专题01 数与式、方程与不等式（课件）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式、方程与不等式 数与式 方程与不等式 12 5 10 5 命题透视 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题” 特点，以文字、图表、表格为载体，突出对运算能力、建模能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 1）数与式：侧重运算工具性，常与几何、函数结合，新定义运算、规律探究为创新考法。 2）方程与不等式：侧重实际应用与综合建模，方案设计、参数讨论、整数解问题为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 实数的概念与运算 广东・T1：实数分类与大小比较 山西・T11：非负性综合求值 湖南・T1：相反数与绝对值 四川・T12：新定义实数运算 广西・T4：实数的概念（二次根式有意义条件） 北京・T10：实数的运算与综合（整式规律探究） 整式的运算与化简求值 江苏・T17：乘法公式逆用与整体代入 浙江・T21：整式与几何面积综合 山东・T16：幂的运算性质辨析 河南・T18：化简求值（含参数） 湖北・T15：整式规律探究（点阵问题） 广东・T19：乘法公式综合应用 因式分解 安徽・T12：十字相乘法分解 福建・T14：分组分解法 河北・T13：提公因式 + 公式法综合 陕西・T16：因式分解与分式化简 江西・T11：二次三项式因式分解 云南・T17：因式分解与方程求解 分式 重庆・T16：分式值为 0 的条件 天津・T19：分式化简求值（整体代入） 浙江・T15：分式有意义条件与参数范围 湖南・T20：分式混合运算 四川・T14：分式方程与不等式综合 广东・T18：分式化简与选数代入 考点 2025年 2024年 2023年 热 考 角 度 二次根式 辽宁・T11：二次根式性质化简 黑龙江・T12：二次根式混合运算 吉林・T13：二次根式有意义条件 内蒙古・T16：分母有理化 甘肃・T12：二次根式与数轴综合 青海・T15：二次根式化简求值 一元一次方程与二元一次方程组 广东・T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题） 江苏・T18：含参数方程组的解 山东・T19：二元一次方程组解法 河南・T21：配套问题 湖北・T17：二元一次方程组的参数问题 北京・T20：和差倍分问题 一元二次方程 浙江・T22：根的判别式与参数范围 四川・T23：韦达定理综合应用 湖南・T21：增长率问题 河北・T19：配方法解方程 广东・T22：面积问题（一元二次方程） 山西・T20：整数根问题 分式方程 重庆・T20：分式方程的实际应用（工程问题） 天津・T18：分式方程的解与参数 江苏・T19：分式方程解法与验根 安徽・T21：行程问题 江西・T18：分式方程无解的参数讨论 福建・T20：效率问题 一元一次不等式（组） 北京・T23：不等式组的整数解与参数 广东・T21：方案设计问题（购物） 山东・T20：不等式组解集与数轴表示 河南・T22：生产加工方案 湖北・T19：整数解个数问题 浙江・T23：租车方案与最值 考点 2025年 2024年 2023年 热考角度 方程与不等式综合 江苏・T25：方程 + 不等式 + 一次函数综合（方案最值） 四川・T24：一元二次方程与不等式综合 湖南・T25：分式方程与不等式综合 河北・T23：方程组 + 不等式 + 函数 广东・T24：方案设计与最值（利润问题） 北京・T25：综合建模 命题预测 1. 考情预测 数与式： 基础题：侧重运算准确性，零指数幂、负指数幂、二次根式化简为必考点。 中档题：新定义运算、规律探究、整体代入为创新方向，与几何、函数结合更紧密。 工具性：因式分解、分式化简仍为核心工具，贯穿综合题解答。 方程与不等式： 核心考点：一元二次方程的判别式与韦达定理、不等式组的整数解与参数、分式方程的实际应用。 综合趋势：方程（组）+ 不等式 + 一次函数的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力。 情境创新：以 “传统文化、科技发展、社会热点” 为背景，考查数学应用。 2. 备考建议 夯实基础：熟练掌握数与式的运算法则、方程与不等式的解法，确保基础题不失分。 突破中档：重点训练整体思想、参数讨论、整数解问题，总结解题模板。 强化综合：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力。 关注创新：熟悉新定义、规律探究类题型，培养迁移与推理能力。   考点一：数与式 考点二：方程与不等式 考点一：数与式 题型一：实数的混合运算 题型二：比较大小问题 题型三：用科学记数法比较较大/较小的数 题型四：整式的混合运算 题型五：化简求值问题 题型六：整式与几何面积的综合运算 题型七：规律探究问题 题型八：因式分解 题型九：分式有/无意义，值为0的条件 题型十：分式的混合运算 题型十一：二次根式的混合运算 题型十二：非负性的应用 必备知识 知识一：实数的混合运算 知识二：整式的混合运算 知识三：因式分解 知识四：分式的运算 知识五：二次根式的运算 命题预测 ►题型一 实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3） ， ►题型一 实数的混合运算 1．（2025·山东济南·中考真题）计算： ． 解：原式 ． 2．（2025·湖南长沙·中考真题）计算： ． 解：原式 ►题型二 比较大小问题 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. ►题型二 比较大小问题 1．（2025·海南·中考真题）写出一个比大的实数： ． 解： ， ， ， 比大的实数可以是：， （答案不唯一） ►题型二 比较大小问题 2．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 解：由数轴得： ， ∴， ►题型二 比较大小问题 本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 解析 3．（2025·江苏南京·中考真题） 已知，试比较与的大小． 解：∵ ， ∵， ∴，， ， ∴， ∴． ►题型三 用科学记数法比较较大/较小的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： ►题型三 用科学记数法比较较大/较小的数 1．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 解：8160亿用科学记数法表示为， A ►题型三 用科学记数法比较较大/较小的数 2．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 解：∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． A ►题型三 用科学记数法比较较大/较小的数 3．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． ►题型三 用科学记数法比较较大/较小的数 3．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． （1）解：， 答：该铜棒的伸长量． ►题型三 用科学记数法比较较大/较小的数 3．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． （2）解：， 解得： ， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加． ►题型三 用科学记数法比较较大/较小的数 3．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． ►题型四 整式的混合运算 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. ►题型四 整式的混合运算 1．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 解： A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； D ►题型四 整式的混合运算 2．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、 ， 故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； ►题型四 整式的混合运算 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 解： 60 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 解： ． ►题型五 化简求值问题 1）整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入. 2）分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. ►题型五 化简求值问题 1．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 解：∵，且已知， ∴将代入得： ， 则 ． ►题型五 化简求值问题 2．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值： ，其中． 解： 原式 ； 当时， 原式． ►题型五 化简求值问题 3．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 解： ， 当时， 原式 ． 此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解析 ►题型五 化简求值问题 本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出a的值，最后代入化简后的式子求值． 解析 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题） 先化简，再求代数式的值，其中． 解： ． 当 时， 原式． ►题型五 化简求值问题 5．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：；②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． 解： （1）①∵， ∴， ∴或， 解得； ② 解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∴原不等式组的解集为： ； ►题型五 化简求值问题 5．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：；②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． （2） ， 由（1）①可得， 则原式， 由（1）②可得， 则原式． 1．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，．（1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ，， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为_________． ►题型六 整式与几何面积的综合运算 （1）解：由新定义得， ； 1．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足． 【探究运算律】 （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； ►题型六 整式与几何面积的综合运算 （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律 ，理由如下： 左边： ， 右边： ， ∴左边右边， ∴对正实数，，， 运算“”满足结合律 ； 1．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，．（1）当时，请计算：__________； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为_________． ►题型六 整式与几何面积的综合运算 （3）由题意得，， ∴， ∵，，且， 正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴（舍负）， ∴ ， ►题型六 整式与几何面积的综合运算 2．（2025·四川雅安·一模）阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？ 最大面积是多少？ （1）解：由题意可得： 鸡场的长为， 则鸡场的面积： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是， ∵，， ∴最大面积是符合题意． 故当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是． 解： 尝试：， 应用：设， 由题意，得． 又， ，． 阴影部分的面积为． ►题型六 整式与几何面积的综合运算 3．（2025·河北邯郸·三模）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积， 可得到的等式为____ _； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 拓展： ， 的最小值为2． ； ►题型六 整式与几何面积的综合运算 4．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． （1）∵，， ∴， （2）解： 令，， 则由， 得 当且仅当 时， 即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 6 解： ►题型六 整式与几何面积的综合运算 4．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． （3）解：设， 已知，， 则由等高三角形可知： ， ， ， 四边形的面积 当且仅当，即时， 取等号，四边形面积的 最小值为． 6 ►题型七 规律探究问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， C ►题型七 规律探究问题 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和，则，且，为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则，∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ，此时点在点的正北方． D 3．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中 代表碳原子，代表氧原子， 代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 ►题型七 规律探究问题 解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． B ►题型七 规律探究问题 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 解：由题意得：， 当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； ． ►题型七 规律探究问题 5．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ． 解：如图，∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为： ， 则， 面积标记为的正方形的边长为： ， 则，……， ， 则的值为：， ►题型七 规律探究问题 6．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 . 解： ， ， ， ►题型八 因式分解 1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 解：. C 2．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ． 解： ►题型八 因式分解 3．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， （答案不唯一） ►题型八 因式分解 4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式： ． 解： ． 观察到与互为相反数，将其统一为后提取公因式，再应用平方差公式分解． 本题考查了分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键． 解析 ►题型九 分式有/无意义，值为0的条件 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0； ②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. ►题型九 分式有/无意义，值为0的条件 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 解：∵分式有意义， ∴， 解得且且，故选：D． D ►题型九 分式有/无意义，值为0的条件 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 且 ►题型九 分式有/无意义，值为0的条件 3．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（   ） A．2 B．0 C． D．-3 解：由题意，得：且， 解得：； A 本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 解析 ►题型十 分式的混合运算 按顺序进行计算： 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式. ►题型十 分式的混合运算 1．（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 解： ． ►题型十 分式的混合运算 2．（2025·甘肃·中考真题）化简：． 解：原式 ． ►题型十一 二次根式的混合运算 二次根式混合运算的“四注意” 1）确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的； 2）灵活运用运算律. 3）正确使用乘法公式. 4）有些运算中约分可使运算简便.5 ►题型十一 二次根式的混合运算 1．（2025·江苏南京·中考真题） 计算的结果是 ． 解： ． 2 ►题型十一 二次根式的混合运算 2．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积 ．若，则的值为 ． 解：将，，代入 ►题型十一 二次根式的混合运算 3．（2025·上海·中考真题）计算： ． 解： . 本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可. 解析 ►题型十二 非负性的应用 1．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 四 ►题型十二 非负性的应用 2．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足 ，，则的值为 ． 解： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； ►题型十二 非负性的应用 3．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且 ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴， C ►题型十二 非负性的应用 4．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 或 知识01 实数的混合运算 1.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 知识02 整式的混合运算 1.整式的加减运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算   法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 知识02 整式的混合运算 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 知识02 整式的混合运算 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即： 知识03 因式分解 一提 二套 三检查 知识04 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即： . 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减， 即：. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即： . 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即： .   乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方， 即： （n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识05 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即： . 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2025·湖南衡阳·模拟预测） 的倒数是（   ） A． B． C． D． 解由倒数的定义得：若， 则是的倒数，且， 的倒数为： ， 2．（2025·广西·模拟预测）国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，惠及13.95亿中国人，将数据13.95亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 解：∵1亿， ∴13.95亿， 又∵， ∴ ， D 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）下面是某同学在一次作业中的计算摘录： ①；②； ③； ④． 其中正确的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 解：∵和不是同类项，不能合并，∴ ①错误； ∵和不是同类项，不能合并，∴ ②错误； ∵，∴ ③错误； ∵，∴ ④正确． ∴正确的个数是个． 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ）   A． B．0 C． D．2 解：由题意得： 根据数轴图，且靠近1， 且靠近， ∴， 则 ， B 5．（2025·江苏连云港·二模）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数，，0，1，2，那么表示数的点应落在（ ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 解：， ， ， ， 数轴上的点，，，，分别表示数 ，，，，， 表示数的点应落在线段上， A 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）若，则的平方根是（ 　 ） A． B． C． D． 解：， ， ，， 且， ，， 即，， ， 的平方根为， 7．（2025·山东日照·一模）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为： （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（ ） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 解用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第一档，故（1）正确； 用电量度时，电费为 元， 当时，用电量在第二档，故（2）正确； 当 时，用电量在第三档，故（3）正确； D 8．（2025·甘肃酒泉·三模）对平面上任意一点，定义f，g两种变换： ，如； ，如． 据此得（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴． ∵， ∴． D 9．（2025·陕西西安·一模）如图，是无人机按照一定规律摆出的图案，图1由6架无人机组成，图2由10架无人机组成，图3由14架无人机组成，，按照这种规律继续摆下去，图7由 架无人机组成． 解：图中无人机的数量为； 图中无人机的数量为； 图中无人机的数量为；； 图中无人机的数量为； 当时，无人机的数量为； 10．（2025·广东广州·模拟预测） 计算 ． 解：原式= ． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式： ． 解： ． 12．（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 解：要使 在实数范围内有意义， 需满足 ，即 ； 要使 在实数范围内有意义， 需满足底数，即， 综上，实数的取值范围为：且， 且 解：卡片上的数字分别为：（有理数）、（有理数）、（无理数）、 0（有理数）、（无理数）． 其中无理数有2个，即和， 则抽取卡片的情况如下： 从中随意抽取两张卡片共20种， 两张卡片上数字都是无理数的有2种， 因此，概率为． 13．（2025·四川广元·一模）有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是 ． 14．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ，…… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 解： ， 15．（2025·辽宁大连·模拟预测）计算： (1) (2) （1）解： ． （2）解： ． 16．（2025·重庆·模拟预测）计算： 解： ． 17．（2025·陕西西安·模拟预测） 先化简，再求值： ，其中． 解：原式 ； 当时， 原式． 18．（2025·陕西西安·一模）计算： 解： ． 19．（2025·江苏苏州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索解决问题： 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米：跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间． 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离最内圈边线0.30米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算．举例： 第一分道米； 第二分道米； 第三分道米； 第四分道米，…… 问题解决： (1)小明同学计算的第5分道______米；（化简后的式子含） (2)小明同学在为学校运动会规划比赛场地时，需要画出400米跑道的平面示意图，若小明选取的比例尺是，那么直道长84.39米的图上距离是______ (3)小明同学在为400米跑的选手划定起跑位置时，第2道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸______米（取3.14，结果取整数）； (4)暑假第一天，小明与小亮晨练时，两人从第一分道起跑线的同一位置同时出发，小明以4米／秒的平均速度沿着第一分道实跑线逆时针跑步．小亮沿着第一分道实跑线顺时针慢跑，平均速度是小明的平均速度的一半，请计算出两人在第二次相遇前相距50米的时间．（第一分道实跑线长度取400米） 19．（2025·江苏苏州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索解决问题： 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米：跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间． 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离最内圈边线0.30米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算．举例： 第一分道米； 第二分道米； 第三分道米； 第四分道米，…… 问题解决： (1)小明同学计算的第5分道 米； （化简后的式子含） （1）解：根据前面得出的规律，第分道的长度为 米． 当时， 19．（2025·江苏苏州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索解决问题： 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米：跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间． 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离最内圈边线0.30米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算．举例： 第一分道米； 第二分道米； 第三分道米； 第四分道米，…… 问题解决： (2)小明同学在为学校运动会规划比赛场地时，需要画出400米跑道的平面示意图，若小明选取的比例尺是，那么直道长84.39米的图上距离是______ 2）解：∵比例尺是， 设图上距离为厘米， ∵， 则，解得， 米 19．（2025·江苏苏州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索解决问题： 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米：跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间． 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离最内圈边线0.30米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算．举例： 第一分道米； 第二分道米； 第三分道米； 第四分道米，…… 问题解决： (3)小明同学在为400米跑的选手划定起跑位置时，第2道选手应在第一道选手的起跑位置基础上向前延伸______米（取3.14，结果取整数）； （3）解：第一分道长度为米， 第二分道长度为米， 第二分道比第一分道多出的距离为： 米， 19．（2025·江苏苏州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索解决问题： 素材一：据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.22米，直道长84.39米：跑道的弯道是半圆形，跑道第一圈（最内圈边线）弯道半径为35.0米到38.0米之间． 素材二：某校根据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈（最内圈边线）弯道半径为36.50米的标准跑道（如图）．按田径竞赛规程规定：第一分道计算线（又称运动员的实跑线）是距离最内圈边线0.30米计算，其余各条分道计算线是距离里侧分道线外沿0.20米处计算． 问题解决： (4)暑假第一天，小明与小亮晨练时，两人从第一分道起跑线的同一位置同时出发，小明以4米／秒的平均速度沿着第一分道实跑线逆时针跑步．小亮沿着第一分道实跑线顺时针慢跑，平均速度是小明的平均速度的一半，请计算出两人在第二次相遇前相距50米的时间．（第一分道实跑线长度取400米） （4）解：由题意得，小亮的平均速度为米/秒， 他们从开始到第一次相距米，用时为秒， 所以小明的路程为米，小亮的路程为米， 所以 ，解得， 设他们从开始到第二次相距米，用时为秒 ，解得， 设他们从开始到第一次相遇用时为秒， 从开始到第一次相遇，他们一共所跑路程为米， 所以，解得， 第三次相距米时所用时间为秒， 第四次相距米时，同理时间为 秒， 综上:第二次相遇前相距米的时间为： 秒，秒，秒，秒 考点二：方程与不等式 题型一：已知方程（组）的解，求参数 题型二：解方程（组）、不等式（组） 题型三：一元二次方程根的判别式 题型四：一元二次方程根与系数的关系 题型五：一元二次方程根的判别式 与韦达定理综合 题型六：分式方程的参数问题 题型七：不等式（组）与整数解问题 题型八：根据实际问题列方程 题型九：利用方程、不等式解决实际问题 题型十：方程（组）、不等式（组）的解法辨析 与规范求解 必备知识 知识1 解一元一次方程 知识2 解二元一次方程（组） 知识3 解分式方程 知识4 解一元二次方程 知识5 解一元一次不等式组 命题预测 ►题型一 已知方程（组）的解，求参数 将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题. ►题型一 已知方程（组）的解，求参数 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 2．（2025·江苏南京·中考真题） 已知是方程的解，则的值是 ． 解：原方程去分母得： ， 是该方程的解， ， 解得：， 当时， 原分式方程有意义， C ►题型一 已知方程（组）的解，求参数 3．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解 为则的值为 ． 解：，得， ，解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 1 ►题型一 已知方程（组）的解，求参数 4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 ． 5 ►题型二 解方程（组）、不等式（组） 1．（2025·四川眉山·中考真题） 解方程： 解：去括号，得： 移项，得： ， 合并，得：． 2．（2025·山东淄博·中考真题） 解方程组： 解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． ►题型二 解方程（组）、不等式（组） 3．（2025·江苏无锡·中考真题） （1）解方程：； （2）解不等式组：． 解：（1）， 方程移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：，． （2）， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． ►题型二 解方程（组）、不等式（组） 4．（2025·山东威海·中考真题） （1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上； （2）解分式方程． 解：（1）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示为：   （2） 去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是． ►题型三 一元二次方程根的判别式 前提条件： 已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根→Δ≥ 0; 2）有两个不等根→Δ＞0; 3）有两个相等根→Δ= 0; 4）无实数根→Δ＜0. ►题型三 一元二次方程根的判别式 1．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， C ►题型三 一元二次方程根的判别式 2．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 C ►题型三 一元二次方程根的判别式 3．（2025·四川广元·中考真题） 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ►题型四 一元二次方程根与系数的关系 ►题型四 一元二次方程根与系数的关系 1．（2025·山东东营·中考真题） 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， C ►题型四 一元二次方程根与系数的关系 2．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， C ►题型四 一元二次方程根与系数的关系 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 . 解：∵方程的两个根分别是， ∴， ， ∴，， ∴ ►题型四 一元二次方程根与系数的关系 4．（2025·四川攀枝花·中考真题） 已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， ►题型五 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 1．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． （1）解：把代入方程 得， ∴ ， ∴， 即， 解方程得， ，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得： ，， ∵， ∵， ∴． ►题型五 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 2．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若为该方程的两个根，求（用含k的代数式表示）． （1）证明： ， ∵， ∴，即， ∴无论k取何值， 原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ． ►题型五 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 3．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根， 且满足，求k的值． （1）证明： ∵， ∴ ； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意， ，， ∴， ∴， ∴， ． ►题型六 分式方程的参数问题 1．（2025·黑龙江·中考真题） 已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 解：，得， 得，解得：， 根据题意，解， 即，解得：， 分母，即， 即，解得：， ， A ►题型六 分式方程的参数问题 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 解：方程去分母，得： ， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解， 则：， 解得：； C ②分式方程有增根， 则：，解得：； 把代入， 得：，解得：； 综上：或 ►题型六 分式方程的参数问题 3．（2025·四川雅安·二模） 若关于的方程有增根，则的值为 ． 解：方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得，即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 6或 ►题型六 分式方程的参数问题 4．（2025·江苏扬州·三模） 已知关于的分式方程解为正数，则的取值范是 ． 解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 且 ►题型七 不等式（组）与整数解问题 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 解：， 解不等式：，得， 解不等式：，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 2 ►题型七 不等式（组）与整数解问题 2．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解， 则a的取值范围是 ． 解：解不等式得： ， 解不等式得： ， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， ►题型七 不等式（组）与整数解问题 3.（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 解：∵ ∴关于a的不等式组 即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： ►题型八 根据实际问题列方程 1．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个， 年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为， 两年后数量为： ， ∴ 可列方程：， B ►题型八 根据实际问题列方程 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价， 表示第二次购买魔方的单价， D 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． ►题型八 根据实际问题列方程 3．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两，∴． ∴根据题意可列出方程组． D ►题型八 根据实际问题列方程 4．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． A ►题型八 根据实际问题列方程 5．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的， 即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应=原矩形的长-左右两侧花卉带的总宽度 （每侧宽即 草坪的宽应=原矩形的宽-上下两侧花卉带的总宽度 （每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： D ►题型八 根据实际问题列方程 6．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电 费为x元，可列分式方程为 . 解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， ►题型九 利用方程、不等式解决实际问题 1．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． （1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元，根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； ►题型九 利用方程、不等式解决实际问题 1．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数，∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为 （元）； 选择购买方案2所需费用为 （元）； 选择购买方案3所需费用为 （元）， ，∴方案1所需费用最少． ►题型九 利用方程、不等式解决实际问题 2．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ （1）设大巴车的速度为千米/小时， 则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程： ， 解得． 经检验：是原方程的解， 且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人， 则成人人数为人， 根据题意，可列方程： ， 解得：． 答：参加本次活动的学生人数是190人． ►题型九 利用方程、不等式解决实际问题 3．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃．   如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．   (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ ►题型九 利用方程、不等式解决实际问题 3．（2025·江苏南通·中考真题） 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃．   如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．   (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ （1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得：， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； ►题型九 利用方程、不等式解决实际问题 3．（2025·江苏南通·中考真题） 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃．   如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．   (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，根据题意得 ∴ ∵，∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时， 花圃的面积最大． ►题型九 利用方程、不等式解决实际问题 4．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．）   解：（1）由图可知： ； （2）由图可知： ； ►题型九 利用方程、不等式解决实际问题 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）．   （3）由题意，得： ， ； 11 3 （4）∵最小的数为，则剩余的数为： ， ∴， 解得：； ►题型十 方程（组）、不等式（组）的解法辨析与规范求解 1．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 解：第一步是去分母，去分母的依据是： 等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． ， ►题型十 方程（组）、不等式（组）的解法辨析与规范求解 2．（2025·江西宜春·模拟预测） 解方程， 下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学：两边同时除以， 得，则． 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)解一元二次方程的基本思想是_______（填“降次”或“消元”）； (2)请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． （1）解： 解一元二次方程的基本思想是降次， （2）解：都错误． 正确的解答过程如下： 移项，得： ， 提取公因式，得： ， ∴或， 解得：． 降次 ►题型十 方程（组）、不等式（组）的解法辨析与规范求解 3．（2025·河南焦作·一模） （1）计算： ． 解答过程 自我检查 解：去分母，得 ，…第一步   去括号，得 ，…第二步 第一步正确，其依据是： ； 移项，得 ，…第三步 第二步符合去括号法则，也正确； 合并同类项，得，…第四步 系数化为，得．…第五步 第三步出错了！ ①第一步的依据是不等式的一条性质， 请写出这一性质的内容： ； ②第三步出错的原因是 ； ③请从第三步开始，写出正确的解答过程． （2）下面是小彬解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： （1） ； ►题型十 方程（组）、不等式（组）的解法辨析与规范求解 3．（2025·河南焦作·一模） 解答过程 自我检查 解：去分母，得 ，…第一步   去括号，得 ，…第二步 第一步正确，其依据是： ； 移项，得 ，…第三步 第二步符合去括号法则，也正确； 合并同类项，得，…第四步 系数化为，得．…第五步 第三步出错了！ ①第一步的依据是不等式的一条性质， 请写出这一性质的内容： ； ②第三步出错的原因是 ； ③请从第三步开始，写出正确的解答过程． （2）下面是小彬解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务． （2）①第一步的依据是不等式性质2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变． ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号． ③移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得：． 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变． 移项没有变号 ►题型十 方程（组）、不等式（组）的解法辨析与规范求解 4．（24-25九年级上·河南周口·期中）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：．第一步 ．第二步 解得．第三步 任务一： 小刚同学的解答过程中， 从第___________步开始出现错误． 错误的原因是___________ ； 小颖同学的解答过程中， 从第___________步开始出现错误． 错误的原因是___________． 任务二：写出该方程的正确求解过程． 小颖同学： 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 或．第四步 解得或第五步 任务一： 解：代数式的值可能为， 小刚同学在第二步中，方程两边同时除以是错误的； 二 方程两边同时除以 ►题型十 方程（组）、不等式（组）的解法辨析与规范求解 4．（24-25九年级上·河南周口·期中）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：．第一步 ．第二步 解得．第三步 任务一： 小刚同学的解答过程中， 从第___________步开始出现错误． 错误的原因是___________ ； 小颖同学的解答过程中， 从第___________步开始出现错误． 错误的原因是___________． 任务二：写出该方程的正确求解过程． 小颖同学： 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 或．第四步 解得或第五步 二 方程两边同时除以 小颖同学在第三步时提公因式时， 后边的是， 提公因式时，后一项应变号，而小颖同学没有变号， 小颖同学的做法错误； 三 没有变号 ►题型十 方程（组）、不等式（组）的解法辨析与规范求解 4．（24-25九年级上·河南周口·期中）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：．第一步 ．第二步 解得．第三步 任务二：写出该方程的正确求解过程． 小颖同学： 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 或．第四步 解得或第五步 解：， 移项得： ， 整理得： ， 提公因式得： ， 或， 解得：，． 知识01 解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则， 分配律 1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 知识02 解二元一次方程（组） 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 知识03 解分式方程 解分式方程的基本思路： 将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→ 将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解， （可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 知识04 解一元二次方程 方法 说明 直接开平方法 方程没有一次项时用直接开平方法较为简单(最直接的方法) 配方法 二次项系数为-1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单 (最基本的方法) 公式法 在配方法和公式法中，当各项系数均为整数时，切绝对值较小时，首选公式法(万能方法) 因式分解法 方程没有常数项时用因式分解法较为简单，当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解(最简便的方法）。 知识05 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤： 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分， 这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 1．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的， 得：①， 代入第二个方程组的， 得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． D 2．（2025·广东广州·模拟预测）方程的解为（    ） A． B． C． D． 解： 原方程化为：， 两边同乘，得： ． ∴， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为， B 3．（2025·四川广元·一模）若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ． A 4．（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 解：∵ 方程 ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ，即， B ∴方程有两个不相等的实数根． 5．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得： ， 移项得：． 当时，． 解为负数，即， ∴． ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． B 6．（2025·陕西渭南·一模） 对于任意实数m、n，定义新运算，， 例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故方程根为． C 7．（2025·贵州遵义·一模）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．以方程，即为例，构造如图所示图形，从图形中可得两种不同面积的计算方法，可知，即，所以．类似地能说明方程解法的构图是（   ） A． B． C D． 解：， ，即， 所以在构图中，长方形的长与宽相差3，面积为18，  观察四个选项可知，只有选项D符合中间小正方形边长为3，且可划分出四个面积为18的长方形． D 8．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． A 解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∴异号， 当时， ∵ ， ∴，即， ∴，解得：， 此时原方程为， 解得：， 经验证， ，成立， 故符合题意； 9．（2025·四川绵阳·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．5或 D 当时， ∵ ， ∴，即， ∴，解得：， 此时原方程为， 解得：， 经验证， ，成立， 故符合题意． 综上所述，或． 10．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 解：方程两边同乘最简公分母，得： ， 整理得，即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 6或 11．（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为 ． 解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，∴舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为：． 12．（2025·全国·一模）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 解：且 ， ， ，， ， 故， 2023 13．（2025·江苏扬州·二模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ． 解：设这个数为，则有： ， ， ， ， 解得：． 1 14．（2025·云南·模拟预测）这是一道婚礼上的方程，新郎需要在现场把这个方程解出来，才能迎接新娘．请根据你解方程的过程完成填空：这个方程是 （类型）方程，需要 ，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根 代表着一生不辜负爱妻，第二个根 代表着否则你将一无所有． 解：， 去分母得： ， 整理得：，即，解得：， 检验：当时，， 当时，， 所以原方程的解为； 这个方程是分式方程，需要验根，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根 代表着一生不辜负爱妻，第二个根代表着否则你将一无所有． 分式 验根 15．（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ （1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则，解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元， 每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件， 则购买B款木偶工艺品件， 购买款木偶工艺品的数量不超过 款木偶工艺品数量的， ， 解得， 答：至多购买款木偶工艺品10件． 16．（2025·广西·一模）解下列方程或方程组： (1)； (2)． （1）解：， ， ， ，． （2）①+②得： ，解得． 把代入①得： ，解得． ∴方程组的解为：． 17．（2025·四川雅安·一模） 阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时， 代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ （1）解：由题意可得： 鸡场的长为， 则鸡场的面积： ； （2）解： ， 17．（2025·四川雅安·一模） 阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时， 代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ ∵， ∴， ∴当时， 围成的矩形鸡场的面积最大， 最大面积是， ∵，， ∴最大面积是符合题意． 故当时， 围成的矩形鸡场的面积最大， 最大面积是． 18．（2025·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． （1）解：其中较短一段长为， 则另一段长为， 依题意得， 解得， 因为是较短的一段， 所以，即， 故不合题意，舍去， 答：的值为时， 围成的两个正方形面积之和为； ，原方程无实数根， 两个正方形的面积之和不可能等于， 答：小红的说法正确． $