则，即最大值为时，，此时,再求出,构造平行四边形，则由平行四边形性质可得，则，当且仅当A、、共线时取等号．由勾股定理得，即的最小值为，进而的最小值为． 【详解】（1）解：由抛物线可知，， ，即， ，即， 把，代入中， 得，解得， ∴抛物线表达式为。 （2）解：存在，理由如下： 令，由韦达定理知， ∵， ，即． 设，，，， 则当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论： 当、为对角线时，由平行四边形对角线性质可得 ，解得：（舍弃）或， ∴； 当、为对角线时，同理可得 ， 即， 此时点在轴下方，不成立； 当、为对角线时，同理可得 ，解得：（舍弃）或， ∴， 综上，的坐标为或； （3）解：由待定系数法可知直线的表达式为， 设，，则， ∴最大值为时，，此时， 点为线段的中点， , 构造平行四边形，则由平行四边形性质可得， ，当且仅当A、、共线时取等号． 故，即的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、解直角三角形、平行四边形的存在性问题、二次函数与线段最值、线段和最小值问题等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 突破三 与二次函数有关的存在性问题 【典例】（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【变式1】如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，与直线交于，两点．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若在第一象限的抛物线上有一点E，连接，求四边形面积的最大值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该抛物线的函数解析式为； (2)四边形面积的最大值为； (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设，利用列式，根据二次函数的性质即可求解； （3）求得直线的解析式，当时，分两种情况讨论，当点P在x轴下方时，当点P在x轴上方时，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）解：∵， ∴， 设，    ， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为； （3）解：∵在抛物线上，则， ∵，在直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 作轴于点F，则，，， ∴， 当时，分两种情况讨论， 当点P在x轴下方时，即，交y轴于点G，    ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 解方程，得（舍去），或， 当时，， ∴点P的坐标为； 当点P在x轴上方时， 交y轴于点H， ∵， ∴点H与点G关于x轴对称， ∴，∴点H的坐标为； 同理，可得直线的解析式为， 解方程，得（舍去），或， 当时，， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题型，涉及待定系数法求解析式，二次函数的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标； （3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解； ②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴， 则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 【变式3】（2025·湖南衡阳·三模）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为(-1，2)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）令和求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标即可； （2）先得到抛物线的对称轴，设点，根据列方程求出m的值即可； （3）先求出线段，的长，然后分为，，根据相似三角形的对应边成比例求出长，即可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：令，得， ． 令，得， 解得或， ． （2）解：存在，理由如下， 抛物线的对称轴为， 设点， 三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形， ， ， ， 解得， ； （3）解：令， 或， ， 又， ， ． 设长为． 若，如图1． ， ， ， ， ， 点坐标为． 若，如图2． ， ． 同理可得， ， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或时符合题意． 【变式4】（2025·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线． (1)求的值； (2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标； (3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长． 【答案】(1) (2)曲线顶点坐标为，解析式为 (3)，正方形的边长为，或，正方形的边长为8 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数与特殊图形求边长的计算是关键． （1）根据抛物线过点，对称轴直线为，代入计算即可求解； （2）根据对称轴直线为，结合可得，代入抛物线，运用待定系数法即可求解； （3）根据四边形是正方形，得到，设，则，，，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为， ∴，且， ∴解得，， ∴， ∴，且， ∴， 整理得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴，即抛物线顶点坐标为， ∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为， ∴曲线的解析式为； （3）解：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上， ∴设， ∴， ∴，， ∵点关于对称， ∴，则， ∴， ∴， 当时，整理得，， 解得，（大于，不符合题意，舍去），， ∴，， ∴，正方形的边长为； 当时， 解得：（正根舍去）， ∴，， ∴，正方形的边长为8． 突破四 与二次函数有关的新定义问题 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：如果和都是关于的函数，那么我们把叫做的均值函数．例如，如果，，那么我们把叫做的均值函数． (1)已知的均值函数经过点，求的值； (2)已知的均值函数的顶点坐标为，求的最大值； (3)已知（且）． ①当时，的均值函数的最小值为，求的值； ②若的均值函数与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）根据新定义，求出函数解析式，进而求出顶点坐标，得到，二次函数求最值即可； （3）①根据新定义，列出函数解析式，令，则：，，根据，以及，得到，进而得到，根据最小值，求出的值即可；②令，得到，根据的均值函数与轴有且只有一个交点，即只有一个正实数根，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得：， 解得：； （2） ， ∴， ∴当时，有最大值为； （3）①， 令，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵均值函数的最小值为， ∴， ∴； ②由①知：， 当时， 则：， ∴， ∵的均值函数与轴有且只有一个交点，即只有一个正实数根， ∴当，解得：，此时满足题意； 当时，即：时， 则：， ∴，， 对于恒成立， 对于，， ∵， ∴； 综上：或． 【变式1】（2025·湖南株洲·三模）定义，在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”．下列关于“零和点”的说法中错误的是（   ） A．函数图象上的“零和点”就是原点 B．函数图象上“零和点”的横坐标为是2 C．函数图象上至少有一个“零和点” D．函数图象上有且只有一个“零和点” 【答案】C 【分析】本题考查相反数的应用，解题的关键是正确理解“零和点”． 根据“零和点”的定义，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、联立和，得，解得，对应，即原点，故选项A不符合题意， B、联立和，得，解得，故选项B不符合题意， C、联立 和，得，整理为，无实数解，故无零和点，故选项C符合题意， D、联立和，得，解得，唯一解，故选项D不符合题意， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南长沙·三模）我们约定：若抛物线：和抛物线：的顶点分别为不重合的两点与，同时满足：在的图象上，在的图象上．则称抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，根据该约定，完成下列问题： (1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”． ①：的“携手共进”抛物线一定经过______． ②：与：是互为“携手共进”的抛物线______． ③若两条抛物线是互为“携手共进”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数______． (2)若抛物线：（m，n为实数且）与：互为“携手共进”的抛物线，且当时，抛物线最低点的纵坐标为，求m的值； (3)已知抛物线：的顶点为点A，与x轴交于点M、N，抛物线：的顶点为点B，与x轴交于点P、Q，若抛物线与是互为“携手共进”的抛物线，且，请问线段AB是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2) (3)是定值， 【分析】（1）根据“携手共进”的抛物线的定义判断即可得解； （2）由二次函数的性质可得的顶点坐标为，由“携手共进”的抛物线的定义得出点在抛物线上，求得， 由题意得当时，的最小值为，由此计算即可得解； （3）由抛物线的性质可得抛物线的顶点为点，抛物线的顶点为点，由一元二次方程根与系数的关系可得，，，，表示出，，结合题意得出，从而得出①，由“携手共进”的抛物线的定义可得②，求出③，即可得解． 【详解】（1）解：①根据“携手共进”的抛物线的定义可得：：的“携手共进”抛物线一定经过，故√； ②：的顶点在：上，而：的顶点不在图象上，所以彼此不是“携手共进”的抛物线，故×； ③∵顶点不同的两条抛物线：与：携手共进， ∴有， 两方程相加得， ∵， ∴， ∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数，故√； 故答案为：①√，②×，③√； （2）解：∵：， ∴的顶点坐标为， ∵抛物线：（m，n为实数且）与：互为“携手共进”的抛物线， ∴点在抛物线上， ∴，化简得， 由题意得，当时，抛物线最低点的纵坐标为， 即当时，的最小值为， ∵， ∴，开口向下，对称轴为直线， ∴时，， ∴， 综上所述，； （3）解：是定值，理由如下： ∵，， ∴抛物线的顶点为点，抛物线的顶点为点， ∵抛物线：与x轴交于点M、N， ∴，， ∴ ∵抛物线：与x轴交于点P、Q， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①， ∵抛物线与是“携手共进”的抛物线， ∴点在抛物线上， ∴， 化简得：②， 把①代入②，得：， 即③， ∴ ④， 把③代入④，得：， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，新定义问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各小题． (1)判断下列函数是否为“函数”，若是，在括号里打“”；若不是，则打“”． （    ）； （    ）； （    ）． (2)是否存在，两点，既是一次函数上的“点”，又是二次函数上的“点”？若存在，求出，的坐标（可用表示）；若不存在，说明理由． (3)若关于x的二次函数（是常数），同时满足下列三个条件：，，该函数截x轴得到的线段长度为，证明该函数是“函数”并求出的值． 【答案】(1)；；； (2)不存在，理由见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，原点对称，掌握新定义及相关函数的性质是解题的关键． （）根据“函数”定义即可求解； （）设，，分别代入得，，解得，代入求出，，不符合题“函数”定义； （）由，则有，，令，，设两个根为，则，∴，解得或，当时，符合题意；当时，，与矛盾不，符合题意；再代入求出，或，即可求解． 【详解】（1）解：设函数图象上存在两点，关于原点对称， 将，分别代入联立得， ，方程组无解， 故答案为：； 设函数图象上存在两点，，显然两点关于原点对称， ∴为“函数”， 故答案为：； 设函数图象上存在两点，关于原点对称， 将，分别代入联立得， ，方程组无解， 故答案为：； （2）解：不存在，理由： 设，，分别代入得，， 解得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴不存在，两点； （3）解：∵， ∴，， 令，，设两个根为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，符合题意； 当时，，与矛盾，不符合题意； ∴关于的二次函数， 设，， ∴， 得：，得， ∴， ∴，或，， ∴该函数是“函数”． 1.（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 2.（2025·湖南·模拟）已知二次函数，y与x的部分对应取值如下表： x 0 1 y 1 2 1 则下列结论中正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当时， D．方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得， ∵抛物线经过点和 ∴该函数的对称轴是直线， ∴点是抛物线的顶点，有最大值2， 抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，， 抛物线与轴的交点为， ∴抛物线与y轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵抛物线对称轴为直线 ∴当时和时，函数值相等 ∵当时， ∴当时，，故选项C错误，不合题意； ∵抛物线顶点坐标为，且开口向下 ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）已知反比例函数（为常数）的图象经过二次函数的图象的顶点A，下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．反比例函数的表达式为 C．该二次函数的图象与轴没有交点 D．点A关于轴对称的点的坐标为 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、反比例函数的表达式以及关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是会求顶点坐标．先求出二次函数的顶点坐标，再代入反比例函数求出表达式，然后逐一分析选项． 【详解】A．，点的坐标为，故错误，本选项不符合题意； B．将点代入反比例函数，解得，故正确，故本选项符合题意； C．当时，有，该二次函数的图象与轴有两个交点，故错误，本选项不符合题意； D．点关于轴对称的点的坐标为，故错误，本选项不符合题意． 故选B． 4.（2025·湖南长沙·模拟预测）在函数（为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系为 ．（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握抛物线开放向向下时，距离对称轴越远的点的函数值越小成为解题的关键． 先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵函数（为常数）， ∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为， ∵， ∴． 故答案为：． 5.（2025·湖南武冈·模拟）关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，且二次项系数不等于，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得且． 故答案是：且． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系，解不等式组；根据一元二次方程判别式定理构建不等式组是解题的关键． 6.（2025·湖南·三模）把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移法则：左加右减，上加下减，是关键；根据平移法则即可完成． 【详解】解：由题意得：， 即， 故答案为：． 7.（2025·湖南·模拟）已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解． 【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误； ②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确； ③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确； ④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确； 综上所述，正确的有②③④⑤共4个． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键. 8.（2025·湖南株洲·三模）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点，其中，下列四个结论，①；②当时，随自变量的增大而增大；③与的另一个交点的横坐标为；④当时，．正确的结论有 （在横线上填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的交点问题，二次函数的图像和性质，根据直线经过抛物线的顶点，结合根与系数的关系即可得出顶点坐标，进而可判断①，根据对称轴为直线，分或结合二次函数的图像和性质可判断②令，结合得出关于x的一元二次方程，求解即可判断③，用，然后分或结合二次函数的图像和性质可判断④ 【详解】解：抛物线的顶点横坐标为， 把代入，得顶点横坐标为：， ∵直线经过抛物线的顶点， ∴， 化简得，即，故①正确， ∵， ∴抛物线的对称轴直线为， 若，抛物线开口向上，当时，随自变量的增大而增大， 若，抛物线开口向下，当时，随自变量的增大而减小，故②不一定正确． 令， 即， ∵， ∴， ∴ 解得∶，， ∵顶点坐标对应， ∴与的另一个交点的横坐标为，故③正确． ， 当时，，则当时，， 当时，，则当时，，故④不一定正确． 故答案为：①③ 9.（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的应用， 画出的图象，分别画出经过、的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根， ∴与有4个交点， ∵中，当即时，， ∴经过定点， 对于，当时，， 当时，，解得， ∴与y轴交于，与x轴交于，， 当经过时，如图， 则，解得， ∴， 此时与有3个交点， 当经过时，如图， 则， 解得， ∴， 此时与有3个交点， 观察图象发现：当时，与有4个交点， 故答案为：． 10.抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由对称轴即可判断； ②将c≤3a转化为时所对应的函数值，由对称性转化为时所对应的函数值，即可判断； ③根据图象所体现的最大值即可判断； ④根据图象的最值结合对称轴即可判断． 【详解】①因为对称轴为，所以，即，故①正确； ②由①知，所以时，； 因为抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时， 又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误； ③由图可知y＝ax2+bx+c的最大值为3，所以当ax2+bx+c＝2时有两个不相等的实数根；故③正确； ④由图可知：，即， 又且，所以=， 所以，即，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知以上知识点的应用是解题的关键． 11.（2025·湖南·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为 y（cm2），则y关于x的函数图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】分当0≤x≤1时，M点在BC边上，1＜x≤2时，M在CD边上，2＜x≤3时，M点在AD边上，三种情况分别求出对应的表达式，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得BN=x，AN=AB-BN=3-x ①当0≤x≤1时，M点在BC边上，BM=3x， 则△AMN的面积=BM•AN ∴； ②1＜x≤2时，M在CD边上， 则△BPQ的面积=AN•BC ， ∴ 可得y=•x•3=； ③2＜x≤3时，M点在AD边上，AM=9﹣3x， 则△BPQ的面积=AM•AN， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 12.（2024·湖南娄底·三模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把，代入中求解，得出抛物线的函数表达式即可； （2）连接、、、，过点作于点，利用点的坐标得出出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可； （3）当为矩形的边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出点的坐标；当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，证明，得出，设，，表示出，，，，，得出方程，整理、分解因式得，则或，求解并取舍，求出、，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，连接、、、，过点作于点，    ∵点的坐标为， ∴，， ∵时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ； （3）解：存在， 如图，当为边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，    则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵，，动点在直线上方， ∴，，或， ∴， ∴，，，， ∴， 整理得：， ， 分解因式得：， ∴或， 解得：（舍去），（舍去），， ∴，， ∴此时点的坐标为． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结合是解题的关键． 13.（2025·湖南长沙·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，若直线与该二次函数的图象的另一个交点为，与反比例函数的图象只有一个交点，判断点纵坐标的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作直线平行于轴，交抛物线于点F，H（点在点左边），当点在直线下方抛物线上运动时，求的最大值． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． （1）设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）直线过点，求出直线，令，整理得，根据，求出．把代入直线解析式得，进而得出结论； （3）连接，令，求出，进而求出直线的解析式为，直线的解析式为，令，求出点的横坐标，即可求出，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 把点带入解析式，得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：点纵坐标的值为定值．理由如下： 直线过点， ，即直线． 直线与反比例函数的图象只有一个交点， 令，整理得， ， 方程的解为． 把代入直线解析式得， 点的坐标为，即点纵坐标的值为定值； （3）解：如图，连接． 令，解得， ． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 同理，直线的解析式为， ． 令，解得（舍）， 点的横坐标． 点的横坐标， ． ， 当时，取得最大值，最大值为． 14.（2025·湖南长沙·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“中考必胜函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“必胜点”． (1)判断以下函数上是否是“中考必胜函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”； ①________②________③________ (2)关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”吗？如果是，指出有多少个“必胜点”，如果不是，请说明理由； (3)若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“必胜点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值． 【答案】(1)√，×，√ (2)关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”， 当或时，有一个“必胜点”；当且时，有两个“必胜点”； (3) 【分析】（1）设“必胜点”坐标为，把分别代入、和并求解，结合新定义即可获得答案； （2）设“必胜点”坐标为，分和两种情况，分别求解即可获得答案； （3）首先根据题意可知该抛物线的对称轴为，结合顶点P为“必胜点”即可确定其坐标，结合是等边三角形可确定该二次函数解析式以及点坐标；利用待定系数法求得直线的解析式；过点M作轴，交于点D，过点B作轴，交于点E，证明，结合的最大值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：设“必胜点”坐标为， ①把代入得，解得，此时该点坐标为，符合新定义； ②把代入得，无解，不符合新定义； ③把代入得，解得或，符合题意． 故答案为：√，×，√； （2）设“必胜点”坐标为， 当时，得， 代入解析式，得， 解得，此时可有， 此时是“中考必胜函数”，有一个“必胜点”； 当时，把代入解析式， 得，此时， 当时，方程有两个不相等的实数根，即m有两个值，符合可知题意， 故当且时，函数是“中考必胜函数”，此时有两个“必胜点”； 当时，方程有两个相等实数根，即m有一个值，符合题意， 故当时，函数是“中考必胜函数”，此时有1个“必胜点”； 综上所述，关于x的函数（a为常数）是“中考必胜函数”， 当或时，有一个“必胜点”；当且时，有两个“必胜点”； （3）∵抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中，与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，， ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线顶点P为“必胜点”， ∴， ， 是等边三角形，， ， ∵对称轴为 ， ， 解得， ∴， ∴， ∵点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点M作轴，交于点D，过点B作轴，交于点E， 故， ，， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴是t的二次函数，且抛物线开口向下， ∴对称轴， ∵， ∴， ， ∴随t的增大而减小， 故当时，取得最大值， ， 解得（舍去）， 故． 【点睛】本题考查了新定义、待定系数法、三角形相似的判定和性质、根的判别式、二次函数的最值及其增减性等知识，熟练掌握待定系数法、三角形相似的判定和性质、根的判别式、二次函数的最值及其增减性是解题的关键． 15.（2025·湖南长沙·二模）定义：一个点的横坐标的平方与常数t的和等于纵坐标，则称该点为“t阶平方点”． (1)下列函数存在“0阶平方点”的是 ． ①； ②； ③； (2)若一次函数上有且仅有一个“t阶平方点”，且该“t阶平方点”关于的对称点也是“t阶平方点”，求n的值． (3)已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，其中，点C是横坐标为0的“t阶平方点”，且，F为y轴上一点，直线，上的另外一个“t阶平方点”分别为点D，E，若同时满足下列两个条件： ①， ②四边形是菱形； 设该菱形的面积为m，且当时，函数的最大值等于，求t的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】（1）依据新定义判断即可； （2）联立解析可推出，t阶平方点为，其关于对称后点得坐标为，所以，据此得解； （3）分类讨论，或，由题干易证菱形为正方形，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意可设这个点为， ①， 整理得， ∵， ∴方程无解， 故函数不存在“0阶平方点”； ②， 解得， 故函数y存在“0阶平方点”为； ③， 解得m， 故函数存在“0阶平方点”为； 故答案为：②③； （2）解：联立， 整理得， 则，且t阶平方点为， ∴， ∴t阶平方点为， ∴该t阶平方点关于对称后点得坐标为， ∵该点也是“t阶平方点”， ∴， 将②代入③得； （3）解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴菱形为正方形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， 则直线的解析式为：， 联立， 解得：（舍），， ∴，，则， ∴， ∴， 则抛物线为，对称轴为直线，， 又∵， ∴当时，， ∴； 当时，同理可得，，，，， 则抛物线为， 对称轴为直线，， 又∵， ∴当时，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，涉及抛物线与直线交点问题、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为 ． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据点，点都在二次函数上，可判断①；由，都在反比例函数上，结合的取值，可判断②；根据定义，将点代入，可判断③；不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上，假设在上，那么在上，将代入，得到，然后结合一元二次方程的判别式求得答案． 【详解】解：①将代入，得到； 将代入，得到； 可知点，点都在二次函数上， 那么点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；故①正确； ②当代入，得到， 当代入，可得， ，都在反比例函数上， ，为反比例函数的一组奇对称点对”， 可以取无数个不为0的数， 反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确； ③点，点，为函数的一组“奇对称点对”， 点，点都在函数上， ， ， ③错误； ④不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上， 假设在上，那么在上， 将代入，得到， ， ，该函数有两组“奇对称点对”， 当时，有两个不同的实数根， ，， ，（符合题意）， ； ④正确； 故答案为：①②④． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 3.（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 4.（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为 (2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【分析】（1）将代入求出值，再根据和求出直线的解析式； （2）①根据题意可得，再将代入求解即可； ②参考①思路联立解析式即可； ③设抛物线的解析式为，则可得点的坐标为，点B的坐标为，先求出的表达式，作交直线于点C，求出直线和直线的解析式并联立，进而求出，结合题意求出t的值即可． 【详解】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点的坐标为，点B的横坐标为， 将代入得， ， ∴点B的坐标为， ∴ ， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题、二次函数平移、二次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5.（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）②；（3）；（4）且 【分析】（）结合图形找出点的位置即可求解； （）根据点位置的分布即可判断； （）利用勾股定理及线段垂直平分线的性质解答即可求解； （）结合图形性质，根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴， ∴点的坐标为； 当为时，如图所示，点的坐标为， 故答案为：，； （）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为， ∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数， 故答案为：； （）由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴； （）如图，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形， ∴， 综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，理解题意是解题的关键． 6.（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解． （2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标． （3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解． （4）根据平行线的性质，先分析条件可得点在之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再计算直线的解析式，根据点分别在上时，取得临界值，求得的值，即可求解． 【详解】（1）将点代入中得： 解得：， ∴． （2）根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上， ∴， ， 解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得， ， 即 设是A关于的对称点，则： 解得，， ∴点坐标为． （3）∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A，纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B，纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． （4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知： ∴，，，， ∴，，，， 如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作 ∴ ∴ ∴ 当点在上时， ∴ ∴ 解得， 当点在上时 ∴， ∴， ∴， 解得，． 其中，，时，如图，经检验符合， 综上，． 【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7.（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，的值分别为 (2)①见解析②或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答． ②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 8.（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)①②猜想，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $