第3章 复数 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

相教版高中数学必修第二册 第3章：复数单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1设=品+0-，则() A.5 B.1 C.2 D.5 【答案】D 【分析】先对复数化简，再求出其共轭复数，从而可求出其模 【详解】，= 20+i) +1-i)2=1+i-2i=1-i, (1-i00+i) ∴.=1+i,|E卡√2，故选：D. 2.已知i是虚数单位，复数z满足(-1)z=i,则z的虚部是() A:月 B. c.2 D. 【答案】D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数式形式的乘除运算化简即可得答案， 【详解】因为(-z=i,所以：=+(C1+x(1-D22 1 ix(-1-i。=,i,所以z的虚部是- 2 故选：D 3.复数=(3-i)i在复平面内对应的点位于（). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【分析】由复数乘法法则计算出z,然后可得其对应点的坐标，得所在象限. 【详解】=(3-i)i=1+3i, ∴z在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限.故选：A. 4.已知(i-1)=-2i,则z的共轭复数三=() A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,从而得到其共轭复数： 【详解】解：因为-1)：=-2i,所以2=21-21i-少-21421-41， i-1(1-1)(-i-1)2 所以z=-1-i;故选：C 5.复数满足(1+)=2：，则复数z的实部与虚部之差为() A.-2 B.0 C.1 D.0 【答案】D 【详解】：=2 =1+i1,实部与虚数都为1，所以差为0故选D. +i 6.设复数z满足（√5-i)z=2(i为虚数单位），则三=（) A. 51 -+-i B.51 C.3+i D.3-i 22 22 【答案】B 【分析】先求出Z,再求出三 详解)解：因为(3-)z=2,所以z==3十0一=8，+18{， √3-i(3-i0(3+) 所以=5i,故选：B 2 7.i是虚数单位，1-i)z=2i,则复数z的模z=() A.1 B.√2 C.5 D.2 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求得z,再根据复数模的计算求得答案， 【详解】由题意得：=2-20+-1+1，所以z水F+P=5,枚选：B -1-i2 8.下列四个命题中，正确的个数为() ①满足z=上的复数，只有1或±i: 2 ②若a,b∈R,且a=b,则(a-b)+(a+b)是纯虚数； ③若复数3，二2满足3·z2∈R,则5=二2： ④在复平面内，复数+'对应的点位于第一象限，则实数m的取值范国是1，样）， Cm-i A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【分析】由z=士i不满足z=上，可判定①不正确：由a=b=0时，可判定②不正确：由复数 z 乙=1+i,z2=2-2i,可判定③不正确：根据复数的运算和复数的表示，可判定④正确的，即 可求解 1 【详解】对于①中，若2=，可得2=1，此时z=士i不满足，所以不正确： 对于②中，例如：a=b=0时，复数(a-b)+(a+b)i=0,不是纯虚数，所以不正确： 对于③中，例如：复数3=1+i,22=2-2i,则2132=1+i2-2)=4∈R,此时31≠z2,所 以不正确：对于④中，在复平面内，复数+i=一+)=心-12m m-i(m-i)(m+i)m2+1m2+1 若复数m+对应的点位于第一象限，则满足心- >0, m-i m2+1 >0且2u 2+1 解得m>1,即实数m的取值范围是1，+￥)，所以是正确的.故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全鄗选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知z∈C,二为z的共轭复数，则下列条件可判定z∈R的是：(). A.月同 B.s2=0 C.2= D.z2.Z=z.72 【答案】ABD 【分析】设==a+bi(a,beR),代入选项中的各条件，判断b=0是否成立. 【详解】已知z∈C,设s=a+bi(a,beR),则z=a-bi, 对于A,若百同，即 a+bi a-bi a+b+6,得i=-b1,即b=0, 所以z=a,有z∈R,A选项正确： 对于B,若：·三=a2+b2=0,则有a=b=0,得：=0，有z∈R,B选项正确； 对于C,若=2=，即a+2abi-b=a2-2abi-b,有4abi=0,得ab=0, 其中当a=0,b≠0时，二R,C选项错误： 对于D,若z2.z=zz2,有(e)=(),即z=z, 若=0，则得：=0，有z∈R:若：=豆，则b=0,z=a,有z∈R,D选项正确。 故选：ABD 10.己知i为虚数单位，则() A.若复数z的共轭复数为三，则zz== B.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1 C.若复数5>52，则3，二2eR D.若复数z 2则3 3 5 【答案】ACD 【分析】由共轭复数的定义，复数模公式判断A;由题意可知，x,y不一定是x+i的实 部和虚部，结合充分必要条件的对于判断B;由实数的运算性质判断C;由复数的四则运算 及复数模公式判断D, 【详解】设z=a+bi(a,beR),则三=a-bi,∴zz===a2+b,故A正确： 由x,y∈C,知x,y不一定是x+yi的实部和虚部，不一定得到x=y=1,故B错误； 复数>2，只有实数可以比较大小，虚数不能比较大小，则3，二2∈R,故C正确： :品则周g 35,故D正确故选：ACD, 11.复数2=a+bi满足上=1+i,则下列说法正确的是() A.在复平面内点(a,b)落在第四象限 B.（-1-i)z为实数-1 c.42 D.复数：的虚部为之 【答案】ABC 【分析】根据复数的除法法则及复数相等的条件，再利用复数的几何意义及复数的模公式， 结合复数的概念即可求解 【详解】由上=1+i,得2 1-i-11i 1+i(1+i)1-i)22 所以ab=点行》 落在第四象限，故A正确： 所以(1-=(1-)方+分=分-1，故B正确： 22 所以= 故C正确： 由z 1 221, 得复数z的虚部为，故D不正确.故选：ABC, 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题。每小题5分。共15分 12.若复数z满足(1+)==2，则z= 位为虚数单位，以下各题相同) 【答案】1-i 【分析】由复数的除法运算即可得到答案 【详解】由(1+)==2得z= 220-i)=20-0-1-撇答案为：1-1. 1+i0+i00-i)2 13.已知复数z=m2-3+(m2-6m)i为纯虚数，则实数m= 【答案】3 m2-3m=0 【分析】根据纯虚数满足的条件，得 解方程即可求出结果 m2-6≠0 m2-3m=0 【详解】因为复数z=m2-3u+(m2-6m)i为纯虚数，所以 m2-6m≠0 解得m=3, 故答案为：3 14.已知虚数z满足+0为实数，=2，则实数a的值是 【答案】4 【分析】设：=m+i(m,n∈R),则根据：+a为实数得，n关系，再结合3=2可求实数a的 值 【详解】设三=m+i(,neR）,n≠0，则z+C=m+ni+_a a(m-ni) =+ 7 m+n1 m+n n-- 2+n2 =0 an =+ m2+n+0- ,儿，因为E日2且+为实数，故m+北=4·故a n≠0 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)计算： (1)i(1+i)-(2-3i)(2+3i): (②01+2i}2+5+3i+i204】 1+i 【答案】(1)-14+i (2)2+3i 【分析】(1)运用复数加减、乘法运算即可. (2)运用复数的代数运算及复数的周期性求解即可： 【详解】(1)i(1+i)-(2-31(2+3i)=i-1-(4+9)=-14+i (2)（1+2i2+5+3+10=1+4i-4+5+30-D+1=1+4i-4+8-2i+1=2+3刘 1+1 (1+i01-i) 2 16.(15分)在复平面内，点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,0为复平面的坐 标原点 (1)求向量OA+OB和AC对应的复数： (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数. 【答案】(1)OA+OB对应的复数为1+i,AC对应的复数为1-4i(2)3+7i 【解析】(1)由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计 算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； (2)可利用AC与BD互相平分，结合中点坐标公式求出D点坐标，然后可得对应复数. 【详解】(1)由已知得OA,OB,OC所对应的复数分别为1+4i,-3i,2, 则OA=(1,4),OB=(0,-3),0C=(2,0),因此OA+0B=(1,1),AC=0C-0A=(1,-4), 故OA+OB对应的复数为1+i,AC对应的复数为1-4i. (2)由已知得点AB,c的坐标分别为L40(20,则4C的中点为[2,2，由平 0+2-3 行四边形的性质知BD的中点也 3 若设D(x,),则有 22 解得/53 %=7故D(3,7)所以D对应的复数为3+71 17.(15分)已知复数z=(m2-1)+(m+m)i(m∈R). (1)若z为纯虚数，求m的值： (2)若z为实数，求m的值： (3)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围. 【答案】(1)1 (2)-1或0 (3)(0,1) 【分析】(1)(2)(3)利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求 解。 m2-1=0 【详解】(1)由复数z=(2-1)+(m2+m)i,因为复数z为纯虚数，可得 m+m≠0'解得 m=1. (2)由复数z=(2-1)+(m2+m)i为实数，可得m2+m=0,解得m=-1或=0. m2-1<0 (3)由复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则满足 m2+m>0' 解得0<m<1,即m的取值范围为(0,1) 18.(17分)己知虚数z=-1+i是关于x的方程x2-x+4=0的一个根(i是虚数单位， m>0,n∈R). (1)求l+n的值： Q球证：(：并求)的值 02 2025 【答案】(1)m+n=-2+√5 (2)证明见解析： =1 2 【分析】(1)由虚数z=-1+i是关于x的方程x2-心+4=0的一个根，代入由复数相等求 解即可： (2)由(1)可知：=-1+√5i,z=-1-√5i,然后证明即可， =1,即可求得 675 2025 2 =1 【详解】(1)虚数z=-1+i是关于x的方程x2-x+4=0的一个根，m>0,n∈R, 所以(-1+i)-n(-1+i)+4=0,整理得：（5-m2+n)-(2+n)i=0, 5-m2+n=0 m=√3 由m>0,neR,解得 2+m=0 n=-2 所以m+n=-2+V5 ②证明由)可知=l5,1,}。 j99以 19.(17分)对任意一个非零复数z,定义集合.M2={olo=z2m1,n∈N} (1)没a是方程x+=V2的一个根，试用列举法表示集合M。; (2)若复数oEM,求证M∈M. 【答案】(1) (2)证明见解析 分桥】D求群方程2得ah),a2,再由有理指数系及的 运算性质可得M,同理求得M,=M。,则M可求： (2)由weM,可知存在n∈N,，使得o=2m-1,则对任意n∈N,有o2-1=z2m-12a-, 结合(2-1)(21-1)是正奇数，得2-1∈M,即M∈M. 【详解】1)由x+上V反，得x-2x+1=0, 4-5+),a=50- 2 2 当a=50+)时，a-i,g区_三。 2 44 得) 当a-号-0时店-E@四 aa, i1i,1)=M .M=d'.c (2)'0∈M, .存在m∈N,使得o=2m- 于是对任意n∈N,o2n-1=z2m-12m-), 由于(2m-1)(2n-1)是正奇数，a2m-1∈M, ∴.MmsM.湘教版高中数学必修第二册 第3章：复数单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意率项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选操题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.设：己+0-，则() A.5 B.1 C.2 D.√2 2.已知i是虚数单位，复数z满足(i-1)z=i,则z的虚部是() A.月 B京 3.复数=(3-i)i在复平面内对应的点位于(). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知(i-1)三=-2i,则z的共轭复数z=（) A.1-i B.1+i c.-1-i D.-1+i 5.复数满足(1+)=2：，则复数z的实部与虚部之差为() A.-2 B.0 C.1 D.0 6.设复数z满足（√5-）z=2(i为虚数单位)，则三=() A B.5 C.3+i D.5-i 22 7.i是虚数单位，1-i)z=2i,则复数z的模z=() A.1 B.√2 C.5 D.2 8.下列四个命题中，正确的个数为(). ①满足z=上的复数，只有1或： ②若a,b∈R,且a=b,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数： ③若复数z,三2满足3·22∈R,则3=z2: ④在复平面内，复数+对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是么，+￥)」 m-i A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、多项选操题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知二∈C,二为z的共轭复数，则下列条件可判定z∈R的是：()· A.日同 B.二5=0 C.s2= D.22.7=2.72 10.已知i为虚数单位，则() A.若复数z的共轭复数为z,则zz== B.若x,y∈C,则x+i=1+i的充要条件是x=y=1 C.若复数1>2，则z1,2∈R 2中，则35 D.若复数2=31 5 11.复数z=a+bi满足上=1+i,则下列说法正确的是() A.在复平面内点(a,b)落在第四象限 B.（-1-i)z为实数-1 C. D.复数z的虚部为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数z满足(1+)==2，则z= ,亿为虚数单位，以下各题相同) 13.己知复数z=m2-3+(m2-6L)i为纯虚数，则实数m= 14.己知虚数z满足：+2为实数，-2，则实数a的值是一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)计算： (1)i(1+i)-(2-3i)(2+3i): (②(1+2i++3i+i4 1+i 16.(15分)在复平面内，点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点. (1)求向量OA+OB和AC对应的复数： (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数」 17.(15分)已知复数z=（m2-1)+(m2+mi(m∈R). (1)若z为纯虚数，求m的值： (2)若z为实数，求m的值： (3)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围. 18.(17分)已知虚数z=-1+i是关于x的方程x2-x+4=0的一个根(i是虚数单位，m>0,n∈R). (1)求m+n的值： (②求证： 12025 ；并求 的值. 19.(17分)对任意一个非零复数z,定义集合.M2={oo=2m,n∈N} (①)设a是方程x+上=V2的一个根，试用列举法表示集合M,: (2)若复数oeM,求证M,sM. 湘教版高中数学必修第二册 第3章：复数 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，则(   ) A． B．1 C．2 D． 2．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．复数在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 5．复数满足，则复数的实部与虚部之差为 （ ） A． B． C． D． 6．设复数z满足（﹣i）z＝2（i为虚数单位），则＝（    ） A． B． C． D． 7．i是虚数单位,  ,则复数z的模|z|=（    ） A．1 B． C． D．2 8．下列四个命题中，正确的个数为（    ）. ①满足的复数，只有或； ②若，且，则是纯虚数； ③若复数，满足，则； ④在复平面内，复数对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为的共轭复数，则下列条件可判定的是：（     ）. A． B． C． D． 10．已知为虚数单位，则（    ） A．若复数的共轭复数为，则 B．若，则的充要条件是 C．若复数，则， D．若复数，则 11．复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内点落在第四象限 B．为实数 C． D．复数的虚部为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数z满足，则___________，(i为虚数单位，以下各题相同) 13．已知复数为纯虚数，则实数______. 14．已知虚数满足为实数，，则实数的值是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）计算： (1)； (2). 16．（15分）在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为，，2，O为复平面的坐标原点. （1）求向量和对应的复数； （2）求平行四边形的顶点D对应的复数. 17．（15分）已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 18．（17分）已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）． (1)求的值； (2)求证：；并求的值． 19．（17分）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修第二册 第3章：复数 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，则(   ) A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】先对复数化简，再求出其共轭复数，从而可求出其模. 【详解】∵， ∴，故选：D． 2．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数式形式的乘除运算化简即可得答案. 【详解】因为，所以，所以的虚部是. 故选：D. 3．复数在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数乘法法则计算出，然后可得其对应点的坐标，得所在象限． 【详解】∵， ∴z在复平面内对应的点为，位于第一象限．故选：A． 4．已知，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数； 【详解】解：因为，所以， 所以；故选：C 5．复数满足，则复数的实部与虚部之差为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,实部与虚数都为1，所以差为0，故选D. 6．设复数z满足（﹣i）z＝2（i为虚数单位），则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出z，再求出. 【详解】解：因为，所以， 所以，故选：B． 7．i是虚数单位,  ,则复数z的模|z|=（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求得z，再根据复数模的计算求得答案. 【详解】由题意得==,所以，故选：B. 8．下列四个命题中，正确的个数为（    ）. ①满足的复数，只有或； ②若，且，则是纯虚数； ③若复数，满足，则； ④在复平面内，复数对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】由不满足，可判定①不正确；由时，可判定②不正确；由复数，可判定③不正确；根据复数的运算和复数的表示，可判定④正确的，即可求解. 【详解】对于①中，若，可得，此时不满足，所以不正确； 对于②中，例如：时，复数，不是纯虚数，所以不正确； 对于③中，例如：复数，则，此时，所以不正确；对于④中，在复平面内，复数， 若复数对应的点位于第一象限，则满足且， 解得，即实数的取值范围是，所以是正确的.故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为的共轭复数，则下列条件可判定的是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设，代入选项中的各条件，判断是否成立. 【详解】已知，设，则， 对于A，若，即，得，即， 所以，有，A选项正确； 对于B，若，则有，得，有，B选项正确； 对于C，若，即，有，得， 其中当时，，C选项错误； 对于D，若，有，即， 若，则得，有；若，则，，有，D选项正确. 故选：ABD. 10．已知为虚数单位，则（    ） A．若复数的共轭复数为，则 B．若，则的充要条件是 C．若复数，则， D．若复数，则 【答案】ACD 【分析】由共轭复数的定义，复数模公式判断；由题意可知，，不一定是的实部和虚部，结合充分必要条件的对于判断B；由实数的运算性质判断C；由复数的四则运算及复数模公式判断D. 【详解】设，则，，故A正确； 由，知，不一定是的实部和虚部，不一定得到，故B错误； 复数，只有实数可以比较大小，虚数不能比较大小，则，，故C正确； ，则，故D正确.故选：ACD． 11．复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内点落在第四象限 B．为实数 C． D．复数的虚部为 【答案】ABC 【分析】根据复数的除法法则及复数相等的条件，再利用复数的几何意义及复数的模公式，结合复数的概念即可求解. 【详解】由，得， 所以，点落在第四象限，故A正确； 所以，故B正确； 所以，故C正确； 由，得复数的虚部为，故D不正确．故选：． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数z满足，则___________，(i为虚数单位，以下各题相同) 【答案】 【分析】由复数的除法运算即可得到答案. 【详解】由得故答案为：. 13．已知复数为纯虚数，则实数______. 【答案】 【分析】根据纯虚数满足的条件，得，解方程即可求出结果. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 故答案为： 14．已知虚数满足为实数，，则实数的值是____. 【答案】4 【分析】设，则根据为实数得关系，再结合可求实数的值. 【详解】设，，则 ，因为且为实数，故，故. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用复数加减、乘法运算即可． （2）运用复数的代数运算及复数的周期性求解即可． 【详解】（1） （2） 16．（15分）在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为，，2，O为复平面的坐标原点. （1）求向量和对应的复数； （2）求平行四边形的顶点D对应的复数. 【答案】（1）对应的复数为，对应的复数为（2） 【解析】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （2）可利用与互相平分，结合中点坐标公式求出点坐标，然后可得对应复数． 【详解】（1）由已知得所对应的复数分别为，，2， 则，，，因此，， 故对应的复数为，对应的复数为. （2）由已知得点A，B，C的坐标分别为，则的中点为，由平行四边形的性质知的中点也，若设，则有， 解得，故.所以D对应的复数为. 17．（15分）已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解. 【详解】（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得． （2）由复数为实数，可得，解得或． （3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足， 解得，即的取值范围为 18．（17分）已知虚数是关于的方程的一个根（i是虚数单位，）． (1)求的值； (2)求证：；并求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析；. 【分析】（1）由虚数是关于的方程的一个根，代入由复数相等求解即可； （2）由（1）可知，，然后证明即可，由，即可求得. 【详解】（1）虚数是关于的方程的一个根，， 所以，整理得：， ，由，解得， 所以. （2）证明：由（1）可知，，， ，所以， ，所以 19．（17分）对任意一个非零复数，定义集合．. (1)设是方程的一个根，试用列举法表示集合； (2)若复数，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求解方程得，，再由有理指数幂及的运算性质可得，同理求得，则可求； （2）由，可知存在，使得，则对任意，有，结合是正奇数，得，即． 【详解】（1）由，得， ，， 当时，，， ， 当时，，， ． 综上，. （2）， 存在，使得． 于是对任意，， 由于是正奇数，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $