精品解析：福建省宁德市柘荣县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

柘荣一中2025～2026学年度第一学期高二月考1 数学试题 命题人：陈素芳 林庆勇 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，.则公差d＝（ ） A. －10 B. －5 C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式求解即可． 【详解】公差． 故选：D 2. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出5个球中随机摸出2个球的所有可能性，在选出两个球的数字之和是奇数的情况，代入古典概型公式，即可得答案. 【详解】5个球中随机摸出2个球，共有： 共10种情况， 两个球数字之和是奇数有共6种情况， 所以两个球的数字之和是奇数的概率是. 故选：D 3. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第60百分位数是（ ）． A. 19 B. 21 C. 23 D. 23.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据第60百分位数定义计算即可. 【详解】数据按从小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数， 因为， 所以第60百分位数是. 故选：B 4. 已知数列满足，，则的前7项和为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据累乘法，可求得数列的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 则，即， 所以， 又，满足上式，所以， 所以的前7项和为. 故选：C 5. 为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759 421 113 215 345 257 704 066 186 203 037 624 616 045 601 366 959 742 710 428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到20组数据中符合题意的数据个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有13组符合要求， 有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428， 故概率为． 故选：D． 6. 已知数列满足，若存在,使得不等式成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知判断出为等差数列，利用等差数列的前项和公式化简不等式，根据一元二次不等式有解，判别式大于或等于零列不等式，由此求得的最大值. 【详解】由于，故数列是公差为的等差数列，其前项和，故，即，此不等式有解，其对应一元二次方程的判别式，即，，解得，故的最大值为. 【点睛】本小题主要考查等差数列的定义，考查等差数列前项和公式，考查一元二次不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 7. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设依次列举出对应事件，应用古典概型的概率求法求对应概率，结合互斥、对立、独立事件的定义和判定判断各项的正误. 【详解】若中依次表示第一、二次对应点数，所有情况有种， 由题意，事件的基本事件有，共4种， 事件的基本事件有，共18种， 所以有，共2种， 事件的基本事件有，共6种， 事件的基本事件有，共27种， 由上，与互斥，，A、B对， ，，，则，D对， 显然与不互斥，更不对立，C错. 故选：C 8. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2，4;第三次取3个连续的奇数5，7，9;第四次取4个连续的偶数10，12，14，16;第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25.按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，…，则这个数列中的第2025个数是（ ） A. 3980 B. 3982 C. 3984 D. 3986 【答案】D 【解析】 【分析】利用取数的规律，找到第n次的最后一个数为，然后结合等差数列求和，则可求得结果. 【详解】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数， 前n次共取了个数，且第n次的最后一个数为， 当时，由等差数列求和公式得，故到第次取时取了个奇数， 且前次共取了个数，即第个数， 所以时，取的数依次为 则第个数为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果互斥，那么 D. 如果互斥，那么 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可. 【详解】对于AB，由可得, 所以,故AB正确； 对于CD，由互斥可得， 所以,故C正确，D错误. 故选：ABC. 10. 已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为（ ） A. 数列为递减数列 B. 数列是等差数列 C. 若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例排除A，利用等差数列的求和公式判断B，利用等差数列奇数项与偶数项和，结合等差数列的性质判断C，利用等差数列的求和公式与等差数列的性质判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为数列是递减的等差数列，所以， 不妨举例数列为， 则9，这三项不构成递减数列，故A错误； 对于B，，是关于的一次函数， 因此是等差数列，故B正确； 对于C，数列前10项中，奇数项的和为， 偶数项的和， 所以，设，则，解得， 所以公差，故C正确； 对于D，，则， ，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. （多选）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对（）．其中当时，称（）为“孪生素数”，当时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数，令事件“为孪生素数”，“为表兄弟素数”，“”，记事件发生的概率分别为，，，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】假设，列出不超过30的所有素数，根据古典概型，可分别求出，，，再逐项判断即可. 【详解】不妨取，不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个， 从中任意取两个不同的素数共有（个）样本点． 则，共4个样本点； ，共4个样本点； ，共10个样本点． 所以，显然， 从而选项A，B均不成立；故选项C不成立，D成立. 故选：ABC． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答. 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案：0.56 13. 已知数列满足，设数列的通项公式为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推关系求出可得. 【详解】数列满足， 当时，， 两式相减得，因此. 又时，，满足上式，所以. 故答案为：. 14. 中，角所对的边长分别为．若成等差数列，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式，结合正弦定理以及等差中项的应用对所求式子进行化简， 可得，由余弦定理和基本不等式可求出的取值范围，通过求的取值范围，进而可求出的范围，即可求出的最小值. 【详解】解： ，因为成等差数列，所以，即， 则原式，由余弦定理知， ，当且仅当时等号成立， ，因为 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，又，所以， 所以， 故答案为:. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了基本不等式，考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了等差中项的应用.本题的关键是构造符合基本不等式的形式，结合基本不等式求最值. 四、解答题（15题13分，16～17题15分，18～19题17分，共77分） 15. 已知等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和的最大值． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得到公差，从而求出通项公式； （2）由得到，且当时，，从而得到或时，取得最大值，利用等差数列求和公式求出最大值. 【小问1详解】 等差数列中， ，解得：， ，解得：， 故公差， 故通项公式； 【小问2详解】 令，解得：，且当时，， ∴或时，的前n项和取得最大值， 又，故的最大值为30. 16. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 【答案】（1），平均数为分，中位数为分； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值； （2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由已知可得，解得， 所抽取的名学生成绩的平均数为（分）， 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以，中位数，由题意可得，解得（分）. 【小问2详解】 由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为， 则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种. 其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种. 故所求概率为. 17. 已知数列中，，记． （1）求证：数列是等差数列，并求出； （2）设，求． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】(1)由等式两边同取倒数可得，根据等差数列定义证明结论； (2) 分析数列的各项的正负，分，化简，结合等差数列求和公式求结论. 【小问1详解】 由，得，即， 又，所以为常数， 又，所以， 所以数列是公差为2，首项为－5的等差数列，． 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，所以； 当时，，所以， 得到． 综上，. 【点睛】求数列前项和的方法给出数列，要求数列的前项和，关键是分清取什么值时．一般地，如果数列为等差数列，为其前项和，，那么有： （1）若，则有 （2）若，则有 18. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． （1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； （3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 【答案】（1） （2） （3）第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大；说明见解析 【解析】 【分析】（1）根据规则有两种可能，一种是甲连胜两局，另一种是乙连胜两局，然后利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （2）根据规则也是有两种可能，一种是乙先胜一局再由甲连胜两局，另一种是丙先胜一局再由甲连胜两局，然后利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （3）根据规则也是有两种可能，一种是甲乙开局，甲连胜两局；或甲先胜第一局，再败一局，接下来乙胜一局，最后甲再胜一局；或甲第一局失败，第二局乙必须失败，第三局第四局甲必须连胜，另一种是甲丙开局，同理计算即可； 小问1详解】 记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件 记比赛两局结束为事件，则 所以 ． 则第一局由甲、乙对战，进行两局比赛，比赛结束的概率为． 【小问2详解】 记第一局由乙、丙对战且甲获胜为事件，则 所以 则第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率为； 【小问3详解】 由（2）可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为， 同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为 ， 第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为 ， 因为，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大． 19. 对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. （1）已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. （2）若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. （3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）是， （2）（） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“等差比数列”定义计算求解； （2）应用“等差比数列”定义，可判断为等差数列，故可求通项； （3）应用等差数列前n项和公式计算求参即可. 【小问1详解】 已知，则，. 所以数列是 “等差比数列”，. 【小问2详解】 因为数列从第项起为 “等差比数列”，所以时，. 所以，故， 整理得到：，故， 所以为常数列，故， 而，故即，故， 故，故为等差数列，其首项为，公差为， 故. 【小问3详解】 ，由得，即对任意的成立. 因为最小值为，所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柘荣一中2025～2026学年度第一学期高二月考1 数学试题 命题人：陈素芳 林庆勇 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，.则公差d＝（ ） A. －10 B. －5 C. 10 D. 5 2. 不透明盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（ ）． A. B. C. D. 3. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第60百分位数是（ ）． A. 19 B. 21 C. 23 D. 23.5 4. 已知数列满足，，则的前7项和为（ ）． A. B. C. D. 5. 为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759 421 113 215 345 257 704 066 186 203 037 624 616 045 601 366 959 742 710 428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，若存在,使得不等式成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（ ） A. 与互斥 B. C 与对立 D. 与相互独立 8. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2，4;第三次取3个连续的奇数5，7，9;第四次取4个连续的偶数10，12，14，16;第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25.按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，…，则这个数列中的第2025个数是（ ） A. 3980 B. 3982 C. 3984 D. 3986 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果互斥，那么 D. 如果互斥，那么 10. 已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为（ ） A. 数列为递减数列 B. 数列是等差数列 C. 若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D. 若，则 11. （多选）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对（）．其中当时，称（）为“孪生素数”，当时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数，令事件“为孪生素数”，“为表兄弟素数”，“”，记事件发生的概率分别为，，，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 13. 已知数列满足，设数列的通项公式为，则______． 14. 中，角所对的边长分别为．若成等差数列，则的最小值为___________． 四、解答题（15题13分，16～17题15分，18～19题17分，共77分） 15. 已知等差数列中，，． （1）求通项公式； （2）求的前n项和的最大值． 16. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 17 已知数列中，，记． （1）求证：数列是等差数列，并求出； （2）设，求． 18. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． （1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； （3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 19. 对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. （1）已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. （2）若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. （3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $