第19讲 直角三角形（复习讲义，4考点23题型3重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第19讲 直角三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 多边形 题型01利用直角三角形两角互余求解 题型02利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度 题型03利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度 题型04与斜边上的中线等于斜边一半相关的最值问题 命题点二 含30°角的直角三角形 题型01与含30°角的直角三角形相关的线段问题 题型02与含30°角的直角三角形相关的折叠问题 题型03 直角三角形性质的实际应用 命题点三 勾股定理 题型01 利用勾股定理直接求解 题型02 利用勾股定理列方程求解 题型03 勾股定理与尺规作图综合 题型04 利用两点坐标求两点距离 题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型06 勾股定理与折叠问题 题型07 以弦图为背景的计算题 题型08 勾股定理与无理数 命题点四 勾股定理的应用 题型01 梯子滑落问题 题型02 大树折断前的高度 题型03 解决水杯中筷子问题 题型04 解决航海问题 题型05 最短距离问题 命题点五 勾股定理的逆定理及其应用 题型01 网格中判断直角三角形 题型02 勾股定理的逆定理求解 题型03 勾股定理逆定理的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 37 突破一 勾股定理中最值问题 突破二 直角三角形有关的几何多结论问题 突破三 直角三角形与函数综合 06·优题精选·练能提分 42 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 直角三角形的概念及其性质 湖南省卷 T18 长沙市卷 T19 理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半等）。 含30度的直角三角形 湖南省卷 T25 长沙市卷 T10 掌握含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。 勾股定理及其应用 长沙市卷 T21.T25 湖南省卷 T24.T25 长沙市卷 T9.T23.T24 湖南省卷 T22.T26 掌握勾股定理（a²+b²=c²），能运用勾股定理解决实际问题（如测量、计算线段长度）。 勾股定理的逆定理 / / 掌握勾股定理的逆定理，能判断三角形是否为直角三角形。 命题预测 1. 直角三角形性质高频考查（选择题/填空题，3-6分） 两锐角互余：已知一个锐角求另一个锐角；斜边中线性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半；面积法：利用面积求斜边上的高 2. 含30°直角三角形必考（填空题/解答题，6-8分） 30°角性质：30°所对直角边=斜边一半；边长比例：30°、60°、90°三角形边长比为1::2；综合应用：与矩形、菱形、圆等结合 3. 勾股定理应用持续强化（解答题，8-12分） 几何计算：在三角形、四边形、圆中求线段长；实际测量：高度测量、距离计算、最短路径；动点问题：建立勾股关系求最值 4. 勾股逆定理判定三角形形状（选择题/解答题，3-6分） 形状判断：根据边长判断是否为直角三角形；综合应用：与坐标系、函数结合判定垂直关系 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半;掌握特殊角：30°角性质（对边=斜边一半）、45°等腰直角三角形边长比;牢记勾股定理：a²+b²=c²及其变形 2. 解题能力提升 辅助线技巧：遇直角三角形，常作斜边上的高;遇30°角，常构造含30°的直角三角形;遇垂直，常考虑勾股定理;面积法应用：利用面积相等求高或边长;方程思想：在复杂图形中设未知数列方程 3. 重点突破题型① 含30°直角三角形与矩形、菱形综合② 勾股定理与折叠问题结合③ 勾股定理与坐标系、函数结合④ 实际测量问题（高度、距离）⑤ 最短路径问题（将军饮马、蚂蚁爬行）⑥ 勾股逆定理判定三角形形状 考点一 直角三角形的性质 一、基本定义 有一个角是直角(90°)的三角形叫做直角三角形。 二、直角三角形的性质 ①角的性质：两锐角互余，和为90°∠A+∠B=90° ②边的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形。 三、面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 1.（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为__________． 3.（2025·湖南常德·二模）如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4.（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，，为边的中线，E为上一点，连接，F为的中点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点二 含30°角的直角三角形 1. 基本结论（必考） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么：30°角所对的直角边等于斜边的一半。 2常用推论 ①已知30°对的直角边→斜边等于它的2倍 ②已知斜边→30°对的直角边等于斜边的一半 ③已知一边，可直接求另外两边。 3.逆命题也成立 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 1.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为___________． 2.（2025·湖南常德·二模）如图，在中，，，的平分线交于点．下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025·湖南长沙师大附中·模拟）如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 考点三 勾股定理及其应用 1.定理内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.几何表示 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则： 3.三个常用变形 求斜边： 求直角边： 1.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，为上一点，连接．在下方取一点 ，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2.（2024·湖南长沙·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南祁阳·二模）如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南长沙·二模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 考点四 勾股定理逆定理及其应用 一、勾股定理的逆定理 1.文字语言 如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。 2.几何语言 在△ABC中，若，则∠C=90°，△ABC是直角三角形。 二、作用(核心用途) 判断一个三角形是不是直角三角形。 三、判断步骤(做题模板)1.找出最长边c 2.计算：和 3.比较： ①若→直角三角形 ②若→锐角三角形 ③若→钝角三角形 四、勾股数 满足的三个正整数，叫做勾股数。 常见勾股数(必须记)：3,4,5；5,12,13；6，8，10；7,24,25；8,15,17 1.（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 2.（2024·湖南长沙·联考）如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则______度． 4.（2025·湖南长沙·二模）如图，在矩形中，，分别在，边上，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长． 命题点一 直角三角形的性质 ►题型01 利用直角三角形两角互余求解 【典例】（2024·湖南·模拟冲刺一）如图，直线，，，它的顶点分别在直线，上，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙开福区·三模）如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟冲刺一）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·湖南长沙师大附中·模拟）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（    ）    A． B． C． D． ►题型02 利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度 【典例】（2024·湖南郴州·月考）直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于______． 【变式1】（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，菱形中，，对角线，相交于点，为的中点．若菱形的周长为32，则的周长为_______． 【变式2】（2024·湖南岳阳平江·模拟）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则________．    【变式3】（2024·湖南长沙·模拟）已知：如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【变式4】（2024·湖南怀化·模拟）如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，P是中点，表示竹竿端沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中长度（　　） A．下滑时增大 B．上升时减小 C．无论怎样滑动不变 D．只要滑动就变化 ►题型03 利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度 【典例】（2024·湖南岳阳·二模）如图，一块直角三角板的 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线上，若斜边 与直线交于的中点 E ，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，，是的中点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南武冈·模拟）如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南株洲·模拟）如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（   ） A． B． C． D． ►题型04 与斜边上的中线等于斜边一半相关的最值问题 【典例】（2025·湖南·专题练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若，则线段的最小值是________． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方形的边长为为对角线上一动点，以为斜边向右作等腰，连接，则周长的最小值为___________． 【变式3】（2025·湖南益阳沅江·四模）如图，在平面直角坐标系中，已知，B是y轴上的一动点，以为边构造矩形，且矩形的面积始终是3，连接，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 命题点二 含30°角的直角三角形 ►题型01 与含30°角的直角三角形相关的线段问题 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则_____． 【变式1】（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，在中，，，于点．若，则的长是_________．    【变式2】（2024·湖南邵阳邵东·二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________． 【变式3】（2025·湖南常德澧县·一模）如图，直线，相交于点，，半径为的的圆心在射线上，且与点的距离为．如果以的速度沿由向的方向移动，那么 _____后与直线相切． ►题型02 与含30°角的直角三角形相关的折叠问题 一、折叠问题3个不变道理(先给学生讲透) ①折叠前后图形全等：对应边相等，对应角相等。②折痕是角平分线、也是对称轴 ③折叠后出现：等腰三角形/直角三角形/30°三角形 二、看到「30°+直角三角形+折叠」 立刻抓住4个“必用”知识点 ①30°对的直角边=斜边的一半②折叠前后角相等、边相等 ③直角三角形两锐角互余④出现等腰三角形(等边对等角) 三、通用解题思路(五步万能) ①先标图：把已知角度、边长标上去②找折叠：写出全等、相等的角和边 ③找30°角：确定谁是30°、谁是60°④套30°结论：30°对的直角边=斜边一半 ⑤求角度用：互余、等边对等角、三角形内角和 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为，若菱形的边长为，，那么为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式2】（2025·湖南株洲·模拟）如图，已知三角形纸片，，，，点M是边的中点，点N在边上，将沿翻折压平，使点A恰好落在线段上，则等于（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．5 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟）如图，四边形是长方形，把长方形沿对角线折叠，点B落在点E处，与相交于点O．（长方形的对边相等，每个内角都是直角） (1)求证：； (2)若，求的面积． ►题型03 直角三角形性质的实际应用 【典例】（2024·湖南长沙·一模）如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，挡板边缘，且与闸机侧立面夹角．当挡板收起后，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南张家界·模拟）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖南凤凰县·模拟）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．        【变式3】（2025·湖南岳阳湘一·模拟）年月日时分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点是的中点，若，，则的长为________ 命题点三 勾股定理 ►题型01 利用勾股定理直接求解 【典例】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2025·湖南岳阳·二模）如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【变式2】（2025·湖南·一模）如图，在和中，，点B在上．若，，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）如图，矩形的对角线交于点，点在边上，且，若，，则的周长是_____． ►题型02 利用勾股定理列方程求解 勾股定理是直角三角形的核心边性质，仅适用于直角三角形，即直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方(a²+b²=c²)。解题核心是“找直角→设未知→表三边→列方程→求解验证”，分5步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤 1.找“直角” 先观察题干图形或已知条件，明确直角三角形中哪个角是90°,标注出直角(如∠C=90°)；若题干未明 确，需先根据直角三角形定义或判定(如勾股定理逆定理)判定出直角。 同时确定直角边和斜边：直角所对的边是斜边，另外两条是直角边。 2.设“未知” 设待求线段或与待求线段相关的线段为x（通常设较短的直角边或待求边为x，计算更简便）。 注意：若为折叠问题，常设折叠后重合的线段为x，便于利用“折叠前后对应边相等”的性质。 3.表“三边” 根据题干条件，把直角三角形的三条边都用含x的代数式表示出来： 4.列“方程” 根据勾股定理，列出三边的平方关系方程：(直角边1)²+(直角边2)²=(斜边)²，代入含x的代数式，得到一元二次方程(或一元一次方程)。 5.解“方程”并验证 ①解方程，求出x的值； ②边长必须为正数，舍去负根； ③计算完成后，将x代回三边表达式，验证是否满足勾股定理，确保计算无误。 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙长郡·模拟）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2025·湖南·一模）如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式3】（2025·湖南·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． ►题型03 勾股定理与尺规作图综合 【典例】（2025·湖南株洲·一模）如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为________． 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，点O在矩形的边上，以点O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，连接．以点O为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E．若点A的坐标为，则点E的坐标为_____． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是______． 【变式3】（2025·湖南永州·二模）已知，①以点为圆心，长为半径画弧，交，于点M，N，②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于一点P，作射线，③过M点作的平行线交射线于点C，④连接；则线段的长度为（   ） A． B． C． D． ►题型04 利用两点坐标求两点距离 核心前提：在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过构造直角三角形，再用勾股定理求解。解题核心是：“找坐标→算横纵差→用勾股→求距离”，分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找“坐标” 明确两点的坐标：设为A(x1，y1)、B(x2，y2)。 在坐标系中画出两点，或在脑中构建直角三角形：过两点分别作x轴、y轴的平行线，形成直角三角形。 2.算“横纵差” ①计算两点在水平方向(x轴)的差：△x=|x1-x2| ②计算两点在竖直方向(y轴的差：△y=|y1-y2| ③注意：差的正负不影响，因为平方后会变为正数。 3.用“勾股” 把△x和△y看作直角三角形的两条直角边，两点间的距离AB看作斜边。 根据勾股定理： 代入坐标差： 4.求“距离” 对勾股定理的结果开平方，得到两点间距离公式： 代入具体坐标，计算出距离值。 【典例】（2025·湖南·模拟预测）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【变式1】（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点，连接，作，则的长为______． 【变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则称该函数为“函数”． (1)在下列函数中，是“函数”的有 （填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于x的函数是“函数”，且图象与直线相交于A，B两点，函数图象的顶点为P，当时，求h，k的值． (3)若关于x的函数是函数，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． ►题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为_____． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为______． 【变式2】（2025·湖南·专项训练）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是______． 【变式3】（2025·湖南永州·模拟）如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为______． ►题型06 勾股定理与折叠问题 【典例】（2025·湖南永州·适用性训练）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则______．    【变式1】（2025·湖南株洲·二模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B，C的对应点分别为点F，当点D恰好在线段上时，线段的长为______． 【变式2】（2025·湖南怀化·专题训练）如图，在矩形中．将沿折叠，使点A恰好体落在对角线上F处，则的长是_______． 【变式3】（2025·湖南·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是边上的一点，坐标为，将沿折叠，点落在点处．若的延长线交于，且，则点的坐标为_____． ►题型07 以弦图为背景的计算题 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，“赵爽弦图”运用面积关系证明了勾股定理，它是中国古代数学的骄傲，如图所示弦图由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为，则___________． 【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接，，，．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则__________；__________．（以上均用含a，b的代数式表示） 【变式2】（2025·湖南岳阳·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，是正方形的面积，是正方形的面积．若，则_____． 【变式3】（2025·湖南株洲·一模）“赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为________． ►题型08 勾股定理与无理数 【典例】（2025·湖南益阳沅江·模拟）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是______． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是_____ ． 【变式2】（2025·湖南湘西·模拟）小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段，为3个单位长度，以原点为圆心，以原点到C的距离为半径作弧，交数轴正半轴于一点，则该点在数轴上对应的实数是____． 命题点四 勾股定理的应用 ►题型01 梯子滑落问题 【典例】（2025·湖南永州祁阳·一模）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（   ） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（    ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． ►题型02 大树折断前的高度 【典例】（2025·湖南长沙明德·模拟）《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·专题练习）如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高____． 【变式2】（2024·湖南·模拟）如图，一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为______米． ►题型03 解决水杯中筷子问题 【典例】（2025·湖南武冈·模拟）如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南怀化·一模）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　） A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米 【变式2】（2025·湖南·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． ►题型04 解决航海问题 【典例】（2024·湖南郴州·二模）如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【变式2】（2025·湖南·专题训练）如图，早上8：00，一艘轮船以h的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西方向上．到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西方向上．若在小岛P周围内有暗礁，则轮船继续向前航行，有无触礁的危险？ ►题型05 最短距离问题 【典例】（2025·湖南益阳沅江·二模）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是______分米． 【变式1】（2025·湖南·单元测试）如图，圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高线的长为6cm，点P是高线上一点且，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是________．    【变式2】（2025·湖南岳阳·模拟）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 命题点五 勾股定理的逆定理及其应用 ►题型01 网格中判断直角三角形 核心前提:在边长为1的正方形网格中，可通过数格子得到三角形各边的长度平方，再用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。解题核心是：“数格子算三边平方→找最长边→验证勾股逆定理→得出结论”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.数格子，算三边的平方 对三角形的每条边，构造以它为斜边的直角三角形，数出水平和竖直方向的格子数a、b。 用勾股定理计算每条边的平方：边长²=a²+b² 2.找最长边，确定斜边 比较三边的平方值，最大的平方值对应的边就是最长边，即潜在的斜边c。 3.验证勾股定理的逆定理 验证：最长边的平方是否等于另外两边的平方和。c²=a²+b² 若成立，则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角；若不成立，则不是直角三角形。 4.得出结论 明确写出：“因为c²=a²+b²，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。” 【典例】（2025·湖南·模拟预测一）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南常德·模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，D是的中点，连接，则的长为_________． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则______． ►题型02 勾股定理的逆定理求解 【变式1】（2024·湖南长沙·部分学校联考一模）若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【变式2】（2025·湖南长沙·综合模拟）如图，在平行四边形中，平分交于点，若____． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_____． ►题型03 勾股定理逆定理的实际应用 【典例】（2025·湖南长沙望城区·模拟）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． (1)请判断的形状？ (2)求修建的公路的长． 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟）如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，求该空地上种植草皮的面积是多少？ 【变式2】（2025·湖南·模拟）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．    (1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； (2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 突破一 勾股定理中最值问题 【典例】综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，如图：，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连结．达到最小值时，求______． 最小为； ， 设， ，， 在直角三角形中， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【变式1】在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 【变式2】（2024·湖南·一模）如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则最长为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3】如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是_____． 突破一 直角三角形有关的几何多结论问题 【典例】如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接，若，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】如图，已知点E在线段上，，．连接，设，下面三个结论：①；②；③ ，正确结论的序号是（   ） A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③ 【变式3】定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论： 点，都是点的“倍增点”； 若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为； 抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； 若点是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 突破三 直角三角形与函数综合 【典例】如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【变式1】如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线及直线的表达式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上一个动点，请求出的最小值． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为（    ） A． B． C． D． 1.（2025·湖南湘西·模拟）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2025·湖南·模拟预测）如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南长沙·模拟）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.（2025·湖南郴州·二模）如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________． 5.（2025·湖南·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6.（2025·湖南·一模）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A． B． C． D．2 7.（2025·湖南·模拟预测）如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），蚂蚁怎样走路线最短？最短路线长是多少？ 8.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，平分，交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 9.（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 10.（2025·湖南·模拟）2025年7月5号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，台风中心沿监测点与监测点所在的直线由西向东运动，已知点为一大型农场，在处测得农场在北偏东方向上，且，相距，在处测得农场在北偏西方向上，且，相距． (1)求监测点与监测点之间的距离． (2)农场会受此次台风的影响吗？说明理由． 11.（2025·湖南娄底·一模）已知如图，在中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为______． 12.（2025·湖南·模拟）如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13.（2025·湖南长沙·一模）如图，是的直径，点是上一点，延长到点，连接，，，，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，是的中点，求劣弧的长（结果用表示）． 14.（2024·湖南·模拟预测）如图，已知点，，线段与x轴相交于点B，过点P作轴，垂足为C，经过点B、C、Q的抛物线交x轴于另一点A，连接，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)求证：； (3)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 4．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 5．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 9．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第19讲 直角三角形 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 18 命题点一 多边形 题型01利用直角三角形两角互余求解 题型02利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度 题型03利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度 题型04与斜边上的中线等于斜边一半相关的最值问题 命题点二 含30°角的直角三角形 题型01与含30°角的直角三角形相关的线段问题 题型02与含30°角的直角三角形相关的折叠问题 题型03 直角三角形性质的实际应用 命题点三 勾股定理 题型01 利用勾股定理直接求解 题型02 利用勾股定理列方程求解 题型03 勾股定理与尺规作图综合 题型04 利用两点坐标求两点距离 题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型06 勾股定理与折叠问题 题型07 以弦图为背景的计算题 题型08 勾股定理与无理数 命题点四 勾股定理的应用 题型01 梯子滑落问题 题型02 大树折断前的高度 题型03 解决水杯中筷子问题 题型04 解决航海问题 题型05 最短距离问题 命题点五 勾股定理的逆定理及其应用 题型01 网格中判断直角三角形 题型02 勾股定理的逆定理求解 题型03 勾股定理逆定理的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 92 突破一 勾股定理中最值问题 突破二 直角三角形有关的几何多结论问题 突破三 直角三角形与函数综合 06·优题精选·练能提分 110 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 直角三角形的概念及其性质 湖南省卷 T18 长沙市卷 T19 理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半等）。 含30度的直角三角形 湖南省卷 T25 长沙市卷 T10 掌握含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。 勾股定理及其应用 长沙市卷 T21.T25 湖南省卷 T24.T25 长沙市卷 T9.T23.T24 湖南省卷 T22.T26 掌握勾股定理（a²+b²=c²），能运用勾股定理解决实际问题（如测量、计算线段长度）。 勾股定理的逆定理 / / 掌握勾股定理的逆定理，能判断三角形是否为直角三角形。 命题预测 1. 直角三角形性质高频考查（选择题/填空题，3-6分） 两锐角互余：已知一个锐角求另一个锐角；斜边中线性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半；面积法：利用面积求斜边上的高 2. 含30°直角三角形必考（填空题/解答题，6-8分） 30°角性质：30°所对直角边=斜边一半；边长比例：30°、60°、90°三角形边长比为1::2；综合应用：与矩形、菱形、圆等结合 3. 勾股定理应用持续强化（解答题，8-12分） 几何计算：在三角形、四边形、圆中求线段长；实际测量：高度测量、距离计算、最短路径；动点问题：建立勾股关系求最值 4. 勾股逆定理判定三角形形状（选择题/解答题，3-6分） 形状判断：根据边长判断是否为直角三角形；综合应用：与坐标系、函数结合判定垂直关系 备考建议 1. 基础知识巩固 熟记性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半;掌握特殊角：30°角性质（对边=斜边一半）、45°等腰直角三角形边长比;牢记勾股定理：a²+b²=c²及其变形 2. 解题能力提升 辅助线技巧：遇直角三角形，常作斜边上的高;遇30°角，常构造含30°的直角三角形;遇垂直，常考虑勾股定理;面积法应用：利用面积相等求高或边长;方程思想：在复杂图形中设未知数列方程 3. 重点突破题型① 含30°直角三角形与矩形、菱形综合② 勾股定理与折叠问题结合③ 勾股定理与坐标系、函数结合④ 实际测量问题（高度、距离）⑤ 最短路径问题（将军饮马、蚂蚁爬行）⑥ 勾股逆定理判定三角形形状 考点一 直角三角形的性质 一、基本定义 有一个角是直角(90°)的三角形叫做直角三角形。 二、直角三角形的性质 ①角的性质：两锐角互余，和为90°∠A+∠B=90° ②边的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形。 逆定理也成立：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形一定是直角三角形。 三、面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 1.（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：D． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理．易知是的中位线，那么，而是斜边上的中线，应等于的一半． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵在中，，是边上的中线， ∴， 故答案为：6． 3.（2025·湖南常德·二模）如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及直角三角形的性质，根据题意可得，利用勾股定理求出的长度．再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，点是与的交点，，， ，， ，点为的中点， ， ， 是直角三角形， ， 故选：C． 4.（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，，为边的中线，E为上一点，连接，F为的中点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角形的中位线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键． （1）根据三角形的中位线性质得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明； （2）根据三角形的中位线性质得到，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵为边的中线， ∴D为的中点， ∵F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知是的中位线， ∴， ∴， ∵D是斜边中点，是直角三角形， ∴， ∴． 考点二 含30°角的直角三角形 1. 基本结论（必考） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么：30°角所对的直角边等于斜边的一半。 2常用推论 ①已知30°对的直角边→斜边等于它的2倍 ②已知斜边→30°对的直角边等于斜边的一半 ③已知一边，可直接求另外两边。 3.逆命题也成立 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 1.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图及线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图及线段垂直平分线的性质是解题的关键；由作图可知垂直平分，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 2.（2025·湖南常德·二模）如图，在中，，，的平分线交于点．下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可根据直角三角形的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：选项A 在中，，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴，该选项正确． 选项B 在中，， ∴． 又 ∵， ∴，该选项正确． 选项C ，∵，， ∴ ∴，即，该选项正确． 选项D 设， ∵ ∴， ∴． ∵在中，， ∴． 由勾股定理， ∴， ∴， ，显然，该选项错误． 故选∶D 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质（角所对直角边与斜边的关系、勾股定理）、等腰三角形的判定（等角对等边）以及相似三角形的判定与性质．解题关键在于熟练运用这些性质，对每个选项进行合理推导与判断． 3.（2025·湖南长沙师大附中·模拟）如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：C． 考点三 勾股定理及其应用 1.定理内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.几何表示 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则： 3.三个常用变形 求斜边： 求直角边： 1.（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，为上一点，连接．在下方取一点 ，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，作垂线，线段的垂直平分线的性质及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 由作图可知是线段的垂线，利用为的中点，可以推知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质及勾股定理即可得到的长，进而得结论． 