精品解析：福建宁德市博雅培文学校高中部2025-2026学年第一学期12月教学诊断高二数学试卷

高中数学2025年09月29日 一、单选题 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：D. 2. 已知为等差数列且，为其前项的和，则（ ） A. 142 B. 132 C. 144 D. 136 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得； 【详解】解：因为，所以 故选：B 3. 已知方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的标准方程特点列不等式，求解的取值范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴的椭圆， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 4. 已知曲线表示圆，则圆的半径为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆的方程特征求出参数的值，代入方程化为标准形式求半径. 【详解】曲线表示圆， 则，解得或. 当时，，不符合题意舍去. ∴，此时圆的方程可化为. ∴圆的半径为1. 故选：B 5. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，列方程求出，进而可得，即可求解. 【详解】设公差为，则，所以， 又，所以，解得， 所以，则， 故选：D． 6. 若椭圆的焦距为，则实数的值为（ ） A. 24 B. 9 C. 1 D. 9或1 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义可得范围，再利用焦距定义分类讨论即可得. 【详解】由题意可得，即或； 当时，有，解得； 当时，有，解得，不符，故舍去， 综上可得. 故选：B. 7. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……．记第层球的个数为，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件中的规律，利用累加法求出数列的通项公式，进而求得，利用裂项相消法求出数列的前20项和即可. 【详解】根据已知条件有， 当时，，，，，， 以上各式累加得：， 又，所以，经验证符合上式， 所以；所以， 设数列的前项和为， 则， 所以. 故选：C 8. 已知为正实数，直线与圆相切，则的最小值是(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】∵直线与圆相切， ∴，，即， ∴， ∴＝， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：B. 二、多选题 9. 已知点，直线，圆，下列命题正确的是（       ） A. 若点P在直线l上，则点P在圆O上 B. 若点P在圆O上，则直线l与圆O相切 C. 若直线与圆O有两个公共点，则点P在圆内 D. 若直线与圆O相切，则切点为P 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合点到直线的距离公式、圆的方程及点与圆、直线与圆的位置关系逐一分析各选项. 【详解】A：若点P在直线l上，则， 圆的方程为，把点代入圆方程，满足方程， ∴点在圆上，故A正确； B：若点P在圆O上，则，圆的圆心为，半径为1， ∴点到直线的距离为， ∴直线与圆相切，故B正确； C：若直线l与圆O有两个公共点，则， ∴，所以点在圆外，故C错误； D：若直线l与圆O相切，则， ∴， ∴圆心到直线的距离等于两点间的距离， ∴切点为，故D正确．　　 故选：ABD 10. 已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示双曲线 D. 当时，曲线表示两条平行直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据方程分析对称性即可；对于B：举反例说明即可；对于CD：分类讨论的符号，进而判断曲线表示的图形. 【详解】因为曲线，其中是实数，且至少有1个大于0， 对于选项A：将换成可得， 所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于选项B：例如满足，此时曲线表示圆，故B错误； 对于选项C：若，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线； 综上所述：当时，曲线表示双曲线，故C正确； 对于选项D：若，且至少有1个大于0， 当时，曲线是与轴平行的两条直线； 当时，曲线是与轴平行的两条直线； 综上所述：当时，曲线表示两条平行直线，故D正确； 故选：ACD. 11. 将数列中的所有项排成如下数阵： …… 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数，，，……，成等差数列，且，．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（ ） A. B. 位于第列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，分析所给数阵的特点，计算出数阵第一列对应等差数列的通项公式，可得A正确； 通过计算可知位于数阵第行第列，故B错误； 分析计算的表达式，比较可得C正确； 位于数阵第行第个数，代入等比数列通项公式可得D正确. 【详解】将等差数列，，，……，记为，则公差，所以，故A正确； 第行的项数，第行的项数，，第行的项数，构成以为首项，为公差的等差数列，即第行有项，前行有项， 因为，而， 则位于第行从左边数第项，即位于第列，故B错误； 因为， ，故C正确； ,所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知，直线经过点，则直线的倾斜角为___________．（结果用arctan表示） 【答案】 【解析】 【分析】代入，求出，得到直线的倾斜角. 【详解】将代入中得，解得， 故直线的倾斜角为. 故答案为： 13. 记为数列的前项和，满足，且，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用与的关系，代入解方程即可. 【详解】因为，且， 所以当时，， 则，结合，即①； 当时，②； 当时，③； 将③代入②可得，结合代入①可得. 故答案为：2. 14. 已知椭圆C:的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________ 【答案】 【解析】 【详解】 连接, 由为中位线，可得 ,, 圆，可得且， 由椭圆的定义可得，可得， 又，可得， 即有，即为， 化为，即， ，即有， 则， 当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为. 四、解答题 15. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为， 则，解得或，满足， 则或. 16. 智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: ，. （1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数) （2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表) （3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？ 【答案】(1) 分钟. (2)58分钟；(3) 【解析】 【分析】（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】（1）设中位数为，则 解得：（分钟） 这名手机使用者中使用时间的中位数是分钟 （2）平均每天使用手机时间为：（分钟） 即手机使用者平均每天使用手机时间为分钟 （3）设在内抽取的两人分别为，在内抽取的三人分别为， 则从五人中选出两人共有以下种情况： 两名组长分别选自和的共有以下种情况： 所求概率 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型. 17. 设数列满足，. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，进而可得是以为公比、为首项的等比数列，根据等比数列的通项公式计算可得； （2）由（1）可得，利用分组求和法与错位相减法计算可得． 【详解】解：（1）， ，， ， 是以为公比、为首项的等比数列， ， ； （2）， ， ， 记， ， ， ， 故． 18. 点A为直线上的动点，O为坐标原点，过点A作直线l垂直于y轴，过点O作直线OA的垂线交直线l于点P． （1）求点P的轨迹方程； （2）记P点轨迹为曲线C，C上一定点B，过B作两不同直线分别交C于M，N两点， ①直线BM、BN的斜率满足，且直线MN过点，求定点B坐标； ②若点，且直线BM、BN的斜率满足，设的外接圆为圆E，过点B作曲线C的切线m，判断直线m与圆E位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①； ②直线m与圆E相切，理由为： 解法一：如图，当时，根据，可得，导函数， 当时，，因此切线的斜率为1，因此直线， 设直线，联立抛物线方程可得， 设，，， ， 所以，因此， BM中垂线：， 同理，BN中垂线：， 联立可得， ，，即直线m与圆E相切． 解法二：根据，可得，导函数， 当时，，因此切线的斜率为1， 因此直线，又， 所以，所以， 假设BMN外接圆与抛物线第四个交点为H点， 由（1）知，， 设过M、N、B、H四点的曲线系方程为： ， 由于无xy项，故， 故曲线系方程变为：， 所以，与直线重合， 即B与H重合于一点，B为抛物线和圆的公切点，直线m与圆E相切． 【解析】 【分析】（1）设，利用条件可得点的坐标，进而可得点P的轨迹方程； （2）①设出点的坐标，表示出直线，和的方程，由直线过点，将点 代入直线的方程，计算得解.②解法一：利用导数法求出直线的方程，设直线，直线和抛物线联立方程组，利用韦达定理法结合条件得到的值，结合条件表示点的坐标，计算得，从而得到直线m与圆E相切．解法二：利用导数法求出直线的方程，由求得的值，从而得到，假设BMN外接圆与抛物线第四个交点为H点，设过M、N、B、H四点的曲线系方程，由于无项得到的值，从而得到直线与直线重合，从而得解. 【小问1详解】 设，那么，， 当时，， 当时，直线，则，点P的轨迹为， 综上所述，点P的轨迹方程； 【小问2详解】 ①设， 如图，，即， 同理，， ，代入点，所以， 所以①，又，故②， 由①②得：，因此； ②略 19. 已知椭圆Γ：，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为、. （1）若直线l经过点，求的周长； （2）若，求面积的取值范围； （3）若， ，直线与椭圆Γ的另一个交点为C，直线与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1）8； （2）； （3）由（2）直线方程为， 由得，又，代入整理得： ，是此方程的两根， ∴，∴，即， 同理可得， ∴， ∴直线方程为，注意，令， ∴直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义计算； （2）设直线方程为，由直线与椭圆相交于两点，及直线不过原点求出，应用韦达定理求得弦长，并求得原点到直线的距离得三角形面积，利用的范围结合二次函数性质得面积取值范围； （3）在（2）基础上，写出直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标，同理得点坐标后再求出直线方程，利用，由此方程关于是恒等式可得定点坐标． 【详解】（1）由题意，．∴， ，， ∴的周长为； （2）设直线方程为， 由得，∴，， 设，则，， ， 又原点到直线的距离为， ∴， 直线不过原点，∴，∴， ∴． （3）略 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与相交问题，考查椭圆中三角形面积问题，直线过定点问题，对学生的运算求解能力要求较高，属于困难题．解题时采用“设而不求”的思想方法，设直线方程为，设交点坐标为，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由判别式得参数的范围，由韦达定理求得弦长，求出原点到直线的距离后可得三角形面积，利用函数的性质结合参数范围可得面积的范围．而直线过定点问题，就是由参数求出交点坐标，写出直线方程，由方程分析得出直线所过定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学2025年09月29日 一、单选题 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列且，为其前项的和，则（ ） A. 142 B. 132 C. 144 D. 136 3. 已知方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线表示圆，则圆的半径为（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若椭圆的焦距为，则实数的值为（ ） A. 24 B. 9 C. 1 D. 9或1 7. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……．记第层球的个数为，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为正实数，直线与圆相切，则的最小值是(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题 9. 已知点，直线，圆，下列命题正确的是（       ） A. 若点P在直线l上，则点P在圆O上 B. 若点P在圆O上，则直线l与圆O相切 C. 若直线与圆O有两个公共点，则点P在圆内 D. 若直线与圆O相切，则切点为P 10. 已知曲线，其中是实数，且至少有1个大于0，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示双曲线 D. 当时，曲线表示两条平行直线 11. 将数列中的所有项排成如下数阵： …… 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数，，，……，成等差数列，且，．从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则（ ） A. B. 位于第列 C. D. 三、填空题 12. 已知，直线经过点，则直线的倾斜角为___________．（结果用arctan表示） 13. 记为数列的前项和，满足，且，则___________． 14. 已知椭圆C:的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________ 四、解答题 15. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 16. 智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从名手机使用者中随机抽取名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: ，. （1）根据频率分布直方图，估计这名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数) （2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表) （3）在抽取的名手机使用者中在和中按比例分别抽取人和人组成研究小组，然后再从研究小组中选出名组长.求这名组长分别选自和的概率是多少？ 17. 设数列满足，. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 18. 点A为直线上的动点，O为坐标原点，过点A作直线l垂直于y轴，过点O作直线OA的垂线交直线l于点P． （1）求点P的轨迹方程； （2）记P点轨迹为曲线C，C上一定点B，过B作两不同直线分别交C于M，N两点， ①直线BM、BN的斜率满足，且直线MN过点，求定点B坐标； ②若点，且直线BM、BN的斜率满足，设的外接圆为圆E，过点B作曲线C的切线m，判断直线m与圆E位置关系，并说明理由． 19. 已知椭圆Γ：，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为、. （1）若直线l经过点，求的周长； （2）若，求面积的取值范围； （3）若， ，直线与椭圆Γ的另一个交点为C，直线与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $