精品解析：北京师范大学南湖附属学校2025--2026学年第二学期期中检测试题卷八年级 数学学科

北师大南湖附校2025学年第二学期期中检测试题卷（2026-04） 八年级数学学科 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，轴对称图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，根据此性质即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 若二次根式有意义，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，求解即可得解．解题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是． 故选：D． 3. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．，是一元二次方程，符合题意； B．，方程含有和两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D．，展开整理得，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，∴ A计算错误； ，∴ B计算正确； ，∴ C计算错误； 与不是同类二次根式，不能合并，∴ D计算错误. 5. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤计算即可得到结果． 【详解】解： ． 6. 如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（ ） A. 本次测试的最高分是99分 B. 本次测试的平均分是79分 C. 本次测试成绩的上四分位数是88分 D. 本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 【答案】B 【解析】 【分析】准确识别箱线图中五个关键统计量：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，同时理解四分位数间距（箱体部分）所代表的数据占比，据此逐一分析各个选项的判断即可． 【详解】A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意； B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意； C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意； D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意． 7. 根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意；     B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意；     C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案． 【详解】解：连接E、F两点，过点E作于点M， ∵，, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， 故阴影部分的面积为． 9. 中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键. 在中，用含x的代数式表示边和，再用勾股定理建立方程即可. 【详解】若设秋千的绳索长为x尺， 在中，，，， 由勾股定理，得， 即， 故选：D. 10. 如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则以下结论：①；②；③；④，一定成立的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线定理进行推导，逐一判断各个结论 【详解】 解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； ②延长交的延长线于点， ∵， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴，  ∵，， ∴，即， 在中，为中点， ∴，故②正确； ③由②知，， ∴，， ， ∴， ， ∴，故③错误； 由①知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为即可求解． 【详解】解：八边形的外角和为． 故答案为： 12. 若1，，3，4众数为4，则此数据的下四分位数为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据众数的定义求出，进而求解． 【详解】解：由题意知，， 数据从小到大排列可得：，，，， ，， ∴其下四分位数为． 13. 袁隆平率领的科研团队在“中国超级稻育种计划”的第二期实现超级稻亩产量800千克的目标，第四期实现超级稻亩产量1000千克的目标．如果第三、四期亩产量的增长率相同，设每期亩产量的平均增长率为，可列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均增长率的等量关系，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 14. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为__________米．（结果保留根号） 【答案】##米 【解析】 【分析】本题主要考查坡比，熟练掌握坡比是解题的关键；由题意得：，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系解题即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得：， 由根与系数的关系可得： ，， ∴． 16. 如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，且，作于，将纸片沿，剪开后得到纸片①②③．如图2，先让②③两张纸片的较大锐角完全重叠，再让①③的长直角边重叠且保证，两点重合，最后摆成了“”型图，若图2中纸片①的斜边恰好经过纸片②的顶点，则的长度为_______，的长度为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查图形的拼剪，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题. 设，先证明，再利用勾股定理求出x可得结论. 【详解】解：如图，设 如图1中， ∵四边形是平行四边形 ∴ 在如图2中， ∵ ∴ ∴ 如图1中，在中，则有 解得； ∴ 故答案为：； 三、解答题（本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ； 【小问2详解】 解： ，即 解得：． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）在图1中画一个平行四边形，使边长为（点、都在格点上）； （2）在图2中画一个平行四边形，使点是它的对称中心． 【答案】（1） 如图所示，四边形即为所求； （2） 如图所示，四边形即为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点C、D，连接，由可得四边形是平行四边形，由勾股定理可得； （2）取格点C、D，连接，由可得四边形是平行四边形，由网格的特点可得点O既是的中点，又是的中点，即点O是四边形的对称中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 初中部 c 8.5 b 高中部 8.5 a 8.5 1.6 （1）根据图示计算出 ， ， ； （2）计算初中代表队决赛成绩的方差 并判断哪一个代表队成绩较为稳定． 【答案】（1） （2），初中代表队成绩较为稳定 【解析】 【分析】（1）利用中位数，众数，平均数的计算方法进行求解即可； （2）根据方差的计算公式进行求解，再进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：高中部的成绩处于中间位置的是8， ∴， 初中部五个数据出现次数最多的是，出现2次， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴初中代表队成绩较为稳定． 【点睛】本题考查求中位数，众数，平均数和方差，以及利用方差判断稳定性．熟练掌握相关计算方法，以及方差越小，成绩越稳定，是解题的关键． 21. 如图，在中，是对角线，作于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，时，求的周长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而通过两直线平行内错角相等得到，结合已知条件即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，，结合已知条件可证得是等腰直角三角形，从而求得的长度，再利用勾股定理结合平行四边形的性质求出，最后利用平行四边形周长公式即可得出结果． 【小问1详解】 证明：在中，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 22. 已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，为直角三角形，并求出的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，的面积为；当时，的面积为 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，计算判别式的值证明其恒大于0，即可证明结论； （2）根据方程，可解出，，对斜边的长度进行分类讨论，根据勾股定理求出的值，最终求出面积即可． 【小问1详解】 解：在方程中， ，，， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴，， 即的两条边的长度为、， 若为直角三角形， ∵，故可能为斜边，也可能为斜边， ①当为斜边时，，即，且，即， 且， 化简得， 解得（舍去）或， 则，， 故直角边为和， 的面积为； ②当为斜边时，，即， 且， 解得， 则，， 故直角边为和， 的面积为； 综上，当时，的面积为；当时，的面积为． 23. 综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题： 【问题】 （1）任务1：一个枕头的实际售价为_______（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为_______（用含的代数式表示）个； （2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由． （3）任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 【答案】（1），； （2）每月利润能达到3750元，枕头的售价为元； （3）40元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据“利润=（售价-进价）×销售量”，代入相应数据，列出方程，求解即可； （3）列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值，即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：枕头的实际售价为元； 枕头的销售量为个； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 整理得，， 解得，，， ∵进货不超过200个， ∴， 解得，， ∴， ∴此时枕头的售价为元； 【小问3详解】 解：设利润为元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，为4000元； ∴当降价10元时，每月利润达到最大值，此时售价为元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，，在第一象限内，，且，，． （1）顶点的坐标为________，顶点的坐标为_________； （2）如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成两部分，求直线的函数表达式； （3）如图3，设对角线，交于点，在轴上，有一个长为个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，，则的最小值为_________． 【答案】（1）； （2）直线解析式为：或． （3）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，求出点的坐标，根据平行四边形的性质，求出点的坐标，即可； （2）根据点在直线上，求得；根据点在轴上，设点，求出点；根据点在直线上，设点，求出点，根据题意，求出，，，根据直线把平行四边形的面积分成两部分，由图可得，分成两个高为的梯形，分类讨论：当，，解出，即可； （3）将点向右平移两个单位长度，得到点，连接，根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，得到，推出，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为，根据中点坐标公式，求出点的坐标，过点作的延长线于点，由勾股定理求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴点， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴点的横坐标为： ∴点； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点在直线 ∴， ∴直线解析式为：； ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∴， ∴，； ∵点在直线上， ∴设点， ∴， ∴； ∵点，点，， ∴，，， 直线把平行四边形的面积分成两部分，由图可得，分成两个高为的梯形， ∴，， ∴当， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：； 当，， 解得：， ∴直线解析式为：； 综上所述：直线解析式为：或． 【小问3详解】 解：将点向右平移两个单位长度，得到点，连接， ∴点，， ∵，点，在轴上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵点，点， ∴点， 过点作的延长线于点， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、分式方程、一次函数的解析式、梯形的面积公式、平移的性质等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大南湖附校2025学年第二学期期中检测试题卷（2026-04） 八年级数学学科 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 3. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（ ） A. 本次测试的最高分是99分 B. 本次测试的平均分是79分 C. 本次测试成绩的上四分位数是88分 D. 本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 7. 根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则以下结论：①；②；③；④，一定成立的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 12. 若1，，3，4众数为4，则此数据的下四分位数为_________． 13. 袁隆平率领的科研团队在“中国超级稻育种计划”的第二期实现超级稻亩产量800千克的目标，第四期实现超级稻亩产量1000千克的目标．如果第三、四期亩产量的增长率相同，设每期亩产量的平均增长率为，可列方程为______________． 14. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为__________米．（结果保留根号） 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则__________． 16. 如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，且，作于，将纸片沿，剪开后得到纸片①②③．如图2，先让②③两张纸片的较大锐角完全重叠，再让①③的长直角边重叠且保证，两点重合，最后摆成了“”型图，若图2中纸片①的斜边恰好经过纸片②的顶点，则的长度为_______，的长度为______． 三、解答题（本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 化简： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）在图1中画一个平行四边形，使边长为（点、都在格点上）； （2）在图2中画一个平行四边形，使点是它的对称中心． 20. 我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 初中部 c 8.5 b 高中部 8.5 a 8.5 1.6 （1）根据图示计算出 ， ， ； （2）计算初中代表队决赛成绩的方差 并判断哪一个代表队成绩较为稳定． 21. 如图，在中，是对角线，作于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，时，求的周长． 22. 已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当为何值时，为直角三角形，并求出的面积． 23. 综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题： 【问题】 （1）任务1：一个枕头的实际售价为_______（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为_______（用含的代数式表示）个； （2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由． （3）任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，，在第一象限内，，且，，． （1）顶点的坐标为________，顶点的坐标为_________； （2）如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成两部分，求直线的函数表达式； （3）如图3，设对角线，交于点，在轴上，有一个长为个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，，则的最小值为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $