精品解析：浙江省杭州高新实验学校　2025-2026学年第二学期七年级期中检测 数学

杭州高新实验学校2025学年第二学期七年级期中检测（试卷）数学 考生须知： 本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 答题时，应该在答题卷上写明校名，班级，姓名和考号． 所有答案必须做在答题卷标定的位置，务必注意试题序号和答题序号相对应． 考试结束后，上交答题卷． 一．选择题（共10小题） 1. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，和不是同位角的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 5. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 6. 用加减法解方程组下列解法不正确的是（ ） A. ，消去 B. ，消去 C. ，消去 D. ，消去 7. 下列说法正确的有（　　） A. 若直线，，则直线 B. 经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D. 同一平面内，不相交的两条直线是平行线 8. 若，，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. M与N的大小由x的取值而定 9. 九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中盈不足卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（共6小题） 11. 计算__________． 12. 已知，则用含x的式子表示y为______ ． 13. 如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个 关于a、b的恒等式__________________. 14. 如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是_____°． 15. 若∠A的一边与∠B的一边互相平行，∠A的另一边与∠B的另一边互相垂直，且∠A=30°，则∠B的度数是______． 16. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 _____． 三．解答题（共8小题） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） 18. 解方程组： （1） （2） （3） 19. 阅读题目，完成下面推理过程：问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图是一个“互”字． 如图是由图抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（ ）． ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， 又∵ （已知）， ∴ （ ） ∴（ ）． 20. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点）上，按下列要求画图： （1）在给定的方格纸中，平移三角形，使点A落在点D处，请画出平移后的三角形，使B，C的对应点分别为E，F； （2）请直接写出三角形的面积为 ． 21. 方程组知识运用 （1）关于，的二元一次方程组中，与方程组的解中的或相等，则的值为 ； （2）试说明在关于的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变； （3）请直接写出第（）题中的方程组的正整数解为： ． 22. 如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB． （1）求证：； （2）若平分，，求． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 24. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点、、、在同一直线上，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则________，________． （2）现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； （3）将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为秒，请求出符合条件的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州高新实验学校2025学年第二学期七年级期中检测（试卷）数学 考生须知： 本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 答题时，应该在答题卷上写明校名，班级，姓名和考号． 所有答案必须做在答题卷标定的位置，务必注意试题序号和答题序号相对应． 考试结束后，上交答题卷． 一．选择题（共10小题） 1. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．根据二元一次方程的定义判断逐项分析即可 【详解】解：A．方程是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．方程的未知数在分母上，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．方程是二元一次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列图形中，和不是同位角的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角； 根据同位角的定义对各个选项中和的位置进行分析即可得出答案．本题考查了同位角的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 A．中的和是同位角，不符合题意； B．中的和是同位角，不符合题意； C．中的和是同位角，不符合题意； D．中的和不是同位角，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，正确，故符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式等知识．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式是解题的关键． 4. 如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，垂直于起跳线，即是落地点到起跳线的垂线段， 在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是垂线段最短． 5. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可． 【详解】解：A．∵， ∴，不能得到，不符合题意； B．由不能得到，不符合题意； C．如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； D．由不能得到，不符合题意． 6. 用加减法解方程组下列解法不正确的是（ ） A. ，消去 B. ，消去 C. ，消去 D. ，消去 【答案】D 【解析】 【分析】加减消元法要求消去某个未知数时，需使该未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过加减运算消去该未知数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项：得：，得：，两式相减可消去，该解法正确，故A选项不符合题意； B选项：得：，得：，两式相减可消去，该解法正确，故B选项不符合题意； C选项：得：，得：，两式相加可消去，该解法正确，故C选项不符合题意； D选项：可得：，整理得：，不能消去，该解法错误，故D选项符合题意． 7. 下列说法正确的有（　　） A. 若直线，，则直线 B. 经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等 D. 同一平面内，不相交的两条直线是平行线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、平行线的定义，根据平行线的判定与性质、定义逐一判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，若直线，，则直线，故此选项错误； B、经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此选项错误； C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项错误； D、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故此选项正确． 故选：D． 8. 若，，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. M与N的大小由x的取值而定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，利用求差法、多项式乘多项式的运算法则进行计算，根据计算结果判断即可．掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， 故选：C． 9. 九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中盈不足卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为人，物价为钱，根据“每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为人，物价为钱， 依题意得：． 故选：B． 10. 如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义判断求解即可． 此题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线定义等知识是解题的关键． 【详解】解：如图，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确，符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故②正确，符合题意； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故③正确，符合题意； ，， ， 故④正确，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 12. 已知，则用含x的式子表示y为______ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：由得，①， 把①代入中得，． 13. 如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个 关于a、b的恒等式__________________. 【答案】（a-b）2=（a+b）2-4ab． 【解析】 【分析】空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可． 【详解】解：空白部分为正方形，边长为：，面积为：． 空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：． ． 故答案为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键． 14. 如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是_____°． 【答案】25 【解析】 【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，再由三角形的内角和定理求出，利用角的和差即可求出． 【详解】∵折叠后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键． 15. 若∠A的一边与∠B的一边互相平行，∠A的另一边与∠B的另一边互相垂直，且∠A=30°，则∠B的度数是______． 【答案】60°或120° 【解析】 【分析】∠A、∠B的一边互相平行，另一边互相垂直，借助平行线定理画出辅助图，根据题意画图可知，∠B的度数存在两种情况，并且相互互补. 【详解】 ∵∠A的一边与∠B的一边互相平行， ∴∠1=∠A=30°， ∵∠A的另一边与∠B的另一边互相垂直， ∴∠B=90°-∠1=90°-30°=60°， 或∠B=90°+∠1=90°+30°=120°， 即∠B的度数是60°或120°． 故答案为60°或120°． 【点睛】此题考查平行线定理，解题关键在于对平行线定理的定义理解. 16. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期 _____． 【答案】五 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索问题，把转化为，再根据题中规律展开，即可求解． 【详解】解：，（其中m，n，p，q为常数）， ∴除以7的余数为1， ∵今天是星期四，再过7天还是星期四， ∴再过天是星期五． 故答案为：五． 三．解答题（共8小题） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 【小问5详解】 解：原式 ． 18. 解方程组： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， 将①代入②得：， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组整理为， 得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为； 【小问3详解】 解：， 得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． 19. 阅读题目，完成下面推理过程：问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图是一个“互”字． 如图是由图抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（ ）． ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， 又∵ （已知）， ∴ （ ） ∴（ ）． 【答案】两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【解析】 【分析】先根据证得，再根据已知等量代换证得，利用同位角相等，两直线平行证得，再根据平行线的性质，，得出 ． 【详解】证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知），  ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 20. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形的顶点均在格点（正方形网格线的交点）上，按下列要求画图： （1）在给定的方格纸中，平移三角形，使点A落在点D处，请画出平移后的三角形，使B，C的对应点分别为E，F； （2）请直接写出三角形的面积为 ． 【答案】（1） 解：三角形如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）根据对应点可确定平移规律：向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度．据此可作图． （2）运用三角形的面积公式结合图形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：三角形的面积． 21. 方程组知识运用 （1）关于，的二元一次方程组中，与方程组的解中的或相等，则的值为 ； （2）试说明在关于的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变； （3）请直接写出第（）题中的方程组的正整数解为： ． 【答案】（1）或； （2）证明： 得， 得， 等式两边同时除以得， ∴不论取什么实数，的值始终为，即始终不变； （3）和． 【解析】 【分析】（）先将看作常数，解二元一次方程组得到的表达式，再根据与或相等，分两种情况计算的值，用到分类讨论思想和二元一次方程组消元法； （）通过消去参数，整理得到为固定常数，即可证明结论； （）根据的结论，结合正整数的要求，列举得到所有正整数解． 【小问1详解】 解：， 得， 解得， 将代入得， 根据题意分两种情况计算：当时，得， 当时，得，解得， 因此的值为或， 故答案为：或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（）得，为正整数，即 ∴当时，；当时，， ∴方程组的正整数解为和， 验证：把代入原方程组得，解得：，符合题意； 把代入原方程组得，解得：，符合题意． 22. 如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB． （1）求证：； （2）若平分，，求． 【答案】（1） 证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质； （1）根据平行线的性质得出，由，得到，证明； （2）利用角平分线得出，，由，得到，进而由，，得出，由，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 奖品购买及兑换方案设计 素材1 小明在瓷都爱心超市购物时发现：顾客甲购买2个风琴包和1个精美书签花了35元，顾客乙购买1个风琴包和3个精美书签花了30元． 素材2 瓷都中学花费600元购买该超市的风琴包和精美书签作为奖品颁发给七年级期末考试优秀学生，两种奖品的购买数量均不少于20个，且购买精美书签的数量是10的倍数． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用列方程组的方法，求出风琴包与精美书签的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买风琴包和精美书签数量的所有方案． 【答案】（1）风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元； （2）解：设购买个风琴包，个精美书签， 根据题意得：， 故． ∵，， ∴， 解得， ∵是10的倍数， ∴或或或或， ∵，为整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买30个风琴包，30个精美书签；方案2：购买20个风琴包，60个精美书签． 【解析】 【分析】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，整数解，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元．根据题意得，解方程组即可． （2）设购买个风琴包，个精美书签，根据题意得：，所以．又因为，，，为整数，且是10的倍数，解答即可． 【详解】解：（1）设风琴包的单价为元，精美书签的单价为元． 根据题意得， 解得． 答：风琴包的单价为15元，精美书签的单价为5元． （2）略 24. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点、、、在同一直线上，，，，． （1）若三角板如图1摆放时，则________，________． （2）现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； （3）将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为秒，请求出符合条件的值． 【答案】（1）15，150 （2） （3）2或6或8 【解析】 【分析】（1）如图1，过点作，证明，可得结论； （2）同法可证，利用角平分线的定义求出，，可得结论； （3）分三种情形：当时，当时，当时，分别求出的度数，即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图1，过点作， ，， ． ，． ． ， ． ， ． 【小问2详解】 解：同法可证， ， ． ． ， ． ，分别平分，， ，． ． 【小问3详解】 如图3-1，当时，设与交于点， ． ． ． ， ∴． ． ． 如图3-2，当时， 此时， ． ． 如图3-3，当时，过点作， ． ，． ． ． 综上所述，满足条件的t的值为2或6或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $