学易金卷：高二数学下学期第三次月考01（江苏专用，测试范围：苏教版选必二第7～9章＋导数）

**基本信息** 聚焦苏教版选择性必修第二册第7~9章及导数，通过“deepseek”应用调查、芯片质量检测等真实情境，考查概率统计、导数应用等知识，注重数学思维与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数运算、线性回归、排列组合|结合科技情境（如deepseek调查），基础与能力题分层| |填空题|3题/15分|切线方程、二项式定理、概率模型|知识交汇（如曲线切线综合），考查抽象能力| |解答题|5题/77分|条件概率、函数单调性、正态分布、导数证明|芯片质量检测（正态分布与期望）、导数证明（逻辑推理），体现数学建模与数据分析|

■■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 r 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C]D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 戡 麻 4[A]B][C][D] 8[A][B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A]B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 氧 12 13. 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 频率/组距 0.040 0.025 0.015 0.010 0455565758595质量指标值 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第7~9章＋导数 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（   ） 3 4 6 7 20 40 80 A．50 B．60 C．70 D．75 4．将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 5．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 6．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解. A．171 B．190 C．342 D．380 8．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是（   ） A．已知随机变量的分布列为，则 B．若随机变量且，则 C．在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 D．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 10．已知函数，则（    ） A．点是图象的对称中心 B．是的极小值点 C．当时， D．当时， 11．某实验室设计了一种数据纠错系统，该系统由若干个串联的纠错单元组成.记第个纠错单元的输入数据为1的概率为，其中.第个纠错单元会独立重复地采集次输入信号，每次为的概率均为，若这次采集中，至少有次检测为，则该单元输出，否则该单元输出.第个单元的输出作为第个单元的输入.已知且，则（） A． B． C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则______． 13．若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______. 14．作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知展开式的二项式系数和为512，且 （1）求的值； （2）求的值； （3）求被6整除的余数. 16．（15分） 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 17．（15分） 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 18．（17分） 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) (2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 19．（17分） 已知函数，. (1)若，证明：. (2)若曲线与关于直线对称，关于x的方程恰有三个不等实根，，，其中. （ⅰ）求a的取值范围； （ii）证明：． 附：若，则当时，． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B B C A A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．5 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】解：（1）由二项式系数和为512知， ，即 由得（4分） （2）令得 令得 所以（8分） （3）由 因为能被6整除，所以23被6整除后余数为5.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为.（6分） （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大．（15分） 17．（15分） 【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得.（3分） （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减；（5分） 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减.（7分） 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减.（9分） （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.（4分） （2）（i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望.（10分） （ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）设， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 当时，，所以， 即．（4分） （2）（ⅰ）因为曲线与关于直线对称， 所以，则． 令，则， 当时，，在上单调递增， 不存在三个不等实根． 当时，令，其判别式， 若，即，则恒成立，即， 在上单调递减，不存在三个不等实根． 若，即，则存在两个不等正实根，，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，且，故，． 又当时，，当时，， 所以在和内各恰有一个零点，又， 所以有三个零点，符合题意． 所以的取值范围是．（10分） （ii）由（ⅰ）知． 当时，，所以． 要证明，即证明， 由，得，代入待证不等式， 得，整理得． 设，则， 故在上单调递增，故，即． 故命题得证．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第7~9章＋导数 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 2．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 3．已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（   ） 3 4 6 7 20 40 80 A．50 B．60 C．70 D．75 【答案】B 【分析】求出样本中心，代入回归方程求解即可. 【详解】因为， 又因为所有回归方程都过样本中心， 所以将点代入回归方程， 得， 解得. 4．将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 【答案】B 【分析】应用排列数求任意分配方法数及小王去文艺文化项目的分配方法数，再利用间接法求不同的分配方案数. 【详解】由题意，4名志愿者任意分配共有种分法， 若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有种分法， 所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有种. 故选:B. 5．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 6．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 7．已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解. A．171 B．190 C．342 D．380 【答案】A 【分析】先将题目问题进行转化；再利用隔板法进行求解. 【详解】因为x，y，z均为正整数， 所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种. 故选：A 8．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是（   ） A．已知随机变量的分布列为，则 B．若随机变量且，则 C．在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 D．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 【答案】ABD 【分析】利用分布列的性质可判断A选项；利用正态分布的对称性可判断B选项；利用超几何分布的概率公式可判断C选项；利用二项分布的期望和方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由分布列的性质可知， 解得，A对； 对于B选项，若随机变量且， 则，B对； 对于C选项，在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数， 则，C错； 对于D选项，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，， 解得，，D对. 10．已知函数，则（    ） A．点是图象的对称中心 B．是的极小值点 C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】利用导数判断出单调性，作出的大致图象，利用任意三次函数的图象均为中心对称图形，且对称中心为点可判断A；由单调性可判断BCD. 【详解】由题可得，令，得或， 所以当时，，单调递减，当时， ，单调递增，当时，，单调递减， 又，，，， 且当时，，当时，， 所以可作出的大致图象如图所示. 选项A：设，则，令，得， 又，所以点是图象的对称中心，故A错误； 选项B：易知是的极小值点，故B正确； 选项C：当时，，又在上单调递增， 所以，故C正确； 选项D：当时，，又在上单调递减， 在上单调递增，所以当时，，， 所以，故D错误. 故选：BC. 11．某实验室设计了一种数据纠错系统，该系统由若干个串联的纠错单元组成.记第个纠错单元的输入数据为1的概率为，其中.第个纠错单元会独立重复地采集次输入信号，每次为的概率均为，若这次采集中，至少有次检测为，则该单元输出，否则该单元输出.第个单元的输出作为第个单元的输入.已知且，则（） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】选项A，通过二项分布计算三次采集中至少两次为1的概率，推导出递推式；选项B，通过取构造反例，发现若不等式成立将导致概率大于1，从而判断其错误；选项C，将分解为，并说明因式恒正，得出若，则所有；选项D，将不等式转化为二次不等式，验证其在时恒成立. 【详解】对于A，设次采集中为的次数为，则服从二项分布， 单元输出为的条件是“至少有次检测为”，即取值为2或3， 则，也即，故A正确； 对于B，设，则， 故，若B正确，即， 则，即要求， 则必须有，矛盾，故B错误； 对于C，，则， 故． 易知时恒成立，故当时，，故C正确； 对于D，即验证，也即，由于， 等价于，也即，显然成立，故D正确 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则______． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程过原点得出切线方程为，再次利用导数的几何意义求得的切点，再带入点计算求参. 【详解】因为的导数为，设切点为， 所以切线斜率为， 所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为：. 13．若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______. 【答案】5 【详解】展开式的通项为：， 令，得，因为，所以当时，取得最小值5. 14．作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为_________． 【答案】 【分析】设从出发最终从1号口出的概率为，再根据题意列出的关系求解即可. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以， 解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知展开式的二项式系数和为512，且 （1）求的值； （2）求的值； （3）求被6整除的余数. 【答案】（1）144；（2）19682；（3）5. 【分析】（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案； （2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案； （3）根据题意，可得，变形可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案 【详解】解：（1）由二项式系数和为512知， ，即 由得 （2）令得 令得 所以 （3）由 因为能被6整除，所以23被6整除后余数为5. 16．（15分） 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球取自2号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 17．（15分） 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； （3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 18．（17分） 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.    (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) (2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率. （2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可； （ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可. 【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ． 即，，所以， 因为质量指标值近似服从正态分布， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为. （2）（i），所以所取样本的个数为20件， 质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3， 相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望. （ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中A等品的概率为， 所以，所以， 所以 . 令，由得，， 又，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值. 所以当时，每箱产品利润最大. 19．（17分） 已知函数，. (1)若，证明：. (2)若曲线与关于直线对称，关于x的方程恰有三个不等实根，，，其中. （ⅰ）求a的取值范围； （ii）证明：． 附：若，则当时，． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ii）证明见解析 【分析】（1）构造函数，求导分析单调性得最大值，由知该最大值小于0，从而原不等式成立； （2）（i）由对称性得，将方程化为，通过导数讨论的符号及二次判别式，确定当时有3个零点；（ii）利用根的关系及消去，将欲证不等式转化为关于的对数不等式，构造函数并求导证明恒正. 【详解】（1）设， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 当时，，所以， 即． （2）（ⅰ）因为曲线与关于直线对称， 所以，则． 令，则， 当时，，在上单调递增， 不存在三个不等实根． 当时，令，其判别式， 若，即，则恒成立，即， 在上单调递减，不存在三个不等实根． 若，即，则存在两个不等正实根，，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，且，故，． 又当时，，当时，， 所以在和内各恰有一个零点，又， 所以有三个零点，符合题意． 所以的取值范围是． （ii）由（ⅰ）知． 当时，，所以． 要证明，即证明， 由，得，代入待证不等式， 得，整理得． 设，则， 故在上单调递增，故，即． 故命题得证． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第7~9章＋导数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（   ） 3 4 6 7 20 40 80 A．50 B．60 C．70 D．75 4．将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．48种 5．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 6．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解. A．171 B．190 C．342 D．380 8．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是（   ） A．已知随机变量的分布列为，则 B．若随机变量且，则 C．在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 D．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 10．已知函数，则（    ） A．点是图象的对称中心 B．是的极小值点 C．当时， D．当时， 11．某实验室设计了一种数据纠错系统，该系统由若干个串联的纠错单元组成.记第个纠错单元的输入数据为1的概率为，其中.第个纠错单元会独立重复地采集次输入信号，每次为的概率均为，若这次采集中，至少有次检测为，则该单元输出，否则该单元输出.第个单元的输出作为第个单元的输入.已知且，则（） A． B． C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则______． 13．若（）的展开式中存在常数项，则的最小值为______. 14．作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知展开式的二项式系数和为512，且 （1）求的值； （2）求的值； （3）求被6整除的余数. 16．（15分） 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 17．（15分） 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 18．（17分） 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)； (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. ) (2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大. 19．（17分） 已知函数，. (1)若，证明：. (2)若曲线与关于直线对称，关于x的方程恰有三个不等实根，，，其中. （ⅰ）求a的取值范围； （ii）证明：． 附：若，则当时，． / 学科网（北京）股份有限公司 $