【详解】解：由作图可知是线段的垂线，且为的中点， ， ∵的周长为14， 即， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：B． 2.（2024·湖南长沙·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解直角三角形，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．根据折叠的性质得，，，，即可得，则，设，可得，即可解得．再求解即可． 【详解】解：沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ，， 折叠纸片，使点与点重合， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， ， 故选：B. 3.（2025·湖南祁阳·二模）如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，正切的定义，二次函数的性质等相关知识，过点作轴于点，设，证明得出，，勾股定理求得，根据二次函数的性质得出时，取得最小值，进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∵ ∴ ∴，， ∵， 在中， ∴时，取得最小值，即有最小值 ∴， ∴， 故选：C． 4.（2025·湖南长沙·二模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：C． 考点四 勾股定理逆定理及其应用 一、勾股定理的逆定理 1.文字语言 如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。 2.几何语言 在△ABC中，若，则∠C=90°，△ABC是直角三角形。 二、作用(核心用途) 判断一个三角形是不是直角三角形。 三、判断步骤(做题模板)1.找出最长边c 2.计算：和 3.比较： ①若→直角三角形 ②若→锐角三角形 ③若→钝角三角形 四、勾股数 满足的三个正整数，叫做勾股数。 常见勾股数(必须记)：3,4,5；5,12,13；6，8，10；7,24,25；8,15,17 1.（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2.（2024·湖南长沙·联考）如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和网格，解题关键是熟练运用勾股定理和勾股定理逆定理进行推理，证明，得出等腰直角三角形即可． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3.（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则______度． 【答案】150 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．以为边，构造等边，连接，，先根据等边三角形的性质，用判定证得，再根据勾股定理的逆定理证得为直角三角形，从而有，最后根据求得角度． 【详解】解：如图，以为边，构造等边，连接，， ∵是等边三角形，是等边三角形， ，，， ∴， ∴， ， 在中，，，， ∴， 为直角三角形，且， ∴． 故答案为：． 4.（2025·湖南长沙·二模）如图，在矩形中，，分别在，边上，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，再运用勾股定理逆定理即可得出结论； （2）证明，得到，即，求出，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在矩形中，， 在中，， 又， ， 是直角三角形，且． （2）解：在矩形中，，， 又， ， ， ，即， ， ． 命题点一 直角三角形的性质 ►题型01 利用直角三角形两角互余求解 【典例】（2024·湖南·模拟冲刺一）如图，直线，，，它的顶点分别在直线，上，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，由平行线的性质得，由得到，由直角三角形的两个锐角互余即可求解，掌握平行线的性质和角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（2025·湖南长沙开福区·三模）如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点， ， ， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南·模拟冲刺一）如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，根据直角三角形的性质求出，然后利用圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 【变式3】（2024·湖南长沙师大附中·模拟）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解； 【详解】， , 又 故选择：C 【点睛】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质得到是解题的关键． ►题型02 利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度 【典例】（2024·湖南郴州·月考）直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于______． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，分当和是两条直角边时，当是斜边时两种情况，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当和是两条直角边时， 由勾股定理知，斜边为， ∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边中线的长为； 当是斜边时， ∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边中线的长为， 综上可知斜边上的中线长等于或， 故答案为：或． 【变式1】（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，菱形中，，对角线，相交于点，为的中点．若菱形的周长为32，则的周长为_______． 【答案】12 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．根据菱形对角线互相垂直的性质可知，在中，利用斜边的中线等于斜边的一半解得，证明是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：菱形的周长为32， ， 在菱形中， ，， 又为的中点， 在中，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为， 故答案为：12． 【变式2】（2024·湖南岳阳平江·模拟）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则________．    【答案】 【分析】根据“斜中半定理”求出即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵点M是斜边的中点 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查“斜中半定理”：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟记相关结论即可． 【变式3】（2024·湖南长沙·模拟）已知：如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据点是的中点，可得，根据，可得，，进而利用可以证明，得出，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）结合（1）先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，得平行四边形是菱形，由，可得是等边三角形，由，即可求的长． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：点是的中点， ， ， ，又， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 平行四边形是菱形， ∵， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【变式4】（2024·湖南怀化·模拟）如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，P是中点，表示竹竿端沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中长度（　　） A．下滑时增大 B．上升时减小 C．无论怎样滑动不变 D．只要滑动就变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据此知识点即可得到答案； 【详解】解：由题意可知无论竹竿怎么滑动，都是直角三角形，而P是中点，即也为的中点，所以，所以无论怎样滑动不变； 故答案选：C ►题型03 利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度 【典例】（2024·湖南岳阳·二模）如图，一块直角三角板的 角的顶点 A 与直角顶点 C 分别在两平行线上，若斜边 与直线交于的中点 E ，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，平行线的性质，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明是等边三角形，得到，则由平行线的性质可得． 【详解】解：∵斜边 与直线交于的中点 E ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，，是的中点，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟记性质和定义是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据勾股定理求得，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】解：∵，是边上的中线，， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【变式3】（2025·湖南武冈·模拟）如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．由，是边的中点，得出，则可得，再利用三角形外角的性质即可得． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4】（2025·湖南株洲·模拟）如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平：再一次折叠，使点D落到上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、等腰三角形的性质、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 如图：由题意可得，，，根据平行线等分线段定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图： 由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． ►题型04 与斜边上的中线等于斜边一半相关的最值问题 【典例】（2025·湖南·专题练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若，则线段的最小值是________． 【答案】/ 【分析】先根据已知得，然后证明，得出，然后证明，取中点，则为定值，根据两点之间线段最短得当、、三点共线时，最小，然后根据勾股定理求解．此题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定点到中点的距离是解此题的关键． 【详解】解：动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在边，上移动， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取中点，连接，如图， 则， 根据两点之间线段最短，得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得， ， ． 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方形的边长为为对角线上一动点，以为斜边向右作等腰，连接，则周长的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】延长到点M，使，连接，，，利用正方形性质和旋转全等模型证明，从而可得和是直角三角形，从而由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，再由．即可得出结论． 【详解】解：延长到点M，使，连接，，，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是以为斜边作等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的最小值为， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半，准确找到点的运动轨迹，证明是解题的关键． 【变式3】（2025·湖南益阳沅江·四模）如图，在平面直角坐标系中，已知，B是y轴上的一动点，以为边构造矩形，且矩形的面积始终是3，连接，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴的垂线交射线于点，可证明，则，化简得，而，得到，取中点，连接，则，则，由勾股定理得，由得当点三点共线时，取得最大值，即． 【详解】解：过点作轴的垂线交射线于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 取中点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵，当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系，解题的难点在于构造相似三角形． 命题点二 含30°角的直角三角形 ►题型01 与含30°角的直角三角形相关的线段问题 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，先由基本作图得直线垂直平分，再推出，，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，直线垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，在中，，，于点．若，则的长是_________．    【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形．由，得到，求出，，由含30度角的直角三角形的性质推出． 【详解】解：， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（2024·湖南邵阳邵东·二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________． 【答案】 【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到． 【详解】解： 的垂直平分线交于点F， （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∴ ∵，是角平分线 ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键． 【变式3】（2025·湖南常德澧县·一模）如图，直线，相交于点，，半径为的的圆心在射线上，且与点的距离为．如果以的速度沿由向的方向移动，那么 _____后与直线相切． 【答案】或8 【分析】本题考查了切线的性质，角所对直角边是斜边的一半，由的圆心在射线上或上，根据题画出图形，再根据切线的性质和角所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的圆心在射线上， ∴如图，当移动到位置时，与直线相切于点， 则， ∵， ∴， ∴， 此时， 如图，当移动到位置时，与直线相切于点， ∴， 此时， 故答案为：或8． ►题型02 与含30°角的直角三角形相关的折叠问题 一、折叠问题3个不变道理(先给学生讲透) ①折叠前后图形全等：对应边相等，对应角相等。②折痕是角平分线、也是对称轴 ③折叠后出现：等腰三角形/直角三角形/30°三角形 二、看到「30°+直角三角形+折叠」 立刻抓住4个“必用”知识点 ①30°对的直角边=斜边的一半②折叠前后角相等、边相等 ③直角三角形两锐角互余④出现等腰三角形(等边对等角) 三、通用解题思路(五步万能) ①先标图：把已知角度、边长标上去②找折叠：写出全等、相等的角和边 ③找30°角：确定谁是30°、谁是60°④套30°结论：30°对的直角边=斜边一半 ⑤求角度用：互余、等边对等角、三角形内角和 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为，若菱形的边长为，，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据菱形性质得出，平分，求出，求出，、，根据折叠得出，平分，推出，可证得，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：连接、，与相交于点G，如图， ∵四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 沿折叠与O重合， ，平分， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠、勾股定理、含的直角三角形的性质，找准相等关系是解题的关键． 根据折叠得到，，再结合含的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得：． ∴． 故选：A ． 【变式2】（2025·湖南株洲·模拟）如图，已知三角形纸片，，，，点M是边的中点，点N在边上，将沿翻折压平，使点A恰好落在线段上，则等于（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理和折叠的性质，通过折叠的性质判断出是解题关键． 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，故当点A落在线段上时，点A与点B或点C重合，画出对应图形计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点M是中点，， ∴， 由折叠的性质，可知当点A落在线段上时，点A与点B或点C重合， 当点A落在点C上时，由折叠的性质，， ∴； 当点A落在点B上时，由折叠的性质，， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： C． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟）如图，四边形是长方形，把长方形沿对角线折叠，点B落在点E处，与相交于点O．（长方形的对边相等，每个内角都是直角） (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的对边相等可得，，再根据折叠的性质可得，，然后求出，，进而证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，结合勾股定理和三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质知， ，， ∴，， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． ►题型03 直角三角形性质的实际应用 【典例】（2024·湖南长沙·一模）如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，挡板边缘，且与闸机侧立面夹角．当挡板收起后，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质；过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， 由，则中，， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南张家界·模拟）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据“在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：如图，，，， ∴， 即底边上的高是， 故选：A． 【变式2】（2024·湖南凤凰县·模拟）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度．        【答案】//． 【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 【详解】解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算． 【变式3】（2025·湖南岳阳湘一·模拟）年月日时分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点是的中点，若，，则的长为________ 【答案】 【分析】先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出，然后说明，即可得出，最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案. 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法，要熟练掌握． 【详解】解：∵，， ∴ ∴正方形的边长为3． 在中，由勾股定理，得． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵N是的中点，即为的斜边上的中线， ∴． 故答案为：． 命题点三 勾股定理 ►题型01 利用勾股定理直接求解 【典例】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，根据正六边形内接于，可得：，又因为，可知是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一定理可得：，利用勾股定理求出的长度，再利用弧长公式求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，则， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 故选：B． 【变式1】（2025·湖南岳阳·二模）如图，在中，，，为的中点，过点作，交于点，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故选：A． 【变式2】（2025·湖南·一模）如图，在和中，，点B在上．若，，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，再利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 故选C． 【变式3】（2025·湖南长沙·三模）如图，矩形的对角线交于点，点在边上，且，若，，则的周长是_____． 【答案】7 【分析】本题考查矩形的性质，中垂线的性质，勾股定理，矩形的性质，结合勾股定理求出的长，易得垂直平分，进而得到，推出的周长等于，即可得出结果．熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长； 故答案为：7． ►题型02 利用勾股定理列方程求解 勾股定理是直角三角形的核心边性质，仅适用于直角三角形，即直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方(a²+b²=c²)。解题核心是“找直角→设未知→表三边→列方程→求解验证”，分5步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤 1.找“直角” 先观察题干图形或已知条件，明确直角三角形中哪个角是90°,标注出直角(如∠C=90°)；若题干未明 确，需先根据直角三角形定义或判定(如勾股定理逆定理)判定出直角。 同时确定直角边和斜边：直角所对的边是斜边，另外两条是直角边。 2.设“未知” 设待求线段或与待求线段相关的线段为x（通常设较短的直角边或待求边为x，计算更简便）。 注意：若为折叠问题，常设折叠后重合的线段为x，便于利用“折叠前后对应边相等”的性质。 3.表“三边” 根据题干条件，把直角三角形的三条边都用含x的代数式表示出来： 4.列“方程” 根据勾股定理，列出三边的平方关系方程：(直角边1)²+(直角边2)²=(斜边)²，代入含x的代数式，得到一元二次方程(或一元一次方程)。 5.解“方程”并验证 ①解方程，求出x的值； ②边长必须为正数，舍去负根； ③计算完成后，将x代回三边表达式，验证是否满足勾股定理，确保计算无误。 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理可得，，证明，即可得到答案． 【详解】解：设， 四边形为菱形， ，， 和为直角三角形，且， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【变式1】（2025·湖南长沙长郡·模拟）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 【变式2】（2025·湖南·一模）如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作垂直平分线，含直角三角形的性质，勾股定理． 由作图知是的垂直平分线，可得，然后证明，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：由作图知，，， ∴， ∴， 由作图知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，（负值不合题意舍去） ∴． 故选：B． 【变式3】（2025·湖南·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． ►题型03 勾股定理与尺规作图综合 【典例】（2025·湖南株洲·一模）如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了复杂作图-作垂直平分线，解直角三角形，勾股定理，求得和，即可解答，熟练利用三角函数求解是解题的关键． 【详解】解：由作图可得为的垂直平分线， 点是的中点， 对角线， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，点O在矩形的边上，以点O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，连接．以点O为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E．若点A的坐标为，则点E的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）；也考查了平行四边形的性质．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，接着证明得到，利用勾股定理得到，即可得到点E的坐标． 【详解】解：由作图作法得平分，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∴点E的坐标为，即， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南永州·二模）已知，①以点为圆心，长为半径画弧，交，于点M，N，②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于一点P，作射线，③过M点作的平行线交射线于点C，④连接；则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的作图、平行线的性质和菱形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据题意得，，则，则有，进一步得，即可判定四边形为菱形，则，结合已知即可得，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故， 故选：D． ►题型04 利用两点坐标求两点距离 核心前提：在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过构造直角三角形，再用勾股定理求解。解题核心是：“找坐标→算横纵差→用勾股→求距离”，分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找“坐标” 明确两点的坐标：设为A(x1，y1)、B(x2，y2)。 在坐标系中画出两点，或在脑中构建直角三角形：过两点分别作x轴、y轴的平行线，形成直角三角形。 2.算“横纵差” ①计算两点在水平方向(x轴)的差：△x=|x1-x2| ②计算两点在竖直方向(y轴的差：△y=|y1-y2| ③注意：差的正负不影响，因为平方后会变为正数。 3.用“勾股” 把△x和△y看作直角三角形的两条直角边，两点间的距离AB看作斜边。 根据勾股定理： 代入坐标差： 4.求“距离” 对勾股定理的结果开平方，得到两点间距离公式： 代入具体坐标，计算出距离值。 【典例】（2025·湖南·模拟预测）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【答案】(1)13 (2)6 【分析】（1）将点A、B的坐标代入两点间的距离公式进行解答即可； （2）点A、B两点间的距离为，进行计算即可． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离＝； （2）由题意，得：A，B两点间的距离． 【点睛】本题考查坐标系中两点间的距离．掌握题干中给定的距离公式，是解题的关键． 【变式1】（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点，连接，作，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象的性质是关键．根据题意得到，结合点的坐标可知，再根据两点之间距离的公式计算，，，最后根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点 ∵点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即， ∵过点的一次函数的图象与轴交于点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 解得， 故答案为： ． 【变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则称该函数为“函数”． (1)在下列函数中，是“函数”的有 （填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于x的函数是“函数”，且图象与直线相交于A，B两点，函数图象的顶点为P，当时，求h，k的值． (3)若关于x的函数是函数，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【答案】(1)④ (2)， (3)或 【分析】（1）由定义即可求解； （2）证明、、是等腰直角三角形，得到，即可求解； （3）由新定义得到“函数”为，再分类求解即可． 【详解】（1）由定义知，整个图象关于成轴对称，符合题设的条件，其他都不符合新定义的要求． 故答案为：④； （2）如图：根据题意，，则， ， 函数的图象与直线相交于、两点，直线与轴交于点， 设，， 联立两个函数的表达式得：， 整理得：， ，，且， 则， 根据该函数图象关于直线对称得，， ， ， 、、是等腰直角三角形， 点到的距离为， ， 由得，（舍去）， ； （3）由题意，得， 解得， 此“函数”为， ①当时， 当时，， 当时，， ， 解得：； ②当，即时， 当时，， 当时，， 则， 解得：； ③当时， 当时，，当时，， 则， 解得：（舍去）； ④当时， 当时，，当时，， 则， 解得：（舍去）； 综上所述：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等，分类求解是解题的关键． ►题型05 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，运用代数推导思想，解题关键是建立面积与边长平方的联系，易错点是面积公式或代数推导的逻辑失误；解题思路是通过勾股定理将正方形面积转化为直角三角形边长的平方，进而推导阴影部分面积． 【详解】解：设的三边为，，， 由题意得，，；由勾股定理， 已知，即，整理得， 解得， 阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度， 所以阴影面积为． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后利用圆的面积公式表示出，，，得出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ， ， ∴． ∴． 故答案是：4． 【变式2】（2025·湖南·专项训练）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 【变式3】（2025·湖南永州·模拟）如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形面积，根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式可得到的值，再根据勾股定理即可得解．根据勾股定理得到的值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的值为． 故答案为：． ►题型06 勾股定理与折叠问题 【典例】（2025·湖南永州·适用性训练）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则______．    【答案】5 【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则，在中，，则， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键． 【变式1】（2025·湖南株洲·二模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B，C的对应点分别为点F，当点D恰好在线段上时，线段的长为______． 【答案】1.5 【分析】根据矩形及翻折的性质得，，，，，在中，由勾股定理可求出，则，然后在中，由勾股定理可求出，进而可得的长． 此题主要考查了矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， ， 由翻折的性质得：，，，，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 故答案为： 【变式2】（2025·湖南怀化·专题训练）如图，在矩形中．将沿折叠，使点A恰好体落在对角线上F处，则的长是_______． 【答案】5 【分析】由ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，由折叠得到EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD-BF求出DF的长，在Rt△EDF中，设EF=x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长． 【详解】解：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=90°， 由折叠可得：EF⊥BD，AE=EF，AB=BF， 在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8， 根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4， 设EF=AE=x，则有ED=8-x， 根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2， 解得：x=3， 则DE=8-3=5， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 【变式3】（2025·湖南·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是边上的一点，坐标为，将沿折叠，点落在点处．若的延长线交于，且，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】连接，，得到，设，根据勾股定理，得，求得，，，过点E作于点G，得到，列比例式解答即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵沿折叠，点落在点处． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，坐标为，，， ∴． ∴，． 根据勾股定理，得， 解得， 故，，， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故点； 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质，相似的判定，勾股定理是解题的关键． ►题型07 以弦图为背景的计算题 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，“赵爽弦图”运用面积关系证明了勾股定理，它是中国古代数学的骄傲，如图所示弦图由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题根据面积关系列式得到：，然后得到，然后由题可得：，最后联立方程组即可求解； 【详解】解：∵， ∴解得：， 由题可得：， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； 【变式1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接，，，．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则__________；__________．（以上均用含a，b的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，解一元二次方程．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ， ∵阴影部分的面积为， ， ， ， ，即， （负值已舍）， ， 故答案为：，． 【变式2】（2025·湖南岳阳·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，是正方形的面积，是正方形的面积．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设直角三角形的两条直角边为斜边为，根据 可得和以及和的关系，用表示出正方形和正方形的面积，相比即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为斜边为， ， ， ， ， ， 由勾股定理可得： ， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南株洲·一模）“赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，设，则可得，，分类讨论，即三种情况，列方程即可解答，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：设， 把绕正方形的中心旋转三次，每次旋转， ，， ，， 当时， 可得， 解得或（舍去）， ， 当时， 可得， 解得或（舍去）， ， 故也不成立， 当时， 可得， 解得或（舍去）， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． ►题型08 勾股定理与无理数 【典例】（2025·湖南益阳沅江·模拟）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出，即可得的值． 【详解】解：由图可得，， 表示的数比表示的数小， ， ， ， ， 的值最接近的整数是， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南湘西·模拟）小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段，为3个单位长度，以原点为圆心，以原点到C的距离为半径作弧，交数轴正半轴于一点，则该点在数轴上对应的实数是____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理可得，再结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∴， 在中，， 故该点在数轴上对应的实数是， 故答案为：． 命题点四 勾股定理的应用 ►题型01 梯子滑落问题 【典例】（2025·湖南永州祁阳·一模）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（   ） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【答案】C 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（    ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：梯子顶端离地面的距离为：（米）， 故选：B． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． ►题型02 大树折断前的高度 【典例】（2025·湖南长沙明德·模拟）《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：A． 【变式1】（2025·湖南·专题练习）如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 【变式2】（2024·湖南·模拟）如图，一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为______米． 【答案】 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．此题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处， ∴折断的部分长为（米）， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：． ►题型03 解决水杯中筷子问题 【典例】（2025·湖南武冈·模拟）如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候，露在外面的长度最短，然后利用勾股定理求出对角线的长度即可得． 【详解】由题意得：盒子底面对角长为 盒子的对角线长为 则细木棒露在外面的最短长度为 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理在长方体中的应用，理解题意，求出长方体中的最长线段是解题关键． 【变式1】（2025·湖南怀化·一模）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　） A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米 【答案】A 【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m， 在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2， 解得x=1.5． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 【变式2】（2025·湖南·专题练习）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． ►题型04 解决航海问题 【典例】（2024·湖南郴州·二模）如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)400海里 (2)该轮船行驶的最短距离为192海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知，，根据“路程速度时间”分别得出，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分别到达点 ， ， 答：两点之间的距离为400海里． （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ， ， 答：该轮船行驶的最短距离为192海里． 【变式2】（2025·湖南·专题训练）如图，早上8：00，一艘轮船以h的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西方向上．到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西方向上．若在小岛P周围内有暗礁，则轮船继续向前航行，有无触礁的危险？ 【答案】轮船继续向前航行，有触礁的危险． 【分析】分析已知和所求，过P作交AB延长线于点D，由，，根据三角形外角定理可得，由，根据等角对等边可得； 由轮船的速度是，经过两小时从点A到B处，可求AB的长，即得PB长，在中，，，根据直角三角形的性质可得，代入求其值与18比较大小即得答案． 【详解】解：如图，过点P作于点D． ， ， ． ， ． 在中，， ， ， 轮船继续向前航行，有触礁的危险． 【点睛】本题是一道关于解直角三角形应用的题目，应熟练掌握直角三角形的性质及三角形外角定理． ►题型05 最短距离问题 【典例】（2025·湖南益阳沅江·二模）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是______分米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南·单元测试）如图，圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高线的长为6cm，点P是高线上一点且，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是________．    【答案】5cm/5厘米 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，求出，在中，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：侧面展开图如图所示，    ∵圆柱的底面周长为6cm， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：5cm． 【点睛】本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 【变式2】（2025·湖南岳阳·模拟）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 命题点五 勾股定理的逆定理及其应用 ►题型01 网格中判断直角三角形 核心前提:在边长为1的正方形网格中，可通过数格子得到三角形各边的长度平方，再用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。解题核心是：“数格子算三边平方→找最长边→验证勾股逆定理→得出结论”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.数格子，算三边的平方 对三角形的每条边，构造以它为斜边的直角三角形，数出水平和竖直方向的格子数a、b。 用勾股定理计算每条边的平方：边长²=a²+b² 2.找最长边，确定斜边 比较三边的平方值，最大的平方值对应的边就是最长边，即潜在的斜边c。 3.验证勾股定理的逆定理 验证：最长边的平方是否等于另外两边的平方和。c²=a²+b² 若成立，则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角；若不成立，则不是直角三角形。 4.得出结论 明确写出：“因为c²=a²+b²，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。” 【典例】（2025·湖南·模拟预测一）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 【变式1】（2025·湖南常德·模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，D是的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据网格特点，利用勾股定理分别求出，，，则，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，且，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：根据网格特点，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵D是的中点，且， ∴． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的正弦值是解题的关键，如图标记点，则是等腰直角三角形，，则． 【详解】解：如图标记点， 中，， ， ， 故选：C． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先用勾股定理分别计算，，的长，由此即可判断是等腰直角三角形即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， ， ， ∴，， ∴，. 故答案为：． ►题型02 勾股定理的逆定理求解 【典例】 【变式1】（2024·湖南长沙·部分学校联考一模）若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 【变式2】（2025·湖南长沙·综合模拟）如图，在平行四边形中，平分交于点，若____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定与性质可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：平分交于点， ， 四边形是平行四边形， ， 则， ， 则， 在平行四边形中，， 在中，，则， 即， 是直角三角形，且， ， ， 在中，，由勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用勾股定理及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积计算，勾股定理的逆定理，解直角三角形，先由勾股定理的逆定理得到，再解直角三角形得到，由直角三角形的性质得到，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型03 勾股定理逆定理的实际应用 【典例】（2025·湖南长沙望城区·模拟）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． (1)请判断的形状？ (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形． （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】（1）解：是直角三角形． ，，， ， ， ， 是直角三角形． （2）解：， ， ． 答：修建的公路的长是． 【变式1】（2025·湖南娄底·模拟）如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，求该空地上种植草皮的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，证明，得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ， ， ， 答：在该空地上种植草皮面积． 【变式2】（2025·湖南·模拟）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．    (1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； (2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】(1)爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形，爆破点处到公路的距离为720米； (2)公路有危险而需要封锁，420米． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求得米； （2）根据720米米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解： 在中，米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 如图，过C作于D． ∵， ∴ （米）． 答：爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形；爆破点处到公路的距离为720米； （2）解：公路有危险而需要封锁． 理由如下：如图，以点C为圆心，750米为半径画弧，交于点E，F，连接，，    由于720米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． ∴米， ∴ （米）， 故米， 则需要封锁的路段长度为420米． 突破一 勾股定理中最值问题 【典例】综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，如图：，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连结．达到最小值时，求______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．正确运用相关性质定理是正确解答此题的关键．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，根据三角形的三边关系得到 ，结合点M在上，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：将沿折叠得到， ， 点为的中点，， ， 当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 连接,在中， ， 共线时，的值最小，如图， 最小为； ， 设， ，， 在直角三角形中， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即， 故答案为：． 【变式1】在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，解直角三角形，垂线段最短，过点作，可得，则可得的最小值为点到的垂线段的长度，利用解直角三角形，列方程，求解即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，   ， 由题意可得为的垂直平分线， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 当三点共线时，最小，为点到的垂线段的长度， 如图，   ， 设，则， ， ， ， ， 则可得， 解得， ， 故选：B． 【变式2】（2024·湖南·一模）如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则最长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了坐标和图形，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，三角形的中位线定理等知识．先得到点在半径为1的上，取，连接，可知为射线与圆B的交点时，最大，即最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为， ， 点为坐标平面内一点，， 在上，且半径为1， 取，连接， 为线段的中点，， 是的中位线， ， 当最长时，即最长， ∵ ∴，，三点共线时，最长，此时为射线与圆B的交点， ，， ， ， ， 即的最大值为， 故选：A． 【变式3】如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质等，由作图可知，为线段的垂直平分线，即得，可得，即得到的最小值为的长，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，线段在y轴上移动（点D在点C的上方），且．连接，，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，坐标与图形性质，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，，则，，进而得出的最小值为，即可求解答案． 【详解】解：如图，将线段向下平移到的位置，作点A关于y轴的对称点，连接，， 则，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 突破一 直角三角形有关的几何多结论问题 【典例】如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接，若，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图知，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，可判定正确；根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，可判定正确；先证出得，根据勾股定理得到，，得到，于是得到，可判定错误，由矩形的性质得，可判定正确． 【详解】解：A、由作图知，垂直平分， ， 故正确，不符合题意； B、四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故正确，不符合题意； C、如图， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故错误，符合题意； D、四边形为矩形， ， 故正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了作图-基本作图、全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【变式1】如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系． 【详解】解：∵在中，，即， 在中，，即， ∴ ， 即， 故①正确． ∵在中，， 在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， 即， 即， ∴， ∴， 故②错误． ∵， ∴， ∵的实数根为： ， ∴的长是关于 x 的方程 的一个实数根， 故③正确． 综上①③正确， 故选：B． 【变式2】如图，已知点E在线段上，，．连接，设，下面三个结论：①；②；③ ，正确结论的序号是（   ） A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，先由全等三角形的性质得到，，再证明，利用勾股定理即可判断①；过点C作于F，则四边形是矩形，可得，则，由，即可判断②；根据，得到，则，即可判断③． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ∴，即，故①正确； 如图所示，过点C作于F，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 故选D． 【变式3】定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论： 点，都是点的“倍增点”； 若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为； 抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； 若点是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，根据题中新定义假设参数，利用一元一次方程，一元二次方程代入即可求解，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 则是的“倍增点”， ∵，， ∴，， 则是的“倍增点”，故正确； 由题意设“倍增点”， ∴，解得：， ∴点，故正确； 设抛物线的“倍增点”为， ∴，整理得：， ∴方程有两个不相等的实数根，即存在两个点是点的“倍增点”，故正确； 设， ∴， 则， ， ， ， 当时，有最小值， ∴的最小值，故正确； 综上可知正确， 故选：． 突破三 直角三角形与函数综合 【典例】如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 【变式1】如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线及直线的表达式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用点A及B的坐标运用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再根据坐标系中的两点距离公式分别求出，，，然后利用勾股定理逆定理即可证明． （3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解： 将代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； 将代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：由（1）可得抛物线的对称轴为． ∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，且． （3）如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，，则可得直线的解析式为，然后得出点C坐标，由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，进而求解即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 假设点B是过点P的直线与的交点，∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，如图所示： ∴，， ∴， ∴的周长最小值为； 故选A． 【变式3】如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、勾股定理，当时，点在点处，此时，则，当时，，求出，由勾股定理得出，求出，再由计算即可得解． 【详解】解：当时，点在点处，此时，则， 当时，， ， 则， ， ， ， 故选：C． 1.（2025·湖南湘西·模拟）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定．根据每个条件，利用内角和为推导角的大小，判断是否有角． 【详解】解：①，且， ， 是直角三角形． ②，且， ， 代入得 ， ，且， 是钝角三角形，不是直角三角形． ③，设，，， 则 ， ， 是直角三角形． ④，设， 则，， ， ， 是直角三角形． 能确定是直角三角形的条件有①、③、④，共3个． 故选：C． 2.（2025·湖南·模拟预测）如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题主要考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．首先过点作，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 是等腰直角三角形， 根据矩形的性质可得：， ， 在中，，， ． 故选：B． 3.（2025·湖南长沙·模拟）如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查含的直角三角形的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．首先求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“角所对的直角边为斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵E是中斜边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：A． 4.（2025·湖南郴州·二模）如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，勾股定理等知识；当时，线段的长取得最小值，利用勾股定理求得，，再由角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值， ∵，，， ∴， ∵平分，， ∴， 即的最小值为3． 故答案为：3． 5.（2025·湖南·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质和勾股定理等知识内容，正确掌握菱形的性质是解题的关键．因为四边形是菱形，所以，再根据菱形的顶点D在y轴上，得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的顶点D在y轴上， ∴，即， 故选：A． 6.（2025·湖南·一模）如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴．熟练掌握勾股定理，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，圆的半径为，则点A表示的实数为：，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，圆的半径为， ∴点A表示的实数为：，即， 故选：C． 7.（2025·湖南·模拟预测）如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），蚂蚁怎样走路线最短？最短路线长是多少？ 【答案】线路（1）最短，为5 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键． 分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案． 【详解】解：有三种展开方式， 如图（1），，所以． 如图（2），． 如图（3）， 因为， 所以，路线（1）最短，最短路线是5． 8.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，平分，交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定的方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，由角平分线的性质推出，进而求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9.（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可． （2）利用网格按要求画图即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图，点N即为所求（答案不唯一）． 10.（2025·湖南·模拟）2025年7月5号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，台风中心沿监测点与监测点所在的直线由西向东运动，已知点为一大型农场，在处测得农场在北偏东方向上，且，相距，在处测得农场在北偏西方向上，且，相距． (1)求监测点与监测点之间的距离． (2)农场会受此次台风的影响吗？说明理由． 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为． (2)农场会受此次台风的影响．理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形面积： （1）证明是直角三角形，由勾股定理可求解； （2）过点作于点，运用等积法可求出的长，再与风力影响半径比较即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， 在中， ∴， 答：监测点A与监测点B之间的距离为． （2）解：过点作于点， ∵， 又 ∴， 解得：． 因此，农场会受此次台风的影响． 11.（2025·湖南娄底·一模）已知如图，在中，，，，在直线的同侧分别以的三边作正方形、正方形、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的正方形构成图形的面积，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，过作于，通过证明，依此即可求解，熟练掌握相关定理，证明全等三角形，将阴影面积转化为是解题的关键． 【详解】解：过作于，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12.（2025·湖南·模拟）如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由角平分线的定义可得，，进而可得，则可得，从而可得． （2）过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，．进而可得，再证 四边形是平行四边形，则可得，，进而可得 ，再证，由勾股定理可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 13.（2025·湖南长沙·一模）如图，是的直径，点是上一点，延长到点，连接，，，，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，是的中点，求劣弧的长（结果用表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、直角三角形斜边上的中线性质、弧长等知识，熟练掌握圆的切线的判定和弧长公式是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，再根据等量代换可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）先根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后利用弧长公式计算即可得． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵的半径为1， ∴， 由（1）已得：， ∵是的斜边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴劣弧的长． 14.（2024·湖南·模拟预测）如图，已知点，，线段与x轴相交于点B，过点P作轴，垂足为C，经过点B、C、Q的抛物线交x轴于另一点A，连接，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)求证：； (3)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】本题考查了一次函数与抛物线解析式的待定系数法求法、勾股定理及逆定理、初中三角形面积公式（底高）、特殊角三角函数（）及一元二次方程求解，解题的关键是通过构造直角三角形（含特殊角）表示三角形的高，将角相等转化为线段比例关系，结合函数解析式联立求解． （1）设直线解析式，代入P、Q坐标求解析式得B点；由轴得C点；设抛物线一般式，代入B、C、Q三点解方程组得解析式； （2）设直线解析式求参数，找与y轴交点F，用勾股定理逆定理证 为直角三角形，得； （3）令抛物线求A点，构造含的直角三角形得；以为底，过M作高，利用与坐标轴的夹角构造等腰直角三角形求高，用底高公式表示面积，结合建立关系，联立抛物线求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 代入、得： 两式相减得，解得，代入得， 故直线：． 令，则，解得， ∴． ∵轴，， ∴（垂直y轴时横坐标为0，纵坐标与P相同）． 设抛物线解析式为，代入、、得： 代入得， 两式相加得，解得，代入得． ∴抛物线解析式为． （2）证明：设直线的解析式为， 代入、得： 解得，故直线：． 令直线中，得，即与y轴交点． 由勾股定理计算线段长度：，， 又． ∵，， ∴，故为直角三角形，且． ∴． （3）解：令抛物线，因式分解得，解得（即B点）或，故． 设（，，第四象限）． 在中（为坐标原点，），（到的水平距离），（到的垂直距离），． 过作轴于，交直线于． 由（2）知直线，且、，故是等腰直角三角形，与x轴夹角为． 过作于，则是等腰直角三角形，（）． 的横坐标为，代入解析式得，故（在上方），则． 的面积，代入（由勾股定理得），得． 因，在中，，即． 由勾股定理，，且（到的水平距离为，垂直距离为），故． 将代入化简得， 再将代入，整理得， 因式分解得， 解得（舍去，不在第四象限）． 将代入，得，即． ∴存在符合条件的点M，坐标为． 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 4．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键； 先根据勾股定理求出，设交于点M，作于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出，进而可得，证明，再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴, 由题意可得：平分，即， 设交于点M，作于点N，如图， 则， 设， ∵， ∴， 即， 解得：，即， 则， 由作图痕迹可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故选：A. 5．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 6．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 9．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 10．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确理解题目中给的条件，作出辅助线求解是解题的关键． （1）①根据题意可得此时为等腰直角三角形，作图求解即可； ②连结，根据直角三角行斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，即可得解． （2）分两种情况讨论，第一种情况，，设．则，求出的长，过点作于交于点，分别证明和即可得解；第二种情况，，连接，分别证明和即可得解． 【详解】（1）①如图所示， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， 为中点， 、为、的中点， ， ； 故答案为：2． ②连结， ，， ， 又点为的中点， ，，， ， 又， ， ， ． （2）第一种情况如图所示，，设．则， ， ， ， 过点作于交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 第二种情况：如右图所示，，连接， 易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立； 由（1）可知：， ， ， 又， ．， 可得，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $