专题3.2 复数的运算（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

3-2 复数的运算 讲义 教学目标 理解并掌握复数的加减乘除法法则及加法的几何意义，能够熟练进行复数的运算. 教学重点 复数的加减乘除法法则. 教学难点 复数的除法运算，复数加法的几何意义. 知识点01 复数的运算 1.设、 (、、、)是任意两个复数： (1) (2) (3) (4) 2.(1)； (2)； 3.常用结论 (1).(1±i)2＝±2i. (2).＝i，＝－i. (3).虚数单位的周期 即：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z). (4).； 【即学即练1-1】(25-26高一上·福建厦门·期末)已知复数，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的加法运算法则求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)在复平面内，复数z满足，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算求解. 【详解】依题意，. 故选：D 【即学即练1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)复数满足(，)且，则(    ) A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、根据复数的加减运算结果求参数、复数的相等 【分析】根据题意结合复数的加法运算可得，结合选项逐项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 【即学即练1-4】(24-25高一下·江苏无锡·期中)已知，则＝______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】由复数的乘除法运算化简，即可求出，即可得出答案. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为： 知识点02 复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行： 如图，，分别对应复数，， ，，则对应复数. 【即学即练2-1】(20-21高一·全国·课后作业)在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(    ) A． B．5 C．2 D．10 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 故选：B． 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·四川成都·期中)已知复数，则下列说法中不正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．，则 D．是的充分不必要条件 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】通过特例即可判断ABD；对于C，结合复数的加法和减法运算，根据模的运算公式求解. 【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误； 对于B，令，满足，显然不成立，错误； 对于C，设，，由，，可得， 则，由可得， 所以，又， 所以，正确； 对于D，令，满足，此时不成立，充分性不成立，错误； 故选：ABD 题型01 复数的加减法 【典例1-1】(24-25高一下·宁夏固原·期末)计算的值为(   ) A．5 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】. 故选：A 【典例1-2】(24-25高一下·河南·月考)已知复数满足，则的虚部为 (    ) A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、求复数的实部与虚部 【分析】根据共轭复数的概念、复数相等及复数的加法运算法则即可求解. 【详解】设，则，所以由题可得， 则，解得，故，其虚部为. 故选：A. 【典例1-3】(多选)(23-24高一下·江苏连云港·期中)关于复数，，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则或 C． D．若，则，中至少有一个是虚数 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算、复数的基本概念 【分析】取可判断A；根据复数的概念可判断B；根据复数的运算可判断C；利用反证法可判断D. 【详解】对于A，设，则,但，不能比较大小，故A错误； 对于B，因为，所以或，故B正确； 对于C，设， 则,. 又， 故，故C正确； 对于D，若，中全是实数，则，与矛盾， 故，中至少有一个是虚数，故D正确. 故选：BCD. 【典例1-4】(22-23高一下·全国·课后作业)设，，，则_________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的减法运算以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由得，所以，故， 故答案为： 【变式1-1】(24-25高一下·河北邯郸·期末)若复数满足，则复数的虚部为(   ) A． B． C．3 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的实部与虚部 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】由，则， 则复数的虚部为. 故选：C. 【变式1-2】(24-25高一下·安徽合肥·期末)已知复数，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数加法运算法则求解. 【详解】由，， 则， 故选：D 【变式1-3】(24-25高一下·四川遂宁·期中)已知复数，则的共轭复数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】由共轭复数的定义求解即可. 【详解】复数的共轭复数为. 故选：A. 【变式1-4】(23-24高一下·宁夏银川·月考)已知复数满足(为虚数单位)，则的虚部为(    ) A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数运算规则、复数的定义解决问题. 【详解】由，得，所以复数的虚部为2. 故选：C. 【变式1-5】(多选)(22-23高一下·安徽亳州·期末)设，是复数，，是其共轭复数，则下列命题中正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为实数，则为实数 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的模、复数的基本概念、复数的相等 【分析】由复数的概念及运算可逐项判断. 【详解】对A，取，，则，但，．A错； 对B，若，解得，则．B对； 对C，，则，显然，但．C错； 对D，设，则，因此，，则为实数，D对． 故选：BD． 【变式1-6】(23-24高一下·上海嘉定·期中)若复数满足，则________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为：. 题型02 复数的乘法 【典例2-1】(23-24高一下·湖北武汉·期末)已知复数，则Z的虚部为(   ) A．1 B．i C．2 D．2i 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得其虚部. 【详解】， 则Z的虚部为1. 故选：A 【典例2-2】(25-26高一下·全国·单元测试)已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、根据复数乘法运算结果求参数、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的乘法运算求出，有乘积的实部和虚部为相等的正数，列出的等式，解出的值． 【详解】因为， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·甘肃白银·期末)下列各式的运算结果为纯虚数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的乘方运算法则求解复数，然后利用纯虚数的概念判断各个选项即可. 【详解】A项，，2不是纯虚数； B项，，不是纯虚数； C项，，2i是纯虚数； D项，，i是纯虚数. 故选：CD 【典例2-4】(24-25高一下·四川雅安·月考)复数的虚部为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可判断. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故答案为： 【变式2-1】(24-25高一下·江苏南京·期中)计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的乘方 【分析】根据复数的乘法运算化简即可. 【详解】， 故选：B 【变式2-2】(23-24高一下·北京·期末)在复平面内，复数对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方 【分析】由复数的乘法公式可得，根据复数的几何意义可解. 【详解】，在复平面中对应的点为位于第三象限. 故选：C. 【变式2-3】(24-25高一下·甘肃酒泉·期末)设为实数，复数，，若为纯虚数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数求得，代入，利用复数的乘法运算即可求出. 【详解】因为为纯虚数， 可得，解得， 则，，故. 故选：A. 【变式2-4】(24-25高一下·重庆·期中)已知复数，则的虚部是(   ) A．5 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解即可. 【详解】复数，则， 所以所求虚部是. 故选：B 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·山东济南·期中)已知复数(i是虚数单位)，则下列结论正确的是(    ) A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】先根据复数的除法运算化简复数，然后根据复数的虚部概念，共轭复数，复数的运算及纯虚数的概念逐项判定，即可求解. 【详解】由，得， 所以， 复数的虚部等于，故A不正确； ，故B正确； ，故C不正确； ，由是纯虚数，是实数，得，即，故D正确. 故选：BD. 【变式2-6】(2025高一下·江苏南京·专题练习)计算 __________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方 【分析】根据复数的乘方运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为 ， 所以. 所以 . 故答案为：. 题型03 复数的除法 【典例3-1】(24-25高一下·陕西渭南·期末)复数的共轭复数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由，根据复数除法的计算法则求出复数，再根据共轭复数的定义求出即可得解. 【详解】因为复数， 所以. 故选：A 【典例3-2】(25-26高一下·河北邢台·月考)已知图中小正方形的边长为1，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【详解】由题意和图形可得，复数，， 所以． 【典例3-3】(多选)(25-26高一下·陕西西安·月考)若复数，则下列选项正确的有(    ) A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．iz在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】由， 对于选项A，，选项A正确； 对于选项B，的共轭复数，选项B错误； 对于选项C,，为实数，选项C正确； 对于选项D，，在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误. 【典例3-4】(25-26高一下·福建厦门·月考)计算：______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】． 【变式3-1】(24-25高一下·河北衡水·期末)复数的实部为(    ) A．1 B．2 C． D．5 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数除法运算化简，结合实部定义可得. 【详解】因为，所以实部为2. 故选：B 【变式3-2】(25-26高一上·河北唐山·月考)已知复数，则等于(   ) A． B． C．2 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【详解】复数，则 【变式3-3】(25-26高一下·云南曲靖·月考)已知复数(为虚数单位)，则的共轭复数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】， 所以 的共轭复数为 . 【变式3-4】(24-25高一下·江苏常州·期末)设复数(为虚数单位)，则复数的虚部是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知复数，以下复数运算一定成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数的乘法运算及复数的模判断A，根据复数除法运算及复数的模判断B，根据复数的模及共轭复数判断C，根据复数的乘法运算及复数模判断D. 【详解】设，由题意， 对A， ，， 所以，故A正确； 对于B： ， 而，所以，故B正确； 对于C：设，则，，， 所以，故C正确； 对于D：，所以不恒成立，故D错误. 故选：ABC 【变式3-6】(2025高一·全国·专题练习)若复数满足，则______. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】为实数，设，可得，利用复数的除法运算化简后，通过构建方程求解. 【详解】设，则， 则有，等式两边平方可得 ， 解得，即. 故答案为：2. 题型04 复数加减法的几何意义 【典例4-1】(24-25高一下·重庆沙坪坝·期中)已知复数满足，则的最大值为(   ) A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】确定表示复数的几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 【典例4-2】(24-25高一下·河北邢台·月考)设复数满足，且，则(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·河南洛阳·期中)已知z为复数，下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】结合共轭复数的概念及复数的乘法运算，根据模的运算求解判断AB，根据复数模长的性质分析判断CD. 【详解】对于A，，则，， 所以，所以A正确， 对于B，结合A，，，显然，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以D错误. 故选：AC 【典例4-4】(21-22高一下·上海宝山·期中)已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数的几何意义以及复数加减法的几何意义进行求解. 【详解】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆， ， ， ，即， 复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧， 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为： 故答案为：. 【变式4-1】(23-24高一下·河南南阳·期末)已知复数，满足，且，则(    ) A． B． C．5 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示，则对应的复数为，故. 故选：C. 【变式4-2】(22-23高一下·河南郑州·月考)复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【变式4-3】(21-22高一下·全国·课后作业)若向量分别表示复数，则=(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 【变式4-4】(21-22高一下·福建福州·期末)已知，且，i为虚数单位，则的最大值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数加减法几何意义的运用、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，由可知z对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由此可确定的最大值． 【详解】解：∵，故设，， ∴， ∴， 故复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵表示圆上的点到点的距离， ∴的最大值是， 故选：B． 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·江苏南通·期中)已知，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】举反例即可判断AB；根据复数的除法运算及模的计算公式即可判断C；根据复数加减法的几何意义即可判断D． 【详解】对于A，设，， 则，，，故A错误； 对于B，设，，则，但与不能比较大小，故B错误； 对于C，设，且， ， 则，故C正确； 对于D，在复平面内，对应的向量为，则对应的向量为如图所示， 由三角不等式可得，，即，故D正确； 故选：CD． 【变式4-6】(22-23高一下·浙江台州·期末)已知复数满足，且，则___________ 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数的几何意义与加减法的平行四边形法则，结合余弦定理得出的关系，从而得出结论． 【详解】如图，设，，作平行四边形，则，， 由已知，，， 在平行四边形中，， ， 又，，即， 所以，所以，， 故答案为：7. 一、单选题 1.(24-25高一下·甘肃白银·期末)已知复数，，，则(    ) A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】根据复数代数形式的乘法运算和复数相等的概念即可求解. 【详解】因为，所以，解得，则. 故选：B. 2.(24-25高一下·陕西汉中·期末)已知复数满足，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算 【分析】通过已知等式，将表示为分数形式，利用复数的除法运算法则，将分母实数化，求出. 【详解】 故选：C. 3.(23-24高一下·河南郑州·月考)复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据复数的加减运算结果求参数、已知复数的类型求参数 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 4.(22-23高一下·云南保山·期中)下列命题中，正确的个数为(   ) ①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是； ②复数是的根，则； ③若复数是关于的方程的一个根，则； ④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数范围内方程的根、复数的向量表示 【分析】利用复数的几何意义可判断①④；求出方程的虚根，利用复数的模长公式可判断②；利用韦达定理可判断③. 【详解】对于①，因为，则向量对应的复数是，①错； 对于②，由可得，解得，故，②对； 对于③，由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、， 所以，，解得，故，③对； 对于④，因为， 所以，复数对应的点的轨迹是以为圆心半径为的圆，④错. 故选：B. 5.(24-25高一下·湖南·期中)已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算 【分析】将代入已知方程中，利用复数的四则运算化简，根据复数相等的条件列式求解，即可求解. 【详解】将代入方程可得， 即，故，解得，故. 故选：B 6.(25-26高一下·全国·课后作业)在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则、复数加减法的代数运算 【分析】由向量的加法、减法运算和复数的加减运算即可求解. 【详解】， 故选：B 7.(23-24高一下·云南曲靖·期末)若复数为纯虚数，则的虚部为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的分类及辨析、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据纯虚数的定义，求出，结合复数四则运算以及复数虚部定义求解即可 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得，则， 所以，则其虚部为4， 故选：B 8.(24-25高一下·河北沧州·期末)已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】由是实数，可得，则 ，然后由a的范围可得答案. 【详解】因为是虚数，则， 所以． 因为是实数，所以，解得或． 因为，所以， 则． 因为，且，所以，所以， 所以，则， 即的取值范围是． 故选：D 二、多选题 9.(23-24高一下·浙江宁波·期末)已知,则(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的乘法和加法运算就可以得到结果并作出判断. 【详解】由，所以A正确； 由，所以B，D错误； 由，所以C正确； 故选：AC. 10.(24-25高一下·陕西渭南·期末)下列命题正确的是(    ) A．若复数，则 B．复数，则是纯虚数 C． D．若复数满足，则的最小值为1 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、与复数模相关的轨迹(图形)问题、求复数的模、复数的基本概念 【分析】应用复数乘法的几何意义及模长求解方法判断A；由共轭复数的定义及复数除法化简判断B；由复数的性质判断C；根据复数模长确定的轨迹，结合的几何意义确定最值判断D. 【详解】A：由，对； B：由题设为纯虚数，对； C：复数不能比较大小，错； D：由，即的轨迹为在复平面内，以为圆心，2为半径的圆， 又表示对应的点到点的距离，且点与点的距离为3， 所以的最小值为，对. 故选：ABD 11.(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为 ，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是(   ) A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】选项A，，A正确； 选项B，由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上，B错误； 选项C，D，如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即，，C正确，D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12.(25-26高一上·北京·期末)已知复数是纯虚数，则___________，复数的虚部为___________. 【答案】 10 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的运算，结合纯虚数的概念及虚部的概念即可求解. 【详解】依题意，， 由是纯虚数，得， 解得， 因此，所以复数的虚部为10. 故答案为：；. 13.(24-25高一下·天津武清·月考)若，则_______. 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数的运算法则计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】已知， 所以 . 14.(20-21高一下·福建厦门·期中)若且，则最大值是_______________. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】先分析出z的轨迹可看成圆，根据几何法可以得到表示圆上的点到原点的距离，即可求出最大值. 【详解】的几何意义为复平面动点到定点距离为1的点的轨迹， 可看成圆，表示圆上的点到原点的距离， 所以最大值为圆O1到原点距离加上半径1，即 . 故答案为：3. 四、解答题 15.(24-25高一下·辽宁·期末)已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】(1)根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数的概念计算求参； (2)根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参. 【详解】(1)因为， 所以， 由是纯虚数，得，解得， 所以； (2)由(1)知 所以 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 16.(2024高一下·全国·专题练习)已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、在各象限内点对应复数的特征、复数加减法几何意义的运用 【分析】(1)根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解， (2)根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解. 【详解】(1)因为复数，向量表示的点在第四象限， 所以解得. 所以a的取值范围是. (2)因为 ， 所以向量对应的复数为. 根据向量对应的复数为纯虚数，可得且， 解得. 17.(24-25高一下·陕西宝鸡·期末)已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】(1)设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； (2)代入可得，求得，进而得到答案； (3)先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【详解】(1)设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. (2)因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. (3)， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 18.(24-25高一下·山东青岛·期末)O为坐标原点，，均大于0，复数，在复平面内对应的点分别为A，B，对应的向量分别为，，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角(若，按顺时针方向旋转角)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数就是积. (1)若对应复数，绕点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数； (2)若复数对应的点为C，是等边三角形； (ⅰ)求； (ⅱ)若的顶点均在正方形边上，点E，F，G的坐标依次为，，，求面积的最小值. 【答案】(1)；(2)(ⅰ)(ⅱ) 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、复数的坐标表示 【分析】(1)根据新定义运算即可； (2)(i)取，代入运算即可；(ii)画出图形，引入参数，得到，说明即可得解. 【详解】(1)由题意得， 所以对应的复数为； (2)(i)因为是等边三角形，所以不妨设①， 所以； ①， 所以； 所以； (ii)如图所示，的顶点不可能是正方形的顶点，否则与是等边三角形矛盾， 不妨设， 所以， 由图可知， 等号成立当且仅当，即当且仅当， 所以面积为，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 19.(21-22高一·全国·单元测试)已知z为复数，为实数. (1)当时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合； (2)当时，若()为纯虚数，求的值和的取值范围. 【答案】(1)或；(2)，. 【难度】0.4 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、求复数的模、复数的除法运算 【分析】(1)设，x，，将用x，y表示.由复数满足题中所给的不等式可知，复数必为实数(虚数不能比较大小).可求出x，y所满足的关系式，再结合它们的范围，即可得到复数z在复平面内对应的点的集合； (2)在(1)的基础上，结合本小问所给的不等式，求出实数x的范围.因为，且u为纯虚数，所以且.从而求出实数 的值为3.再结合，可以将写成关于实数x的函数，求出该函数的值域即可. 【详解】(1)设，x，， 则为实数， ∴，∴或.     当时，. ∵，∴， 当时，解得；当时，不等式的解集为空集. ∴点Z的集合为.     当时，.∵，∴，解得. 又，∴. ∴点Z的集合为.     综上，复数z在复平面内对应的点Z的集合为或. (2)由(1)可得当时，. ∵，∴， ∵当时，；当时，， ∴不等式的解集为空集. 故不存在满足条件的.     当时，. ∵，∴，解得. ∵为纯虚数， ∴且， ∵，∴，，∴.     ∵，∴. ∴，. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3-2 复数的运算 讲义 教学目标 理解并掌握复数的加减乘除法法则及加法的几何意义，能够熟练进行复数的运算. 教学重点 复数的加减乘除法法则. 教学难点 复数的除法运算，复数加法的几何意义. 知识点01 复数的运算 1.设、 (、、、)是任意两个复数： (1) (2) (3) (4) 2.(1)； (2)； 3.常用结论 (1).(1±i)2＝±2i. (2).＝i，＝－i. (3).虚数单位的周期 即：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z). (4).； 【即学即练1-1】(25-26高一上·福建厦门·期末)已知复数，则等于(    ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)在复平面内，复数z满足，则(   ) A． B． C． D． 【即学即练1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)复数满足(，)且，则(    ) A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【即学即练1-4】(24-25高一下·江苏无锡·期中)已知，则＝______. 知识点02 复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行： 如图，，分别对应复数，， ，，则对应复数. 【即学即练2-1】(20-21高一·全国·课后作业)在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(    ) A． B．5 C．2 D．10 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·四川成都·期中)已知复数，则下列说法中不正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．，则 D．是的充分不必要条件 题型01 复数的加减法 【典例1-1】(24-25高一下·宁夏固原·期末)计算的值为(   ) A．5 B． C． D． 【典例1-2】(24-25高一下·河南·月考)已知复数满足，则的虚部为 (    ) A． B． C． D．2 【典例1-3】(多选)(23-24高一下·江苏连云港·期中)关于复数，，下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则或 C． D．若，则，中至少有一个是虚数 【典例1-4】(22-23高一下·全国·课后作业)设，，，则_________． 【变式1-1】(24-25高一下·河北邯郸·期末)若复数满足，则复数的虚部为(   ) A． B． C．3 D． 【变式1-2】(24-25高一下·安徽合肥·期末)已知复数，，则(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】(24-25高一下·四川遂宁·期中)已知复数，则的共轭复数为(   ) A． B． C． D． 【变式1-4】(23-24高一下·宁夏银川·月考)已知复数满足(为虚数单位)，则的虚部为(    ) A．1 B． C．2 D． 【变式1-5】(多选)(22-23高一下·安徽亳州·期末)设，是复数，，是其共轭复数，则下列命题中正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为实数，则为实数 【变式1-6】(23-24高一下·上海嘉定·期中)若复数满足，则________. 题型02 复数的乘法 【典例2-1】(23-24高一下·湖北武汉·期末)已知复数，则Z的虚部为(   ) A．1 B．i C．2 D．2i 【典例2-2】(25-26高一下·全国·单元测试)已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为(   ) A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)(24-25高一下·甘肃白银·期末)下列各式的运算结果为纯虚数的是(   ) A． B． C． D． 【典例2-4】(24-25高一下·四川雅安·月考)复数的虚部为__________． 【变式2-1】(24-25高一下·江苏南京·期中)计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(23-24高一下·北京·期末)在复平面内，复数对应的点位于(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】(24-25高一下·甘肃酒泉·期末)设为实数，复数，，若为纯虚数，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-4】(24-25高一下·重庆·期中)已知复数，则的虚部是(   ) A．5 B． C． D． 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·山东济南·期中)已知复数(i是虚数单位)，则下列结论正确的是(    ) A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【变式2-6】(2025高一下·江苏南京·专题练习)计算 __________. 题型03 复数的除法 【典例3-1】(24-25高一下·陕西渭南·期末)复数的共轭复数为(   ) A． B． C． D． 【典例3-2】(25-26高一下·河北邢台·月考)已知图中小正方形的边长为1，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则(   ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(25-26高一下·陕西西安·月考)若复数，则下列选项正确的有(    ) A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．iz在复平面内对应的点位于第一象限 【典例3-4】(25-26高一下·福建厦门·月考)计算：______． 【变式3-1】(24-25高一下·河北衡水·期末)复数的实部为(    ) A．1 B．2 C． D．5 【变式3-2】(25-26高一上·河北唐山·月考)已知复数，则等于(   ) A． B． C．2 D．5 【变式3-3】(25-26高一下·云南曲靖·月考)已知复数(为虚数单位)，则的共轭复数为(   ) A． B． C． D． 【变式3-4】(24-25高一下·江苏常州·期末)设复数(为虚数单位)，则复数的虚部是(   ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知复数，以下复数运算一定成立的是(    ) A． B． C． D． 【变式3-6】(2025高一·全国·专题练习)若复数满足，则______. 题型04 复数加减法的几何意义 【典例4-1】(24-25高一下·重庆沙坪坝·期中)已知复数满足，则的最大值为(   ) A． B． C． D．4 【典例4-2】(24-25高一下·河北邢台·月考)设复数满足，且，则(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·河南洛阳·期中)已知z为复数，下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【典例4-4】(21-22高一下·上海宝山·期中)已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______． 【变式4-1】(23-24高一下·河南南阳·期末)已知复数，满足，且，则(    ) A． B． C．5 D． 【变式4-2】(22-23高一下·河南郑州·月考)复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为(    ) A． B． C． D． 【变式4-3】(21-22高一下·全国·课后作业)若向量分别表示复数，则=(    ) A． B． C． D． 【变式4-4】(21-22高一下·福建福州·期末)已知，且，i为虚数单位，则的最大值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·江苏南通·期中)已知，，则(   ) A． B． C． D． 【变式4-6】(22-23高一下·浙江台州·期末)已知复数满足，且，则___________ 一、单选题 1.(24-25高一下·甘肃白银·期末)已知复数，，，则(    ) A．3 B． C．4 D． 2.(24-25高一下·陕西汉中·期末)已知复数满足，则(   ) A． B． C． D． 3.(23-24高一下·河南郑州·月考)复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则(    ) A． B． C． D． 4.(22-23高一下·云南保山·期中)下列命题中，正确的个数为(   ) ①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是； ②复数是的根，则； ③若复数是关于的方程的一个根，则； ④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. A． B． C． D． 5.(24-25高一下·湖南·期中)已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则(    ) A． B． C． D． 6.(25-26高一下·全国·课后作业)在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为(   ) A． B． C． D． 7.(23-24高一下·云南曲靖·期末)若复数为纯虚数，则的虚部为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 8.(24-25高一下·河北沧州·期末)已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(23-24高一下·浙江宁波·期末)已知,则(    ) A． B． C． D． 10.(24-25高一下·陕西渭南·期末)下列命题正确的是(    ) A．若复数，则 B．复数，则是纯虚数 C． D．若复数满足，则的最小值为1 11.(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为 ，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是(   ) A． B．点位于第二象限 C． D． 三、填空题 12.(25-26高一上·北京·期末)已知复数是纯虚数，则___________，复数的虚部为___________. 13.(24-25高一下·天津武清·月考)若，则_______. 14.(20-21高一下·福建厦门·期中)若且，则最大值是_______________. 四、解答题 15.(24-25高一下·辽宁·期末)已知复数，且是纯虚数. (1)求；(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16.(2024高一下·全国·专题练习)已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围；(2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 17.(24-25高一下·陕西宝鸡·期末)已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求；(2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 18.(24-25高一下·山东青岛·期末)O为坐标原点，，均大于0，复数，在复平面内对应的点分别为A，B，对应的向量分别为，，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角(若，按顺时针方向旋转角)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数就是积. (1)若对应复数，绕点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数； (2)若复数对应的点为C，是等边三角形； (ⅰ)求；(ⅱ)若的顶点均在正方形边上，点E，F，G的坐标依次为，，，求面积的最小值. 19.(21-22高一·全国·单元测试)已知z为复数，为实数. (1)当时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合； (2)当时，若()为纯虚数，求的值和的取值范围. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3-2复数的运算讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01复数的加减法 3-2复数的运算 知识点01复数的运算 题型02复数的乘法 题型03复数的除法 题型04复数幼加减法的几何意义 知识点02复数加减法的几何意义 教学目标、教学重难点 教学目标 理解并掌握复数的加减乘除法法则及加法的几何意义，能够熟练进行复数的运算. 教学重点 复数的加减乘除法法则： 教学难点 复数的除法运算，复数加法的几何意义 知识清单 知识点01复数的运算 1.设1=a+bi、三1=c+i(a、b、c、d∈R)是任意两个复数： (1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (3)z1·z2=(a+bi)·(c+d)=(ac-bd)+(bc+ad)i ④a+b0-c+d0=4提+，器 2.(1)(Z1·z2)·z3=Z1·(亿2·z3): (2)z1(z2+Z3)=Z1·z2+Z1·Z3: 3.常用结论 (1).(1±)2=±2i 2.}+=,1-1=-i 1-i 1+i (3).虚数单位的周期T=4 即：ia=1,i+1=i,i4n+2=-l,i+3=-i,i4a十in+1+i4nt2+i4n+3=0(n∈Z. (4).z·z=lz2=a2+b2; 【即学即练1-1】(25-26高一上福建厦门·期末)已知复数z1=1+2i,z2=3-1,则z1+z2等于() A.4+2i B.4+i C.4-2i D.4-1 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)在复平面内，复数z满足(1-)z=2,则z=() A.2+i B.-2-i c.1-i D.1+i 第1页共9页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练1-3】（多选）24-25高一下·全国·课后作业)复数z满足z=a+bi(a,b∈R)且a+bi+2(a-bi= 9+4i,则() A.z=3+4i B.z=3-4i C.z的虚部为-4D.z的实部为-3 【即学即练14】(24-25高-下江苏无锡期肿)已知=a+bi(ab∈R),则a+b= 知识点02复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行： Z(c,d) Z(a,b) ⊙ 如图，0Z1,0Z2分别对应复数a+bi,a-bi, 0Z=(a,b),0Z2=(c,d),则0Z+0Z2=(a+c,b+c)对应复数zZ=(a+c)+(b+0i. 【即学即练2-1】(20-21高一·全国·课后作业)在平行四边形ABCD中，若A,C对应的复数分别为一1十i和一 4一3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为() A.√5 B.5 C.2V5 D.10 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下，四川成都期中)已知复数z1,z2,则下列说法中不正确的是(） A.若1z1=|z2,则z1=z B.若21-z2>0,则z1>Z2 C.lz1l=1,lz2l=1,21-z2l=1,则z1+z2=3 D.Z1z2∈R是z1=Z2的充分不必要条件 题型精饼 题型01复数的加减法 【典例1-1】(24-25高一下.宁夏固原·期末)计算(2+41+(3-41的值为) A.5 B.-8i C.8i D.5-8i 【典例1-2】(24-25高一下河南·月考)已知复数z满足z+2z=1+2i,则z的虚部为（) A.-2 c. D.2 【典例1-3】（多选）23-24高一下·江苏连云港·期中)关于复数z1,22,下列说法正确的是() A.若z1-Z2>0,则z1>Z2 B.若2122=0，则z1=0或22=0 C.z1+z2=Z1+Z2 D.若z子+z3<0,则21,22中至少有一个是虚数 第2页共9页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-4(22-23高一下·全国·课后作业)设f(z)=1-z,z=2+3i,22=5-i,则f(⑦1-z2= 【变式1-1】(24-25高一下河北邯郸期末)若复数z满足1-2i+z=-2+1,则复数z的虚部为) A.-3 B.-3i C.3 D.3i 【变式1-2】(24-25高一下·安徽合肥期末)已知复数z1=2+3i,z2=1+i,则z1+z2=() A.3+21 B.-1+21 C.-1+41 D.3+4i 【变式1-31(24-25高一下四川遂宁期中)已知复数z=3-i,则z的共轭复数为) A.3+i B.3-i c.-3-i D.-3+1 《变式1-4】(23-24高一下.宁夏银川小·月考)已知复数z满足z+2=3+2i(i为虚数单位)，则z的虚部为) A.1 B.i C.2 D.2i 【变式1-5】（多选）(22-23高一下·安徽毫州·期末)设z1,z2是复数，z,Z2是其共轭复数，则下列命题中正确 的是() A.若z1+z经=0，则z1=z2=0 B.若21+Z2=Z1-22,则21·Z2=0 C.若z=Z2,则z1=z2 D.若z1-Z为实数，则z1为实数 【变式1-6】(23-24高一下.上海嘉定期中)若复数z满足z-(2-3)=1-i,则z= 题型02复数的乘法 【典例2-1】(23-24高一下·湖北武汉期末)已知复数Z=(1+)(2-),则Z的虚部为) A.1 B.i C.2 D.2i 【典例2-2】(25-26高一下.全国·单元测试)已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,1为虚数单位，且两复数的 乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数的值为) A一 B. c.- D. 【典例2-3】（多选）(24-25高一下.甘肃白银期末)下列各式的运算结果为纯虚数的是() A.(1+0(1-)B.i(1+)C.(1+)2D.i2(-) 【典例2-4】(24-25高一下四川雅安月考)复数(3-7)(7+)的虚部为 【变式2-1】(24-25高一下江苏南京期中)计算(1-)的结果是() A.2i B.-2i C.i D.-i 第3页共9页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】(23-24高一下·北京期末)在复平面内，复数z=(2-5)(1-2)对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2-3】(24-25高一下.甘肃酒泉·期末)设a为实数，复数z1=a-2i,z2=-1+ai,若z1+z2为纯虚数， 则z122=() A.1+31 B.-1 C.-6+61 D.-3+31 【变式2-4】(24-25高一下.重庆期中)已知复数z=-3+2i,则z·(1+)的虚部是() A.5 B.-5 C.5i D.-5i 【变式2-5】（多选）(24-25高一下山东济南·期中)已知复数(1+)z=1-31是虚数单位)，则下列结论正确 的是() A.复数z的虚部等于2i B.Z+z=-2 C.z·z=V5 D.若a是实数，z+a是纯虚数，则a=1 【变式26】(2025高-下-江苏南京专题练习)计算（停+）°·（+)’= 题型03复数的除法 【典例31(24-25高一下陕西渭南期末)复数2=二的共轭复数为() A.1-i B.1+i C.2-2i D.2+2i 【典例3-2】(25-26高一下河北邢台·月考)已知图中小正方形的边长为1，在复平面内，复数z1和z2对应的点 分别是A和B,则经=) 22 A. B. c.- 0. 【典例33】（多选(25-26高一下陕西西安月考）若复数2=吾名则下列选项正确的有(） A.lz=√5 B.z的共轭复数为2-i C.z+为实数 D.z在复平面内对应的点位于第一象限 第4页共9页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例34】(2526商一下福建厦门月考)计氛：后= 【变式31】(24-25高一下河北衡水期末)复数的实部为) 1-2 A.1 B.2 C.-2 D.5 【变式32】(2526高一上河北唐山月考)已知复数2-， 则z等于() A.V5 B.V10 C.2 D.5 【变式33】(2526高一下云南曲靖月考)已知复数2=台为虚数单位)，则z的共轭复数为) A.是 B.+c.+0.- 【变式3-424-25高一下江苏常州期末)设复数2=为虚数单位，则复数2的虚部是() A.1 B.-1 C.i D.-i 【变式35】（多选）24-25高一下浙江杭州期中)已知复数z1,z2≠0，以下复数运算一定成立的是() A.24=lz8.图= C.= D.1z2=z2 【变式36】(2025高一·全国.专题练习)若复数z满足z(-3z+2)=2(z-6),则z= 题型04复数加减法的几何意义 【典例41】(24-25高一下·重庆沙坪坝期中)已知复数z满足z+2-i〢=2，则川z+的最大值为) A.2+2V3 B.2+V10 C.2+2vW2 D.4 【典例4-2】(24-25高一下.河北邢台·月考)设复数z1,z2满足|z1l=3,22=4,且21-22=3-4i,则|z1+ 22l=(） A.3 B.4 C.5 D.6 【典例43】（多选）23-24高一下·河南洛阳·期中)已知z为复数，下列说法正确的是() A.Z=z2 B.zZ=z2 C.|z-≤2z D.|z+z≥2lz 【典例44】(21-22高一下.上海宝山期中)己知复数z1,z2满足|z1=1,z2=2,z3=z1-z2,则z3在复 平面所对应的点组成的图形的面积为一· 【变式41(23-24高一下河南南阳·期末)已知复数z1,z2满足|z1=2z2l=2V5,且21-22=3+4i,则z1+ z2l=() 第5页共9页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.V5 B.2V5 C.5 D.5V2 【变式42】(22-23高一下河南郑州·月考)复数6+5i与-3+4i分别表示向量0A与0B,则表示向量BA的复 数为) A.3+9i1 B.2+8i c.-9-i D.9+i 【变式43】(21-22高一下.全国课后作业)若向量AB,AC分别表示复数z1=2-i,z2=3+i,则|BC=() A.5 B.V5 C.25 D.2W2 【变式44】(21-22高一下·福建福州期末)已知z∈C,且(2-)·(z+)=1,1为虚数单位，则z-3-5i训 的最大值是() A.5 B.6 C.7 D.8 凰变式45】（多选）(24-25高一下江苏南通·期中)已知z1,z2∈C,则() A.Z1Z2=Z122 B.Z1-Z2>0台Z1>z2 c目-哥 D.|z1l+lz2l≥lz1+z2 【变式4622-23高一下.浙江台州期末)已知复数z1,22满足21=2V322=5,且z1-22=3+4i,则21+ z2l 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下.甘肃白银期末)已知复数a,b∈R,ai(1+2i)=b+3i,则a+b=() A.3 B.-3 C.4 D.-4 2.(24-25高一下…陕西汉中.期末)已知复数z满足z·i=1+i,则z=() A.-1+i B.-1-i C.1-i D.1+i 3.(23-24高一下河南郑州月考)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b为实数，若z1+z2为实数，z1-Z2为纯 虚数，则a+b=) A.-7 B.7 C.-1 D.1 4.(22-23高一下.云南保山期中)下列命题中，正确的个数为) ①设0是坐标原点，向量0A、OB对应的复数分别为2一3i、-3+2i,那么向量BA对应的复数是-5+5i: ②复数z是x2-2x+3=0的根，则lz=3; 第6页共9页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 ③若复数2+3i是关于x的方程x2+2px+q=0(,q∈R)的一个根，则p+q=11; ④已知复数z满足引z一1+=3，则复数z对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，半径为3的圆. A.1 B.2 C.3 D.4 5.(24-25高一下.湖南·期中)已知z=1+2i是实系数一元二次方程mx2+nx+1=0的一个复数根，则3m+ n=) A美 c 0.- 6.(25-26高一下.全国·课后作业)在复平面内，0是原点，0A,0C,AB表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i, 则BC表示的复数为) A.2+8i B.4-4i C.-6-6i D.-4+4i 7.(23-24高一下.云南曲靖·期末)若复数z=m2-2m-3+i(m2-3m-4)(m∈R)为纯虚数，则(z+3+ 5i)(1+)的虚部为) A.3 B.4 C.5 D.6 8.(24-25高一下河北沧州期末)已知复数z=a+bi(a,b∈)是虚数，且z+是实数，则z+1+2b2的取值范 围是() A.(-2,2) B.[-2,2] c.【2, D.(-2引 二、多选题 92324商一下浙江宁波期末已知z,=-+号.23=+则() A.Z1·Z2=-1 B.z经=z1C.1+Z1+z1=0 D.z3=1 10.(24-25高一下·陕西渭南·期末)下列命题正确的是() A.若复数z=(1-)(2-),则z=V10B.复数z=1+i,则是纯虚数 c.3-i>2-i D.若复数z满足|z-1川=2，则川z-1-3的最小值为1 11.(24-25高一下·全国·课后作业（多选）在复平面内有一个平行四边形0ABC,点0为坐标原点，点A对应的复 数为z1=1+i,点B对应的复数为z2=1+2i,点C对应的复数为z3,则下列结论正确的是() A.Z1-Z2=-i B.点C位于第二象限 C.Z1+23=22D.lz1-23|=|AC 三、填空题 12.(25-26高一上北京·期末)已知复数z=(a+2i)(1-2i)(a∈R)是纯虚数，则a= 。 复数z的虚 部为 第7页共9页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1324-25高一下.天津武清月考若2=1+名则1+z+2+…+2019= 14.(20-21高一下·福建厦门期中)若z∈C且z-1-3i=1,则川z最大值是 四、解答题 15.(24-25高一下辽宁.期末)已知复数z1=2-1,z2=a+4i(a∈R),且2是纯虚数. (1)求z2:(2)若复数z=Z2+(m2-7m+10)i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 16.(2024高一下·全国.专题练习)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对 应向量0Z,0Z(0为原点)： (1)若向量0Z1表示的点在第四象限，求α的取值范围；(2)若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值. 17.(24-25高一下陕西宝鸡期末)已知z为复数，z+2i和乙均为实数，其中1是虚数单位. 2-i (1)求z;(2)若复数z是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个解，求m-n的值. (3)若a=z+片一左i在第四象限，求m的取值范国。 第8页共9页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(24-25高一下.山东青岛期末)0为坐标原点，r1,r2均大于0，复数z1=T1(c0s61+isin01),z2=r2(c0s82+ isi02)在复平面内对应的点分别为A,B,对应的向量分别为OA,OB,若把向量OA绕点O按逆时针方向旋 转角62（若62<0，按顺时针方向旋转角1旧2），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量0Z,则0Z对应的复数 就是积Z122 (1)若0A对应复数2+i,0A绕点O按逆时针方向旋转60°得到0Z,求0Z对应的复数： (2)若复数z3对应的点为C,△ABC是等边三角形： （i)求3：(i)若△ABC的顶点均在正方形0EFG边上，点B,F,G的坐标依次为(1,0)，(1,1)，(0,1)，求 z2-Z1 △ABC面积的最小值. 19.(21-22高一全国单元测试)已知z为复数，w=z+2为实数。 (1)当-2<ω<10时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合： (2)当-4<ω<2时，若u=召a>0)为纯虚数，求的值和的取值范围. 十z 第9页共9页丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3-2复数的运算讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01复数的加减法 3-2复数的运算 知识点01复数的运算 题型02复数的乘法 题型03复数的除法 题型04复数幼加减法的几何意义 知识点02复数加减法的几何意义 教学目标、教学重难点 教学目标 理解并掌握复数的加减乘除法法则及加法的几何意义，能够熟练进行复数的运算. 教学重点 复数的加减乘除法法则 教学难点 复数的除法运算，复数加法的几何意义 知识清单 知识点01复数的运算 1.设1=a+bi、三1=c+i(a、b、c、d∈R)是任意两个复数： (1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (3)z1·z2=(a+bi)·(c+d)=(ac-bd)+(bc+ad)i ④a+b0-c+d0=4提+， 2.(1)(Z1·z2)·z3=Z1·(亿2·z3): (2)Z1(Z2+Z3)=Z1·22+Z1·23; 3.常用结论 (1).(1±)2=±2i 2.}+=,1-1=-i 1-i 1+i (3).虚数单位的周期T=4 即：ia=1,i+1=i,i4n+2=-l,i+3=-i,i4a十in+1+i4nt2+i4n+3=0(n∈Z. (4).z·z=lz2=a2+b2: 【即学即练1-1】(25-26高一上福建厦门·期末)已知复数z1=1+21,z2=3-1,则z1+z2等于(） A.4+2i B.4+i C.4-2i D.4-i 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 第1页共26页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】利用复数的加法运算法则求解即可」 【详解】因为z1=1+2iz2=3-i,所以z1+z2=1+2i+3-i=4+1. 故选：B 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国课堂例题)在复平面内，复数z满足(1-)z=2,则z=() A.2+1 B.-2-i C.1-i D.1+i 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算求解， 【详解】依题意，2=名=0。=1+1 故选：D 【即学即练1-3】（多选）24-25高一下.全国·课后作业)复数z满足z=a+bi(a,b∈R)且a+bi+2(a-bi= 9+4i,则() A.z=3+4i B.z=3-4i C.z的虚部为-4 D.z的实部为-3 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、根据复数的加减运算结果求参数、复数的相等 【分析】根据腿意结合复数的加法运算可得(6二3，结合选项逐项分析判断。 【详解】因为z=a+bi,则a+bi+2a-2bi=3a-bi=9+4i, 可何8=4解得2-3 所以z=3-4i,其虚部为-4，实部为3，故BC正确，AD错误： 故选：BC 【即学即练1-4】(24-25高一下-江苏无锡期中)已知2=a+bi(a,bER),则a+b= 3-41 【答案】/0.6 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】由复数的乘除法运算化简，即可求出a=,b-专即可得出答案 【详解】因为-侣0-9器=号+ (3-403+4125 所以a=b=号所以a+b=号 故答案为：昌 知识点02复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行： 第2页共26页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Z(c,d) Z(a,b) 如图，0Z1,0Z2分别对应复数a+bi,a-bi, 0z=(a,b),0Z2=(c,d),则0z+0Z=(a+c,b+c)对应复数z=(a+c)+(b+)i 凰即学即练2-1】(20-21高一，全国·课后作业)在平行四边形ABCD中，若A,C对应的复数分别为-1十i和 4一3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为() A.V5 B.5 C.2V5 D.10 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数减法的几何意义求出向量AC对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出 【详解】依题意，AC对应的复数为(-4-31)-(-1+)=-3-41，因此AC的长度为|一3-41=5. 故选：B. 〖即学即练2-2】（多选）(24-25高一下·四川成都期中)已知复数z1,22,则下列说法中不正确的是() A.若lz1=z2,则z1=z B.若21-22>0，则21>z2 C.21l=1,lz2l=1,lz1-z2l=1,则|z1+z2l=V3 D.Z122∈R是z1=Z2的充分不必要条件 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】通过特例即可判断ABD:对于C,结合复数的加法和减法运算，根据模的运算公式求解。 【详解】对于A,令z1=1,z2=1,满足|z1=|z2,显然z1=z不成立，错误： 对于B,令21=2+1，z2=1+i1,满足z1-22>0,显然z1>Z2不成立，错误： 对于C,设z1=a+bi,22=c+di,a,b,c,deR,由lz1l=1,lz2=1,可得a2+b2=1,c2+d2=1, 则z1-z2=(a-c)+(b-d)i,由|z1-z2=1可得(a-c)2+(b-d02=1, 所以2ac+2bd=1,又z1+z2=(a+c)+(b+d0i, 所以z1+z2= (a+c)2+(b+02=3,正确： 对于D,令z1=1,Z2=-1,满足Z1Z2ER,此时z1=Z2不成立，充分性不成立，错误： 故选：ABD 题型精讲 题型01复数的加减法 凰典例1-1】(24-25高一下.宁夏固原期末)计算(2+41+(3-41)的值为) A.5 B.-8i C.8i D.5-8i 第3页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得.」 【详解】(2+41+(3-4i1=5. 故选：A 【典例1-2】(24-25高一下河南·月考)己知复数z满足z+2z=1+2i,则z的虚部为（) A.-2 C. D.2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、求复数的实部与虚部 【分析】根据共轭复数的概念、复数相等及复数的加法运算法则即可求解 【详解】设z=a+bi(a,b∈R),则z+2z=(a+bi)+2(a-bi)=3a-bi,所以由题可得3a-bi=1+2i, 则02解得0=甘2其虚部为-2 1 b=2 故选：A 【典例1-3】（多选23-24高一下·江苏连云港·期中）关于复数z1,z2,下列说法正确的是() A.若z1-Z2>0,则z1>Z2 B.若2122=0，则z1=0或22=0 C.Z1 +Z2=Z1+Z D.若z子+22<0，则z1,z2中至少有一个是虚数 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算、复数的基本概念 【分析】取z1=2+1,z2=1+i可判断A;根据复数的概念可判断B；根据复数的运算可判断C;利用反证 法可判断D. 【详解】对于A,设z1=2+1,z2=1+1,则z1-22=1>0,但z1,z2不能比较大小，故A错误： 对于B,因为2122=0，所以z1=0或z2=0,故B正确： 对于C,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R) 则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i +Z2=a-bi+c-di=a+c-(b+d)i, 故Z1+Z2=Z+z2,故C正确： 对于D,若z1,z2中全是实数，则z1+z乾≥0，与z1+z<0矛盾， 故z1,22中至少有一个是虚数，故D正确. 故选：BCD 【典例1-4(22-23高一下·全国·课后作业)设f(z)=1-z,z=2+3i,z2=5-i,则f(Z1-z2)= 【答案】4+2i/2i+4 第4页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的减法运算以及共轭复数的概念即可求解。 【详解】由z=2+3i得z1=2-3i,所以z1-z2=2-3i-(5-1)=-3-2i,,故f(Z1-Z2)=1-(z1- z2)=1-(-3-21)=4+2i, 故答案为：4+2i 【变式1-1】(24-25高一下河北邯郸期末)若复数z满足1-2i+z=-2+1,则复数z的虚部为) A.-3 B.-3i C.3 D.3i 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的实部与虚部 【分析】借助复数运算法则计算即可得。 【详解】由1-2i+z=-2+i,则z=-2+i+2i-1=-3+3i, 则复数z的虚部为3. 故选：C 【变式1-2】(24-25高一下.安徽合肥期末)己知复数z1=2+3i,z2=1+1,则z1+22=() A.3+2i B.-1+21 C.-1+41 D.3+4i 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数加法运算法则求解， 【详解】由z1=2+3i,z2=1+i, 则z1+Z2=3+4i, 故选：D 【变式1-3】(24-25高一下四川遂宁.期中)已知复数z=3-i,则z的共轭复数为) A.3+i B.3-i c.-3-i D.-3+i 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】由共轭复数的定义求解即可. 【详解】复数z=3-1的共轭复数为3+i 故选：A 【变式1-4】(23-24高一下.宁夏银川月考)己知复数z满足z+2=3+2i(1为虚数单位)，则z的虚部为) A.1 B.i C.2 D.2i 【答案】c 第5页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数运算规则、复数的定义解决问题 【详解】由z+2=3+2i,得z=1+2i,所以复数z的虚部为2. 故选：C 【变式1-5】（多选）22-23高一下·安徽毫州期末)设z1,22是复数，z,z2是其共轭复数，则下列命题中正确 的是() A.若z1+z=0,则z1=22=0 B.若z1十22=Z1-22,则z1·22=0 C.若z=Z2引，则z1=z2 D.若21-Z1为实数，则z1为实数 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的模、复数的基本概念、复数的相等 【分析】由复数的概念及运算可逐项判断」 【详解】对A,取z1=1,22=1,则z1+z3=0,但z1≠0，z2≠0.A错： 对B,若z1+22=z1-22,解得22=0，则z1·22=0.B对： 对C,z=l,则z1=z2l,显然il=,但i≠-i.C错： 对D,设z1=Q+bi,则z=a-bi,因此z-z=2bi,b=0,则z1为实数，D对. 故选：BD. 【变式1-6】(23-24高一下.上海嘉定.期中)若复数z满足z-(2-3)=1-i,则z= 【答案】3-4i 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数运算求得正确答案 【详解】z-(2-3i)=1-i→z=1-i+2-3i→z=3-4 故答案为：3-4i 题型02复数的乘法 【典例2-1】(23-24高一下湖北武汉期末)已知复数Z=(1+)(2-),则Z的虚部为(） A.1 B.i C.2 D.2i 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的四则运算求出复数Z,即得其虚部. 【详解】Z=(1+)(2-i)=2-i+2i+1=3+i, 则Z的虚部为1. 故选：A 第6页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2-2】(25-26高一下·全国.单元测试)已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,i为虚数单位，且两复数的 乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为() A音 B. c.- 0. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、根据复数乘法运算结果求参数、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的乘法运算求出z1z2,有乘积z12z的实部和虚部为相等的正数，列出m的等式，解出m的 值. 【详解】因为z1z2=(1+2i)[m+(m-1)川=[m-2(m-1)]+[2m+(m-1)]i=(2-m)+(3m-1)i, 所以2-m=3m-1,即m=是 经检验，m=能使2-m=3m-1>0, 所以m=满足题意。 故选：D. 【典例2-3】（多选）(24-25高一下·甘肃白银·期末)下列各式的运算结果为纯虚数的是() A.(1+i)(1-) B.i(1+)c.(1+)2D.i2(-) 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的乘方运算法则求解复数，然后利用纯虚数的概念判断各个选项即可. 【详解】A项，(1+)(1-)=2,2不是纯虚数： B项，i(1+i)=-1+i,-1+i不是纯虚数： C项，(1+)2=2i,2i是纯虚数： D项，(-)=i,i是纯虚数： 故选：CD 【典例2-4】(24-25高一下·四川雅安月考)复数(3-7)(7+)的虚部为 【答案】-46 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可判断. 【详解】因为(3-7)(7+)=21+3i-49i-7i2=28-46i, 所以(3-71)(7+)的虚部为-46. 故答案为：-46 【变式2-1】(24-25高一下江苏南京·期中)计算(1-)的结果是() A.2i B.-21 C.i D.-i 第7页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的乘方 【分析】根据复数的乘法运算化简即可. 【详解】(1-)2=12-2i+i2=-2i, 故选：B 【变式2-2】(23-24高一下.北京期末)在复平面内，复数z=(2-51)(1-2)对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方 【分析】由复数的乘法公式可得z,根据复数的几何意义可解 【详解】z=(2-511-2i)=-8-9i,在复平面中对应的点为(-8，-9)位于第三象限。 故选：C 【变式2-3】(24-25高一下.甘肃酒泉·期末)设a为实数，复数z1=a-2i,z2=-1+ai,若z1+z2为纯虚数， 则z122=() A.1+3i B.-1 C.-6+61 D.-3+3i 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、己知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数求得a=1,代入z1,z2,利用复数的乘法运算即可求出z122 【详解】因为z1+z2=a-2i+(-1+ai=a-1+(a-2)i为纯虚数， 可得侣-2生8解得a=1, 则z1=1-2i,z2=-1+i,故z122=(1-2i):(-1+i)=1+3i. 故选：A 《变式2-4】(24-25高一下·重庆·期中)己知复数z=-3+2i,则z·(1+)的虚部是() A.5 B.-5 C.5i D.-5i 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解即可. 【详解】复数z=-3+2i,则z·(1+)=(-3-2i)(1+i)=-1-5i, 所以所求虚部是-5. 故选：B 凰变式2-5】（多选）24-25高一下山东济南·期中)已知复数(1+)z=1-3i是虚数单位)，则下列结论正确 第8页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的是() A.复数z的虚部等于2i B.Z+z=-2 C.z·z=V5 D.若a是实数，z+a是纯虚数，则a=1 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】先根据复数的除法运算化简复数z,然后根据复数的虚部概念，共轭复数，复数的运算及纯虚数的 概念逐项判定，即可求解 【详解】由1+0z=1-3i,得z=器-=2≥-1-2， (1+i0(1-i0 2 所以z=-1+2i, 复数z的虚部等于2，故A不正确： z+2=-1+2i+(-1-2)=-2,故B正确； z·z=(-1+2)·(-1-2)=(-1)2-(21)2=5,故c不正确： z+a=-1+a+2i,由z+a是纯虚数，a是实数，得-1+a=0,即a=1,故D正确 故选：BD 【变式2612025高-下江苏南京专题练习)计算（停+）°(+)” 【答案】-1 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方 【分析】根据复数的乘方运算法则求解即可 【详解】因为（停+）-(9)+3(9)(+3(9)°+)°-普+-9日=。 所以（停+）°=2=-1 因为(+)=()+3()（停）+3（停）+（停）=-++-=1， 所以(+)'-1 所以（停+封°(+）=-1 故答案为：-1. 题型03复数的除法 【典例3-1】(24-25高一下陕西渭南·期末)复数z=二的共轭复数为) A.1-i B.1+i C.2-2i D.2+2i 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 第9页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由z= :,根据复数除法的计算法则求出复数z,再根据共轭复数的定义求出z即可得解. 【详解】因为复数z=名-0晋-经-1+i 2 2 所以z=1-i. 故选：A 【典例3-2】(25-26高一下河北邢台·月考)已知图中小正方形的边长为1，在复平面内，复数z1和z2对应的点 分别是A和B,则经=() A B. c.- 0.-- 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【详解】由题意和图形可得，复数z1=1+2i,z2=-1+i, 所-品号-2-学-引 22 2 2=2-21. 【典例3-3】（多选25-26高一下陕西西安月考）若复数2=吕。则下列选项正确的有() A.z=V5 B.z的共轭复数为2-i C.z+为实数 D.z在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在 的象限 【详解】由2=高 5(i+2) =-i-2, 0-2)1+2) 对于选项A,z=(-2)+(-1)2=V5,选项A正确： 对于选项B,z的共轭复数z=-2+i,选项B错误； 对于选项C2+=(-2-0+号=(-2-0+(-2+0=-4，为实数，选项C正确： 对于选项D,iz=-记-i=1-2i,iz在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误. 【典例34】2526商一下福建厦门月考别计算：二号- 【答案】i 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 第10页共26页