第3章 复数（高效培优单元测试·提升卷）高一数学湘教版必修第二册

学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 高一下学期第3章复数 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.(24-25高一下陕西咸阳·期中)若(x-)i=y+5i(x,y∈R),则x+y=() A.6 B.5 C.-6 D.-5 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等得出x=5,y=1计算求值. 【详解】因为(x-i0i=1+x=y+5i,所以x=5,y=1,x+y=6. 故选：A 2.(23-24高一下…上海·月考)己知z1,z2∈C,语句a:z1,z2中至少有一个为虚数，语句B:z1-Z2为虚数.则aα是B 的)条件. A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的分类及辨析 【分析】由必要不充分条件的定义、复数的概念即可判断」 【详解】若z1、22皆是实数，则z1-22一定不是虚数，因此当z1-z2是虚数时，则“z1、z2中至少有一个数 是虚数”成立，即必要性成立： 当z1、z2中至少有一个数是虚数，z1-z2不一定是虚数，如z1=z2=i,即充分性不成立， 故选：C 3.(22-23高一下·江苏常州期末)已知z1,z2∈C,z1l=|z2l=1,z1+z2=3,则1z1-z2=() 第1页共12页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.v2 D.3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设z1,z2分别与向量0Z,0Z2对应， 由题意可得0Z=0Z2=1,0Z+0z2=3, 因为0z+oz+10z-0z=2(oZ+0z） 即3+0Z-0Z=2(1+1)=4,解得0Z-0Z=1,即lz1-z2=1. 故选：B 4.(24-25高一下.安徽·月考)已知复数z满足(1-)z=(1+)2,其中1为虚数单位，则z的虚部为) A.0 B.i C.-1 D.-i 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法运算以及共轭复数的定义计算可得结果. 【详解】1-z=1+02可得2=99=名=10+0=-1+i, 所以2=-1-1， 因此z虚部为-1. 故选：C 5.(23-24高一下…北京昌平，期末)已知z1,z2是两个复数，则“z1,z2互为共轭复数”是“z1,z2的差为纯虚数”的 () A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件、共轭复数的概念及计算、复数的基本概念 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合共轭复数的定义及复数的分类，即可求出结果。 【详解】若z1,22互为共轭复数，设z1=a+bi(a,bER),则z2=a-bi(a,bER), 则21-22=a+b1-(a-bi=2bi,若b=0,则z1-Z2=0,所以“21，z2互为共轭复数"推不出“21,22的 差为纯虚数， 不妨取z1=3i,22=51,则z1-22=-2i,显然满足21,22的差为纯虚数 但z1,z2不互为共轭复数，所以“z1,z2互为共轭复数”是“z1,Z2的差为纯虚数”的既不充分也不必要条件， 第2页共12页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：D. 6(24-25高一下天津和平·期中)若复数是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为) A.1 B.0 C.6 D.-6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【分析】化简复数，然后根据纯虚数定义即可解题， 【详解】+31=-a+300-2烈=a+6+6-2a-a+)+3-2@1, 1+2i (1+2i0(1-2i) 5 5 5 a+6 =0 因为复数+3是纯虚数， 所以 1+21 解得a=-6. ≠0 故选：D 7.2425高一下-甘肃武威：期中z是虑数且VxER,x≠z++C26是假命题，则学的值为) 22 A B. c.- 0.2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 X=Q-- 6 【分析】设z=a+bi,(a,b∈R),计算可得 a2+b2 4ab a2+62-0 b+ 进而可求学的值， 【详解】因为VxeR,x≠z++国e-习6"是假命题， 22 则归x∈R,x=z+3+g-》6是真命题， 22 设z=a+bi,(a,b∈R,b≠0)， 所以z+4国C-)-6=a+bi+2@2n6 S2瑞=a+bi+=a-+6+) x=a-aitbi 6 所以 +品0 b+ 因为为虚数：故b0,所以1+品0，可得=一京故导==一专 4a a 故选：A 8.(21-22高一下…上海浦东新，期末)已知关于x的实系数一元二次方程x2+kx+3=0有两个虚根x1和x2,且 |x1-x2=2V2,则k的值为) A.2 B.-2 C.±2 D.±2V3 【答案】c 【难度】0.4 第3页共12页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】利用二次方程的韦达定理及完全平方公式即可得解 【详解】因为方程x2+kx+3=0有两个虚根x1和x2, 所以△=k2-4×3<0,则-2V3<k<23, 又由求根公式知两虚根为ky2-超 2 ,x1-x2l=2V2, 所以x1-x2=V12-k2列=2√2，则V12-k2=2√2，解得k=士2，满足要求， 所以k=士2. 故选：C 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9(24-25高一下四川眉山期末)已知复数z=告以下结论正确的是() A.Z=-i B.在复平面内，复数z-1对应的点位于第四象限 C.z+i=2 D.z2025是纯虚数 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的除法及乘法计算求解判断A,根据复数的乘方计算判断D,应用几何意义判断象限判断 B,应用模长公式计算判断C 【详解】复数2=片8-号 ==i,则z=-i,A选项正确： 在复平面内，复数z-1=-1+i对应的点(-11)位于第二象限，B选项错误： z+=|21=2,C选项正确； z2025=i2025=i1=1是纯虚数，D选项正确： 故选：ACD. 10.(23-24高一下·福建泉州期中)在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢， 在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我 们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下 方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小“大小“用符号+“长度”表示，我们用[z来表示复数的“大小”，例 如：[1+21训=V5,[1-2=-V5,[1]=1,[-3]=-3,[-1-2i=-√5，则下列说法正确的是() A.[z]=1在复平面内表示一个圆 B.若z∈C,则方程[z]2=-1无解 C.若z1,22为虚数，且z1=z2,则[z1]+[z2]=0D.复数z满足[z-门=1，则z的取值范围为V2,2 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算 第4页共12页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据已知条件，理解[z]的意义，结合复数的几何意义，模长计算，逐一判断即可. 【详解】A:根据已知条件[z]=1表示模长为1，在复平面位于x轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A 错误： B:若z∈C,则方程[z为一个实数，所以[z2=-1无解，故B正确： C:若z1,22为虚数，且Z1=z2,设z1=bi,则z2=-bi, 所以[z1]=b,[22]=-b,所以[z1]+[22]=0,故C正确： D:设z=a+bi, 根据复数的新定义有[z-]=[a+(b-1)1=1, 所以，a2+(b-1)2=1,且1≤b≤2，所以a2=1-(b-1)2, 所以z是Va2+b2=,1-(b-1)2+b2=√2，所以V2b∈V2,2引，故D正确： 故选：BCD 11.(23-24高二下.浙江宁波期末)已知复变函数f(z)是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数z0, 由zn+1=f(2n)(nE)可以得到zo,Z1,z2,,Zn,如果存在一个正实数M,使得|znl<M对任意n∈W 都成立，那么称zo为函数f(z)的收敛点.若zo=i是复变函数f(z)的收敛点，则复变函数f(z)可以是() A.f(z)=2z B.f(2)- C.f(2)=z3 D.f(z)=(z-1)2 【答案】BC 【难度】0.15 【知识点】复数综合、复数的乘方、求复数的模 【分析】A选项，计算出|znl=2”,故不存在一个正实数M,使得引znl<M对nEV都成立，A错误；BC选项， 可找到zo,Z1,Z2,,2,的周期，故满足要求：D选项，计算发现zm的实部和虚部的绝对值均趋向于+oo, 故D错误 【详解】A选项，21=f()=2i,22=f(2i)=4i,,2m=f(2m-1i)=2"i, 其中znl=2",不存在一个正实数M,使得引znl<M对n∈N都成立，A错误； B选项，名=f0=吉-些，z2=f(）=声=1+i.=f1+0==i, 故此时2o:2,2,2:的周期为3，且到ol=1,z=号2g=V2, 不妨取M=2,满足要求，B正确： c选项，z1=f①==-i,22=f(-)=(-)3=i, 故此时z0,21,22,,乙n,…的周期为2，且zl=1,z1=1,不妨取M=2,满足要求，C正确： D选项，21=f(①=1-1)2=2-2i+1=-2i 22=f(-21)=(-2i-1)2=4i2+4i+1=-3+4i, 23=f(-3+4i)=16i-1)2=16-32i+16i2=-32i, 24=f(-32i)=(-32i-1)2=1024i2+64i+1=-1023+64, 第5页共12页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 z5=f(-1023+641)=(-210+26i)2=220-217i+21212=220-212-217i, …y 依次计算，可以发现z的实部和虚部的绝对值均趋向于+∞， 故不存在一个正实数M,使得zn|<M对n∈N都成立，D错误； 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解： (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻： (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律： (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书 上的概念 第I卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12(2425高一下安徽月考)若f0)=(白）”+(（∈N),则集合xx=fm}钟共有一个元素 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、列举法求集合中元素的个数 【分析】利用复数的除法运算化简，利用利用1的乘方的周期性求得f(),从而可得结论. 【详解】因为岩=i品=-1所以f网=+(-)1， 利用i的乘方的周期性可以求出x=一1+i或x=1-i,所以集合{xx=f(n)}中共有共有2个元素。 故答案为：2. 13.(24-25高一下.全国·课后作业)方程1+cosx+isinx-cos2x-isin2x+cos3x+isin3x=0在0,2π]上解 的个数为 【答案】0 【难度】0.4 【知识点】复数与三角及复数与方程 【分析】设z=cosx+isinx,原方程化为z3-z2+z+1=0,结合z=1及复数模的性质求出z,再代入 方程检验， 【详解】设z=cosx+isinx,则|z=Vsin2x+cos2x=1,所以z2=cos2x+isin2x,z3=cos3x+isin3x, 所以方程1+cosx+isinx-cos2x-isin2x+cos3x+isin3x=0转化为z3-z2+z+1=0, 则z+1=z2-z3=z2(1-z), 所以2+1=21-2=1z-1川，又2=1，则2=±i,代入方程z3-z2+z+1=0,方程不成立， 所以方程的解的个数为0. 第6页共12页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：0 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是设z=cosx+isinx,从而将方程化为z3-z2+z+1=0. 14.(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中)设复数z1=a+bi(a,b∈R),其在复平面内对应点为P,且a+b=-1, 复数z2=c+di(c,d∈R),其在复平面内对应点为Q,且lz2-2+=1,若存在Q的轨迹上的两点Q1、Q2 使LQ1PQ2=60°，则a的取值范围为 【答案】[0,2] 【难度】0.4 【知识点】复数的坐标表示、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】利用复数的几何意义确定P,Q的轨迹，数形结合计算即可 【详解】设z3=2-i,其在复平面对应的点为A(2,-1), 易知P(a,b),Q(c,d),a+b=-1,22-2+i=1, 所以P在x+y+1=0上，Q在以A为圆心，1为半径的圆上， 由圆的对称性，不妨令PA平分∠Q1PQ2,即直线x+y+1=0上存在点P满足∠Q1PA=30°， 如下图所示，显然当PQ:与圆相切时，∠QPA张角最大，此时可知AP==2。 根据图形可知：设直线x+y+1=0与y轴的交点为B,则B(O,-1),显然AB1=2, 过A作AC/y轴交直线x+y+1=0于C,则C(2,-3), 易知∠CBA=45°，则△ABC为等腰直角三角形，即川AB=|AC1, 故直线x+y+1=0上满足IAP|=2的点有两个即B(0,-1)或C(2,-3), 显然当点P横坐标小于0或大于2时，可知圆上不存在点Q1满足LQ1PA=30°，即不符合题意，故a∈[0,2] 故答案为：[0,2] 【点睛】思路点睛：利用复数的几何意义确定动点轨迹，数形结合计算即可： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(24-25高一下·上海·期末)设a、b∈R,己知x1、x2是关于x的方程x2+2ax+b=0的两个虚根. (1)若Q=1,求x1+x2的值；(2)若x1x2=4,求a的取值范围； (3)若1x1-x2=2,+2=1,求a和b的值 X2X1 【答案】(1)-2；(2)(-4,4：(3)a=±√2，b=4 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根、复数的除法运算、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】(1)由韦达定理可求x1+x2: 第7页共12页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)根据题意可得b,然后根据虚数根，利用判别式即可求解： (3)设设x1=m+i,(m,n∈R,n≠0)，则x2=m-i,根据题意可求m,n,再利用韦达定理求a,b即可. 【详解】(1)a=1,方程为x2+2x+b=0,所以x1+x2=-2. (2x1x2=b=4,x1、x2是关于x的方程x2+2ax+b=0的两个虚根 所以△=4a2-4b=4a2-16<0,解得-4<a<4,所以a的取值范围为(-4,4). (3)设x1=m+ni,(m,neR,n≠0)，则x2=m-ni, |x1-x2l=|2nil=√4n2=2→n2=1, +兰-兴+器-2-1m2=3m=3, X2 X1 m一i 由韦达定理x1+x2=-2a=2m→a=士√3， x1x2=b=(m+ni)(m-ni)=m2+n2=4, 所以a=土√2，b=4 16.(15分)(25-26高一下.全国·月考1)计算：24+ (2 +4-802-C4+82 、2012 1+2v3i 1+i √11-√7i (2)已知2=1+i,求-32+6的模」 z+1 【答案】(1)-1+i;(2)W2 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】(1)利用复数代数形式的乘除运算以及乘法运算法则计算， (2)化简后结合模长定义即可求解 1006 【详解】(1)原式=+ (4-8i)2-(4-8i)2 1+2v3i 1+i √1i-√7i =i+(-i)1006+0 =-1+i. 234=40300+ 2+i =3-1=3-0(2-0 2+i(2+0(2-) =5-5i 5 =1-i, :子3+的模为V2, z+1 17.(15分)(24-25高一下河南郑州期末)已知复数z=1-i为虚数单位) (1)若复数21=求z0的值：(2)如果z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p,9的值； (3)复数z2满足1≤|z2-z引≤3，若z2在复平面内对应的点为Z,求点Z构成的图形的面积. 【答案】(1)-1；(2p=-4,q=4:(3)8π 【难度】0.65 第8页共12页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】复数的相等、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】(1)根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，得到z1=i,再利用虚数i的性质，即可求解： 到+40即可求解， 2)根据条件，利用复数的运算及复数相等，得到犯+g=0 (3)根据条件，利用复数的几何意义得Z构成的图形为以点(1，-1)为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成 的圆环，即可求解。 【详解】(1)因为z=1-i, 则z1-三=共=+00=i, -1-i1-01+0 所以30=i17×4+2=2=-1 (2)将z=1-i代入方程得2(1-)2+p(1-i)+q=0, 整理得到m+q)-(p+4)i=0, 则呢48得p=-4q=4 (3)设z2=m+ni,m,n∈R, 则1≤(m-1)2+(n+1)2≤9， 所以点Z构成的图形为以点(1，一1)为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环， 所以面积为9π-π=8π. 18.(17分)(23-24高一上·江西鹰潭·期末)己知： ①任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos0+isi8)的形式.其中r是复数z的模，B是以x轴的非负半轴为 始边，向量OZ所在射线（射线0Z)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，r(cos0+isin8)叫做复数z=a+bi 的三角形式。 ②eir=cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式。 ③方程x"=1(n为正整数)有n个不同的复数根， )设w=-+号1，求w2020, (2)试求出所有满足方程x6=1的复数x的值所组成的集合： (3)愎数z=c0s100+isin00求(2-1)(z2-1)…(2019-1). 【答案】a+9:af1+9-+9-1-9好到1-2020. 【难度】0.4 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数范围内方程的根、复数范围内分解因式、复数的乘方 【分析】(1)根据题意可得w=e号，从而可求w2020: (2)设x=cos0+isin0=ei0,依题意可得sin60=0,cos60=1,从而得到60=2kπ，k∈Z,对k赋值，可 求出复数x的值所组成的集合： 3)依题意得(z)2020=1,即方程x2020-1=0的根为1,2，z,z2,…,z2019,，分析可得(x-2)x-zx z3)…(x-z2019)=1+x+x2+…+x2019,再令x=1即可求解。 第9页共12页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】国恢思意，仙=-+身i=cos号+n号=房， 2020 所以w2020=（e字） e=COS 4040 isin 4040x 4040m 3 3 =cos+sin 1,3 3 1, 22 ∴.w2020=-1+3 1 (2)x=cos0 isine eio, 则x=(cos0+isin0)°=(e9)°=e60=cos60+isin60=1 因此sin60=0,cos60=1, 则60=2km,kez,解得6-红，kez, 由终边相同的角的意义，取k=0,1,2,3,4,5 则对应的9依次为0，多否亚，号罗 因此对应的x依次为1，计受，+1，-1，是， 所以所求的集合是{1+-+-1，-受好到 3)当z=coso+isin0品时，z-(coso+）=(e)=e益，nez, 则e92020=(e品)020=el2m=cos2nm+isin2nr,neN,n≤2020. 因此关于x的方程x2020-1=0的根为1，z,z2,z,…,z2019。 则x2020-1=(x-1)(x-z)(x-z2)x-z3)…(x-z2019), 又x2-1=(x-1)x+1): x3-1=(x-1)(1+x+x2): x4-1=(x-1)(1+x+x2+x3),…, 由此x2020-1=(x-10(1+x+x2+…+x2019), 则(x-Z)(x-z2)(x-z3)…(x-z2019)=1+x+x2+…+x2019, 令x=1,得(1-z)(1-z2)(1-z3)…(1-z2019)=1+1+12+…+12019=2020, 而2019为奇数，所以(2-1)(z2-1)(23-1)…(z2019-1)=-2020. 19.(17分)(24-25高一下湖北月考)材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复 数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数 事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元n(n∈N)次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f(x)在复数集中可以分解为n个一 次因式的乘积进而，一元次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）. 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系。 设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0) 第10页共12页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ￥1+x2=- 在复数集C内的根为x1、x2,容易得到 xa= a2 设实系数一一元三次方程a3x3+a2x2+1x+a=0(a3≠0)① 在复数集C内的根为x1、x2x3,可以得到，方程①可变形为a3(x-x1)(x-x2)x-x3)=0 展开得：ax3-a✉(x1+x2+x3)x2+a✉(x1x2+x1x3+x2x3)x-a3x1x2x3=0② X1+X2十X3=- a3 比较①②可以得到根与系数之间的关系： x12+x1x3+x203=2 a3 Xx29=一品 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 己知函数f(x)=x3+3x2,函数f(x)的图象上有四个不同的点A、B、C、D. (1)对于方程f(x)-x+5=0在复数集C内的根为x1、x2、x3,求x+x2+x的值： (2)已知函数g(x)=f(x)-3x2+bx+2,对于方程g(x)=k在复数集C内的根为z1、z2、z3,当k∈[0,1] 时，求z+z2+z的取值范围. (3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设A(m,f(m),B(n,f(n),求代数式(m2+2m-2)(n2+2n-2) 的值. 【答案】(1)11：(2[-6-3]：(3)-1. 【难度】0.15 【知识点】函数与方程的综合应用、复数范围内方程的根、向量垂直的坐标表示 【分析】(1)根据已知有x3+3x2-x+5=0,结合已知材料有x1+x2+x3=-3、x1x2+x1x3+x2x3=-1, 即可求x好+x经+x: (2)根据己知，设x3+bx+(2-k)=(x-z1)(x-z2)(x-z3)及多项式相等得z1+z2+Z3=0,进而有z+ z2+23=3k-6,即可得范围： (3)设菱形的对角线的交点为M(s,t),由题意A(m,f(m),C为(2s-m,2t-f(m)代入函数得到M(-1,2), 结合菱形的性质及MA·MB=0的坐标表示得到(m+1)(n+1)·[1+(m2+2m-2)(n2+2n-2)]=0,讨 论(m+1)(n+1)=0得矛盾，即可得 【详解】(1)将f(x)-x+5=0变形，已知f(x)=x3+3x2,则方程为x3+3x2-x+5=0, 由材料得a3x3+a2x2+a1x+a=0(这里a3=1,a2=3,a1=-1,a0=5), 若根为x,x2g:根据根与系数的关系有名+x2十x3=-号=-3,1x2十X3十x2=品=-1 a3 x号+x2+x3=(x1+x2+x3)2-2(x1x2+x1x3+x2x3)=(-3)2-2×(-1)=9+2=11. (2)由题有g(x)-k=0的三个实根为z1,Z2,z3,设x3+bx+(2-k)=(x-Z1)x-z2)(x-z3), 展开得x23+bx+(2-k)=x3-(z1+22+Z3)x2+(2122+z123+z223)x-21Z223,故21+22+Z3=0, 则z+z3+z3=(k-2)-bz1+(k-2)-bz2+(k-2)-bz3=3k-6,又k∈[0,1]，故3k-6∈[-6，-3]， 综上：当k∈[0,1]时，z+z2+z的取值范围为[-6，-3]： 第11页共12页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)设菱形的对角线的交点为M点，坐标为(s,t), 先证点M为函数的对称中心，证明如下： 由题意，A,C两点关于M对称，A(m,f(m),故C点坐标为(2s-m,2t-f(m), 将C点坐标代入函数可得2t-f(m)=(2s-m)3+3(2s-m)2, 即2t-m3-3m2=(2s-m)3+3(2s-m)2 即2t-m3-3m2=8s3-12s2m+6sm2-m3+12s2-12sm+3m2, 化简可得：(6s+6)m2-(12s2+12s)m+8s3+12s2-2t=0, 因为有四个不同的点，所以关于m的方程有四个不同的解，故各项系数均为0， 6s+6=0 即22120。，解得：=2，所以M(-1,2.且M在f)=+32上. (8s3+12s2-2t=0 又因为ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，故MA·MB=0 又B(n,f(n),则MA=(m+1,f(m)-2),MB=(n+1,f(n)-2), 所以(m+1)(n+1)+f(m)-2)(f(n)-2)=0, 即(m+1)(m+1)+(m3+3m2-2)(n3+3n2-2)=0, (m+1)(m+1)+[(m+1)(m2+2m-2)(n+1)(n2+2n-2)]=0, (m+1)(n+1):[1+(m2+2m-2)(n2+2n-2)]=0, M 若(m+1)(n+1)=0,则m=-1或n=-1, 即点A与点M重合或点B与点M重合，此时四边形ABCD不能构成菱形， 故(m2+2m-2)(n2+2n-2)=-1. 第12页共12页 高一下学期 第3章 复数 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高一下·陕西咸阳·期中)若，则(   ) A．6 B．5 C．-6 D．-5 2.(23-24高一下·上海·月考)已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的(   )条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 3.(22-23高一下·江苏常州·期末)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高一下·安徽·月考)已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为(    ) A．0 B． C． D． 5.(23-24高一下·北京昌平·期末)已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.(24-25高一下·天津和平·期中)若复数(是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为(   ) A．1 B．0 C．6 D． 7.(24-25高一下·甘肃武威·期中)z是虚数且“，”是假命题，则的值为(   ). A． B． C． D． 8.(21-22高一下·上海浦东新·期末)已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为(    ) A．2 B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高一下·四川眉山·期末)已知复数，以下结论正确的是(   ) A． B．在复平面内，复数对应的点位于第四象限 C． D．是纯虚数 10.(23-24高一下·福建泉州·期中)在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是(    ) A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 11.(23-24高二下·浙江宁波·期末)已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是(    ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(24-25高一下·安徽·月考)若，则集合中共有____个元素. 13.(24-25高一下·全国·课后作业)方程在上解的个数为__________． 14.(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中)设复数，其在复平面内对应点为，且，复数，其在复平面内对应点为，且，若存在的轨迹上的两点、，使，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(24-25高一下·上海·期末)设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值；(2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 16.(15分)(25-26高一下·全国·月考)(1)计算：； (2)已知，求的模． 17．(15分)(24-25高一下·河南郑州·期末)已知复数(为虚数单位)． (1)若复数，求的值；(2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 18．(17分)(23-24高一上·江西鹰潭·期末)已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程(为正整数)有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求. 19．(17分)(24-25高一下·湖北·月考)材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根重根按重数计 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集C内的根为、，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集C内的根为、、，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 已知函数，函数的图象上有四个不同的点A、B、C、 (1)对于方程在复数集C内的根为、、，求的值； (2)已知函数，对于方程在复数集C内的根为、、，当时，求的取值范围. (3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设，求代数式的值. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一下学期第3章复数 (高效培优单元测试·提升卷)答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 尝 1 1 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 2 123 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 1234 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 123456789 23 5 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 56789 6789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 单选题（共8小题， 每小题5分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][BJ[C][D] 艾棉 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 多选题（共3小题，每小题6分， 共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B1[C][D] 三、填空题（共3小题， 每小题5分，共15分) 12 13 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 高一下学期第3章复数 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.(24-25高一下陕西咸阳期中)若(x-)i=y+5i(x,yER),则x+y=() A.6 B.5 C.-6 D.-5 2.(23-24高一下…上海·月考)已知z1,z2∈C,语句：z1,z2中至少有一个为虚数，语句β：z1-Z2为虚数.则a是B 的)条件. A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 3.(22-23高一下江苏常州期末)已知z1,z2∈C,z1l=z2=1,z1+z2=V3,则|z1-z2=() A.0 B.1 C.v2 D.V3 4.(24-25高一下·安徽月考)已知复数z满足(1-)z=(1+)2,其中i为虚数单位，则z的虚部为) A.0 B.i C.-1 D.-i 5.(23-24高一下…北京昌平.期末)已知z1,z2是两个复数，则“z1,z2互为共轭复数”是“z1,z2的差为纯虚数"的 () A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6(24-25高一下天津和平.期中)若复数牛ǖ是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为) A.1 B.0 C.6 D.-6 第1页共5页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.24-25高一下甘肃武威期中z是虚数且VxER,x≠z++6-6"是假命题，则的值为. 1z2 A.- B. c.- D. 8.(21-22高一下.上海浦东新期末)已知关于x的实系数一元二次方程x2+kx+3=0有两个虚根x1和x2,且 x1-x2=2V2,则k的值为) A.2 B.-2 C.±2 D.±2V3 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 92425高一下.四川眉山-期末已知复数2=共，以下结论正确的是() A.7=-i B.在复平面内，复数z-1对应的点位于第四象限 C.z+il=2 D.z2025是纯虚数 10.(23-24高一下福建泉州期中)在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢， 在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我 们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下 方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z来表示复数的“大小"”，例 如：[1+2=√5，[1-2]=-√5，[1]=1，[-3]=-3，[-1-21=-V5,则下列说法正确的是() A.[z]=1在复平面内表示一个圆 B.若z∈C,则方程[z]=-1无解 C.若z1,z2为虚数，且z1=z2,则[z1]+[z2]=0D.复数z满足[z-门=1，则z的取值范围为V2,2 11.(23-24高二下浙江宁波.期末)已知复变函数f(z)是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数20， 由zn+1=f(zm)(nE)可以得到zo,Z1,22,,乙n,如果存在一个正实数M,使得|znl<M对任意n∈W 都成立，那么称z为函数f(z)的收敛点若zo=i是复变函数f(z)的收敛点，则复变函数f(z)可以是() A.f(z)=2z B.f(2)- C.f(z)=23 D.f(z)=(z-1)2 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 122425商一下安徽月考)若f0=(9+(）eN),则集合xx=f0中共有个元素 13.(24-25高一下.全国·课后作业)方程1+cosx+isinx-cos2x-isin2x+cos3x+isin3x=0在[0,2π上解 的个数为 第2页共5页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中)设复数z1=a+bi(a,b∈R),其在复平面内对应点为P,且a+b=-1, 复数z2=c+di(c,d∈R),其在复平面内对应点为Q,且|22-2+i=1,若存在Q的轨迹上的两点Q1、Q2, 使LQ1PQ2=60°，则a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(24-25高一下·上海·期末)设a、b∈R,己知x1、x2是关于x的方程x2+2ax+b=0的两个虚根. (1)若a=1,求x1+x2的值；(2)若x1x2=4,求a的取值范围； 3)若x1-x2=2,号+号=1，求a和b的值. 16(15分2526高一下全国月考计算：+() +4-8助2-(-4+8别2 2012 √11-√7i (2)已知2=1+i,求3z+6的模， 2+1 17.(15分)(24-25高一下·河南郑州期末)已知复数z=1-i(i为虚数单位)， (1)若复数z1=,求z0的值；(2)如果z是关于x的方程2x2+px+g=0的一个根，求实数p,9的值： (3)复数z2满足1≤|z2一z≤3，若z2在复平面内对应的点为Z,求点Z构成的图形的面积. 第3页共5页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(17分)(23-24高一上江西鹰潭期末)己知： ①任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos0+isi8)的形式.其中r是复数z的模，B是以x轴的非负半轴为 始边，向量OZ所在射线（射线0Z)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，r(cos0+isin8)叫做复数z=a+bi 的三角形式 ②er=cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程x”=1(m为正整数)有n个不同的复数根. 1设w=-+9i,求w2020, (2)试求出所有满足方程x6=1的复数x的值所组成的集合： 3)复数z=cos00+isin10o求(2-1)(2-1)(2019-1). 第4页共5页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分)(24-25高一下·湖北月考)材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复 数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数 事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f(x)在复数集中可以分解为个一 次因式的乘积进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计） 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0) X1+x2=-4 在复数集C内的根为x1、x2,容易得到 a2 X1X2=0 a2 设实系数一一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+ao=0(a3≠0)① 在复数集C内的根为x1、x2、x3,可以得到，方程①可变形为a3(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0 展开得：a3x3-a(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x1x3+x2x3)x-a3x1x2x3=0② X1+x2十x3=-2 比较①②可以得到根与系数之间的关系： x2+西+x的=号 1x2X3=-0 a3 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 己知函数f(x)=x3+3x2,函数f(x)的图象上有四个不同的点A、B、C、D. (1)对于方程f(x)-x+5=0在复数集C内的根为x1、x2、x3,求x子+x2+x的值： (2)已知函数g(x)=f(x)-3x2+bx+2,对于方程g(x)=k在复数集C内的根为z1、z2、z3,当k∈[0,1) 时，求z3+z3+z3的取值范围. (3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设A(m,f(m),B(n,f(n),求代数式(m2+2m-2)(n2+2n-2) 的值 第5页共5页 高一下学期 第3章 复数 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高一下·陕西咸阳·期中)若，则(   ) A．6 B．5 C．-6 D．-5 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等得出，计算求值. 【详解】因为，所以，，. 故选:A. 2.(23-24高一下·上海·月考)已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的(   )条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的分类及辨析 【分析】由必要不充分条件的定义、复数的概念即可判断. 【详解】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立； 当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立， 故选：C. 3.(22-23高一下·江苏常州·期末)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 4.(24-25高一下·安徽·月考)已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为(    ) A．0 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法运算以及共轭复数的定义计算可得结果. 【详解】由可得， 所以， 因此虚部为. 故选：C 5.(23-24高一下·北京昌平·期末)已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件、共轭复数的概念及计算、复数的基本概念 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合共轭复数的定义及复数的分类，即可求出结果. 【详解】若，互为共轭复数，设，则， 则，若，则，所以“，互为共轭复数”推不出“，的差为纯虚数， 不妨取，，则，显然满足，的差为纯虚数， 但，不互为共轭复数，所以“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 6.(24-25高一下·天津和平·期中)若复数(是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为(   ) A．1 B．0 C．6 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【分析】化简复数，然后根据纯虚数定义即可解题. 【详解】， 因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：D 7.(24-25高一下·甘肃武威·期中)z是虚数且“，”是假命题，则的值为(   ). A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，计算可得，进而可求的值. 【详解】因为“，”是假命题， 则“，”是真命题， 设， 所以， 所以， 因为为虚数，故，所以，可得，故. 故选：A. 8.(21-22高一下·上海浦东新·期末)已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为(    ) A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】利用二次方程的韦达定理及完全平方公式即可得解. 【详解】因为方程有两个虚根和， 所以，则， 又由求根公式知两虚根为，， 所以，则，解得，满足要求， 所以. 故选：C. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高一下·四川眉山·期末)已知复数，以下结论正确的是(   ) A． B．在复平面内，复数对应的点位于第四象限 C． D．是纯虚数 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的除法及乘法计算求解判断A，根据复数的乘方计算判断D，应用几何意义判断象限判断B，应用模长公式计算判断C. 【详解】复数，则，A选项正确； 在复平面内，复数对应的点位于第二象限，B选项错误； ，C选项正确； 是纯虚数，D选项正确； 故选：ACD. 10.(23-24高一下·福建泉州·期中)在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是(    ) A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、共轭复数的概念及计算 【分析】根据已知条件，理解的意义，结合复数的几何意义，模长计算，逐一判断即可. 【详解】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A错误； B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确； C：若为虚数，且，设，则， 所以，所以，故C正确； D：设， 根据复数的新定义有， 所以，且，所以， 所以是，所以，故D正确； 故选：BCD. 11.(23-24高二下·浙江宁波·期末)已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.15 【知识点】复数综合、复数的乘方、求复数的模 【分析】A选项，计算出，故不存在一个正实数，使得对都成立，A错误；BC选项，可找到，，，…，，…的周期，故满足要求；D选项，计算发现的实部和虚部的绝对值均趋向于，故D错误. 【详解】A选项，，，……，， 其中，不存在一个正实数，使得对都成立，A错误； B选项，，，， 故此时，，，…，，…的周期为3，且， 不妨取，满足要求，B正确； C选项，，， 故此时，，，…，，…的周期为2，且，不妨取，满足要求，C正确； D选项，， ， ， ， ， ……， 依次计算，可以发现的实部和虚部的绝对值均趋向于， 故不存在一个正实数，使得对都成立，D错误； 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(24-25高一下·安徽·月考)若，则集合中共有____个元素. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、列举法求集合中元素的个数 【分析】利用复数的除法运算化简，利用利用的乘方的周期性求得，从而可得结论. 【详解】因为，，所以， 利用的乘方的周期性可以求出或，所以集合中共有共有2个元素. 故答案为：. 13.(24-25高一下·全国·课后作业)方程在上解的个数为__________． 【答案】0 【难度】0.4 【知识点】复数与三角及复数与方程 【分析】设，原方程化为，结合及复数模的性质求出，再代入方程检验. 【详解】设，则，所以，， 所以方程转化为， 则， 所以，又，则，代入方程，方程不成立， 所以方程的解的个数为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是设，从而将方程化为. 14.(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中)设复数，其在复平面内对应点为，且，复数，其在复平面内对应点为，且，若存在的轨迹上的两点、，使，则的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】复数的坐标表示、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】利用复数的几何意义确定的轨迹，数形结合计算即可. 【详解】设，其在复平面对应的点为， 易知，，， 所以P在上，Q在以A为圆心，1为半径的圆上， 由圆的对称性，不妨令平分，即直线上存在点P满足， 如下图所示，显然当与圆相切时，张角最大，此时可知， 根据图形可知：设直线与轴的交点为B，则，显然， 过A作轴交直线于C，则， 易知，则为等腰直角三角形，即， 故直线上满足的点有两个即或， 显然当点P横坐标小于0或大于2时，可知圆上不存在点满足，即不符合题意，故 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用复数的几何意义确定动点轨迹，数形结合计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(24-25高一下·上海·期末)设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值；(2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根、复数的除法运算、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】(1)由韦达定理可求； (2)根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； (3)设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【详解】(1)，方程为，所以. (2)，、是关于的方程的两个虚根 所以，解得，所以的取值范围为. (3)设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 16.(15分)(25-26高一下·全国·月考)(1)计算：； (2)已知，求的模． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】(1)利用复数代数形式的乘除运算以及乘法运算法则计算， (2)化简后结合模长定义即可求解. 【详解】(1)原式 ． (2) ， 的模为． 17．(15分)(24-25高一下·河南郑州·期末)已知复数(为虚数单位)． (1)若复数，求的值；(2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】(1)根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，得到，再利用虚数的性质，即可求解； (2)根据条件，利用复数的运算及复数相等，得到，即可求解； (3)根据条件，利用复数的几何意义得构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环，即可求解. 【详解】(1)因为， 则， 所以. (2)将代入方程得， 整理得到， 则，得． (3)设， 则， 所以点构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环， 所以面积为． 18．(17分)(23-24高一上·江西鹰潭·期末)已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程(为正整数)有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求. 【答案】(1)；(2)；(3). 【难度】0.4 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数范围内方程的根、复数范围内分解因式、复数的乘方 【分析】(1)根据题意可得，从而可求； (2)设，依题意可得，，从而得到，，对赋值，可求出复数的值所组成的集合； (3)依题意得，即方程的根为，分析可得，再令即可求解. 【详解】(1)依题意，， 所以 ， ∴. (2)设， 则 因此，， 则，，解得，， 由终边相同的角的意义，取， 则对应的依次为0，，，，，. 因此对应的依次为1，，，，，， 所以所求的集合是. (3)当时，，， 则，，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， ， ，…， 由此， 则， 令，得， 而2019为奇数，所以. 19．(17分)(24-25高一下·湖北·月考)材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根重根按重数计 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集C内的根为、，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集C内的根为、、，可以得到，方程①可变形为 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 已知函数，函数的图象上有四个不同的点A、B、C、 (1)对于方程在复数集C内的根为、、，求的值； (2)已知函数，对于方程在复数集C内的根为、、，当时，求的取值范围. (3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设，求代数式的值. 【答案】(1)11；(2)；(3). 【难度】0.15 【知识点】函数与方程的综合应用、复数范围内方程的根、向量垂直的坐标表示 【分析】(1)根据已知有，结合已知材料有、，即可求； (2)根据已知，设及多项式相等得，进而有，即可得范围； (3)设菱形的对角线的交点为M，由题意，C为代入函数得到，结合菱形的性质及的坐标表示得到，讨论得矛盾，即可得. 【详解】(1)将变形，已知，则方程为， 由材料得这里， 若根为，根据根与系数的关系有，， (2)由题有的三个实根为，设， 展开得，故， 则，又，故， 综上：当时，的取值范围为； (3)设菱形的对角线的交点为M点，坐标为， 先证点M为函数的对称中心，证明如下： 由题意，A，C两点关于M对称，，故C点坐标为， 将C点坐标代入函数可得， 即 即， 化简可得：， 因为有四个不同的点，所以关于m的方程有四个不同的解，故各项系数均为0， 即，解得，所以，且在上. 又因为ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，故 又，则， 所以， 即， ， ， 若，则或， 即点A与点M重合或点B与点M重合，此时四边形ABCD不能构成菱形， 故 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一下学期 第3章 复数 (高效培优单元测试·提升卷) 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一下学期 第3章 复数 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名_________ 班级_______ 考号_______________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高一下·陕西咸阳·期中)若，则(   ) A．6 B．5 C．-6 D．-5 2.(23-24高一下·上海·月考)已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的(   )条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 3.(22-23高一下·江苏常州·期末)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高一下·安徽·月考)已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为(    ) A．0 B． C． D． 5.(23-24高一下·北京昌平·期末)已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.(24-25高一下·天津和平·期中)若复数(是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为(   ) A．1 B．0 C．6 D． 7.(24-25高一下·甘肃武威·期中)z是虚数且“，”是假命题，则的值为(   ). A． B． C． D． 8.(21-22高一下·上海浦东新·期末)已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为(    ) A．2 B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高一下·四川眉山·期末)已知复数，以下结论正确的是(   ) A． B．在复平面内，复数对应的点位于第四象限 C． D．是纯虚数 10.(23-24高一下·福建泉州·期中)在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是(    ) A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 11.(23-24高二下·浙江宁波·期末)已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是(    ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(24-25高一下·安徽·月考)若，则集合中共有____个元素. 13.(24-25高一下·全国·课后作业)方程在上解的个数为__________． 14.(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中)设复数，其在复平面内对应点为，且，复数，其在复平面内对应点为，且，若存在的轨迹上的两点、，使，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(24-25高一下·上海·期末)设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值；(2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 16.(15分)(25-26高一下·全国·月考)(1)计算：； (2)已知，求的模． 17．(15分)(24-25高一下·河南郑州·期末)已知复数(为虚数单位)． (1)若复数，求的值；(2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 18．(17分)(23-24高一上·江西鹰潭·期末)已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程(为正整数)有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求. 19．(17分)(24-25高一下·湖北·月考)材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根重根按重数计 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程 在复数集C内的根为、，容易得到 设实系数一一元三次方程① 在复数集C内的根为、、， 可以得到，方程①可变形为； 展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 已知函数的图象上有四个不同的点A、B、C、 (1)方程在复数集C内的根为、、，求的值； (2)已知函数，对于方程在复数集C内的根为、、，当时，求的取值范围. (3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设，求代数式的值. 数学 第4页(共6页) 数学 第5页(共6页) 数学 第6页(共6页) 数学 第1页(共6页) 数学 第2页(共6页) 数学 第3页(共6页) 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高一下学期第3章复数 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生 务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 月 2.回答第丨卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。 典 写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1.(24-25高一下.陕西咸阳·期中)若(x-)i=y+5i(x,y∈R),则 x+y=() 效响 N A.6 B.5 C.-6 D.-5 2.(23-24高一下·上海·月考)已知z1,z2∈C,语句a:z1,Z2中至少有一个为虚 数，语句B:z1-22为虚数.则α是B的)条件. A.充要B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 3.(22-23高一下江苏常州期末)已知z1,22∈C,lz1l=l22=1,z1+22= V3,则21-z2l=() 周 A.0 B.1 C.v2 D.V3 粗 4.(24-25高一下·安徽月考)已知复数z满足(1-i)z=(1+)2,其中i为虚 数单位，则z的虚部为) A.0 B.i C.-1 D.-i 5.(23-24高一下·北京昌平期末)已知z1,z2是两个复数，则“z1,z2互为共 烂 轭复数"是“z1,z2的差为纯虚数"的） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 数学第1页（共6页） 6(2425高一下天津和平期中)若复数牛是虚数单位)是纯虚数，则实 数a的值为) A.1 B.0 C.6 D.-6 7.(24-25高一下.甘肃武威期中z是虚数且“Vx∈R,x≠z++-可-6， 是假命慰，则学的值为上 B. c.- 0.月 8.(21-22高一下·上海浦东新·期末)己知关于x的实系数一元二次方程x2+ kx+3=0有两个虚根x1和x2,且|x1-x2l=2V2,则k的值为) A.2 B.-2 C.±2 D.±23 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分. 9(2425高一下四川眉山：期末)已知复数z=普兰以下结论正确的是() A.z=一iB.在复平面内，复数z一1对应的点位于第四象限 C.|z+=2D.z2025是纯虚数 10.(23-24高一下·福建泉州期中)在复数域内，大小成为了没有意义的量， 那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描 述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们 只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复 平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实 数大小“大小"用符号+“长度”表示，我们用[z来表示复数的“大小”，例如： [1+2i1=V5,[1-2i1=-V5,[1]=1,[-3]=-3,[-1-21=-√5，则下 列说法正确的是() A.[z]=1在复平面内表示一个圆 B.若z∈C,则方程[z]2=-1无解 C.若z1,z2为虚数，且z1=22,则[z1]+[z2]=0 D.复数z满足[z-]=1,则|z的取值范围为V2,2] 11.(23-24高二下.浙江宁波期末)已知复变函数f(z)是以复数作为自变量 和因变量的函数，对任意一个复数zo,由z+1=f(2n)(n∈N)可以得到zo, Z1,z2,…,zn,如果存在一个正实数M,使得引zn|<M对任意n∈N 数学第2页（共6页） 都成立，那么称z为函数f(z)的收敛点.若zo=i是复变函数f(z)的收敛点， 则复变函数f(z)可以是() A.f(②=2zB.f②)=c.fa)=z3D.fa=(2-1)2 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2十1 12.(24-25高一下安徽月考)若f6m)=()+((m∈N),则集合 {xx=f(n)}中共有个元素. 13.(24-25高一下.全国·课后作业)方程1+cosx+isinx-cos2x- isin2x+cos3x+isin3x=0在[0,2m上解的个数为 14.(23-24高一下.黑龙江哈尔滨期中)设复数z1=a+bi(a,b∈R),其在 复平面内对应点为P,且a+b=-1,复数z2=c+di(c,d∈R),其在复 平面内对应点为Q,且|z2-2+=1,若存在Q的轨迹上的两点Q1、Q2, 使∠Q1PQ2=60°，则a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.（13分)(24-25高一下.上海·期末)设a、b∈R,已知x1、x2是关于x 的方程x2+2ax+b=0的两个虚根. (1)若a=1,求x1+x2的值；(2)若x1x2=4,求a的取值范围； 3)若x1-x2=2,号+号=1，求a和b的值. 数学第3页（共6页） 1615分)5-26高一下全国月考计算：+() 2012 (4-81)2-(-4+812 v11-vi 2已知z=1+i求的模。 17.(15分)(24-25高一下.河南郑州期末)已知复数z=1-ii为虚数单位). (1)若复数21-，求z0的值；(2)如果z是关于x的方程2x2+px+q=0 的一个根，求实数p,q的值； (3)复数z2满足1≤|z2-z≤3，若z2在复平面内对应的点为Z,求点Z 构成的图形的面积. 18.(17分)(23-24高一上·江西鹰潭.期末)已知： ①任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos0+isin8)的形式.其中r是 复数z的模，0是以x轴的非负半轴为始边，向量0Z所在射线（射线0Z)为终 边的角，叫做复数z=a+bi的辐角，r(cos0+isin8)叫做复数z=a+bi 的三角形式. 数学第4页（共6页） ②eiw=cosx+isinx被称为欧拉公式，是复数的指数形式， ③方程xn=1(m为正整数)有n个不同的复数根， (设u=-+i,求u2020: (2)试求出所有满足方程x=1的复数x的值所组成的集合： (3)复数z=c0s0o+isin00求(2-1)(2z2-1)…(2019-1). 19.(17分)(24-25高一下湖北月考)材料一：我们可以发现这样一个现 象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的 乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数事 实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元n(n∈N)次复系数多项式方程f(x)=0至少有 一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N)次复系数多项式 f(x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式 方程有n个复数根（重根按重数计）. 下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的 关系.设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0) 在复数集C内的根为x1、x2,容易得到 +是 x1x2=a0 a2 设实系数一一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)① 在复数集C内的根为x1、x2、x3, 可以得到，方程①可变形为a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0: 数学第5页（共6页） 展开得：a3x3-a3(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x1x3+x2x3)x- gx1x2x3=0② x1+X2十X3=-2 a3 比较①②可以得到根与系数之间的关系： 12+x1x3十x2x3=4 a3 x14=是 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： 己知函数f(x)=x3+3x2的图象上有四个不同的点A、B、C、D. (1)方程f(x)一x+5=0在复数集C内的根为x1、x2x3,求x1+x2+x 的值； (2)已知函数g(x)=f(x)-3x2+bx+2,对于方程g(x)=k在复数集C 内的根为z1、z2、23,当k∈[0,1]时，求z+z2+z的取值范围。 (3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设A(m,f(m),B(n,f(n),求 代数式(m2+2m-2)(n2+2n-2)的值. 数学第6页（共6页）