第3章 复数复习（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三章复数复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01复数的概念 题型01复数的概念 第三章复数 知识点02复数的运算 题型02复数的运算 题型03复数的几何意义 题型04复数的三角形式 知识点03复数的几何意义 知识点04复数的三角形式 教学目标、教学重难点 教学目标 巩固对复数的概念和运算的理解掌握，掌握复数的几何意义，理解复数的三角形式. 教学重点 复数的概念、运算、几何意义、复数的三角形式的应用 教学难点 复数的运算的几何意义，复数的三角形式的应用. 知识清单 知识点01复数的概念 1.虚数单位：i,规定2=-1： 复数的代数形式：z=a十bi(a,b∈R),a叫实部，b叫虚部 2.复数z=a十.bi(a,b∈R)的分类 ①z是实数÷b=0: ②z是虚数÷b≠0： ③z是纯虚数÷a=0且b≠0. 3.复数相等的充要条件：a十bi=c十di÷a=c且b=d(a,b,c,d∈R). 特别地，a十bi=0÷a=0且b=0(a,b∈R). 4.复数的运算：设1=a+bi、二1=c+dh(a、b、c、d∈R)是任意两个复数： (1)z1+z2=(a+bi)+(c+d)=(a+c)+(b+)i (2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di (3)z1·z2=(a+bi)·(c+d=(ac-bd)+(bc+adi ④(a+b0÷c+d0=g+g+e,i 5.(1)(z1·22)·23=21·(22·23): (2)21(22+Z3)=Z1'22+21·23: 6复数的几个常见结论 第1页共14页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1).(1)2=±2i: ②+.-i “1-i”1+i (3).虚数单位的周期T=4 即：i=1,iat1=i,in+2=-l,i4n+3=-i,i4n+i+1+i+2+int3=0n∈Z. (4).z·z=|z2=a2+b2: 【即学即练1-1】(24-25高一下·浙江杭州期中)已知复数z满足z=5-i,则z的虚部是() A.-1 B.-i C.1 D.i 【即学即练1-2】（多选）23-24高一下·湖南株洲·期中)下列复数是纯虚数的为) A.2+V7 8.i C.8+5i D.(1-3i 知识点02复数的运算 1.复数的运算：设1=a+bi、三1=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数： (1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+)i (2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (3)z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i ④a+b0÷c+0=将+，： 2.(1)(z1·z2)·23=z1·(22'23)月 (2)21(22+23)=Z1·22+21·23: 3复数运算的几个常见结论 (1).(1±i)2=±2i +=i,1=-i ②1-i1,1+i (3).虚数单位的周期T=4 即：ih=1,i+1=i,i4n+2=-l,i4nt3=-i,in+in+1+in+2+in+3=0(n∈Z) (4).zz=z2=a2+b2: 【即学即练2-1】(24-25高二上四川巴中.开学考试)复数z1=a+2i,z2=-4+bi,Q、b∈R,若z1+z2为实 数，z1-z2为纯虚数，则a+b=() A.6 B.-6 C.2 D.-2 【即学即练2-2】（多选）23-24高一下·江苏盐城期中)欧拉公式ei=cos0+isin0(其中i为虚数单位，6∈R) 是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的 关联，在复变函数论里占有非常重要的地位被誉为数学中的“天桥”依据欧拉公式，下列选项正确的有() A.e2为纯虚数 第2页共14页 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B。的共轭复数为2- c.e2-e1.(g∈[停婴D的最大值为√2-V D.若z1=e,22=e在复平面内分别对应点乙1，乙2，则△0Z1Z2面积的最大值为号 知识点03复数的几何意义 1.1.复数-=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，复数==a+bi(a,b∈R)对应平面向量可Z; 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数. 2.复数-=a+b(a,b∈R)的模|=表示复平面内的点-(a,b)到原点的距离. 复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z=la+bi=Va2+b2 3.共轭复数：复数z=a十bi(a,b∈R)的共轭复数云=a一bi;复数z与z表示的点关于实轴对称。 【即学即练3-1】(24-25高一下·湖北荆州期末)设21,22为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是()】 A.i3=-1 B.若引z1=z2,则z1=z C.若z1满足z1=1,则z1-1E[0,2]D.Z1·z1=z宁 【即学即练3-2】（多选）(24-25高一下·全国·课后作业（多选）在复平面内有一个平行四边形0ABC,点0为坐标 原点，点A对应的复数为21=1+i,点B对应的复数为z2=1+2i,点C对应的复数为23，则下列结论正确 的是() A.Z1-z2=-1 B.点C位于第二象限 C.21+z3=Z2 D.lz1-23|=|AC1 知识点04复数的三角形式 （一)概念 在复平面上，复数z=a+bi与点Z(a,b)一一对应。 1.点Z(α，b)到原点的距离称为复数的模，表示为r=|z=√a2+b2 2.一正实轴为始边，向量0Z为终边所成的角，称为复数的辐角，记作6=Arg(z) 一个非零复数的辐角有无数多个，它们之间相差2kπ(k∈Z) 3.辐角主值(0)：将满足-π<6≤π或0≤0<2π的辐角称为辐角主值，记作0=arg(z) 4.关系：a=rcos0,b=rsin0. 5.复数的三角形式与指数形式：z=r(cos6+isin8)=re0,其中r≥0. (二)复数的三角形式的运算 公式：若z1=T1(cos01+isin61),Z2=T2(cos02+isin02),则： 1.z1'z2=r1rz[cos(01+02)+isin(01+02)】, 几何意义：21·22相当于将z1的模伸缩r2倍，再将z1逆时针旋转02角二得到. 2.4=2[cos(61-62)+isin(01-02l 几何意义：2相当于将模相除，再将21顺时针旋转02角二得到， 第3页共14页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 3.若z=r(cos0+isin8),则zr=rn[cos(nθ)+isin(n)] 几何意义：复数乘方，把模乘方，辐角变为原来的n倍 4z-rcos0+sin),则E-云-听lcos(色）+sin(件》 (k∈Z) 几何意义：复数有n个不同的次方根，所有根的模相等都是厅，相邻两个根的辐角相差号 在1复平面上，这n个不同的根均匀分布在以原点为圆心，以F为半径的圆周上，构成一个正n边形. 5.指数形式运算： z=r(cose +isine)=rei,z1=r1(cos01+isine)=rei,22=r2(cos02 +isine2)=r2ei02,: Z1z2=Trze0+9,兰=是e0-),20=e0,E=2左=fe40(keZ. Z2 T2 【即学即练41】22-23高一全国：课后作业计算2(cos75°+isin759·(任-)的值是() A.-9+9B.+9i D.号+i 【即学即练42】（多选(20-21高一下·江苏期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人 们称为“世界上最完美的公式”一一欧拉公式：e=cos0+isin8(其中i是虚数单位，e是自然对数的底数)， 它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是() 2021r A.14e5i=4 B.i12020+2021i=e2 c.若复数e9.e3的虚部为，日e(0,D),则(e02的实部为2-5 18 D.已知乙1=e3,2=e0,复数z1,22对应的点分别为21，乙2，则三角形0Z1乙2面积的最大值为3 题型精讲 题型01复数的概念 【典例1-1】(24-25高一下·安微合肥·期末)若复数z满足(1-)(z+)=4,其中i是虚数单位，则z的虚部为 () A.i B.1 C.2 D.3i 【典例1-2(23-24高一下江苏镇江·期中)已知复数z=cosa+icos2a(0<a<2mD的实部与虚部互为相反数， 则的取值不可能为() A. B. 3 C.π 号 【典例1-3】（多选）23-24高一下·湖南长沙期末)下列命题为真命题的是() A.若复数z=a+bi(a,bER)为纯虚数，则a=0,b≠0 B.复数2-i在复平面内对应的点在第二象限 C.若i为虚数单位，n为正整数，则in+3=i D.若|z1l=lz2l=1,则z1-z2的最大值是2 第4页共14页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-4】(24-25高一下.上海浦东新期末)已知(x+2y)+(4x-y)i=7+i,其中x、y∈R,则 x+y= 《变式1-1】(24-25高一下，陕西咸阳期末)若复数z=m2-1+(m-1)i(其中i为虚数单位)为纯虚数，则实 数m的值为() A.-1 B.1 C.±1 D.0 《变式1-2】(2024高一全国.专题练习)已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值 范围是( A.(-1,3) B.(-∞，-1)U(3,+∞) C.(-3,1) D.(-∞，-3)U(1,+∞) 【变式1-3I(22-23高三下·上海杨浦·月考)已知复数z1=a+bi(a,bER)和复数z2=c+di(c,d∈R).“a=c” 是“z1=22”的) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【变式1-4】(24-25高一上.上海课堂例题)下列说法正确的是 (填序号) ①自然数是有理数，但不是复数；②3+4i的实部为3，虚部为4i: ③对于复数z=a+bi(a,b∈R),若b=0,则z是实数；若b≠0，则z是纯虚数； ④a=b≠0是z=(a2-b2)+(a+b)i(a、b∈R)为纯虚数的充要条件 【变式1-5】（多选）(21-22高一下·浙江宁波期中)已知复数z1=m+(4-m2)i,(m∈R),z2=cos6+(☑+ 2sin9i(eR9∈后，)，且z1=z2,则A的值可以是() A.2 B.月 C. D.1 【变式1-6】(22-23高一下.全国课后作业)设复数z=log2(m2-3m-3)+iog2(3-m),m∈R),如果z 是纯虚数，则m的值是 ；z的虚部为 题型02复数的运算 【典例21】(24-25高-下安徽月考)已知i为虚数单位，=-i0m,nE风)，则号=() A月 C.2 D.-2 【典例2-21(21-22高一下浙江·期中)己知复数z1,z2和z满足|21|=22=1，若1z1-z2l=z1-1=1z2-z, 则z的最大值为() A.2V3 B.3 C.3 D.1 第5页共14页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【典例2-3】（多选22-23高一下·重庆沙坪坝期中）已知非零复数z1,z2,则下列运算结果一定为实数的是() A.Z1+Z B.Z2-Z2 C. D.21Z2+Z122 【典例2-4】(21-22高一下浙江宁波期末)设复平面内的不同三点A,B,C对应复数分别为21,2,23，若= Z1-Z3 1+2ii是虚数单位)，则cos∠BAC的值为 【变式2-1】(2025高二上河南学业考试)(1-51)-(2+)=() A.3-4i B.-3+4i C.1+6i D.-1-6i 【变式2-2】(23-24高一下江苏南通·期中)若z2=-7-24i,则复数z的虚部() A.4 B.-4 C.±4 D.-4i 【变式2-3】(24-25高一下.上海·月考)设z为复数，则“z+4为实数"是1z=2”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【变式2-4】(23-24高一下.浙江宁波期末)已知a∈R,在复数范围内x1,x2是关于x的方程x2-2x+a=0的 两个根，则关于a的函数f(a)=2tm+-2的零点的个数是() 1x11+lx2l20 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2-5】（多选）(2024福建漳州.一模)若(1+)a+bi=4i,a,b∈R,则() A.a=1 B.b=4 C.a-b=-4 D.ab=0 【变式2-6】(23-24高一下·江苏南京·期末)欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现 并证明了欧拉公式ei8=cos0+isin6,从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的6取作π就得到了 欧拉恒等式r+1=0,它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数-一 自然对数的底数e,圆周率π，两个单位一一虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0， 数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：e9=cos日+isin日，将复数e号+er表示成 a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)的形式 :若2=1，则2=2xk=0,12n-1),这里z=c0s+ isin2k=0,12,,n-1),称z为1的一个n次单位根，简称单位根.类比立方差公式，我们可以获得x5- 1=x-1)04+x+x2+x+1),复数2=e号，则2-2)(2-2)23-2)2-2)的值是 题型03复数的几何意义 【典例3-1】(24-25高一下·陕西商洛·期末)已知复数z满足z=1+2i,则复数z对应的点在复平面上的第() 象限. A.- B.二 C.三 D.四 第6页共14页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例3-2】(22-23高一下.上海徐汇·期末)己知k+2个两两互不相等的复数z1,22,,2k,w1,w2,满足w1- 应=n四-2ae1,3,其中j=12,a=1,2k,则k的最大值为) A.3 B.4 C.5 D.6 【典例3-3】（多选）24-25高一下·河南·月考)已知复数z1=a1+bi,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2均为非零实数) 在复平面x0y内对应的点分别为Z1,Z2,定义运算z1⊙z2=a1a2+b1b2i,记复数z的实部为Re(z),虚部为 Im(z),则下列结论中正确的是() A.若21⊙z2=z,则z2=1-1 B.若Re(z1⊙z2)+Im(z1⊙z2)>0,则向量0Z,0Z2的夹角为锐角 C.2(21⊙z2)·(21⊙z2)≤[Re(z1⊙z2)+Im(z1⊙z2]2 D.z1z2z1z2≥Re(z1⊙z2)+Im(z1⊙z2)]2 【典例3-4】(23-24高一下.黑龙江哈尔滨期中)设复数z1=Q+bi(a,b∈R),其在复平面内对应点为P,且a+ b=-1,复数z2=c+di(c,d∈R),其在复平面内对应点为Q,且|z2-2+〢=1，若存在Q的轨迹上的两点 Q1、Q2,使LQ1PQ2=60°，则a的取值范围为 【变式31】(24-25高一下…湖南娄底·期末)已知z1=2-i,z2=1+2i,则复数z=21·z2在复平面内对应的 点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式32】(24-25高一下.甘肃白银，期末)已知复数z满足引z+3一41=1，则1z的最小值为) A.3 B.4 C.5 D.6 凰变式33】(24-25高一下.浙江台州·期末)已知虚数z1,z2是方程x3+x-2=0的两个不同的根，则下列说 法正确的是() A.Z1=1 B.Izl=V2 C.z1+z2=0 D.21+z2=1 《变式3-4】(24-25高一下江苏苏州月考)在复平面内，若复数z=(1+)(3+4),则z对应的点位于()】 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式35】（多选）(25-26高一下全国·课后作业多选)下列命题中，真命题是() A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2l 【变式36】(21-22高一下·上海虹口·期末)在复平面中，已知点A(-1,0)、B(0,3),复数z1、z2对应的点分别 第7页共14页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 为Z1、Z2,且满足|z1|=z2=2,Z1Z21=4,则AZ·BZ的最大值为 题型04复数的三角形式 【典例4-1】(22-23高一下河北张家口·月考)法国数学家棣莫弗(1667-1754发现的公式(c0sx+isinx)n= cosx+i血x推动了复数领域的所究根据该公式，可得(cos号+5in日(1-司) A.-1+iB.1+i C.1-2iD.-2-i 【典例4-2】(25-26高一下全国课后作业)复数1-V3i化成三角形式，正确的是() A.2(cos牙+isin) B.cos+isin C.(cos+isin ）0.2(osg+isin) 【典例43】（多选(2025高一全国.专题练习）设z1,z2是复数，argz1=a,arg22=B,则arg(z1·z2)可能为 () A.&+B B.a+B-2π c.2π-(a+β) D.π+a+B 【典例44】(22-23高一，全国课后作业)利用1的立方根，则8立方根是 【变式41】(24-25高一下.四川雅安·月考)复数-√3+i的三角形式为) A.2(cos号+isin) B.(cos+isin c.cos号+sin9 D.cos isin 【变式42】(2025高一，全国.专题练习)复数z1=1,在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按 逆时针方向旋转而得到，则arg(z2z1)() A. B.8 c.4 D.9 【变式43】(20-21高一下福建泉州期末)已知i为虚数单位，若z1=T1(cos61+isim61), z2=r2(cose2 +isine2),,Zn =rn (cosen tisinen), 2122…2n=T1r2…rn[cos(01+02+…+0n)+isin(01+62++0n).特别地，如果z1=22==2n= r(cos9+isin),那么[r(cos0+isin8)]m=r(cosn0+isinn8),这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立 的棣莫佛定理根据上述公式，可判断下列命题正确的是() A.若2=c0s号+1 -isin则z=-+号 B.若z=cos写+isin写，则z5=1+i C.若z1=2(cos7径+isin径)，z2=3(cosg+isin),则z1z2=-6+6i D.3(cos 2-isin 2),z2=4(cos+isin),2=6+6i 【变式44】(2-23高-全国，课后作业)计算：2(cos+sim- 第8页共14页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式45】（多选）(22-23高一全国课后作业)已知i为虚数单位，z1=V2(cos60°+isin60),22= 2W2(sin30°-icos30),则z1·z2等于() A.4(cos90°+isin90)B.4(cos90°+isin90) C.4(cos30°-isin30)D.4(cos0°+isin0) 凰变式46】(25-26高一下·全国课堂例题)将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）. (1)2(cos号-isin)= 2)-2(cos号+isin) 3)2(sin号+icos） (4)2(-cos+isin) 强化训练 一、单选题 1.(25-26高二上湖南·期中)已知a∈R,复数2a+5+(5-a)i的实部是虚部的3倍，则a=() A.-2 B.2 C.1 D.-1 2(24-25高一下.全国课后作业)设a∈R,则“a=1"是“复数(a-1)(a+2)+i为纯虚数"的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高三上·江西鹰潭·月考)数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式x= cosx+isix(x∈R,i为虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”".根据 此公式，化简(e)202 +e2的结果为) A.2 B.2i c.1+i D.1-i 4.(2025高一.全国专题练习)已知i为虚数单位，以下选项不正确的是() A.若m,n∈R,则m+ni=2+i的充要条件是m=2,n=1 B.若复数21,22,23满足z122=Z223,则z1=Z3 C.i+i2+i3+…+i2025=i D.复数z1,z2≠0，则z122l=z1川z2l 5.(20-21高一下·北京延庆期末)复数z=Q+bi(a,b∈R),z表示z的共轭复数，|z表示z的模，则下列各式正 确的是() A.z=-7 B.z×z=|z C.z2=|z2 D.|z1+z2l≤lz1l+|z2 6.(21-22高一下…重庆江北月考)己知复数z满足z+=z-,则z+1+2的最小值为) A.1 B.2 C.3 D.5 第9页共14页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 725-26商二上·云南·月考愎数(1-)°的实部为() A.- B.z C.-V2 D.√2 8.(23-24高一下.上海·期末)已知P(z)=a.z”+a-1z-1+…+a1z+ao(an≠0，a∈R,i=0,1,,n)是定义 在复数集上的n次实系数多项式(n是正整数)，给出下列两个命题： ①如果虚数z是P(z)的根，即P(z)=0,那么z也是P(z)的根，即P(⑦=0： ②P(z)可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是() A.命题①②都是真命题 B.命题①②都是假命题 C.命题①是真命题，命题②是假命题 D.命题①是假命题，命题②是真命题 二、多选题 9.(22-23高一下·陕西西安·月考)对于复数z=a+bi(a,b∈R),下列结论错误的是() A.若a=0,则a+bi为纯虚数 B.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2 C.若b=0,则a+bi为实数 D.i2=-1 10.(23-24高一下广东·期末)已知复数z1,z2,则下列说法中正确的是()· A.lz1+z2l≤|z1l+lz2l B.若1z1川z2=lz12,则z1=z2 C.若21-22=l21+22l,则z122=0 月-周 11.(21-22高一下.浙江·月考)欧拉公式“er+1=0”被誉为数学史上最美公式，公式的成立蕴含了复数的三角 表示与指数表示：z=a+bi=rei9=r(cos日+isin8),其中r=|z,0是以x非负半轴为始边，复数z对应 的向量oZ所在射线为终边的角，比如z=1+V3i=2e传+2)=2[cos(（侣+2km）+isim(（任+2km刃复数指 数形式的引入方便了复数的开方运算，比知(1+V3到=(2作+2月-V2e信+)=V2[cos(信+km)+ sn(怎+km引=士（停+），则(-号+竖)的结果可以是() A.55 2 B. C.6-2_6+2i D.6+E+6-1 4 4 三、填空题 12.(20-21高一下.上海宝山期末)设21,22,23复平面上对应的点分别为4，B,C,2=(1+V3).若2=1， Z2=z1z,Z3=Z2z,则四边形0ABC的面积为： 13.(22-23高一下.上海杨浦期末)已知常数t∈R,集合S={z-1≤3，zEC,T-{22=1+t,wES, 第10页共14页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若SUT=S,则t的取值范围是 14.(23-24高一下广东东莞期中)复平面上两个点Z1,Z2分别对应两个复数z1,22,它们满足下列两个条件： ①z2=乙1·V3i;②两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为2i,若0为坐标原点，则△Z10Z2的面积为一： 四、解答题 15.(24-25高一下.四川自贡.期末)复数z满足z=m2-4-(m-2)im∈R) (1)若复数z为实数，求m的值： (2)若复数z为纯虚数，求m的值： (3)设复数u=1+sin6+(2+cos)i(☑，6∈R),若μ=z,求1的取值范围. 16.(25-26高一下.全国课后作业)已知集合A={z1川z1+1|≤1,21∈C},B={z2lz2=21+i+m,z1∈A,m∈ R3. (1)当AnB=时，求实数m的取值范围；(2)是否存在实数，使得A∩B=A? 第11页共14页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 17.(23-24高一下.上海·月考)已知i为虚数单位，复数z满足z=1. 1若2=号分求复数2+i的辐角主值， (2)若z≠士i,复数ω满足.二为实数.则复数ω在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由. -w-i z+i (3)已知复平面上点A,B对应的复数分别为z1=2,z2=-3.记复数1的辐角主值为p.求p的取值范围. 第12页共14页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(23-24高一下四川内江期末)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔.棣莫弗、 欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受 材料：形如z=a+bi(a,b∈R)的数称为复数的代数形式.而任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos0+ 如)的形式，即仔m日共中r为复数的模，0叫敬复数：的辐角，我们漫定0≤0≤2m范周内的整角 0的值为辐角的主值，记作agz.复数z=r(cos6+isin8)叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若 OZ=r(cos01+isine),0Z2=r2(cose2 +isine2),r(cos01+isine)r2(cos02+isine2)= r1r2[cos(01+62)+isin(01+62)】.其几何意义是把向量0Z1绕点0按逆时针方向旋转角02（如果02<0，就要 把0Z绕点0按顺时针方向旋转角l旧2)，再把它的模变为原来的r2倍. 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将z=1-V3i写成三角形式： (2)设复数z1=2a-V3i,z2=2b+i,z3=a+bi,且23|=1.若复数z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B, 且0为复平面的坐标原点.向量OB逆时针旋转90°后与向量OA重合，求实数a,b的值； (3)已知单位圆以坐标原点O为圆心，点A为该圆上一动点（纵坐标大于0），点P(2,0),以PA为边作等边△PAQ, 且Q在AP上方.求线段0Q长度的最大值 第13页共14页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26高一下.浙江·开学考试)已知复数z=a+bi(a、beR)的三角形式是z=r(cos0+i·sin0),其中r 是复数z的模，6是复数z的辐角.当0∈[0,2m)时，0称为辐角的主值，记为agz.复数满足：若z1=T1(cos01+i: sin81),z2=T2(cos82+i·sin02),则z1·z2=r1rz[cos(01+62)+i·sin(01+02)]. (1)已知复数z满足：z2=1+V3i,求argz: (2)已知关于x的方程x2-(V6+V②)x+4=0的两个复数根分别是x1、x2,判断函数，f)=)2),(x∈ 2 Z)是否为周期函数，并说明理由； 3)已知对任意a,Be(0,m),都有sim+≥血a叶2设复数z,Z2,Z3不全为实数，l2l=22l=l23l=1,Z1+ 2 2 22+z3-3z1223∈R,证明：max[arg21,ag22,arg23}≥ 第14页共14页 第三章 复数 复习讲义 教学目标 巩固对复数的概念和运算的理解掌握，掌握复数的几何意义，理解复数的三角形式. 教学重点 复数的概念、运算、几何意义、复数的三角形式的应用. 教学难点 复数的运算的几何意义，复数的三角形式的应用. 知识点01 复数的概念 1.虚数单位：，规定； 复数的代数形式：z＝a＋bi(a，b∈R)，a叫实部，b叫虚部 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ① z是实数⇔b＝0； ② z是虚数⇔b≠0； ③ z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. 3.复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R). 4.复数的运算：设、 (、、、)是任意两个复数： (1) (2) (3) (4) 5.(1)； (2)； 6.复数的几个常见结论 (1).(1±i)2＝±2i. (2).＝i，＝－i. (3).虚数单位的周期 即：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z). (4).； 【即学即练1-1】(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知复数z满足，则z的虚部是(    ) A． B． C．1 D．i 【即学即练1-2】(多选)(23-24高一下·湖南株洲·期中)下列复数是纯虚数的为(    ) A． B． C． D． 知识点02 复数的运算 1.复数的运算：设、 (、、、)是任意两个复数： (1) (2) (3) (4) 2.(1)； (2)； 3.复数运算的几个常见结论 (1).(1±i)2＝±2i. (2).＝i，＝－i. (3).虚数单位的周期 即：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z). (4).； 【即学即练2-1】(24-25高二上·四川巴中·开学考试)复数，若为实数，为纯虚数，则(   ) A．6 B． C．2 D． 【即学即练2-2】(多选)(23-24高一下·江苏盐城·期中)欧拉公式(其中i为虚数单位，)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有(    ) A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 知识点03 复数的几何意义 1.1.复数与复平面上的点一一对应，复数对应平面向量； 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． 2.复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模. 3.共轭复数：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi；复数z与表示的点关于实轴对称。 【即学即练3-1】(24-25高一下·湖北荆州·期末)设，为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是(    ) A． B．若，则 C．若满足，则 D． 【即学即练3-2】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为 ，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是(   ) A． B．点位于第二象限 C． D． 知识点04 复数的三角形式 (一)概念 在复平面上，复数与点一一对应。 1.点到原点的距离称为复数的模，表示为; 2.一正实轴为始边，向量为终边所成的角，称为复数的辐角，记作. 一个非零复数的辐角有无数多个，它们之间相差(). 3.辐角主值()：将满足辐角称为辐角主值，记作. 4.关系：，. 5.复数的三角形式与指数形式：，其中. (二)复数的三角形式的运算 公式：若，，则： 1.， 几何意义：相当于将的模伸缩倍，再将逆时针旋转角二得到. 2.， 几何意义：相当于将模相除，再将顺时针旋转角二得到. 3.若，则， 几何意义：复数乘方，把模乘方，辐角变为原来的倍. 4.，则，(). 几何意义：复数有个不同的次方根，所有根的模相等都是，相邻两个根的辐角相差. 在1复平面上，这个不同的根均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆周上，构成一个正边形. 5.指数形式运算： ，，，则： ，，，.(). 【即学即练4-1】(22-23高一·全国·课后作业)计算的值是(    ) A． B． C． D． 【即学即练4-2】(多选)(20-21高一下·江苏·期中)瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：(其中是虚数单位，是自然对数的底数)，它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是(    ) A． B． C．若复数的虚部为，，则的实部为 D．已知，，复数，对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为 题型01 复数的概念 【典例1-1】(24-25高一下·安徽合肥·期末)若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为(    ) A． B．1 C．2 D．3i 【典例1-2】(23-24高一下·江苏镇江·期中)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为(   ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(23-24高一下·湖南长沙·期末)下列命题为真命题的是(   ) A．若复数为纯虚数，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若i为虚数单位，n为正整数，则 D．若，则的最大值是2 【典例1-4】(24-25高一下·上海浦东新·期末)已知，其中、，则 ． 【变式1-1】(24-25高一下·陕西咸阳·期末)若复数(其中为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为(    ) A． B．1 C． D．0 【变式1-2】(2024高一·全国·专题练习)已知复数()的实部大于虚部，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【变式1-3】(22-23高三下·上海杨浦·月考)已知复数和复数．“”是“”的(    ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1-4】(24-25高一上·上海·课堂例题)下列说法正确的是 .(填序号) ①自然数是有理数，但不是复数；②的实部为3，虚部为； ③对于复数()，若，则z是实数；若，则z是纯虚数； ④是(a、)为纯虚数的充要条件. 【变式1-5】(多选)(21-22高一下·浙江宁波·期中)已知复数，且，则的值可以是(    ) A．2 B． C． D．1 【变式1-6】(22-23高一下·全国·课后作业)设复数，，如果是纯虚数，则的值是 ；的虚部为 ． 题型02 复数的运算 【典例2-1】(24-25高一下·安徽·月考)已知为虚数单位，，则(    ) A． B． C．2 D．-2 【典例2-2】(21-22高一下·浙江·期中)已知复数，和满足，若，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．1 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·重庆沙坪坝·期中)已知非零复数，则下列运算结果一定为实数的是(    ) A． B． C． D． 【典例2-4】(21-22高一下·浙江宁波·期末)设复平面内的不同三点对应复数分别为，若(是虚数单位)，则的值为___________. 【变式2-1】(2025高二上·河南·学业考试)(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(23-24高一下·江苏南通·期中)若，则复数z的虚部(    ) A．4 B． C． D． 【变式2-3】(24-25高一下·上海·月考)设为复数，则“为实数”是“”的(   ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2-4】(23-24高一下·浙江宁波·期末)已知，在复数范围内是关于的方程的两个根，则关于的函数的零点的个数是(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-5】(多选)(2024·福建漳州·一模)若，，，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-6】(23-24高一下·江苏南京·期末)欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成(为虚数单位)的形式___________；若，则，这里 ，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________． 题型03 复数的几何意义 【典例3-1】(24-25高一下·陕西商洛·期末)已知复数满足，则复数对应的点在复平面上的第(    )象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【典例3-2】(22-23高一下·上海徐汇·期末)已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·河南·月考)已知复数，(均为非零实数)在复平面内对应的点分别为，定义运算，记复数的实部为，虚部为，则下列结论中正确的是(    ) A．若，则 B．若，则向量的夹角为锐角 C． D． 【典例3-4】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中)设复数，其在复平面内对应点为，且，复数，其在复平面内对应点为，且，若存在的轨迹上的两点、，使，则的取值范围为__________． 【变式3-1】(24-25高一下·湖南娄底·期末)已知，，则复数在复平面内对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】(24-25高一下·甘肃白银·期末)已知复数满足，则的最小值为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】(24-25高一下·浙江台州·期末)已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式3-4】(24-25高一下·江苏苏州·月考)在复平面内，若复数，则对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-5】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选)下列命题中，真命题是(   ) A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数的充要条件是 【变式3-6】(21-22高一下·上海虹口·期末)在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________. 题型04 复数的三角形式 【典例4-1】(22-23高一下·河北张家口·月考)法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得(    ) A． B． C． D． 【典例4-2】(25-26高一下·全国·课后作业)复数化成三角形式，正确的是(   ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(2025高一·全国·专题练习)设是复数，，则可能为(　  　) A． B． C． D． 【典例4-4】(22-23高一·全国·课后作业)利用1的立方根，则8立方根是______． 【变式4-1】(24-25高一下·四川雅安·月考)复数的三角形式为(   ) A． B． C． D． 【变式4-2】(2025高一·全国·专题练习)复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则(　  　) A． B． C． D． 【变式4-3】(20-21高一下·福建泉州·期末)已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是(    ) A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【变式4-4】(22-23高一·全国·课后作业)计算：______． 【变式4-5】(多选)(22-23高一·全国·课后作业)已知为虚数单位，，，则等于(    ) A． B． C． D． 【变式4-6】(25-26高一下·全国·课堂例题)将下列复数化为三角形式(要求辐角为辐角主值)． (1)___________；(2)___________； (3)___________；(4)___________． 一、单选题 1.(25-26高二上·湖南·期中)已知，复数的实部是虚部的3倍，则(    ) A． B．2 C．1 D． 2.(24-25高一下·全国·课后作业)设，则“”是“复数为纯虚数”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.(25-26高三上·江西鹰潭·月考)数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式(，为虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为(    ) A．2 B． C． D． 4.(2025高一·全国·专题练习)已知为虚数单位，以下选项不正确的是( ) A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．复数，则 5.(20-21高一下·北京延庆·期末)复数 ，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是(    ) A． B． C． D． 6.(21-22高一下·重庆江北·月考)已知复数z满足，则的最小值为(      ) A．1 B．2 C． D． 7.(25-26高二上·云南·月考)复数的实部为(    ) A． B． C． D． 8.(23-24高一下·上海·期末)已知是定义在复数集上的次实系数多项式(是正整数)，给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是(    ) A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 二、多选题 9.(22-23高一下·陕西西安·月考)对于复数，下列结论错误的是(    ) A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D． 10.(23-24高一下·广东·期末)已知复数，，则下列说法中正确的是(    )． A． B．若，则 C．若，则 D． 11.(21-22高一下·浙江·月考)欧拉公式“”被誉为数学史上最美公式，公式的成立蕴含了复数的三角表示与指数表示：，其中，是以x非负半轴为始边，复数z对应的向量所在射线为终边的角，比如 .复数指数形式的引入方便了复数的开方运算，比如 ，则的结果可以是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 12.(20-21高一下·上海宝山·期末)设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______． 13.(22-23高一下·上海杨浦·期末)已知常数，集合，，若，则t的取值范围是____________. 14.(23-24高一下·广东东莞·期中)复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______． 四、解答题 15.(24-25高一下·四川自贡·期末)复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 16.(25-26高一下·全国·课后作业)已知集合，． (1)当时，求实数的取值范围；(2)是否存在实数m，使得? 17.(23-24高一下·上海·月考)已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 18.(23-24高一下·四川内江·期末)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角(如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角)，再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式； (2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； (3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点(纵坐标大于0)，点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 19.(25-26高一下·浙江·开学考试)已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数满足：若，，则. (1)已知复数满足：，求； (2)已知关于的方程的两个复数根分别是，判断函数，是否为周期函数，并说明理由； (3)已知对任意，都有.设复数不全为实数，，，证明：. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 复数 复习讲义 教学目标 巩固对复数的概念和运算的理解掌握，掌握复数的几何意义，理解复数的三角形式. 教学重点 复数的概念、运算、几何意义、复数的三角形式的应用. 教学难点 复数的运算的几何意义，复数的三角形式的应用. 知识点01 复数的概念 1.虚数单位：，规定； 复数的代数形式：z＝a＋bi(a，b∈R)，a叫实部，b叫虚部 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ① z是实数⇔b＝0； ② z是虚数⇔b≠0； ③ z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. 3.复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R). 4.复数的运算：设、 (、、、)是任意两个复数： (1) (2) (3) (4) 5.(1)； (2)； 6.复数的几个常见结论 (1).(1±i)2＝±2i. (2).＝i，＝－i. (3).虚数单位的周期 即：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z). (4).； 【即学即练1-1】(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知复数z满足，则z的虚部是(    ) A． B． C．1 D．i 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】由复数的实部虚部的定义可知答案. 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若(为实数)则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A 【即学即练1-2】(多选)(23-24高一下·湖南株洲·期中)下列复数是纯虚数的为(    ) A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】利用纯虚数的定义分析求解即可. 【详解】由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0， 而A，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0， 故，是纯虚数，故B，D正确. 故选：BD 知识点02 复数的运算 1.复数的运算：设、 (、、、)是任意两个复数： (1) (2) (3) (4) 2.(1)； (2)； 3.复数运算的几个常见结论 (1).(1±i)2＝±2i. (2).＝i，＝－i. (3).虚数单位的周期 即：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z). (4).； 【即学即练2-1】(24-25高二上·四川巴中·开学考试)复数，若为实数，为纯虚数，则(   ) A．6 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、已知复数的类型求参数 【分析】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求出即可. 【详解】因为， 所以为实数， 则，即， 为纯虚数， 则，即， 所以. 故选：B. 【即学即练2-2】(多选)(23-24高一下·江苏盐城·期中)欧拉公式(其中i为虚数单位，)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有(    ) A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的坐标表示、共轭复数的概念及计算、求复数的模、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】对于A,B,只需按照欧拉公式赋值代入，计算即可判断；对于C，需要求出的表达式，利用三角函数的值域即得；对于D，需要建立复数与对应向量的一一对应关系，利用向量坐标的夹角公式推出面积的表达式，即可得到. 【详解】对于A，显然为纯虚数，故A正确； 对于B，，其共轭复数为，故B错误； 对于C，因， 故， 因，则，故的最大值为，故C错误； 对于D，由，则有，由，则有， 于是，,则，设, 则，故， 则△面积为， 因，,故△面积的最大值为,故D正确. 故选：AD. 知识点03 复数的几何意义 1.1.复数与复平面上的点一一对应，复数对应平面向量； 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． 2.复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模. 3.共轭复数：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi；复数z与表示的点关于实轴对称。 【即学即练3-1】(24-25高一下·湖北荆州·期末)设，为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是(    ) A． B．若，则 C．若满足，则 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】选项A，利用虚数单位的周期性幂运算判断； 选项B，通过反例说明模长相等的复数平方不一定相等； 选项C，结合复数的几何意义，分析单位圆上的点到定点的距离范围； 选项D，利用复数与共轭复数的乘积公式与平方的关系对比. 【详解】对于A，结合虚数单位的幂运算，，故A错误； 对于B，令，，则，但，，则，故B错误； 对于C，因为满足，所以表示复平面上对应单位圆上的点，则表示在复平面内，对应的点到点的距离，又点在单位圆上，所以，故C正确； 对于D，令，则，所以， ，所以，故D错误. 故选：C. 【即学即练3-2】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为 ，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是(   ) A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数的坐标表示 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】对A选项，，所以A正确； 对B选项，由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上，所以B错误； 对C、D选项，如图，，，对应的向量分别为，，， 则，， 即，，所以C正确、D正确； 故选：ACD. 知识点04 复数的三角形式 (一)概念 在复平面上，复数与点一一对应。 1.点到原点的距离称为复数的模，表示为; 2.一正实轴为始边，向量为终边所成的角，称为复数的辐角，记作. 一个非零复数的辐角有无数多个，它们之间相差(). 3.辐角主值()：将满足辐角称为辐角主值，记作. 4.关系：，. 5.复数的三角形式与指数形式：，其中. (二)复数的三角形式的运算 公式：若，，则： 1.， 几何意义：相当于将的模伸缩倍，再将逆时针旋转角二得到. 2.， 几何意义：相当于将模相除，再将顺时针旋转角二得到. 3.若，则， 几何意义：复数乘方，把模乘方，辐角变为原来的倍. 4.，则，(). 几何意义：复数有个不同的次方根，所有根的模相等都是，相邻两个根的辐角相差. 在1复平面上，这个不同的根均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆周上，构成一个正边形. 5.指数形式运算： ，，，则： ，，，.(). 【即学即练4-1】(22-23高一·全国·课后作业)计算的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】因为 所以， 所以， 故选：B. 【即学即练4-2】(多选)(20-21高一下·江苏·期中)瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：(其中是虚数单位，是自然对数的底数)，它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是(    ) A． B． C．若复数的虚部为，，则的实部为 D．已知，，复数，对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、三角表示下复数的几何意义、复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】根据欧拉公式及复数得模即可判断A； ，整理即可判断B； 根据欧拉公式及复数的虚部为，，结合三角恒等变换，求出，即可求出的实部，从而判断C； 根据题意可得，点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积的最大值，从而判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 因为复数的虚部为，所以， 又，所以， 故，所以，所以， ， ，即的实部为，故C错误； 对于D，由题意，，则点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆， 又，，当，即时，取最大值， 所以三角形面积的最大值为，故D错误. 故选：AB. 题型01 复数的概念 【典例1-1】(24-25高一下·安徽合肥·期末)若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为(    ) A． B．1 C．2 D．3i 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、求复数的实部与虚部 【分析】首先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则的虚部为， 故选：. 【典例1-2】(23-24高一下·江苏镇江·期中)已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、二倍角的余弦公式、特殊角的三角函数值 【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可. 【详解】由题意，可知， 所以， 解得或， 因为，所以或或. 故选：D 【典例1-3】(多选)(23-24高一下·湖南长沙·期末)下列命题为真命题的是(   ) A．若复数为纯虚数，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若i为虚数单位，n为正整数，则 D．若，则的最大值是2 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、求复数的模、求复数的实部与虚部、判断命题的真假 【分析】利用复数的基本概念判断A；利用复数的代数表示法及其几何意义判定B与D；利用虚数单位的运算性质判定C． 【详解】解：A．若复数为纯虚数，则，，故正确，符合题意； B．复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故错误，不符合题意； C．若为虚数单位，为正整数，则，故错误，不符合题意； D．若，则，对应复平面内单位圆上的两动点，可得的最大值是2，故正确，符合题意． 故选：AD． 【典例1-4】(24-25高一下·上海浦东新·期末)已知，其中、，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，其中、， 由复数相等可得，解得，因此，. 故答案为：. 【变式1-1】(24-25高一下·陕西咸阳·期末)若复数(其中为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为(    ) A． B．1 C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 【变式1-2】(2024高一·全国·专题练习)已知复数()的实部大于虚部，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用复数的定义及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由已知可得，即，解得或， 因此，实数a的取值范围是． 故选：B. 【变式1-3】(22-23高三下·上海杨浦·月考)已知复数和复数．“”是“”的(    ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、判断命题的必要不充分条件 【分析】两个复数相等的条件是实部相等和虚部相等，以及充分必要条件的成立条件即可判断. 【详解】充分性：当时，若，则，所以充分性不成立； 必要性：当时，则且，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 【变式1-4】(24-25高一上·上海·课堂例题)下列说法正确的是 .(填序号) ①自然数是有理数，但不是复数；②的实部为3，虚部为； ③对于复数()，若，则z是实数；若，则z是纯虚数； ④是(a、)为纯虚数的充要条件. 【答案】④ 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的基本概念、充要条件的证明 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】对于①：因为，可知自然数是有理数，也是复数，故①错误； 对于②：的实部为3，虚部为4，故②错误； 对于③：对于复数()，若，则z是实数； 若且，则z是纯虚数；故③错误； 对于④：若，则，可知为纯虚数，即充分性成立； 若(a、)为纯虚数， 则，解得，即必要性成立； 所以是(a、)为纯虚数的充要条件，故④正确； 故答案为：④. 【变式1-5】(多选)(21-22高一下·浙江宁波·期中)已知复数，且，则的值可以是(    ) A．2 B． C． D．1 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示、求含sinx(型)的二次式的最值、复数的相等 【分析】根据，得到，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 则，，， 因为，所以，则， 故选：AC 【变式1-6】(22-23高一下·全国·课后作业)设复数，，如果是纯虚数，则的值是 ；的虚部为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的定义结合对数的运算求解即可. 【详解】因为是纯虚数，所以，解得. 则，则的虚部为. 故答案为：；. 题型02 复数的运算 【典例2-1】(24-25高一下·安徽·月考)已知为虚数单位，，则(    ) A． B． C．2 D．-2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】由复数的乘法运算结合复数相等的条件得到方程，即可求解. 【详解】由，得， 故，，即，故. 故选：C 【典例2-2】(21-22高一下·浙江·期中)已知复数，和满足，若，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．1 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·重庆沙坪坝·期中)已知非零复数，则下列运算结果一定为实数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、复数的分类及辨析 【分析】由复数的乘法和加、减运算对选项一一化简，即可得出答案. 【详解】设复数(a，，)，，( ，)，， 对于A，，虚部为0，则一定为实数，故A正确； 对于B，，虚部不为0，故一定不为实数，故B不正确； 对于C，， 若，则不一定为实数，故C不正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：AD. 【典例2-4】(21-22高一下·浙江宁波·期末)设复平面内的不同三点对应复数分别为，若(是虚数单位)，则的值为___________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、复数的向量表示 【分析】设，由得，进而求得，，即可求得. 【详解】设，由可得， 即，整理得， 即， 则；又复数对应的向量为， 则，， 则， ， 则，则，则. 故答案为：. 【变式2-1】(2025高二上·河南·学业考试)(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的运算即可求解. 【详解】， 故选：D. 【变式2-2】(23-24高一下·江苏南通·期中)若，则复数z的虚部(    ) A．4 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、根据相等条件求参数、求复数的实部与虚部 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解． 【详解】设，则， ，，解得或或 所以复数z的虚部为． 故选：C. 【变式2-3】(24-25高一下·上海·月考)设为复数，则“为实数”是“”的(   ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】首先设，，根据复数的运算化简，再结合复数的特征，以及模的公式，利用充分，必要条件的定义，即可判断. 【详解】设，， ，， 若为实数，则，即或， 所以为实数，则不一定， 若，则，则为实数， 所以“为实数”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2-4】(23-24高一下·浙江宁波·期末)已知，在复数范围内是关于的方程的两个根，则关于的函数的零点的个数是(    ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、复数范围内方程的根 【分析】根据根与系数的关系得，进而根据方程的虚根和实数根分类讨论，即可求解. 【详解】若是方程的两个虚数根，所以， 且，则， ，解得，(满足)， 若是方程的两个实数根，所以， 且，则， 当时，，， 当时，，， 由可得， 令，由于，所以， 故函数在单调递减，且， 故在无实数根， 综上可得，零点个数为3， 故选：C 【变式2-5】(多选)(2024·福建漳州·一模)若，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】根据复数的加减运算结果求参数、复数的相等 【分析】根据复数的加法结合复数相等求，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 则，解得，可得， 故BCD正确，A错误. 故选：BCD. 【变式2-6】(23-24高一下·江苏南京·期末)欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成(为虚数单位)的形式___________；若，则，这里 ，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数加减法的代数运算 【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空. 【详解】，， 所以， 由题意可得， 所以， 又因为，所以， 则 . 故答案为：；. 题型03 复数的几何意义 【典例3-1】(24-25高一下·陕西商洛·期末)已知复数满足，则复数对应的点在复平面上的第(    )象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】先根据等式求出复数，然后根据实部和虚部的符号判断象限. 【详解】由题意得，因为，计算可得， 故复数对应的点在复平面上的第四象限. 故选：D． 【典例3-2】(22-23高一下·上海徐汇·期末)已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用、复数代数形式的乘法运算 【分析】设从而可得即对应平面内距离为的点，从而利用数学结合求解即可. 【详解】设 , , 即 化为 故对应平面内距离为的点，如下图中,    , 与对应点的距离为或 构成了点共个点， 故的最大值为 故选： 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·河南·月考)已知复数，(均为非零实数)在复平面内对应的点分别为，定义运算，记复数的实部为，虚部为，则下列结论中正确的是(    ) A．若，则 B．若，则向量的夹角为锐角 C． D． 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的向量表示 【分析】对于A，根据复数相等，由题意，建立方程，可得其正误；对于B，根据向量数量积的定义式与坐标运算，结合锐角的定义，可得其正误；对于CD，由运算整理不等式，可得其正误. 【详解】对于A，若，则，解得，则，故A正确； 对于B，设的夹角为，由题可知，， 因为， 所以，则的夹角为锐角或同向，故B错误； 对于C，由题可知， 原式等价于，整理可得， 而，故C错误； 对于D，因为，所以原式等价于， 整理得，即，该式恒成立，故D正确. 故选：AD. 【典例3-4】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中)设复数，其在复平面内对应点为，且，复数，其在复平面内对应点为，且，若存在的轨迹上的两点、，使，则的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】复数的坐标表示、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】利用复数的几何意义确定的轨迹，数形结合计算即可. 【详解】设，其在复平面对应的点为， 易知，，， 所以P在上，Q在以A为圆心，1为半径的圆上， 由圆的对称性，不妨令平分， 即直线上存在点P满足， 如下图所示，显然当与圆相切时，张角最大， 此时可知， 根据图形可知：设直线与轴的交点为B，则，显然， 过A作轴交直线于C，则， 易知，则为等腰直角三角形，即， 故直线上满足的点有两个即或， 显然当点P横坐标小于0或大于2时，可知圆上不存在点满足， 即不符合题意，故 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用复数的几何意义确定动点轨迹，数形结合计算即可. 【变式3-1】(24-25高一下·湖南娄底·期末)已知，，则复数在复平面内对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论. 【详解】因为，，则复数， 故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 【变式3-2】(24-25高一下·甘肃白银·期末)已知复数满足，则的最小值为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题 【分析】由复数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 【变式3-3】(24-25高一下·浙江台州·期末)已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【分析】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【详解】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设，则，， 则，故只有B正确. 故选：B 【变式3-4】(24-25高一下·江苏苏州·月考)在复平面内，若复数，则对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念，以及复数与复平面内点的对应关系，判断结果. 【详解】由，计算得，则，对应复平面内的坐标为，在第三象限. 故选：C. 【变式3-5】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选)下列命题中，真命题是(   ) A．复数的模是非负实数 B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数的充要条件是 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】判断命题的真假、充要条件的证明、复数的基本概念、求复数的模 【分析】对于A选项根据复数的模的计算公式即可；对于B选项利用复数相等条件即可；对于C选项根据复数的模举反例即可；对于D选项不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小推断即可. 【详解】对于选项A：任意复数()的模总成立．故A正确； 对于选项B：由复数相等的条件，故B正确； 对于选项C：若，， 若，则有，，所以．反之由，推不出， 反例：如，时，故C正确； 对于选项D：取，满足， 但不能比较大小，故D错误. 故选：ABC 【变式3-6】(21-22高一下·上海虹口·期末)在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、与复数模相关的轨迹(图形)问题、已知模求数量积 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【详解】解：因为复数对应的点为 且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上 又，所以为圆的直径，即关于原点对称 所以 因为 所以 又，， 则 所以 即的最大值为，所以的最大值为. 故答案为：. 题型04 复数的三角形式 【典例4-1】(22-23高一下·河北张家口·月考)法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的三角形式 【分析】根据题中定义化简式子，再根据复数乘法计算即可. 【详解】根据题意可知， 故. 故选：B. 【典例4-2】(25-26高一下·全国·课后作业)复数化成三角形式，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值、复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】求出复数的辐角，即可得其三角形式. 【详解】复数对应的点为，. 设复数的辐角为，则. 因为点在第四象限，所以的一个值为. 所以复数化成三角形式为. 故选：C. 【典例4-3】(多选)(2025高一·全国·专题练习)设是复数，，则可能为(　  　) A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的几何意义 【分析】先由复数的辐角主值定义得到的范围，再根据复数乘法的三角表示及的不同范围分情况讨论即可得到的所有可能. 【详解】因为，所以， 而， 则当时，； 当时，，则； 当时，，则. 故选：ABC. 【典例4-4】(22-23高一·全国·课后作业)利用1的立方根，则8立方根是______． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】设立方根为形式，由可得且，结合求结果. 【详解】令1的立方根为且，则， 所以，即，且，即，故且， 则且， 当时， 当时， 当时； 同理，令且， 所以，即，且，即，故且， 则且， 当时， 当时， 当时； 故答案为：， 【变式4-1】(24-25高一下·四川雅安·月考)复数的三角形式为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解. 【详解】∵，， ∴，，故选项A，C错误； ∵，， ∴，，故选项B正确，选项D错误. 故选：B. 【变式4-2】(2025高一·全国·专题练习)复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则(　  　) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】由复数的三角形式的乘法运算即可求解. 【详解】由题可知， 所以，所以， 故选:B. 【变式4-3】(20-21高一下·福建泉州·期末)已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是(    ) A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】A. i i，所以该选项正确； B. i，所以该选项错误； C. i，所以该选项错误； D. ii.所以该选项错误. 【详解】A. 若i，则i i，所以该选项正确； B. 若i，则i，所以该选项错误； C. 若i，i，则i，所以该选项错误； D. i，i，则ii. 所以该选项错误. 故选：A 【变式4-4】(22-23高一·全国·课后作业)计算：______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数的除法运算 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】 ， ， 故答案为：. 【变式4-5】(多选)(22-23高一·全国·课后作业)已知为虚数单位，，，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可. 【详解】， . 故选：D. 【变式4-6】(25-26高一下·全国·课堂例题)将下列复数化为三角形式(要求辐角为辐角主值)． (1)___________；(2)___________； (3)___________；(4)___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、复数的三角表示 【分析】先利用三角恒等式转化符号，将表达式调整为标准三角形式，再把辐角修正到主值范围内即可. 【详解】(1) ； (2)； (3) ； (4). 故答案为：；；； 一、单选题 1.(25-26高二上·湖南·期中)已知，复数的实部是虚部的3倍，则(    ) A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 2.(24-25高一下·全国·课后作业)设，则“”是“复数为纯虚数”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念分析判断即可. 【详解】当时，复数，为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，得或． 所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件． 故选：A． 3.(25-26高三上·江西鹰潭·月考)数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式(，为虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为(    ) A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方 【分析】根据(，为虚数单位)，分别求得即可. 【详解】解：因为， 又，所以. 故选：B. 4.(2025高一·全国·专题练习)已知为虚数单位，以下选项不正确的是( ) A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．复数，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、复数的乘方 【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用的乘方的周期性计算即得；对于D，根据复数乘法运算及复数的模判断. 【详解】对于A：因，则等价于， 等价于，即，故A正确； 对于B：由可得， 当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误； 对于C：因对于， ， 则， 于是，故C正确； 对于D： ，， ∴，故D正确. 故选：B. 5.(20-21高一下·北京延庆·期末)复数 ，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数加减法几何意义的运用、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的四则运算、模的坐标运算及复数的几何意义即可判断. 【详解】因为，所以，故A错误； ，，故B错误； ，，故C错误； 由复数的几何意义可知：，则，故D正确. 故选：D. 6.(21-22高一下·重庆江北·月考)已知复数z满足，则的最小值为(      ) A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解. 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B 7.(25-26高二上·云南·月考)复数的实部为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】利用复数的四则运算求出，即可求其实部. 【详解】, 故的实部为， 故选：B. 8.(23-24高一下·上海·期末)已知是定义在复数集上的次实系数多项式(是正整数)，给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是(    ) A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断命题的真假、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②. 【详解】因为是的根，所以， 所以， 于是， 即， 所以是的根，，故①正确; 由①可知，若虚数满足，则也满足， 所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确. 故选：. 二、多选题 9.(22-23高一下·陕西西安·月考)对于复数，下列结论错误的是(    ) A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、复数的分类及辨析、虚数单位i及其性质 【分析】根据复数的概念判断AC，根据复数相等判断B，根据虚数单位的定义判断D. 【详解】对于A：当，，当时为实数，A错误； 对于B：若，则，B错误； 对于C：若，则为实数，C正确； 对于D：，D正确. 故选：AB. 10.(23-24高一下·广东·期末)已知复数，，则下列说法中正确的是(    )． A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、复数的相等、复数的基本概念 【分析】对于A，由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断；对于B、C，举反例即可判断；对于D，设，，再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定义直接计算即可判断. 【详解】对于A，设复数、对应的点分别为、， 则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得： ，故A正确； 对于B，当，则，可为任意复数，即与不一定相等，故B错误； 对于C，设复数、， 则，故，但不满足，故C错误； 对于D，设，，故， 则 ， 又，故，故D正确. 故选：AD. 11.(21-22高一下·浙江·月考)欧拉公式“”被誉为数学史上最美公式，公式的成立蕴含了复数的三角表示与指数表示：，其中，是以x非负半轴为始边，复数z对应的向量所在射线为终边的角，比如 .复数指数形式的引入方便了复数的开方运算，比如 ，则的结果可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】复数的三角形式、复数的指数形式、求15°等特殊角的余弦、求15°等特殊角的正弦 【分析】根据所给运算公式代入逐步运算即可判定选项正误. 【详解】解析： ，则，，. 故选：BC. 三、填空题 12.(20-21高一下·上海宝山·期末)设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的几何意义 【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解. 【详解】由，得，由，得， 因，所以，即，且， 又因，所以，即，且, 因此. 故答案为：. 13.(22-23高一下·上海杨浦·期末)已知常数，集合，，若，则t的取值范围是____________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】复数的除法运算、与复数模相关的轨迹(图形)问题、由圆的位置关系确定参数或范围、根据集合的包含关系求参数 【分析】设，根据，得到，结合，得到，变形得到，根据几何意义得到两圆内含或内切，得到不等关系，求出答案. 【详解】设，则，解得， 因为，所以，即， 化简得到，其中， 整理得， 所以集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部， 而集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部， 因为，所以，故两圆内含或内切， 故圆心距小于等于半径之差，即，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 14.(23-24高一下·广东东莞·期中)复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，依题意，列出关于的方程组，解之得，求出，利用三角形面积公式计算即得. 【详解】设，依题意，， 即，解得.则有， 则, 由可得为直角三角形， 故的面积为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查复数与复平面内的点、对应向量之间的一一对应关系的应用，属于较难题. 解题思路，即是将复数对应的点或者向量在复平面内表示出来，通过图形理解，列出与复数的实部与虚部关联的方程组，求出点的坐标，得到相应的边长和角即可. 四、解答题 15.(24-25高一下·四川自贡·期末)复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】(1)由复数z为实数，则虚部为0可解； (2)由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； (3)由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可. 【详解】(1)复数z为实数，所以. (2)复数z为纯虚数， 所以，解得. (3)， ， 即， 又，所以时，，时，， 所以的取值范围为. 16.(25-26高一下·全国·课后作业)已知集合，． (1)当时，求实数的取值范围；(2)是否存在实数m，使得? 【答案】(1)；(2)不存在 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、由圆的位置关系确定参数或范围、复数加减法几何意义的运用 【分析】(1)根据复数的几何意义可得所对应的点构成的集合A是以为圆心， 以1为半径的圆面(圆周及其内部)，所对应的点的集合B是以点为圆心，1为半径的圆面(圆周及其内部)，进而得到表示两圆外离，进而求解即可； (2)结合(1)分析求解即可. 【详解】(1)因为，所以所对应的点构成的集合A是以为圆心， 以1为半径的圆面(圆周及其内部)． 又，所以， 所以，即． 所以所对应的点的集合B是以点为圆心，1为半径的圆面(圆周及其内部)． 若，因为两圆半径相等，说明上述两圆外离， 其圆心距，解得或， 则实数的取值范围是. (2)若，因为两圆半径相等，所以两圆重合， 但由圆心的坐标及，可知它们不可能重合， 所以不存在实数m，使． 17.(23-24高一下·上海·月考)已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 【答案】(1)；(2)以为圆心､半径为1的圆，不含点，理由见解析；(3) 【难度】0.4 【知识点】反三角函数、复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】(1)求得复数，可求辐角主值； (2)法一：设，，可得为纯虚数，可求得，且； 法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数，，与对应的向量垂直，可得对应点在以点的连线为直径的圆上； (3)设，则，设的一个辐角为的一个辐角为，可得，令，设，利用车辅助角公式可求得范围，分类可求得的范围. 【详解】(1)的辐角主值为． (2)设，则 为纯虚数 为纯虚数 ，为纯虚数或0 即，且． 是以为圆心､半径为1的圆，不含点 解法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数 为纯虚数或0 与对应的向量垂直， 对应点在以点的连线为直径的圆上，且 综上，是以为圆心､半径为1的圆，不含点 (3)设，则． 设的一个辐角为的一个辐角为． ． 令． 设，即，解得范围为， 若，则的范围是若，则的范围是． 的范围是． 【点睛】方法点睛：与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解. 18.(23-24高一下·四川内江·期末)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角(如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角)，再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式； (2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； (3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点(纵坐标大于0)，点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3)最大值为3. 【难度】0.4 【知识点】求复数的模、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角表示下复数的几何意义、复数的三角形式 【分析】(1)根据复数的三角形式的定义直接求解即可； (2)解法一：由题意得，解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几何意义求解即可； (3)解法一：设，所表示的复数为所表示的复数为，根据复数的三角形式求出的坐标，从而可表示出，化简变形后可求出其最大值；解法二：连接，设，然后利用正余弦定理求解即可. 【详解】(1)由于，故，所以， 所以， 因为，所以 所以； (2)法一：由题意知， 得，解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，复数乘以一个模长为1，辐角为的复数， 即为复数.故， 故，所以. (3)解法一：设， 所表示的复数为所表示的复数为，则， ， 故， 得 ， 所以当时，取得最大值3， 故线段长度的最大值为3. 解法二：连接，设， 由，在中可得， 在中可得，于是， 在中可得，于是， 在中可得， 化简得. 故的最大值为3. . 19.(25-26高一下·浙江·开学考试)已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数满足：若，，则. (1)已知复数满足：，求； (2)已知关于的方程的两个复数根分别是，判断函数，是否为周期函数，并说明理由； (3)已知对任意，都有.设复数不全为实数，，，证明：. 【答案】(1)或；(2)是，理由见解析；(3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】和差化积公式、复数的三角表示、复数范围内方程的根 【分析】(1)根据复数乘法法则得到的三角形式，且满足进行求解. (2)求出方程的两个复数根，化为三角形式代入函数，再根据复数的幂性质判断是否为周期函数. (3)根据已知条件得出，利用反证法推出矛盾. 【详解】(1)设，则， 又，所以， 所以，， 即，又， 所以或. (2)因为的两个复数根分别是， 所以， ， 即， 由棣莫弗定理可知，， ， 所以，即24是的其中一个周期； (3)由题意，，， 、、，可得： ， 则虚部， 所以， 假设结论不成立，则， 又，故， 所以， ， 所以， 故，即， 由三倍角公式得， 所以， 即， 又，所以， 即， 产生矛盾，所以假设不成立，所以. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三章复数复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01复数的概念 题型01复数的概念 第三章复数 知识点02复数的运算 题型02复数的运算 题型03复数的几何意义 题型04复数的三角形式 知识点03复数的几何意义 知识点04复数的三角形式 教学目标、教学重难点 教学目标 巩固对复数的概念和运算的理解掌握，掌握复数的几何意义，理解复数的三角形式. 教学重点 复数的概念、运算、几何意义、复数的三角形式的应用 教学难点 复数的运算的几何意义，复数的三角形式的应用. 知识清单 知识点01复数的概念 1.虚数单位：i,规定2=-1： 复数的代数形式：z=a十bi(a,b∈R),a叫实部，b叫虚部 2.复数z=a十.bi(a,b∈R)的分类 ①z是实数÷b=0: ②z是虚数÷b≠0： ③z是纯虚数÷a=0且b≠0. 3.复数相等的充要条件：a十bi=c十di÷a=c且b=d(a,b,c,d∈R). 特别地，a十bi=0÷a=0且b=0(a,b∈R). 4.复数的运算：设1=a+bi、二1=c+dh(a、b、c、d∈R)是任意两个复数： (1)z1+z2=(a+bi)+(c+d)=(a+c)+(b+)i (2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di (3)z1·z2=(a+bi)·(c+d=(ac-bd)+(bc+adi ④(a+b0÷c+d0=g+g+e,i 5.(1)(z1·22)·23=21·(22·23): (2)21(22+Z3)=Z1'22+21·23: 6复数的几个常见结论 第1页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1).(1±)2=±2i: 1-i1 1+i (3).虚数单位的周期T=4 即：i=l,in+1=i,i4a+2=-l,i4n+3=-i,in+int1+ir+2+in+3=00n∈Z), (4).zz=z2=a2+b2: 【即学即练1-1】(24-25高一下浙江杭州期中)已知复数z满足z=5-i,则z的虚部是() A.-1 B.-i C.1 D.i 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】由复数的实部虚部的定义可知答案。 【详解】由复数的实部虚部的定义可知，若z=a+bi(a,b为实数)则a为复数的实部，b为复数的虚部，则z 的虚部是-1. 故选：A 【即学即练1-2】（多选）23-24高一下·湖南株洲·期中)下列复数是纯虚数的为) A.2+V7 B.i c.8+5i D.(1-V3 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】利用纯虚数的定义分析求解即可. 【详解】由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0， 而A,C实部不为0，B,D实部为0且虚部不为0， 故i,(1-V3i是纯虚数，故B,D正确. 故选：BD 知识点02复数的运算 1.复数的运算：设三1=a+bi、二1=c+di（a、b、c、d∈R)是任意两个复数： (1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-)i 3)z1·z2=(a+bi)·(c+d)=(ac-bd)+(bc+ad)i @④a+b0÷c+d的=2+经i 2.(1)(z1·22)·23=z1·(22·z3): (2)Z1(22+Z3)=21'22+21·23: 3.复数运算的几个常见结论 (1).(1±)2=±2i, 第2页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②1+=i. 1-i “1-i”1+i 一i (3).虚数单位的周期T=4 即：i=l,int1=i,i4ht2=-l,i4nt+3=-,i,in+n+1+in+2+in+3=0(n∈Z) (4).z·z=z2=a2+b2: 【即学即练2-1】(24-25高二上四川巴中.开学考试)复数z1=a+21,z2=一-4+bi,a、b∈R,若z1+22为实 数，z1-z2为纯虚数，则a+b=() A.6 B.-6 C.2 D.-2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、已知复数的类型求参数 【分析】应用复数的加减运算求z1+z2、z1-z2,根据实数、纯虚数定义求参数，进而求出a+b即可. 【详解】因为z1=a+21,z2=-4+bi, 所以z1+22=a+2i-4+bi=(a-4)+(2+b)i为实数， 则2+b=0,即b=-2, z1-z2=a+2i-(-4+bi)=(a+4)+(2-b)i为纯虚数， 则a+4=0,2-b≠0，即a=-4,b≠2， 所以a+b=-2-4=-6. 故选：B I即学即练2-2】（多选）23-24高一下·江苏盐城期中)欧拉公式ei=cos0+isin(其中i为虚数单位，0∈R) 是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的 关联，在复变函数论里占有非常重要的地位被誉为数学中的“天桥”依据欧拉公式，下列选项正确的有() A.e2为纯虚数 ®。e的共轭复数为9 C.le2-e,(0∈[辱，]D的最大值为√2-3 D.若z1=e3,z2=e在复平面内分别对应点Z1,Z2,则△0z1Z2面积的最大值为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的坐标表示、共轭复数的概念及计算、求复数的模、求含six(型)函数的值域和最值 【分析】对于A,B,只需按照欧拉公式赋值代入，计算即可判断；对于c,需要求出e2一e的表达式，利用 三角函数的值域即得：对于D,需要建立复数与对应向量的一一对应关系，利用向量坐标的夹角公式推出面 积的表达式，即可得到 【详解】对于A,e2=cos5+isi=i显然为纯虚数，故A正确： 对于8，。=cos+1n时-计号i其共轭复数为对-号i.故B错误： 2 第3页共36页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于C,因e2-e所=cos2+isin2-(cos0+isin0)=-cos6+(1-si8)1, 故1e2-e叫=|-cos8+(1-sin0)l-√cos20+1-sin0)2=V2-2sin0 因0e[,],则sinE[受，1，故e2-e.(0∈[，原D的最大值为√2-V瓦，故c错误； 对于0，由a1=e原=cos写+isim-+i.则有乙，(9)，由z2=e=c0s0+ism0,则有乙，(cos,sin0), 于是，0Z=().0Z=(cos0,sim0),则10Z=10Z=1,设∠Z1022=p, 0☑0Z 则cos④=oZ1x10z cos0+sing 1 =sin(0+5),故sin0= 1-sin2(0+5)=1cos(0+2, 则△0Z1Z2面积为S=2sinp=2lcos(0+若)川， 因6ER,|cos(0+)1≤1，故△021Z2面积的最大值为故D正确. 故选：AD 知识点03复数的几何意义 1.1.复数-=a+b(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，复数-=a+bi(a,b∈R)对应平面向量OZ; 复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数 2.复数二=a+b(a,b∈R)的模|=表示复平面内的点-(a,b)到原点的距离. 复数z=a十bi(a,b∈R)的模|zl=la+bi=√a2+b2, 3.共轭复数：复数z=a十bi(a,b∈R)的共轭复数z=a一bi;复数z与z表示的点关于实轴对称。 【即学即练3-1】(24-25高一下湖北荆州·期末)设z1,Z2为复数，1是虚数单位，下列命题中正确的是() A.i3=-1 B.若z1=22,则z子=z3 C.若z1满足|z1=1,则z1-1∈[0,2] D.Z1·21=z1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】选项A,利用虚数单位i的周期性幂运算判断： 选项B,通过反例说明模长相等的复数平方不一定相等： 选项C,结合复数的几何意义，分析单位圆上的点到定点的距离范围： 选项D,利用复数与共轭复数的乘积公式与平方的关系对比. 【详解】对于A,结合虚数单位i的幂运算，3=i2·i=(-1)i=一i≠-1，故A错误： 对于B,令z1=1,z2=i,则|z1=|z2l,但z=1,z号=-1，则z1≠z,故B错误： 对于C,因为z1满足|z1=1,所以z1表示复平面上对应单位圆上的点，则z1-1表示在复平面内，21对应 的点到点(1,0)的距离，又点(1,0)在单位圆上，所以z1-1|∈[0,2]，故C正确： 对于D,令21=a+bi,则=a-bi,所以z1·21=(a+bi)(a-bi1=a2-(b12=a2+b2, z行=(a+bi2=a2+2abi+(bi)2=a2-b2+2abi,所以z1·z1≠z异，故D错误. 故选：C 第4页共36页 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练3-2】（多选）(24-25高一下，全国·课后作业（多选）在复平面内有一个平行四边形0ABC,点0为坐标 原点，点A对应的复数为z1=1+i,点B对应的复数为z2=1+2i,点C对应的复数为z3,则下列结论正确 的是() A.Z1-z2=-i B.点C位于第二象限 C.21+23=Z2 D.Iz1-3=AC 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数的坐标表示 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】对A选项，z1-z2=1+1-1-2i=-i,所以A正确： 对B选项，由题意得00,0)，A(1,1),B(1,2),因为四边形0ABC为平行四边形，则0C-AB=(0,1),所以C(0,1), 所以z3=i,点C位于虚轴上，所以B错误： 对C、D选项，如图，z1,22:23对应的向量分别为0A,0B,0C, 则0A+0C=0B,OA-0C=CA 即z1+Z3=z2,z1-Z3|=AC,所以C正确、D正确： 故选：ACD. 知识点04复数的三角形式 (一)概念 在复平面上，复数z=a+bi与点Z(a,b)一一对应。 1.点Z(a,b)到原点的距离称为复数的模，表示为r=|z=√a2+b2 2.一正实轴为始边，向量0Z为终边所成的角，称为复数的辐角，记作日=Arg(z) 一个非零复数的辐角有无数多个，它们之间相差2kπ(k∈Z) 3.辐角主值(8)：将满足-π<6≤π或0≤0<2π的辐角称为辐角主值，记作6=arg(z). 4.关系：a=rcos0,b=rsin0. 5.复数的三角形式与指数形式：z=r(cos6+isin8)=re0,其中r≥0. (二)复数的三角形式的运算 公式：若z1=T1(cos01+isin01),22=T2(cos62+isin62),则： 1.z1'z2=T1r2[cos(01+02)+isin(01+02)], 几何意义：Z1·z2相当于将z1的模伸缩r2倍，再将z1逆时针旋转02角二得到。 2.4=2[cos(61-02)+isim(01-02)], 几何意义：1相当于将模相除，再将z1顺时针旋转02角二得到. 第5页共36页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 3.若z=r(cos0+isin8),则zr=rn[cos(nθ)+isin(n)], 几何意义：复数乘方，把模乘方，辐角变为原来的n倍 4z-rcos0+si),则E-云-听los(色）+sin(4 (k∈Z) 几何意义：复数有n个不同的次方根，所有根的模相等都是厅，相邻两个根的辐角相差号 在1复平面上，这n个不同的根均匀分布在以原点为圆心，以V厅为半径的圆周上，构成一个正n边形 5.指数形式运算： z=r(cose isine)=reio,21=r1(cose1+isine)=riei01,22=r2(cos02 +isine2)=r2ei02,: Z1z2=Trze0+9,兰=是e0-),20=e0,E=2左=fe40(keZ. Z2 T2 【即学即练41】(2223高一·全国-课后作业)计算2(cos75°+isin75)·(G-)的值是() A-9+号： 8.9+:c.号-9 0.+ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】因为；i=(停判)-号cos315+isin315) 所以2(cos75°+isin75)·(G-)=2(cos75°+isim75°)·竖(cos315°+isin315), 所以2(cos75°+im75)-(传-)-V2(os390”+isin390)=兰+号， 2 故选：B 【即学即练4-2】（多选(20-21高一下江苏期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人 们称为“世界上最完美的公式”一一欧拉公式：e=cos0+isin(其中i是虚数单位，e是自然对数的底数)， 它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是() 2021π A.14e5i=4 B.i2020+2021i=e2 c.若复数e0.e的嘘部为9,9∈(0，)，则(e92的实部为 18 D.已知21=e品，2=e0,复数21,2对应的点分别为21，乙2，则三角形0z12面积的最大值为号 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、三角表示下复数的几何意义、复数乘、除运算的三角表示、复 数的三角表示 【分析】根据欧拉公式及复数得模即可判断A: i020+2021i=i2020,i021i=f=(cos5+i1sim)=(cos202+isin202为，整理即可判断B: 2 2 根据欧拉公式及复数e9.e的虚部为9,0∈(0，m).结合三角恒等变换，求出sim0,即可求出(e)2的实部， 第6页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 从而判断C; 根据题意可得，点Z2得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，根据三角形的面积公式即可求得三角形0Z1乙2 面积的最大值，从而判断D: 【详解】对于A,|4e5=|4(cos5+isin5)=4Vcos25+sin2巧=4，故A正确： 对于8，i020+202i=w20.221t=f=(c0s少+1 isin)-(e=e学，故B正确； 2 对于c,e9,e=(cos0+isin0)(3+号)=(cos9+isim0)(cos+isin)=cos(0+)+sin(0+号i, 因为复数e9.e的虚部为5，所以sm(0+)=号 号-吾-西。区<0，所以sin(0+9=誓<sm号 2 6 3 放<0+<元，所以cos(0+旨=-子所以sm9=sm[0+)-引=52 6 (ei)2=(cos0+isine)2=cos20-sin20+2sinecose.i, cos20-sin20=1-2sin20=,p(e9y的实部为片 8, 故C错误： 对于D,由盟意，乙（受），乙2(cos0,s血0)，则点乙，得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆， 又0Z1=0Z,=1,Sa032=sincZ10Z2≤当<Z0Z2=90,即0Z110Z2时，取最大值， 所以三角形0Z乙2面积的最大值为 故D错误 故选：AB. 题型精讲 题型01复数的概念 【典例1-1】(24-25高一下.安徽合肥·期末)若复数z满足(1-)(z+)=4,其中i是虚数单位，则z的虚部为 () A.i B.1 C.2 D.3i 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、求复数的实部与虚部 【分析】首先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义即可得到答案 【详解】由题意得1-0C+)=4,“z+i=音z=音 7；i=41+D1=4+Di=2+,7 (1-i0(1+i) 2 则z的虚部为1， 故选：B 【典例1-2(23-24高一下·江苏镇江期中)已知复数z=cosa+icos2a(0<<2m的实部与虚部互为相反数， 则a的取值不可能为() A月 C.π D. 【答案】D 第7页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、二倍角的余弦公式、特殊角的三角函数值 【分析】根据题意，可知cosa+cos2a=0,结合倍角公式解方程即可. 【详解】由题意，可知cosa+cos2a=0, 所以cosa+2cos2a-1=0, 解得cosa=1或cosa= 因为0<a<2m,所以a=或a=或a= 3 故选：D 【典例1-3】（多选23-24高一下·湖南长沙期末）下列命题为真命题的是() A.若复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数，则a=0,b≠0 B.复数2一i在复平面内对应的点在第二象限 C.若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i D.若z1l=z2=1,则z1-z2的最大值是2 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、求复数的模、求复数的实部与虚部、判断命题的真假 【分析】利用复数的基本概念判断A:利用复数的代数表示法及其几何意义判定B与D:利用虚数单位i的 运算性质判定C。 【详解】解：A.若复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数，则a=0,b≠0，故正确，符合题意： B.复数2-i在复平面内对应的点的坐标为(2，-1)，在第四象限，故错误，不符合题意： C.若为虚数单位，n为正整数，则n+3=)”·3=一i,故错误，不符合题意： D.若引z1=|22=1,则z1,22对应复平面内单位圆上的两动点，可得引z1-22的最大值是2，故正确，符 合题意 故选：AD. 【典例1-4】(24-25高一下.上海浦东新期末)已知(x+2y)+(4x-y)i=7+i,其中x、y∈R,则 x+y=」 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等可得出关于x、y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为(x+2y)+(4x-y)i=7+i,其中x、yeR, 由复数相等可得经y?解利形子因此，十y=4 故答案为：4 【变式1-1】(24-25高一下.陕西咸阳·期末)若复数z=m2-1+(m-1)i(其中i为虚数单位)为纯虚数，则实 第8页共36页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数m的值为) A.-1 B.1 C.±1 D.0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数z=m2-1+0m-1)ii是虚数单位)是纯虚数，则m2-1=0,解得m=-1 (m-1≠0 故选：A 凰变式1-2】(2024高一全国.专题练习)已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值 范围是( A.(-1,3) B.(-0∞，-1)U(3,+0) C.(-3,1) D.(-∞，-3)U(1,+∞) 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用复数的定义及一元二次不等式的解法即可求解 【详解】由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3, 因此，实数a的取值范围是(-∞，-1)U(3,+∞). 故选：B 【变式1-3】(22-23高三下.上海杨浦·月考)已知复数z1=a+bi(a,bER)和复数z2=c+di(c,d∈R).“a=c” 是“z1=z2”的) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、判断命题的必要不充分条件 【分析】两个复数相等的条件是实部相等和虚部相等，以及充分必要条件的成立条件即可判断. 【详解】充分性：当a=c时，若b≠d,则z1≠z2,所以充分性不成立： 必要性：当z1=z2时，则a=c且b=d,所以必要性成立， 所以“a=c"是“z1=z2”的必要非充分条件. 故选：B 【变式1-4】(24-25高一上.上海课堂例题)下列说法正确的是 .(填序号) ①自然数是有理数，但不是复数；②3+4的实部为3，虚部为4： ③对于复数z=a+bi(a,b∈R),若b=0,则z是实数；若b≠0，则z是纯虚数： ④a=b≠0是z=(a2-b2)+(a+b)i(a、b∈R)为纯虚数的充要条件. 【答案】④ 【难度】0.85 第9页共36页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的基本概念、充要条件的证明 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件逐项分析判断】 【详解】对于①：因为W二QcC,可知自然数是有理数，也是复数，故①错误； 对于②：3+4i的实部为3，虚部为4，故②错误： 对于③：对于复数z=a+bia,b∈R),若b=0,则z是实数： 若b≠0且a=0,则z是纯虚数：故③错误： 对于④：若a=b≠0，则2a≠0，可知z=(a2-b)+(a+b)i=2ai为纯虚数，即充分性成立： 若z=(a2-b2)+(a+b)ia、b∈R)为纯虚数， 测则+。，解得a=b0,即必要在成立 所以a=b≠0是z=(a2-b)+(a+b)ila、b∈R)为纯虚数的充要条件，故④正确： 故答案为：④ 【变式1-5】（多选(21-22高一下.浙江宁波.期中）已知复数z1=m+(4-m2)i,(m∈R),z2=cos8+(1+ 2sin)i(eR6∈后，)，且z1=z2,则的值可以是() A.2 B. c.8 D.1 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示、求含six(型)的二次式的最值、复数的相等 【分析】根据z1=z2,得到1=4-cos20-2sin6,利用二次函数的性质求解。 【详解】解：因为z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=cos0+(0+2sin)i,且z1=z2, 所以4-7股=0P2s0 则1=4-cos20-2sin0,=sin20-2sin0+3,=(sin0-1)2+2, 因为0e后引所以sinoe小则∈2到 故选：AC 【变式1-6】(22-23高一下.全国·课后作业)设复数z=l0g2(m2-3m-3)+log2(3-m),(m∈R),如果z 是纯虚数，则m的值是」 z的虚部为 【答案】 -12 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的定义结合对数的运算求解即可」 1og2(m2-3m-3)=0=1og21 【详解】因为z是纯虚数，所以 1og2(3-m≠0=1og21,解得m=-1 3-m>0 m2-3m-3>0 则z=ilog2(3-m)=ilog222=2i,则z的虚部为2. 故答案为：-12. 第10页共36页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02复数的运算 【典例21】2425商一下安徽月考已知i为虚数单位，=-i0mme风)，则号) A月 C.2 D.-2 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】由复数的乘法运算结合复数相等的条件得到方程，即可求解. 【详解】=-i，得2+mi=-(1-m)=-1-m, 故-m=2,n=-1,即m=-2,故"=2. 故选：C 【典例2-221-22高一下·浙江·期中)已知复数z1,z2和z满足|z1l=|22l=1,若z1-22l=1z1-1=122-z, 则z的最大值为) A.2V3 B.3 C.V3 D.1 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到z≤3，再将z=3时 各复数的取值取出，即可得到z的最大值 【详解】根据题意，得z=1(z2-z)-z2l≤22-z+22l=1z1-1+1≤lz1l+1+1=3, 当z1=-1,z2=1,z=3时，z1-z2=|21-1=22-2=2,此时12=3， 所以zma=3. 故选：B. 凰典例2-3】（多选22-23高一下·重庆沙坪坝期中）己知非零复数z1,z2,则下列运算结果一定为实数的是() A.Z1+ B.Z2-Z2 C. D.Z1Z2+Z122 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、复数的分类及辨 析 【分析】由复数的乘法和加、减运算对选项一一化简，即可得出答案 【详解】设复数z1=a+bila,b∈R,b≠0)，Z石=a-bi,z2=c+di(c,deR,d≠0)，z=c-di, 对于A,z1+Z石=a+bi+a-bi=2a,虚部为0，则z1+z1一定为实数，故A正确： 对于B,z2-z2=2di,虚部不为0，故z2-Z一定不为实数，故B不正确： C,+=(a+bi)2+(c+di)2 a2-b2 2abi+c2-d2 2cdi a2-b2 c2-d2+(2ab+2cd)i, 若2ab+2cd≠0，则z1+z不一定为实数，故C不正确： 第11页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于D,z1z2+z22=(a+bi)(c-d+(a-bi)(c+d: ac-adi+bci+bd+ac+adi-bci+bd=2bd+2ac,故D正确， 故选：AD. 【典例2-4】(21-22高一下浙江宁波期末)设复平面内的不同三点A,B,C对应复数分别为21,22,23，若12= Z1-23 1+2i(i是虚数单位)，则cos∠BAC的值为 【答案】号 【难度】0.4 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、复数的向量表示 【分析】设z1=a1+bi,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,(a1,b1,a2,b2,a3,b3eR),由-2=1+2i得a3-a2= 21-23 2(b3-b1),b3-b2=2(a1-a3),进而求得BC=2AC,BC1AC,即可求得cosLBAC. 【详解】设z1=41+b1iz2=a2+b2i,z3=ag+bgi,(a1,b1,a2,b2,ag,b3eR),由2=1+2i可得z1-z2= z1-23 (1+2i)(z1-z3) 即z1-Z2=Z1-Z3+2i(z1-23),整理得z3-z2=2i(21-Z3), 即(a3-a2)+(b3-b2)i=2i(a1-a3)+(b1-b3)1=2(b3-b1)+2(a1-a3)i, 则ag-a2=2(b3-b1),b3-b2=2(a1-ag)；又复数z1,22,23对应的向量为0A,0B,0C, 则BC=0C-0B=(a3-a2,b3-b2),AC=0C-0A=(a3-a1,b3-b) 则BC=(a3-a2)2+(b3-b2)2=4b3-b)2+4a1-ag)2=2b3-b1)子+(a1-ag)2=2AC, BC·AC=(a-a2)(ag-a1)+(b3-b2)(b3-b1)=2b3-b1)(a3-a1)+2(a1-a3)(b3-b1)=0, 则BC L AC,则AB= BC+|AC-V5AC,则cos∠BAC= 故答案为：气 【变式2-1】(2025高二上河南学业考试)(1-51)-(2+)=) A.3-4i B.-3+41 C.1+6i D.-1-61 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的运算即可求解 【详解】(1-5i)-(2+i)=1-5i-2-i=-1-6i, 故选：D 【变式2-2】(23-24高一下江苏南通期中)若z2=-7-24i,则复数z的虚部() A.4 B.-4 C.±4 D.-4i 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、根据相等条件求参数、求复数的实部与虚部 第12页共36页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解. 【详解】设z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a+bi2=a2-b2+2abi, z2=-7-24i, 224:解0-侣=.=3-或=-3+ 所以复数z的虚部为士4. 故选：C 【变式2-3】(24-25高一下上海月考)设z为复数，则“z+为实数"是1z=2”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】首先设z=a+bi,(a,b∈R),根据复数的运算化简z+生，再结合复数的特征，以及模的公式，利 用充分，必要条件的定义，即可判断 【详解】设z=a+bi,(a,b∈R), z+a+bi+=a+i+a2o=a+i+0,=(a+品)+(60)i 若z+为实数，则b-=b(1-4)=0,即b=0或a2+2=4, 所以z+为实数，则不一定z=2, 若lz=2,则a2+b2=4,则z+=2a为实数， 所以“z+生为实数”是"|z=2”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2-4】(23-24高一下.浙江宁波期末)已知a∈R,在复数范围内x1,x2是关于x的方程x2-2x+Q=0的 两个根，则关于a的函数f(a)=4tt-的零点的个数是(） x+x2 20 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、复数范围内方程的根 【分析】根据根与系数的关系得 七之2.2，进而根据方程的虚根和实数根分类讨论，即可求解 X1+x2=2 【详解】若x,x2是方程x2-2x+a=0的两个虚数根，所以 X1x2=a △=4-4a<0 且x1=1+Va-1i,x2=1-Va-1i,则|x1=1x2l=√a, f@=普-器-铝-号=0→10a-29a+20=0,解得v6- ,(满足a>1), 20 X1+x2=2 若x1,x2是方程x2-2x+Q=0的两个实数根，所以 X1X2=a,, △=4-4a≥0 第13页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 且x1=1+V1-a,x2=1-V1-a,则lx1l=1+V1-a,lx2l=1-V1-a 当0≤a≤1时，kl=1+V-=a.kl=1-V-a,f0=4警-器-安-器=0→a=品 lx+lx2l20-220 当a<0时，k=1+-a4=-a-1f@=-器-治器=0， 器器可得品-a-器 令V1-a=t,由于-2≤a<0,所以1<t≤V3, 故函数g=在1<t≤V5单调递减，且g()=2<器 故铝-是-t在1<t≤V5无实数根， 综上可得，零点个数为3， 故选：C 【变式2-5】（多选2024福建漳州.一模）若(1+i)a+bi=4i,a,b∈R,则() A.a=1 B.b=4 C.a-b=-4 D.ab=0 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】根据复数的加减运算结果求参数、复数的相等 【分析】根据复数的加法结合复数相等求a,b,进而逐项分析判断. 【详解】由题意可得：(1+)a+bi=a+(a+b)i=4i, 则a4b°4解得6=4可得a-b-一4ab=0, 故BCD正确，A错误 故选：BCD 【变式2-6】(23-24高一下江苏南京·期末)欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现 并证明了欧拉公式ei=cos0+isi0,从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的0取作π就得到了 欧拉恒等式π+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数一一 自然对数的底数，圆周率π，两个单位一一虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0， 数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：e9=cos0+isin6,将复数e与+eπ表示成 a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)的形式 :若2=1，则2=2k=0,12n-1),这里zk=c0s+ isin(化=0,12，，n-1),称2k为1的一个n次单位根，简称单位根.类比立方差公式，我们可以获得x5 1=c-1)x4+x+x2+x+1),复数2=e,则2-2)(22-2)(23-2)(2-2)的值是 【答案】 2 131 【难度】0.4 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数加减法的代数运算 【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空 【详解】e5=cos+isin-计受e=osm+sin=-1, 第14页共36页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以e5+er=-+i, 由题意可得z5=1, 所以z5-1=(z-1)(z4+z3+z2+z1+1)=0, 又因为z≠1，所以z4+z3+z2+z1+1=0, 则(z-2)(z2-2)(z3-2)z4-2)=[(z-2)(z4-2)][(z2-2)(z3-2)] =(z5+4-2z-2z4)(z5+4-2z2-2z3)=(5-2z-2z4(5-2z2-2z3) =25-10z2-10z3-10z+4z3+4z4-10z4+4z6+4z7 =25-10z2-10z3-10z+4z3+4z4-10z4+4z+4z2 =25-6(z4+z3+z2+z)=31-6(z4+z3+z2+z1+1)=31. 放答案为：-+：31 题型03复数的几何意义 凰典例3-1】(24-25高一下.陕西商洛·期末)已知复数z满足z=1+2i,则复数z对应的点在复平面上的第() 象限. A.- B.二 C.三 D.四 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【分析】先根据等式求出复数z,然后根据实部和虚部的符号判断象限 【详解】由题意得，因为iz=1+2i,计算可得2=+2=+=2-1， 2 故复数z对应的点在复平面上的第四象限， 故选：D. 【典例3-2】(22-23高一下·上海徐汇·期末)已知k+2个两两互不相等的复数z,22,,2k,w1,w2,满足w1- 网-侧-2e1,3共中j=1,2a=12,k则的最大值别) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用、复数代数形式的乘法运算 【分析】设w1=a+bi,w2=c+di(a,b,C,d∈R),从而可得(a-c)2+(b-d)2=4,即w1,w2对应平面内距离 为2的点，从而利用数学结合求解即可 【详解】设w1=a+bi,w2=c+di(a,b,C,dER), 而-哑=“网-啊w-w》=4 即[(a-c)-(b-d川·[(a-c)+(b-d)川=4， 化为(a-c)2+(b-d)2=4, 故w1,ω2对应平面内距离为2的点，如下图中F、G, 第15页共36页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 D wj -zal e (1,3), z。与w1,w2对应点的距离为1或3， 构成了点A、B、C、D、E共5个点， 故k的最大值为5. 故选：C 【典例3-3】（多选）24-25高一下-河南月考)已知复数z1=a1+bi,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2均为非零实数) 在复平面x0y内对应的点分别为Z1,Z2,定义运算z1⊙z2=a1a2+b1b2i,记复数z的实部为Re(z),虚部为 Im(z),则下列结论中正确的是()】 A.若z1⊙Z2=Z,则z2=1-i1 B.若R(21⊙z2)+Im(z1⊙z2)>0,则向量0Z,0Z2的夹角为锐角 C.2(z1⊙z2)·(z1⊙z2)≤R(z1⊙z2)+Im(z1⊙z2)]2 D.21z2z1Z2≥[Re(z1⊙z2)+Im(z1⊙z2)]2 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的向量表示 【分析】对于A,根据复数相等，由题意，建立方程，可得其正误：对于B,根据向量数量积的定义式与坐 标运算，结合锐角的定义，可得其正误：对于CD,由运算整理不等式，可得其正误. 【详解】对于A,若21⊙z2=z1,则a1a2=a1,b1b2=-b1,解得a2=1,b2=-1,则z2=1-i,故A正确： 对于B,设0Z,0Z2的夹角为a,由题可知0Z1=(a1,b1),0Z2=(a2,b2), 因为0Z·0Z2=|0Z·l0 Z2cosa=a1a2+b1b2=Re(z1⊙z2)+Im(z1⊙z2)>0, 所以cosQ>0,则0Z1,0Z2的夹角为锐角或0Z1,0Z2同向，故B错误： 对于C,由题可知2(z1⊙z2)·(z1⊙z2)=2(a1a2+b1b2i0(a1a2-b1bz)=2(aa+bb), 原式等价于2(aa吃+bb)≤(a1a2+b1b2)2,整理可得(a1a2-b1b2)2≤0， 而(a1a2-b1b2)2≥0，故C错误； 对于D,因为z1z2z1z2=(a好+b)(a吃+b),所以原式等价于(a好+b)(a吃+b)≥(a1a2+b1b2)2, 整理得ab1+ab3≥2a1a2b1b2,即(a2b1-a1b2)≥0，该式恒成立，故D正确. 故选：AD I典例3-41(23-24高一下·黑龙江哈尔滨，期中)设复数z1=a+bi(a,b∈R),其在复平面内对应点为P,且a+ b=-1,复数z2=c+di(c,d∈R),其在复平面内对应点为Q,且z2-2+i=1,若存在Q的轨迹上的两点 第16页共36页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 Q1、Q2,使∠Q1PQ2=60°，则a的取值范围为 【答案】[0,2] 【难度】0.4 【知识点】复数的坐标表示、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】利用复数的几何意义确定P,Q的轨迹，数形结合计算即可 【详解】设z3=2-1,其在复平面对应的点为A(2,-1), 易知P(a,b),Q(c,d),a+b=-1,|z2-2+=1, 所以P在x+y+1=0上，Q在以A为圆心，1为半径的圆上， 由圆的对称性，不妨令PA平分∠Q1PQ2, 即直线x+y+1=0上存在点P满足∠Q1PA=30°， 如下图所示，显然当PQ1与圆相切时，∠Q1PA张角最大， 此时可知4P1=器=2， 根据图形可知：设直线x+y+1=0与y轴的交点为B,则B(0,-1),显然AB|=2, 过A作AC/y轴交直线x+y+1=0于C,则C(2,-3), 易知∠CBA=45°，则△ABC为等腰直角三角形，即川AB|=|AC|, 故直线x+y+1=0上满足AP列=2的点有两个即B(0,-1)或C(2,-3), 显然当点P横坐标小于0或大于2时，可知圆上不存在点Q1满足∠Q1PA=30°， 即不符合题意，故a∈[0,2] 故答案为：[0,2] A 【点睛】思路点睛：利用复数的几何意义确定动点轨迹，数形结合计算即可 【变式31】(24-25高一下湖南娄底·期末)已知z1=2-i,z2=1+2i,则复数z=z1·z2在复平面内对应的 点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法化简复数z,结合复数的几何意义可得结论 【详解】因为z1=2-i,22=1+2i,则复数z=z1·z2=(2-)(1+21)=4+3i, 第17页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故复数z在复平面内对应的点的坐标为(4,3)，位于第一象限. 故选：A 【变式32】(24-25高一下·甘肃白银期末)己知复数z满足z+3-4i=1,则|z的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由复数的几何意义求解即可. 【详解】由lz+3-41=1,得引z-(-3+411=1, 所以复数z在复平面内对应的点到点(-3,4)的距离恒等于1， 所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以点(-3,4)为圆心，以1为半径的圆， 所以z的最小值为圆心(-3,4)到原点的距离减去半径， (-3)2+42-1=4 故选：B 《变式33】(24-25高一下·浙江台州期末)已知虚数z1,z2是方程x3+x-2=0的两个不同的根，则下列说 法正确的是() A.Z1=1 B.Izl =V2 C.z1+22=0 D.z1+z2=1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【分析】先因式分解得x3+x-2=(x-1)(x2+x+2)=0,即z1,z2为x2+x+2=0的两个根，从而依次 判断选项 【详解】根据题意，x3+x-2=(x-1)(x2+x+2)=0, 令x2+x+2=0,其中△=1-8=-7<0， 由于21，Z2为虚数，故2，z2为x2+x+2=0的两个根，且为1± 不妨设z1=,2=7,则，= 1+7 2 2 4 =√2,21+2=-1， 则z1+z2= -1+V7i +1=3万+1-2-Vi,故只有B正确」 2 2 2 故选：B 【变式34】(24-25高一下江苏苏州月考)在复平面内，若复数z=(1+)(3+41),则z对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 第18页共36页 而学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念，以及复数与复平面内点的对应关系，判断结果 【详解】由z=(1+)(3+4i),计算得z=-1+7i,则z=-1-7i,对应复平面内的坐标为(-1，-7)，在 第三象限 故选：C 凰变式35】（多选）25-26高一下·全国·课后作业（多选）下列命题中，真命题是() A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数z1>z2的充要条件是|z1>122 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】判断命题的真假、充要条件的证明、复数的基本概念、求复数的模 【分析】对于A选项根据复数的模的计算公式即可；对于B选项利用复数相等条件即可；对于C选项根据 复数的模举反例即可；对于D选项不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小 推断即可。 【详解】对于选项A:任意复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z=√a2+b2≥0总成立.故A正确： 对于选项B:由复数相等的条件z=0台{8台2=0，故B正确： 对于选项C:若z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、b1、a2、b2ER) 若z1=22,则有a1=a2,b1=b2,所以川z1l=22反之|z1l=22,推不出z1=22 反例：如z1=1+3i,22=1-3i时121l=|22,故C正确： 对于选项D:取z1=1+3i,z2=1-i,满足|z1>|z2, 但z1=1+3i,z2=1-i不能比较大小，故D错误。 故选：ABC 【变式36】(21-22高一下·上海虹口·期末)在复平面中，已知点A(-1,0)、B(0,3),复数z1、z2对应的点分别 为Z1、Z2,且满足Iz1l=z2=2,1Z1Z2=4,则AZ·BZ2的最大值为 【答案】2√10-4 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、与复数模相关的轨迹（图形）问题、已知模求数量积 【分析】根据复数的几何意义，由z1=1z2=2,1Z1Z2=4,分析得Z1,Z2关于原点对称，所以确定0Z1= OZ2,再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题。 【详解】解：因为复数z1,z2对应的点为Z1,Z2 且|z1l=22=2,则可确定点Z1,Z2在以0为圆心，2为半径的圆上 又Z1Z2=4,所以Z1Z2为圆的直径，即Z1,Z2关于原点对称 所以0Z=-0Z2 因为AZ=A0+0Z,BZ2=B0+OZ2 所以AZ·BZ2=A0+0Z·(B0+0Z2=A0·B0+A0.0Z+0Z·B0+0Z·0Z2=(1,0)·(0,3) A0·0Z+0Z1·B0+2×2×cos(-m)=-4+0Z1·BA 第19页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又BA=V12+32=V10,10Zl=2,<0Zi,BA>e[0,可 则cos<0Z,BA>e[-11] 所以OZ·BA=|OZ·|BA·cos<OZ,BA>=2V10cos<OZ,BA> 即0Z·BA的最大值为2W10,所以AZ1·BZ2的最大值为2V10-4. 故答案为：2W10-4. 题型04复数的三角形式 【典例41】(22-23高一下河北张家口·月考)法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的公式(c0sx+isinx)”= cosx+is推动了复数领域的研究根据该公式，可得(os品+isin)'(1-)=() A.-1+i B.1+i C.1-2iD.-2-i 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的三角形式 【分析】根据题中定义化简式子，再根据复数乘法计算即可. 【详解】根据题意可知(cos品+isn合)°=cos(5x)+sim(（5x合)=i cos+isin (1-i)-i1+i. 故选：B 凰典例42】(25-26高一下.全国课后作业)复数1-31化成三角形式，正确的是() A.2(cos号+isin) B.(cos+isin C.(cos+isin D.(cos+isin 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值、复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】求出复数1-√3i的辐角，即可得其三角形式. 【详解】复数1-√3i对应的点为Z(1,-V3,10Z=2. 设复数1-V3i的辐角为6，则tanm0=-V3=-tan号 因为点Z在第四象限，所以0的一个值为2m-背=号 所以复数1-Vi化成三角形式为2(cos号+sin) 故选：C 【典例4-3】（多选)(2025高一全国·专题练习)设z1,z2是复数，argz1=a,arg22=B,则ag(z1·z2)可能为 A.a+B B.a+B-2It C.2π-(a+B) D.π++B 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的几何意义 第20页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先由复数的辐角主值定义得到a,B,rg(z1·z2)的范围，再根据复数乘法的三角表示及a+B的不同 范围分情况讨论即可得到arg(z1·z2)的所有可能， 【详解】因为arg21=a,arg22=B,所以a∈[0,2m),B∈[0,2四， 而arg(z1·z2)∈[0,2m, 则当a+B∈[0,2π)时，arg(z1·z2)=a+B: 当a+B∈[2m,4)时，a+B-2πe[0,2m),则ag(z1·z2)=a+B-2π： 当a+B=时，2m-(a+)=r=a+B,则arg(z1·z2)=2m-(a+) 故选：ABC 【典例44】(22-23高一·全国课后作业)利用1的立方根，则8立方根是 【答案】2，-1±V5i 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】设立方根为g=t(cos+sina)形式，由2=t(cas3a+sin30)=8可得e=8(且Cm35设_日结 合t≥0，a=arg2∈[0,2m)求结果 【详解】令1的立方根为z=r(cos0+isin0)且r≥0,6=argz∈[0,2)，则z3=r3(cos30+isim30)=1, 所以产=1，即7=1.且cos30+n30=1,即30二0故0=空kez 3 则z=cos告+1sin要且kEz. 当k=0时z=1, 当k=1时z=cos号+ism号=-计9i, 2 当k=2时z=cos号+isin号=-i 同理，令z3=t(cos3a+isin3a=8且t≥0，a=argz∈[0,2m, 所以=8，即t2,且cos3a+sima31,即C0g二0故a自kEZ 3 则z=2(cos安+isin号)且kez, 当k=0时z=2, 当k=1时z=2(cos号+isin)=-1+V3i, 当k=2时z=2(cos号+sim7)=-1-V3i, 故答案为：2，-1±V3i 【变式41】(24-25高一下四川雅安月考)复数-V3+i的三角形式为) A.2(cos答+isin9B.2(cos要+iam ）c.cos5+isin到 D.cosisin 6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值 第21页共36页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解 【详解】：cosg=cos(r-)=-cos片=-京sin号=sim(r-司=sim写-号 ∴2(os号+isin9）-1+V3i,cos号+sm号-+9i,故选项A,c错误： “cosg=cos(r-)=-cosg-9smg=sm(r-月=simg克 2(osg+sn习）-一3+i.cos要+sing-9+,故途项B正确，选项D情误 故选：B. 凰变式42】(2025高一全国专题练习)复数z1=1,在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按 逆时针方向旋转"而得到，则arg(z2z1)() A晋 B.8 C. D. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】由复数的三角形式的乘法运算即可求解， 【详解】由题可知z=cos0+isin0,z2=cos;+isin 所以z12=cos+isin云所以ag(222)-云 故选B. 【变式43】(20-21高一下·福建泉州，期末)已知i为虚数单位，若z1=T1(c0s01+isin01), z2 r2(cos02 +isine2),,Zn =rn(cosen +isinen), Z122…zn=T1r2…Tn[c0s(01+02+…+0n)+isin(01+02+…+0n).特别地，如果z1=Z2==zn= r(cos6+isin),那么[r(cos0+isin6)]m=r"(cosn6+isinn0),这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立 的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是() A.若z=cos后+isin后则z4=-+9 B.若z=cos号+isin写则z5=1+i C.若21=2(cos径+isim径)，2=3(cos竖+sim0),则2122=-6+6i D.若21=3(cos晋-isin7),2=4(cos号+isin3,则z12=6+61 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】Az=c0s装+sin知=一+身，所以该选项正确； 4 B.z5=cosr+isinn=-1,所以该选项错误： C.z122=6(cosπ+isim)=-6,所以该选项错误： D.z12=12(cos名π+isin名)）=6V3+6所以该选项错误。 【详解1A若z=cos号+in后则z=c0s若+n-一计号.所以该选项正确： 6 2 第22页共36页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 B.若z=cos号+isin号，则z5=cosr+snn=-1,所以该选项错误： C.若z1=2(cos s晋+6m台，2=3(cos号+sim登).则a12=6(cosr+isim0）=-6,所以该选项错误： 0z1=3(cosg+isin0),2=4cos+isim8,则z12=12(cos号r+sin号)=6V3+6i 所以该选项错误. 故选：A 【变式44】(22-23高一全国课后作业)计算： [2(cosg+isin 【答案】-得 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数的除法运算 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可 【详解12(cos2+isim别引5-[2(cosg+isin)]-2(cos号g+simg 2(cos+isin =(-165+16i) -163-16i -16V3+16i1(-16√3-161 2(cos+isin -163-161= 1024 6464 故答案为：一-马 64641 【变式45】（多选）(22-23高一，全国·课后作业)已知i为虚数单位，z1=V2(c0s60°+isin60),z2= 22(sin30°-icos30),则z1·z2等于() A.4(cos90°+isin90°) B.4(cos90°+isin90)C.4(cos30°-isin30)D.4(cos0°+isin0) 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可. 【详解】z2=2W2(sin30°-icos30)=2√2(cos300°+isin300), z1·z2=√2(cos60°+isin60)·2W2(cos300°+isin300) =4[cos(60°+300)+isin(60°+300)]=4(c0s360°+isin360) =4(cos0°+isin0) 故选：D. 【变式46】(25-26高一下全国·课堂例题)将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）. (1)2 (cos-isin)- (2)-(cos+isin) (3)2(sin icos (4)2(-cos+isin 【答案】 2(cosg+isin） (cos号+isin9) 2(cos+isin) 2(cos+isin) 【难度】0.65 第23页共36页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【知识点】三角函数的化简、求值一一诱导公式、复数的三角表示 【分析】先利用三角恒等式转化符号，将表达式调整为标准三角形式，再把辐角修正到主值范围内即可. 【详解】(12(cos号-isin)=2[cos(-)+isin()=zcos(;+2m）+isin(-g+2m -2 cos+isin 2)-(cos号+isim)=(-cos号-isin)-=cos(r+)+ism(π+引=(cos号+isin号) 32(sim号+icos9）=2[cos(（g-9）+isim(传-)=2cos(-）+sim(-别 =2kos(+2m）+isin(-4+2=2(cosg+isin9)月 (4)2(-cos+isin)-2[cos()+isin()-(cos+isin) 故答案为：2(cos号+isim）(cos号+sim9:2(cos号+sin):2(cos号+1sim 强化训练 一、单选题 1.(25-26高二上湖南期中)已知a∈R,复数2a+5+(5-a)i的实部是虚部的3倍，则a=() A.-2 B.2 C.1 D.-1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果 【详解】易知复数2a+5+(5-a)i的实部为2a+5,虚部为5-a: 所以2a+5=3(5-a),解得a=2. 故选：B 2.(24-25高一下.全国课后作业)设a∈R,则“a=1"是“复数(a-1)(a+2)+i为纯虚数”的) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念分析判断即可： 【详解】当a=1时，复数(a-1)(a+2)+i=i,为纯虚数： 当复数(a-1)(a+2)+i为纯虚数时，有(a-1)(a+2)=0,得a=1或a=-2. 所以“a=1"是“复数(a-1)(a+2)+i为纯虚数"的充分不必要条件. 故选：A. 3.(25-26高三上·江西鹰潭·月考)数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式x= cosx+sinx(x∈R,1为虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据 此公式，化简(e)2+的结果为) 第24页共36页 而学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 A.2 B.2i C.1+ D.1-i 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方 【分析】根据e=cosx+isinER,i为虚数单位，分别求得(e)2,e即可. 【详解】解：因为e2=cos+isim吃=i 1013 z()-(停+)-停+到 2026 -1o8=1.所以(e)202+e7=1+121 故选：B 4.(2025高一·全国.专题练习)已知i为虚数单位，以下选项不正确的是()】 A.若m,n∈R,则m+ni=2+i的充要条件是m=2,n=1 B.若复数z1,Z2,Z3满足z1Z2=2223,则Z1=Z3 C.i+i2+i3+…+i2025=i D.复数z1,22≠0，则|z122=21l22l 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、复数的乘方 【分析】对于A,利用复数的相等易得：对于B,通过举反例排除即可：对于C,利用i的乘方的周期性计 算即得；对于D,根据复数乘法运算及复数的模判断. 【详解】对于A:因m,n∈R,则m+ni=2+i等价于m-2+(n-1)i=0, 等价于份0即m=2加=1，故A正确： 对于B:由Z122=2223可得z2(31-23)=0, 当z2=0时，等式成立，但z1与z3不一定相等，故B错误： 对于C:因对于neN,tn+1=i,itn+2=一1，in+3=-i,4n=1, 则i4n+1+i4n+2+itn+3+tn=i-1-i+1=0, 于是i+2+3+…+2025=1+i2+i3+i×506+i=i,故C正确： 对于D:z1z2l=l(a+bn(c+dl=lac-bd+(bc+ad0il=J(ac-bd子+(bc+ad2 =Va2c2 +b2d2+b2c2 a2d2,lzllz2l va2 +b2.vc2 d2 Va2c2 b2d2 +b2c2 a2d2, z1z2=lz1lz2,故D正确. 故选：B. 5.(20-21高一下·北京延庆期末)复数z=a+bi(a,b∈R),z表示z的共轭复数，|z表示z的模，则下列各式正 确的是() A.z=-7 B.z×z=|z C.z2=|z2 D.|z1+z2l≤lz1l+|z2l 【答案】D 第25页共36页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数加减法几何意义的运用、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的四则运算、模的坐标运算及复数的几何意义即可判断。 【详解】因为z=a-bi,所以-z=-a+bi,故A错误； z×z=(a+bi)(a-bi=a2+b2,lz=Va2+b2,故B错误： z2=a2-b2+2abi,z2=a2+b2,故c错误： 由复数的几何意义可知：21-(-22)川≤|21+|-z2,则z1+z2≤|z1+|z2l,故D正确。 故选：D. 6.(21-22高一下·重庆江北月考)已知复数z满足|z+=|z-,则z+1+2i1的最小值为() A.1 B.2 C.v3 D.V5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z,由复数的几何意义可知点Z的轨迹为x轴，则问题转化为x轴上 的动点Z到定点(-1，-2)距离的最小值，从而即可求解。 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z, 因为复数z满足z+=z-,所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，-1)和(0,1)的距离相等， 所以在复平面内点Z的轨迹为x轴， 又z+1+21表示点Z到点(-1，-2)的距离， 所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(-1，-2)距离的最小值， 所以川z+1+2的最小值为2， 故选：B 725-26高二上云南月考)复数(1-)的实部为) A-月 B.月 C.-V2 D.√2 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】利用复数的四则运算求出(1-》，即可求其实部 【详解】(1-+)-（1-)°-(（1+)°-1-tv2=+v2 (1-)的实部为号 故选：B 8.(23-24高一下…上海期末)已知P(2)=anz”+a-1zn-1+…+a12+ao(an≠0，a∈R,i=0,1,,n)是定义 在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： 第26页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①如果虚数z是P(z)的根，即P(z)=0,那么z也是P(z)的根，即P(@=0: ②P(z)可以因式分解成若千一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是() A.命题①②都是真命题 B.命题①②都是假命题 C.命题①是真命题，命题②是假命题 D.命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断命题的真假、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①：结合①可知P(z)的虚数根成对出现，且互 为共轭复数，即可判断② 【详解】因为z是P(z)的根，所以anz”+a-1z”-1+…+a1z+a0=0, 所以anz"+an-1z-1+…+a12+a0=0, 于是az"+an-1z-1+…+a1z+a0=0, 即a(@)”+a-1@)"-1+…+az+a0=0, 所以z是P(z)的根，P(⑦=0，故①正确； 由①可知，若虚数z满足P(2)=0,则z也满足P(@)=0, 所以P(z)的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以P(z)可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确， 故选：A 二、多选题 9.(22-23高一下.陕西西安.月考)对于复数z=a+bi(a,b∈)，下列结论错误的是() A.若a=0,则a+bi为纯虚数 B.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2 C.若b=0,则a+bi为实数 D.i2=-1 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、复数的分类及辨析、虚数单位ⅰ及其性质 【分析】根据复数的概念判断AC,根据复数相等判断B,根据虚数单位的定义判断D. 【详解】对于A:当a=0,a+bi=bi,当b=0时为实数，A错误： 对于B:若a-bi=3+2i,则a=3,b=-2,B错误： 对于C:若b=0,则a+bi=a为实数，C正确： 对于D:2=-1,D正确. 故选：AB 10.(23-24高一下广东·期末)己知复数z1,22,则下列说法中正确的是(). A.lz1+z2l≤|z1l+lz2l B.若z1lz2l=z12,则z1=z2 第27页共36页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若lz1-z2=z1+z2,则z1z2=0 D. 21 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、复数的相等、复数的基本概念 【分析】对于A,由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义即可判断；对于B、C,举 反例即可判断：对于D,设z1=a+bi,z2=c+di,再根据共轭复数定义、复数的除法以及复数的模的定 义直接计算即可判断 【详解】对于A,设复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2, 则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得： lz1+z2l=1OZ+0Z2≤0Z+0Z=z1l+lz2l,故A正确： 对于B,当z1=0,则z1lz2=z12=0,z2可为任意复数，即z1与z2不一定相等，故B错误： 对于C,设复数z1=1、22=i,则z1-z2=1-1,z1+z2=1+i,故z1-z2=|z1+z2=V2,但不满足 z1z2=0,故C错误： 对于D,设1=a+bi,Z2=c+di,abG,deR,故2=a+i-a+bnc-dn=ae+bd4c-ad 22 c+di (c+di)(c-di) c2+d2 则以=、 ac+bd a2c2+2abed+b2d2+b2c2-2abcd+a2d2 (a2+b2)(c2+d2) Va2+b2 24d2 +( (c2+d)2 (c2+d2) √c2+d2 故D正确， √c2+d2 故=笥 故选：AD 11.(21-22高一下…浙江·月考)欧拉公式“em+1=0"被誉为数学史上最美公式，公式的成立蕴含了复数的三角 表示与指数表示：z=a+bi=rei0=r(cos6+isin),其中r=|z,6是以x非负半轴为始边，复数z对应 的向量0z所在射线为终边的角，比如2=1+V3i=2e修+2网=2[cos(怎+2km）+isim(侣+2km儿复数指 数形式的引入方便了复数的开方运算，比如1+列-(2e+)=e作）-Vcs(低+k如+ sin（怎+km】=土(+)，则(-竖+竖)的结果可以是() A.号-i B.9+i C.6=2_6+21 D.+6 4 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】复数的三角形式、复数的指数形式、求15°等特殊角的余弦、求15°等特殊角的正弦 【分析】根据所给运算公式代入逐步运算即可判定选项正误」 【详解】解析：z=(号+)-(e停-e6宁=os(任+）)+isn(任+智）)，则21-号+竖i, =os号+m告-+6，i,2a=os竖+n竖-，2_ 4 4 4 故选：BC 第28页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、填空题 12.(20-21高一下上海宝山期末)设1,22,23复平面上对应的点分别为A,B,C,2=(1+V3).若z1=1, 22=212,Z3=Z2Z,则四边形0ABC的面积为 【答案】5恒 2 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的几何意义 【分析】根据题意，将复数z改写成三角形式，结合已知条件分别算出IOB引、乙AOB、IOC、和∠B0C,即可 求解 【详解】l21l=1,得0A=1,由z=(1+V3,得z=3(cos号+isin) 因z2=z12,所以z2=z13(cos号+isin),即10B=3,且∠A0B=号 又因23=z22,所以z3=22·3(cos3+isin9,即10C1=9,且∠B0C=子 因此SOABE=-Sa4oB+Saac=rl0A:loBl:sin写+loB8l-l0Csim号=159 故答案为：153 2 13(22-23高一下.上海杨浦期末)已知常数t∈R,集合S={zz-1≤3，zEC,T={zz="i+t,wES} 若SUT=S,则t的取值范围是 【答案】[1-V3,1+3 【难度】0.4 【知识点】复数的除法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、由圆的位置关系确定参数或范围、根据集合 的包含关系求参数 【分析】设zeT,根据z=i+t,得到w=-2,结合wES得到-2-1≤3，变形得到z- (t+川≤1，根据几何意义得到两圆内含或内切，得到不等关系，求出答案 【详解】设z∈T,则z=号1+t,解得w=-2。 因为weS,所以w-1≤3，-2-≤3， 化简得到≤1，其中=巴=2-c+训， 整理得z-(t+i川≤1， 所以集合T表示以(t,1)为圆心，1为半径的圆及其内部， 而集合S表示以(1,0)为圆心，3为半径的圆及其内部， 因为SUT=S,所以T二S,故两圆内含或内切， 故圆心距小于等于半径之差， 即t-1)2+1≤3-1，解得1-3≤t≤1+3， 即t的取值范围是[1-√3,1+3 故答案为：1-V3,1+3 第29页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.(23-24高一下·广东东莞期中)复平面上两个点Z1,Z2分别对应两个复数z1,z2,它们满足下列两个条件： ①z2=z1·V3i:②两点Z1,Z2连线的中点对应的复数为2i,若0为坐标原点，则△Z10Z2的面积为 【答案】2W5 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,deR,依题意，列出关于a,b,C,d的方程组，解之得Z1(3,1),Z2(- V,3),求出IOZ,IOZ,Z1ZL,利用三角形面积公式计算即得 (c+di=(a+bi·√3i 【详解】设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,依题意， +++41=2i 2 2 -V3b=c a=v3 即 v√3a=d 解得 b=1 则有Z1(3,1),Z2(-V3,3), a+c=0 =-3 b+d=4 d=3 则10Z=2,10Z21=23,1Z1Z2=4, 由10Z2+10Z2=Z1Z212可得△Z10Z2为直角三角形， 故△Z10zz的面积为10Z·0Z=×2×23-=2V3 故答案为：2v3 【点睛】思路点睛：本题主要考查复数与复平面内的点、对应向量之间的一一对应关系的应用，属于较难 题. 解题思路，即是将复数对应的点或者向量在复平面内表示出来，通过图形理解，列出与复数的实部与虚部 关联的方程组，求出点的坐标，得到相应的边长和角即可. 四、解答题 15.(24-25高一下.四川自贡·期末)复数z满足z=m2-4-(m-2)i(m∈R) (1)若复数z为实数，求m的值： (2)若复数z为纯虚数，求的值； (3)设复数u=1+sin6+(2+cos8)i(乙，0ER),若u=z,求的取值范围. 【答案】2：②-25，-习 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】(1)由复数z为实数，则虚部为0可解： (2)由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0： (3)由复数相等的条件，可得)=cos20-si0-4,然后利用二次函数性质求值域即可. 【详解】(1)复数z为实数，所以m-2=0→m=2 (2)复数z为纯虚数， 所以贸-年日解得m=-2 第30页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (34=z, ÷{,1tsin9=m2-4→1=cos29-sin9-4, (2+cos0=-(m-2) 即λ=-sin20-sin0-3=- (m9+}-共 又sim0∈-1,1小，所以sin0=-时，m=-共sim0=1时，nm=-5, 所以入的取值范围为5-斗 16.(25-26高一下.全国.课后作业)已知集合A={z1川z1+11≤1，Z1∈C,B={z2lz2=z1+i+m,z1∈A,m∈ R (1)当A∩B=时，求实数m的取值范围；(2)是否存在实数，使得A∩B=A? 【答案】(1)(-∞，-V3U(V3,+∞)；(2)不存在 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、由圆的位置关系确定参数或范围、复数加减法几何意义的运用 【分析】(1)根据复数的几何意义可得z1所对应的点构成的集合A是以(-1,0)为圆心， 以1为半径的圆面（圆周及其内部），22所对应的点的集合B是以点(m一1,1)为圆心，1为半径的圆面（圆周及 其内部)，进而得到A∩B=表示两圆外离，进而求解即可： (2)结合(1)分析求解即可. 【详解】(1)因为z1+1|≤1，所以z1所对应的点构成的集合A是以(-1,0)为圆心， 以1为半径的圆面（圆周及其内部）： 又z2=z1+1+m,所以z1=z2-i-m, 所以z2-i-m+11≤1，即川z2-[(m-1)+≤1 所以z2所对应的点的集合B是以点(m-1,1)为圆心，1为半径的圆面（圆周及其内部） 若A∩B=0,因为两圆半径相等，说明上述两圆外离， 其圆心距d=√(m-1+1)2+12>2,解得m<-V3或m>3, 则实数m的取值范围是(-o,-√3U(V3,+o∞) (2)若A∩B=A,因为两圆半径相等，所以两圆重合， 但由圆心的坐标(-1,0)及(m-1,1),可知它们不可能重合， 所以不存在实数，使A∩B=A. 17.(23-24高一下.上海·月考)已知i为虚数单位，复数z满足|z=1. a若2=9多求复数z+1的辐角主值： (2)若z≠士i,复数ω满足+.二为实数.则复数ω在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由. w-i zti (3)已知复平面上点A,B对应的复数分别为z1=2,z2=-3.记复数1的辐角主值为0.求φ的取值范围。 【答案】(a哈a以0.0)为圆心，半径为1的圆，不含点@，)，理由见解析：(6创r-arctan受，r+arctan 12 【难度】0.4 【知识点】反三角函数、复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 第31页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)求得复数z,可求辐角主值： 2法-：设2=a+bi(a,b∈)，升0·可得为纯虚数，可求得x2+y=1,且u≠i -2ai 法二：z-i与2+1对应的向量垂直，所以二为纯虚数，10=0,2°w-i与w+1对应的向量垂直，可得对 z+i 应点在以点(0,1)、(0，-1)的连线为直径的圆上： (3)设z=a+bi(a,b∈R),则a2+b2=1,设z-z1的一个辐角为a,z-z2的一个辐角为B,可得tan0= tam(a-)=碧令a=c0stb=sint,0≤t<2,设k=g利用车辅助角公式可求得k范围，分类可 求得p的范围， 【详解】(z+i=9计号+2+的辐角主值号 (2)设z=a+bi(a,b∈R),则a2+b2=1 2==a+b-10i=(a2+b2-1-2ai z+i a+(b+1)i a2+(b+1)2 =4为纯虚数 “为纯虚数 +=46+i=+y1H20,头 0==x46-10i 为纯虚数或0 即x2+y2=1,且ω≠i. 是以(0,0)为圆心、半径为1的圆，不含点(0,1) 解法二：z-1与2+i对应的向量垂直，所以为纯虚数 +为纯虚数或0 w- 1°ω=0 2°w-与ω+i对应的向量垂直， 对应点在以点(0,1)、(0，一1)的连线为直径的圆上，且ω≠1 综上，是以(0,0)为圆心、半径为1的圆，不含点(0,1) (3)设z=a+bi(a,b∈R),则a2+b2=1. 设z-z1的一个辐角为α，z-22的一个辐角为B. bb tanp=tan(a-B)=a=tae=产2年=助 1+tanetang1 a-5 令a=cost,b=sint,0≤t<2π. 设k=5smt,即kcost-5sint=Vk2+25sim(t+中)=5k→5k∈【Vk2+25,Vk2+2,解得k范围为 cost-5 【高别 若1m(≥0，则p的范国是-arctan受可若m(②<0.则p的范围是(cr+arctan9 5v6 p的范围是m-arctan 5v6] +arctan 【点睛】方法点晴：与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)先根据复数的运算法则，将复数化为标准 的代数形式：(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相 应的关系求解 第32页共36页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(23-24高一下·四川内江·期末)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、 欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受， 材料：形如z=a+bi(a,b∈R)的数称为复数的代数形式.而任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos0+ 如)的形式，即仔m日共中r为复数的模，叫敬复数：的辐角，我们漫定0≤0≤2m范周内的整角 0的值为辐角的主值，记作agz.复数z=r(cos6+isin8)叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若 OZ1=r(cos01+isin),0Z2 =r2(cos02 +isine2),r(cos0+isine).r2(cos02+isine2)= r1r2[cos(01+62)+isin(01+62)】.其几何意义是把向量0Z1绕点0按逆时针方向旋转角02（如果02<0，就要 把0Z绕点0按顺时针方向旋转角l旧2)，再把它的模变为原来的r2倍 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将z=1-V3i写成三角形式： (2)设复数z1=2a-V3i,z2=2b+1z3=Q+bi,且|z3|=1.若复数z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B, 且0为复平面的坐标原点.向量OB逆时针旋转90°后与向量0A重合，求实数a,b的值： (3)已知单位圆以坐标原点O为圆心，点A为该圆上一动点（纵坐标大于0），点P(2,0),以PA为边作等边△PAQ: 且Q在AP上方.求线段0Q长度的最大值 【答案】z=2(cos号+isim):2a=-b=-停(3)最大值为3. 【难度】0.4 【知识点】求复数的模、求含six(型)函数的值域和最值、三角表示下复数的几何意义、复数的三角形式 【分析】(1)根据复数的三角形式的定义直接求解即可： √4a2+3=√4b2+1 (2)解法一：由题意得 4ab-√3=0·解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几何 a2+b2=1 意义求解即可： (3)解法一：设A(cos0,sin),0E(O,D),PA所表示的复数为z4,PQ所表示的复数为z5,根据复数的三角形式求 出Q的坐标，从而可表示出IOQ,化简变形后可求出其最大值；解法二：连接OA,设PA=PQ=|QA= t,∠OPA=%,∠POA=6,然后利用正余弦定理求解即可 【详解】)迪于2=1-3i,故1=2，所以z=2传) 所以cos0=in0=-盟 22 因为0≤6<2m,所以0=5π 3 所以z=2(cos号+isim9) (OA=0B (2)法一：由题意知 0A.0B=0: lz3|=1 √4a2+3=V4b2+1 Q= 得 4ab-V3=0 ,解得 2 或 V3 a2+b2=1 b= 2 2 第33页共36页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 因为0B逆时针旋转90后与0A重合，所以a=-:b=-亮 法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，复数z2乘以一个模长为1，辐角为90°的复数zo, 即为复数z1故z2·z0=(2b+)·i=z1=2a-V3i, 1=近所a=D=号 (3)解法一：设A(cos0,sin0),0∈(0，) PA所表示的复数为z4,PQ所表示的复数为z5,则z4=cos0-2+isin0, 2s=zcos()+isin(-)]=cos(0-)-1+i sin(0-)+v3 (cos(0-)+1sin(e-)+3). oQ1=cos(0-++[sin (o-)+V3 =Jos2(0-)+2cos(0-)+1+sim2(0-)+2V3sn(0-)+3 =5+4sim(0-) 所以当sin(日-)=1时，1oQ取得最大值3， 故线段0Q长度的最大值为3. 解法二：连接OA,设IPA=IPQl=|QA|=t,∠OPA=a,∠P0A=0, 由|0A=1,在△A0P中可得c0sa=+4=+3 4t 在△A0P肿可得品-品于是sn9=na, 在△A0P中可得API2=I0A2+IPO2-2I0PI·1OA|cos0,于是t2=5-4Cos6, 在△QoP中可得10Q2=IOPI2+PQI2-2IoPL·IPQlcos(a+9), 化简得100P-号+2W3sim0+}=5+4sin(0-)≤9， 故0Q1的最大值为3. 19.(25-26高一下·浙江·开学考试)已知复数z=a+bi(a、b∈R)的三角形式是z=r(cos6+i·sin8),其中r 是复数z的模，6是复数z的辐角.当0∈[0,2m时，日称为辐角的主值，记为argz.复数满足：若z1=T1(cos01+i· sin01),z2=r2(cos02+i·sin02),则z1·z2=r1r2[cos(01+02)+i·sin(1+02)] (1)已知复数z满足：z2=1+V3i,求argz: (2)已知关于x的方程x2-(N6+V②x+4=0的两个复数根分别是x1、x2,判断函数，f)=)2),xE 2 第34页共36页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Z)是否为周期函数，并说明理由； (3)已知对任意a,Be(0,D),都有sim9≥血4n设复数21，Z2,23不全为实数，l2l=22l=l23=1,21+ 2 2 z2+z3-3z12z23∈R,i证明：max[arg21,ag2,arg2g}≥ 【答案】(1或云：(2)是，理由见解析：(3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】和差化积公式、复数的三角表示、复数范围内方程的根 【分析】(1)根据复数乘法法则得到z的三角形式，且满足z2=1+√3i进行求解. (2)求出方程的两个复数根，化为三角形式代入函数f(x),再根据复数的幂性质判断是否为周期函数. (3)根据已知条件得出sina+sinB+simy=3sin(a+B+y),利用反证法推出矛盾， 【详解】(1)设z=r(cos0+isin0),则z2=r2(cos20+isin20)=2(cos5+isin): 又z2=1+v3i,所以1+vi=2(cos+isim) 所以r2=2,20=5+2krk∈Z, 即0=5+krk∈Z,又0∈[0,2m), 所以arg=或g (2)因为x2-(6+√2x+4=0的两个复数根分别是x1、x2, 所以x1=2(Ψ+i9）=2(os+isim) 2=2(s4-9=2(os号+sim司 即f)=(cos立+isin)'+(cos晋+isim罗)'， 24 由棣莫弗定理可知，(cos±isin)=cos告±isin登=1， (cosisin=cos2isin21. 12 12 12 12 所以f(x+24)=f(x),即24是f(x)的其中一个周期： (3)由题意z1=cosa+isina,z2=cosβ+isinβ，z3=cosy+isiny, 、B、Y∈[0,2m),z1+z2+z3-3z1z223∈R可得： [cosa cosp cosy-3cos(a+B+y)]+i(sina sinp siny-3sin(a +B+y))]E R, 则虚部sina+sinβ+siny-3sin(a+B+y)=0, 所以sina+sinB+siny=3sin(a+β+y), 假设结论不成立，则a,B,ye[o,): 又sin生≥+e,故sima+sing≤2sn 2 2 所y+学≤2n学2n 3 6 +B,+B+4虹 sim4+sinm+8+y≤2sin 2 6 2=2sin atatr 2 3 第35页共36页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 所以sina+sinB+simy+sim+gty≤2sim+e+2sin+B+y≤4sin+B+r 3 6 3 故sina+sing+simy≤3sin+B+,即sin(a+B+y)≤sin+B+, 3 3 由三倍角公式得sim(a+B+刀=3sin4-4(sm4gy, 所以3sin+Bty_ 3 4(sin tBtr)3 3 ≤sin+By 3 即sing生≤2(sin4gy）3. 3 又a.yep)所以sin0, 即2（血 <sin atB+y 3 产生矛盾，所以假设不成立，所以max{arg21,argz2,arg23}之是 第36页共36页