精品解析：北京师范大学实验学校2025-2026学年下学期八年级数学期中模拟卷

八下数学期中练习卷 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判定．最简二次根式是指被开方数不能化简的二次根式．据此判定即可． 【详解】解：A、，可化简，原式不是最简二次根式； B、，可化简，原式不是最简二次根式； C、，可化简，原式不是最简二次根式； D、不可化简，原式是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 2. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、∵ ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、 ∴ 不是直角三角形，故B符合题意； C、∵ ∴设 ∴ ∴ 是直角三角形 故C不符合题意； D、∵ ∴ ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 3. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 5. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查函数的定义，判断方法是垂直于 x 轴的直线检验法：任意一个 x 值，只能对应唯一的 y 值；易错点是混淆函数的 “多对一” 和 “一对多” 关系． 【详解】选项 A：任意作垂直于 x 轴的直线，与图像只有 1 个交点，满足 “一个 x 对应唯一 y”，是函数． 选项 B、C、D：存在 x 值对应多个 y 值，不满足函数定义． 故选：A． 6. 已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（ ） 2 3 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 7. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 8. 一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的组成，为记录寻宝者的行进路线，在的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析每一种寻宝路线值的变化情况，再结合函数图象求解即可． 【详解】解：A、过点作于点， 寻宝者沿着行进，先减小，根据垂线段最短可得，当到达点P时，y最小，然后y增大，与函数图象不符合，故不符合题意； B、过点分别作的垂线，垂足为点， 寻宝者沿着行进，y先减小，到达点D处y最小，再增大，到达点时，最大，然后继续减小，到达点处最小，然后再增大，寻宝者在图1中的位置，相当于函数图象中的位置，而，函数图象中可得寻宝者在处的函数值小于在处的函数值，即由函数图象可得，故矛盾，不符合题意； C、过点分别作的垂线，垂足为点， 寻宝者沿着行进，先减小，到达点处最小，再增大，到达点O时最大，然后再减小，到达点处最小，然后再增大，寻宝者在图1中的位置，相当于函数图象中的位置，由图1可得，符合函数图象，故符合题意； D、寻宝者沿着行进，先减小，当到达点时，，然后再增大，显然与函数图象不符合，故不符合题意． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键． 分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且． 10. 写出一个一次函数解析式，其图象与直线平行，且不经过第一象限______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据两直线平行，一次项系数相等可得的值，再根据图象不经过第一象限得到的取值范围，即可写出符合条件的解析式． 【详解】解：所求一次函数的图象与直线平行， 设该一次函数解析式为， 一次函数图象不经过第一象限，， ，可取，可得一次函数解析式为． 11. 我们把弹簧所受的拉力F与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是______． 【答案】甲 【解析】 【分析】将图中甲、乙、丙、丁四个点与原点连接，根据题意，设，则拉力F是关于伸长量的正比例函数，根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：如图，作出辅助线， 根据题意，设， 则拉力F是关于伸长量的正比例函数， 由图象可知，且图象越陡， k越大 ， 所以弹性系数最大的是甲． 12. 如图，矩形纸片中，已知，点B落在点F处，折痕为，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】由折叠得，于是，在中， ，设，在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是翻折而成， ∴， ∴， 在中， ， 设， 在中，，即， 解得，则AB=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查矩形的折叠，矩形的性质，勾股定理；根据折叠得到线段相等是解题的关键． 13. 如图，在点M，N，P，Q中，一次函数的图象不可能经过的点是______． 【答案】点 【解析】 【分析】由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴一次函数图象一定经过第一、二、四象限， ∴其图象不可能经过Q点． 14. 如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理可得， ∴， 故答案为：． 15. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 【答案】 ①. 6.875 ②. 【解析】 【分析】（1）设，则，在和中，利用勾股定理分别表示出和，根据建立方程求解即可； （2）利用割补法，用梯形的面积减去和的面积表示出的面积，根据面积范围列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）设，则  ，   在中，由勾股定理得  在中，由勾股定理得  ，两村到加油站的距离相等        解得   ； （2）由题意得，   ，       的面积不小于也不超过   解得  的取值范围是． 三、解答题（共52分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 在平面直角坐标系中，直线经过点和．另一条直线也经过点A． （1）求k，b，c的值； （2）画出函数与函数的图象； （3）求两直线与x轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用两点法画出函数图象即可； （3）根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点和， ∴， 解得：， ∵另一条直线也经过点， ∴，解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：两函数解析式分别为和， 对于， 当时，， ∴函数的图象过点， 对于， 当时，， ∴函数的图象过点， 画出函数图象，如图： 【小问3详解】 解：由（2）得： 两直线与x轴围成的三角形的面积为． 19. 尺规作图． 如图，点B，C分别为两边上的点，请用直尺和圆规作经过点A的直线，使得点B，C到这条直线的距离相等． （1）作线段的中点O，作直线；并证明直线符合题意； （2）作不同于（1）的另一条符合题意的直线（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）． 【答案】（1）作图见解析，证明见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）先连接，作的垂直平分线，交于点O，则点O为线段的中点，作直线，则即为所求作；再根据“角角边”证明，则此题可解； （2）作，可得，根据平行线间距离相等，可得点B，C到直线的距离相等； 【小问1详解】 解：如图所示；点O即为的中点，直线即为所求作； 证明：作于点D，作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴点B，C到直线的距离相等； 【小问2详解】 解：如图所示，直线即为所求作； 20. 如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出，，推出，结合角平分线的性质和等角对等边推出，根据等腰三角形的三线合一推出，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，，点为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形是菱形， ，， ， 平分， ， ， ， 在中，，点为中点， ， 平分，， ， ， ，即， ， ， ， ，， 四边形的周长． 21. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答问题： 信息读取： （1）甲、乙两地之间的距离为______； （2）请解释图中点B，点C和点D的实际意义； 图象理解： （3）求慢车和快车的速度； （4）直接写出线段所表示的y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）900 （2）点B表示两车相遇，点表示快车到达乙地，点表示慢车到达甲地 （3）慢车速度为，快车速度为 （4）， 【解析】 【分析】（1）由图象可知，当时，，即甲、乙两地之间的距离． （2）点处表示两车相遇，点处斜率变化表示快车到达终点，点处表示慢车到达终点． （3）利用慢车走完全程求慢车速度，利用两车小时相遇求快车速度． （4）先求出点坐标，再用待定系数法求线段的函数解析式． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时，， 甲、乙两地之间的距离为． 【小问2详解】 解：点：两车相遇，即两车行驶后相遇， 点：快车到达乙地，即快车行驶后到达乙地， 点：慢车到达甲地，即慢车行驶后到达甲地． 【小问3详解】 解：慢车速度， 设快车速度为， 两车相遇， ， 解得， 慢车速度为，快车速度为． 【小问4详解】 解：快车到达乙地所需时间h， 此时慢车行驶路程， 点坐标为， 设线段的函数解析式为， 将，代入： ， 解得， ，． 22. 在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F． （1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP=60°时，求证：DE+CE=DF； （2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）图见解析，，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，由旋转的性质可得，可证得是等边三角形，得出，通过解直角三角形求得，CE=，由勾股定理得DE=，即可得出结论； （2）根据要求画出图形，作DH⊥AP交BC于点H，通过等量代换得到∠AFD =∠DHC，由AAS可证得，可得DF=CH，由三线合一可证得∠ADH=∠EDH，再通过平行线的性质和等量代换得到∠EDH=∠EHD，证得ED=EH，即可得出结论． 【详解】（1）证明：设， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=a，， ∵DA=DP，∠ADP=60°， ∴是等边三角形． ∴， ∴在中， ， 在中， ∵ ， ∴， ， ∵， ∴． （2）依题意补全图形，如图所示． ． 证明：作DH⊥AP交BC于点H． ∵DH⊥AF， ∴∠HDC+∠AFD=90°． ∵∠HDC+∠DHC=90°， ∴∠AFD =∠DHC． ∵AD=DC，∠ADF=∠DCH=90°， ∴． ∴DF=CH． ∵DA=DP，DH⊥AF， ∴∠ADH=∠EDH． ∵AD//BC， ∴∠ADH=∠EHD． ∴∠EDH=∠EHD． ∴． ∵EH-EC=CH， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理以及解直角三角形等，解题的关键是学会添加常用辅助线来解决问题． 四、附加题（5分） 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点． （1）已知直线：，在点，，中，直线的关联点是___________； （2）若在x轴上存在点P，使得点P为直线：的关联点，求b的取值范围； （3）已知点，若存在直线：是点N的关联直线，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用网格图确定线段关于直线：对称的线段,点在上，得出结论． （2）如图，由题意知，点Q在线段AB上，当点Q与点A重合时，点P的坐标为，直线经过原点，此时b=0；当点Q与点B重合时，点P的坐标为，直线经过点A，此时，所以． （3）如图，点在直线上，设线段关于的对称线段为,当直线：为时，可求，此时，点为满足题意的点N，；，当在第一、三象限内，存在如下图情况，此时，点落在上，落在x轴上，连接，过点A作轴，垂足为，可求，此时，为满足题意的点N，；如图，线段与关于y轴对称，可求，此时为满足题意的点N，；如图，当直线在第二、四象限，存在如下情况，点在直线上，点在x轴上,作，垂足为H，可求，此时为满足题意的点N，，得出结论． 【小问1详解】 解：如图，线段关于直线：对称的线段,点在上，故直线的关联点是； 【小问2详解】 解：如图，由题意知，点Q在线段AB上， ∵点P为直线的关联点， ∴点P关于直线的对称点为Q， 当点Q与点A重合时，点P的坐标为， 是等腰直角三角形，直线经过原点，此时b=0； 当点Q与点B重合时，点P的坐标为， 是等腰直角三角形，直线经过点A，此时． 综上所述，b的取值范围是． 【小问3详解】 解：如图，点在直线上，设线段关于的 对称线段为, 当直线：为时，点，关于直线的对称点,，此时，点为满足题意的点N，； 随着增大，当在第一、三象限内，存在如下图情况，点落在上，落在x轴上，连接，由对称知，， ∴ 过点A作轴，垂足为，中， ∴ ∵ ∴, ∴点 此时，为满足题意的点N， 故时，存在直线：是点的关联直线； 如图，线段与关于y轴对称，,此时为满足题意的点N，； 如图，当直线在第二、四象限，存在如下图情况，点在直线上，点在x轴上, 过点作，垂足为H，由对称知，，， ，中， ∵ ∴ ∴ 此时为满足题意的点N， 故时，存在直线：是点的关联直线； 综上，若存在直线：是点的关联直线，则，或． 【点睛】本题考查直角坐标系与点的坐标，轴对称，等腰直角三角形，勾股定理，动态的理解图形，分类对所有情况作完备的讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下数学期中练习卷 一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 5. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（ ） 2 3 A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8. 一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的组成，为记录寻宝者的行进路线，在的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若有意义，则x的取值范围为_____． 10. 写出一个一次函数解析式，其图象与直线平行，且不经过第一象限______． 11. 我们把弹簧所受的拉力F与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是______． 12. 如图，矩形纸片中，已知，点B落在点F处，折痕为，则的长为_____． 13. 如图，在点M，N，P，Q中，一次函数的图象不可能经过的点是______． 14. 如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为___________． 15. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 16. 如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 三、解答题（共52分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 在平面直角坐标系中，直线经过点和．另一条直线也经过点A． （1）求k，b，c的值； （2）画出函数与函数的图象； （3）求两直线与x轴围成的三角形的面积． 19. 尺规作图． 如图，点B，C分别为两边上的点，请用直尺和圆规作经过点A的直线，使得点B，C到这条直线的距离相等． （1）作线段的中点O，作直线；并证明直线符合题意； （2）作不同于（1）的另一条符合题意的直线（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）． 20. 如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，，求四边形的周长． 21. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答问题： 信息读取： （1）甲、乙两地之间的距离为______； （2）请解释图中点B，点C和点D的实际意义； 图象理解： （3）求慢车和快车的速度； （4）直接写出线段所表示的y与x之间的函数解析式并写出自变量x的取值范围． 22. 在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F． （1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP=60°时，求证：DE+CE=DF； （2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明． 四、附加题（5分） 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点． （1）已知直线：，在点，，中，直线的关联点是___________； （2）若在x轴上存在点P，使得点P为直线：的关联点，求b的取值范围； （3）已知点，若存在直线：是点N的关联直线，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $