江苏省海安高级中学2025-2026学年高二下学期限时训练一（4月月考）数学试题

2025-2026第二学期限时训练一 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集U={x∈Nx≤3}，A={1,2,3},B={x∈Nx2-x≤2}，则C,(AnB)=（▲) A.{0,1,3 B.{0, C.{0,3 D.{0,2,3} 2.复数2=1-i 2*, 则复数z在复平面对应的点在（▲） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知两条直线m,n和平面a,则下列命题为真命题的是（▲） A.若m/n,m//a,则nlla B.若m//a,nlla,则mlln C.若m⊥a,ml/n,则n⊥a D.若m⊥n,m//a,则n⊥c 4.设函数f(x)=(x+a(x-1)2,则“a=-1”是“f(x)没有极值点”的（▲) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知(2x-4)°=a,+ax+a,x2+a,x2+a,x+a,x5,则∑(ia,)的值为（▲） A.160 B.243 C.405 D.810 6.若函数f(x)=ax3-ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（▲） A.()B.(m-u+) c.-12-2)D.（∞-)u(经+) 7.如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3， 高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为 "的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则r=(▲) (注：圆台体积公式V=πh(R2+Rr+r2))》 A.1.5 B.2 C.3 D.3.25 高二数学（共2页） 第 8.若存在斜率为3a(0)的直线1与曲线f()=+2x-2b与g()=3d2hx都相切，则 实数b的取值范围为（▲） 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg), 结果如下：95,84,85,99,88,93,86，则这7天苹果日销售量的（▲) A.平均数为90B.第80百分位数为93 C.极差为15 D.方差为28 10.己知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，则下列结论正确的是（▲） A.P(A)+P(A)=1 B.若P(AB)=P(A)P(B),则A,B独立 C.若A,B独立，则P(AB)=P(B) D.P(A B)+P(A B)=1 11.已知异面直线l,l2,1⊥12，A∈1，B∈2，AB⊥l,AB⊥12，P∈l,Q∈L2,四点A,B,P,Q不共 面，O是线段P9的中点，AB=2,PQ=4,则（▲） A.当AP=2时，BQ=2 B.当AP=2时，直线AB,PQ所成角为60 C.点O到直线AB的距离为√ D.三棱锥A-BPQ的体积的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若(x+-2)的展开式的常数项为▲一 13如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从 该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地（十字 E D 路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有▲种 不同的走法；若如图2所示，C地完好，但是DE段不通，则邮电员 图1 图2 从该地东北角的邮A局出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短的走法有▲ 种。 页 14.三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,侧面PAB⊥侧面PBC,且PA=2,△ABC的面积为4. 若三棱锥P-ABC的各个项点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知春季里，甲、乙两地每天下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%， 求春季的一天里： (1)己知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； (2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 16.(15分) 己知f(x)=(1-x)2026=a0+a1x+a2x2+…+a2026x2026 (1)求a0+a1+a2+a3+…+a2025的值 (2)求a1+2a2+3a3+…+2026a2026的值 3求2+二+二+…+1的值 a1 a2 a3 a2026 17.(15分) 如图，在五面体ABCDEF中，△ABC是等边三角形，AF/BE11CD,CD=3, AB=BE=2,AF=I,平面ABC⊥平面ACDF,AF⊥AB,P是棱DF的中点. (1)证明：PE//平面ABC. (2)证明：AF⊥平面ABC. D (3)求平面DEF与平面BCF夹角的余弦值. 高二数学（共2页） 第王 18.(15分) 已知函数f(x)=r2-lnx. (1)当a=1时，求y=f(x)在点(1，f(1)处的切线： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若存在x,x2∈[1,3]，x2-x≥1，使得f()=f(x2),求a的最大值. 19.(17分) 如图所示，已知四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,点E为PA的中点，EF⊥PB,EG⊥PD, 垂足分别为F,G,PC=2,PA=22,EF=EG=1. (I)证明：PA⊥FG; (2)若PC//平面EBD,设二面角B-AP-D的平面角为B,且O为钝角，求cosB的最大值： (3)若BD/IFG,点P,A,B,D都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体 积有3个可能的值，求该球半径的取值范围。 E D B 页 2025-2026第二学期限时训练一 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 合题目要求的。 1.已知全集U={xeNx≤3}，A={L,2,3},B={x∈Nx2-x≤2}，则C,(AnB)=(▲ A.{01,3} B.{0,} C.{0,3} D.{0,2,3 【答案)】C 2.复数2=1-1 2+i 则复数z在复平面对应的点在（▲） A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 3.已知两条直线m,n和平面a,则下列命题为真命题的是（▲） A.若mlln,m/la,则nlla B.若m//a,nl/a,则mlln C.若m⊥a,ml/n,则n⊥ D.若m⊥n,m//a,则n⊥c 【答案】C 4.设函数fx)=(x+a(x-1)2,则“a=-1”是“f(x)没有极值点”的（▲) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 5.已知(2x-45=a,+ax+a,x2+ar+a,x+a,x,则之（-a)的值为（▲) A.160 B.243 C.405 D.810 【答案】A 6.若函数f(x)=ax3-ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（▲） A(》 B.(（∞-)u+）C.(-12-2)D.(-o-)u(G+) 【答案】B 高二数学（共2页） 7.如图，己知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3， 高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径 符 为"的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则”=（▲） (注：圆台体积公式V=πh(R2+Rr+2)) A.1.5 B.2 C.3 D.3.25 【答案】D 7 如图，O,M=4,O,N=3,0H=。，又放入的球的半径为r, 由于圆台Q0的体积y=1×{x 216元+2π+14元 43 13×169元， 由题可知： 413元 48π，则r=13 此时小球恰好与上下底面相切； 下面考虑当小球与侧棱MN相切时，设球心为I,球的半径为R,则IO2=R=IH, 由于tan∠NMMO= 6.513 2tan∠N0=-tan∠M0,=-13 432,则-anZC, 2 则an∠NO,=2+i73 0 M 13 那么24丽-号则R+丽列是那么1在0上方， 13 即该小球先与上下底面相切. 8.若存在斜率为3a(o0)的直线1与曲线f(x)=)x2+2ar-2b与g()=3d21nx都相切，则 实数b的取值范围为（▲） 3 -e B c. 4 【答案】A 【详解】由题意f'(x)=x+2a,由f'(x)=x+2a=3a得x=a, g0=3a,由g0w-30 =3a得x=a, 因此两个函数图象有公共切点，切点横坐标为a, 第1页 所以f@)=8a,即)a2+2a2-2b=3a21na,6=5d3a Ina, 4 2 53 令h@)=5d2-ana,则h(a703 a-3alna=a-3alna=a(1-3Ina), 4 2 0<a<e时，h(a>0,h(☑递增，a>e时，h(a<0,h(a递减， 1 32 32 所以h(a)mx=h(e3)=e3，显然a-→+o时，h(a)→-oo,所以b≤二e3, 4 4 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg), 结果如下：95,84,85,99,88,93,86，则这7天苹果日销售量的（▲） A.平均数为90 B.第80百分位数为93 C.极差为15 D.方差为28 【答案】ACD 10.己知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，则下列结论正确的是() A.P()+P(A)=1 B.若P(AB)=P(A)P(B),则A,B独立 C.若A,B独立，则P(AB)=P(B) D.P(AB)+P(4 B)=1 【答案】ABD 1L.已知异面直线，12,4⊥2，A∈1，B∈12，AB⊥，AB⊥2，P∈，2∈I2,四点A,B,P,Q不共 面，O是线段P的中点，AB=2,PQ=4,则（▲) A.当AP=2时，BQ=2 B.当AP=2时，直线AB,PQ所成角为60° C.点O到直线AB的距离为√ D.三棱锥A-BPQ的体积的最大值为3 【答案】BC 【详解】过B点作Bx/儿，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 高二数学（共2页） 第 设a,02.006.0.号奥4002.o[9P0=(-a6-2. 若AP=2,则a=±2，由Pg=√a2+b2+4=4, 此时b2=8,所以b=+2√2； 对于A,易知Bg=|b=2V2,故A错误； BA.PO 对于B,cos BA,PO 41 B B4P园 2×42 02 所以直线AB,PQ所成角为60°，故B正确； 对于C,易知BO (j+6=12 则点O到直线AB的距离 =V5,故C正确： 对于D四=x2-州sx公-2 2 当且仅当a=l时取得等号，故D错误。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若(x+-2)的展开式的常数项为▲ 【答案】-20 13如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从 该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地（十字 路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有▲种 不同的走法；若如图2所示，C地完好，但是DE段不通，则邮电 图2 员从该地东北角的邮A局出发，送信到西南角的B地，要求所走的 页 路程最短的走法有▲种。 【答案】(1)66：(2)96 14.三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,侧面PAB⊥侧面PBC,且PA=2,△ABC的面积为4. 若三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为▲： 【答案】20元 解：由PA⊥底面ABC,PAC平面PAB,则平面PAB⊥底面ABC, 又侧面PAB⊥侧面PBC,底面ABC∩侧面PBC=BC,则BC⊥侧面PAB, 由AB,BCC底面ABC,则PA⊥AB,PA⊥BC, 由ABC侧面PAB,则BC⊥AB,故SC=)AB:BC=4,即AB-BC=8, 2 所以PA,AB,BC两两垂直，则三棱锥P-ABC可补全为如下长方体， 三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上，则球O为三棱锥P-ABC的外接球， 所以球O为上述长方体的外接球，则其表面积 4πAB+BC2+PA、 )=π(AB2+BC2+4)≥π(2AB·BC+4)=20π， 当且仅当AB=BC=2√2时取等号，故球O表面积的最小值为20π， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知春季里，甲、乙两地每天下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%， 求春季的一天里： (1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率； (2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率. 解：记“甲地下雨”为事件A,“乙地下雨”为事件B,则由已知可得 P(A)=20%,P(B)=18%,P(AB)…5分 ()需要求的是PB|A0=P4®_=12%_3 …9分 P(4)20%5 (2)需要求的是P(A|B)= P(AB)12%2 …13分 P(B)18%3 高二数学（共2页） 第3 16.（15分) 己知f(x)=(1-x)2026=a0+a1x+a2x2+…+a2026x2026. (1)求ao+a1+a2+a3+…+a2025的值 (2)求a1+2a2+3a3+…+2026a2026的值 （3)求2+1++…+，2的值. a1 a2 a3 Q2026 留 (1)因为a0+a1+a2+a3+…+a2026=f(1)=0,又a2026=1 所以a0+a1+a2+a3+…+a2025=-1 …4分 (2)f'(x)=-2026(1-x)2025=a1+2a2x+3a3x2+…+2026a2026x2025, 所以a1+2a2+3a3+…+2026a2026=f'(1)=0;…9分 (3)依题意，ak=(-1)C吃026，k∈N,k≤2026， 1=k1(2026-0!=2027.k2026-012027-k+k+) 因为C02 20261 2028 20271 2027(2027-k)！k+[2027-(k+1)]!(k+1)！2027 1 = 1 2028 20271 2028C027 所以2+上+1+…+1=一 1 1 a1 a2 a3 Q2026 1-1十…+c 2027 1, 1 1. 1 7 1 =2028 FCa7)+c2z,+C022 ？4)十…·-( ~2025 ∽2026 C2027 C2027 1 1 +( 8+ C2027 2027「 1 17 1013 2028L 7 1014 所以2++1+… 的值为013· 1 1014 ……15分 a1 a2 a3 a2026 页 17.(15分) 如图，在五面体ABCDEF中，△ABC是等边三角形，AF//BE/ICD,CD=3, AB=BE=2,AF=L,平面ABC⊥平面ACDF,AF⊥AB,P是棱DF的中点. (1)证明：PE/平面ABC, (2)证明：AF⊥平面ABC. (3)求平面DEF与平面BCF夹角的余弦值. 解： (1)证明：取棱AC的中点O,连接OP,OB. 因为O,P分别是棱AC,DF的中点，所以OP/IAF/ICD, 且OP=F+CD=2.因为AF1/BE11CD,BE=2, 2 所以OP//BE,OP=BE,所以四边形OBEP为平行四边形， 所以OB/1PE,因为OBC平面ABC,PE文平面ABC,所以PE/平面ABC.·4分 (2)证明：因为△ABC是等边三角形，且O是棱AC的中点， 所以OB⊥AC.因为平面i4BC⊥平面ACDF 且平面4BC∩平面ACDF=AC,OBC平面ABC, (必须写全) 所以OB⊥平面ACDF. 因为AFC平面ACDF,所以OB⊥AF. 因为AF⊥AB,ABC平面ABC,OBC平面ABC,且BOB=B,AB,OBC平面ABC,(必须写全) 所以AF⊥平面ABC. …9分 (3)解：由(2)可知OB,OC,OP两两垂直，则以O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x 轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为CD=3,AB=BE=2,AF=1,所以BV5,0,0,C(0,10),D(0,1,3),EN5,0,2,F(0,-1,1), 则BC=（5,10),CF=(0,-2,),DE=(3,-1,-,DF=(0,-2-2), …11分 设平面DEF的法向量为i=(x,,名)， nDE=5x-y-名=0 -0F=-2%-2Z=0，令%=1，得万=0,1，-10.…12分 则 高二数学（共2页） 第 设平面BCF的法向量为m=(x2,y2z2), m.BC=-V3x2+2=0 则 令2=1，得m=(1W5,25) …13分 m.CF=-2y2+z2=0 设平面DEF与平面BCF的夹角为O, 杭，成 则cos0=cosi,列= 5√6 网2×48 即平面DBF与平面BCF夹角的余弦值为 …15分 P D ZA O: B 4页 18.(15分) 已知函数f(x)=ar2-lnx. (1)当a=1时，求y=f(x)在点(1，f(1)处的切线： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若存在X1,32∈[1,3]，为2-x≥1，使得f(x)=f(x2),求a的最大值. 1x-y=0 ……2分 (2)油题得x>0,f()=2ax-是=2a- 若a≤0，则f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减： 若a>0,当x∈(0，）时，f<0:当xe(会，+)时，f(>0, 所以f(x)在(0，绍)上单调递减，在(，+∞）上单调递增.…7分 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减： 当a>0时，f()在(0，罗）上单调递减，在（要+∞）上单调递增.…8分 3)由(2)得，若存在x,x2∈[1,3]，使得f(x)=f(x2), 则必有1≤<要<≤3,1<2@ <3→ 1 <a< 2a 18 所以x,≥x+「等价于f(x)=f(2)≥f(x1+1), 即ax-lnx≥a(x+1)2-ln(s+1),化简得：a≤ + 1+2x1 没阅=盟x∈，则F因=整m<0, 1+2x x+x2(1+2x)2 所以F(x)在[1，上单调递减，所以a≤F()max=F()=子， 33 此时f1)=a=子，f2)=2×4-ln2=2 所以当为=1，为=2时等号成立，所以a的最大值为n2 3 高二数学（共2页） 第5 19.(17分) 如图所示，已知四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,点E为PA的中点，EF⊥PB,EG⊥PD, 垂足分别为F,G,PC=2,PA=2√2，EF=EG=1. (1)证明：PA⊥FG; (2)若PC//平面EBD,设二面角B-AP-D的平面角为O,且0为钝角，求cos0的最大值； (3)若BD//FG,点P,A,B,D都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的 体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围。 E 解(1)PA=2N2,点E为PA的中点，PE=2, 又EF⊥PB,EG⊥PD,EF=EG=1,.PF=PG=1, △PEF、△PEG为等腰直角三角形， 由题意，可知∠APB=∠APD=, D 如图，取PE中点H,连接HF,HG, ∴.HF⊥PE,HG⊥PE, ,HFs平面HGF,HGs平面HGF,HGHF=H, ∴.PA⊥平面HGF, FGS平面HGF,.PA⊥FG. 5分 (2)设AC与BD的交点为O, ,PC三平面PAC,平面PAC∩平面EBD=EO, PC1/平面EBD,.PC/1EO, :点E为PA的中点，∴O为AC的中点， :PC⊥平面ABCD,ACS平面ABCD, 高二数学（共2页） 第6 PC⊥AC,又PC=2,PA=2V2, 4C=(22°-22=2， 如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0),P(0,0,2),PA=(2,0,-2), B(xa.ya.0),D(xp:yp,0),O(1,0,0),..PB=(xB,y82-2), ∠MB-年o(Pi.网= 2x+4-V2 22√话+%+42，得哈=4， 同理：可得y,2=4xD, 不妨设B(m2,2m,0),D(n2,2n,0),其中m>0,n<0, .BD过O1,0,0),从而OB∥0D, 由0B=(m2-1,2m,0),0D-(2-1,2n0), 得2n(m2-1)=2m(n2-1),则mn=-1, 设平面PAB与平面PAD的法向量分别为n=(x,,Z),n2=(x2,y2,22), PA.n:=0 2x-2z1=0 即 PB.Dj =0 (m2-2)x+2my=0' 可得2=(2m,2-m2,2m),同理可得：2，=(2n,2-n2,2), .c0s(,2)= 4mn+(2-m2)(2-n2）+4mm_3+2(m2+n) 2 (m2+2n2+2） 5+2m+网5+20m+m1, 且易知cosn,n,<0,满足为钝角， 2 面W+2m2,当且仅当m山，n-时取等号，故os%,%g+2+≤一 7 二面角B-AP-D的平面角的余弦值的最大值为)1分 (3)解法一：如图， :BD/IFG且PA⊥FG,·PA⊥BD, 页 :PC⊥平面ABCD,BDS平面ABCD,∴.PC⊥BD, .BD⊥平面PAC,ACS平面PAC,:BD⊥AC, 由(2)知y后=4xg,y2=4xo, E ∴.B,D关于平面PAC对称， 设Bt,2Wt,0),则D,-2Nt,0),其中t>0且t≠2， 设△ABD的外心为S,显然S应在x轴上， 设S(x,0,0), 4=58,故有-22=化-+4，整理得：。=2-2)， t2+4t-4 同时PA在平面PAC的垂直平分线恰为CE, 因此球心T即为，过点S且垂直于平面ABD的直线与CE的交点， 故R2AS2+1ST2=(x,-2)2+x2=2x,2-4x+4, 令y=t-2,则v>-2且v≠0，代入及R2表达式， 得R2=v2+6v+4 ++28, .4832 -+ 因此-++60+S+28,令w=+8 故R2=wr2+6w+20,且we(0,-6U[4W2,+o), 且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值， 等价于t有3个不同的解，即v有3个不同的解， ①当R2∈(2,36+242)时，关于w的方程R2=wW2+6w+20, 2 在区间(-4W2-12,-6)上有唯一解， 此时关于v的方程w=+仅在区间(-2,0)有一解，不满足题意： ②当R2=36+24W2时， 关于w的方程R2-w2+6w+20恰有两解4W2-12,4V2, 2 方程v+8-4W2-12在区间(-2,0)有1解，v+8=4W2有唯一解22， 1 高二数学（共2页） 故共有2组解，不满足题意；一16分 ③当R2>36+24√2时， 关于w的方程R2=w2+6w+20在(0,4V2-12),4W2,0)分别有一解， 2 此时关于v的方程w=v+8在区间(-2,0)有一解，在(0，+∞)有2解， 1 共3解，符合题意。 因此R2>36+24√2，即R>2√6+2√5， 综上所述，该球半径的取值范围是(2√6+2√5，+∞)； 17分 解法二：BD11FG,且PA⊥FG,故PALBD, :PC⊥平面ABD,BDS平面ABD,.PC⊥BD,∴.BD⊥平面PAC, ACS平面PAC,BD⊥AC, 由(2)知y2=4xa,y2=4xD,∴.B,D关于平面PAC对称， 设B(L,2t,0),则D(t,-2VE,0),其中t>0且t≠2， 设球心T(x,,zo),则ITAHTB曰TDHTP|, (x-2)2+%2+z2=x)2+%2+(2-2)2=(x0-02+0y6-2f2+z62=(x。-)2+0。+22+z02 理得：%=0，且=6224，故R=62沙+24 下同方法一. 第7页