精品解析：四川成都温江区成都东辰外国语2025-2026学年下学期九年级直升模拟卷

数学试卷 （满分150分，120分钟完成） 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；全卷共150分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名等相关信息填写在答题卡规定的地方．考试结束监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则这组数据的中位数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 重庆北站到万州客车站路程全长270km，一小汽车和一辆货车同时从重庆北站、万州客车站两地相向而行，经过1小时40分钟相遇，相遇时小汽车比货年多行驶40km，设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则个列方程组中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：_______． 10. 如果反比例函数的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是_______． 11. 如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______． 12. 若代数式与的值相等，则_______． 13. 如图，在中，，，D是的中点，以D为圆心，长为半径作弧，交于点E；再以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，则的长为，则的长为_______． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. 计算或解不等式组 （1）计算： （2）解不等式组： 15. 为了解某校七年级学生作业时间情况，随机抽取了该校七年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下的统计图． 作业时间分组表（单位：小时） 别 作业时间 人数 频率 A 1≤x≤1.5 5 0.1 B 1.5≤x≤2 20 b C 2≤x≤2.5 m n D x≥2.5 7 0.14 小计 a 1 （1）统计图中的a=______；b=______；m=______；n=______． （2）求出C组的扇形的圆心角度数． （3）如果该校七年级学生共400名，试估计这400名生作业时间在B组和C组的人数共有多少人？ 16. 某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长． （参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．） 17. 如图，是的直径，点C是上一点，过点C作的切线交的延长线于点P，过点A作于点D，连接，弦平分，交于点F，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求圆的直径及线段的长． 18. 如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1． （1）求的值； （2）若，求反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由． B卷（共50分） 一．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若整式的值为1，则整式的值为________． 20. 若方程的两根是的两条直角边的长，则这个三角形的斜边的长是________． 21. 从这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数的图象不经过第一象限的概率为____________________ ． 22. 由函数和的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有________个． 23. 已知如图，正方形的边长为8，取边上的中点E，连接，过点B作于点F，连接．过点A作于点H，交于点M，交于点N，则________． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=- x2 + 4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1，1). (1)求线段AB的长. (2)点P为线段AB.上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当PBE的面积最大时，求PH + HF + FO的最小值. (3)在(2)中，PH+HF+方FO取得最小值时，将CFH绕点C顺时针旋转60°后得到CF'H'，过点F'作CF'的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由. 26. 【背景】如图1，在中，，过点A的直线，点D是直线上的一动点，将射线绕着点D逆时针旋转，交线段于点P，使，试说明：．小丽提出了自己的想法：如图②，在线段上取一点F，使，通过证明可以解决问题． （1）【尝试】①请你帮助小丽完成说理过程． ②若，，，求的长． （2）【拓展】如图3，过点A的直线，，，点D是直线上一点，点P是线段上的一点，连接，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 （满分150分，120分钟完成） 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；全卷共150分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名等相关信息填写在答题卡规定的地方．考试结束监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义得出答案，只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】的相反数是 故选B 【点睛】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键． 2. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示较大的数时，形式为，其中， 为整数．确定的值时，看原数变成时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：∵ 1300000 的小数点向左移动 6 位得到 1.3， ∴，即． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，∴A错误； ，∴B错误； ，等式成立，∴C正确； ，∴D错误. 4. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可． 【详解】A、，不能判断，选项不符合题意； B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意； C、，不能判断，选项不符合题意； D、，不能判断，选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键． 5. 已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则这组数据的中位数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据平均数为求出的值，然后根据中位数的概念求解． 【详解】解：∵数据，，，，的平均数是， ∴， 解得：， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，， 则中位数为． 故选：D． 【点睛】本题考查中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．掌握中位数和平均数的定义是解题的关键． 6. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 7. 重庆北站到万州客车站路程全长270km，一小汽车和一辆货车同时从重庆北站、万州客车站两地相向而行，经过1小时40分钟相遇，相遇时小汽车比货年多行驶40km，设小汽车和货车的平均速度分别为xkm/h和ykm/h，则个列方程组中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】1小时40分钟小时，根据路程速度时间，结合“经过1小时40分钟两车相遇，且相遇时小汽车比客车多行驶”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：1小时40分钟小时， 依题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①由抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴的交点的范围，即可得出、、，进而可得出，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，结论②正确；③由点的范围可得出抛物线顶点纵坐标，结合可得出，结论③正确；④由抛物线对称轴为可得出，结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（不包括这两点）， ∴，，， ∴， ∴，结论①错误； ②∵二次函数的图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与轴的另一个交点为， ∴，结论②正确； ③∵二次函数的图像与轴的交点在和之间（不包括这两点）， ∴抛物线顶点纵坐标， ∵， ∴，结论③正确； ④∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，结论④错误． 综上所述，正确的结论有：②③． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【详解】. 10. 如果反比例函数的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得． 11. 如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得出与的相似比，即可得出面积比． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为． 12. 若代数式与的值相等，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意得： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得； 经检验，是原分式方程的解. 13. 如图，在中，，，D是的中点，以D为圆心，长为半径作弧，交于点E；再以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，则的长为，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形性质与勾股定理，解题关键是通过设未知数列方程，将作图条件转化为线段等量关系；设，则，由勾股定理得，再根据作图可知，结合解得，即，因此等腰直角三角形中​． 【详解】设，则 D 为中点，． 在中，由勾股定理： 由作图知，故． 又，所以， 已知​，则： ​ 解得，因此． 在等腰中， ​． 故答案为：． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. 计算或解不等式组 （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、零次幂、负指数幂、三角函数，再进行实数的混合运算即可； （2）先解出不等式，再取公共部分得出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：解不等式， ， 解得； 解不等式， , ， 解得； 故不等式组的解集为． 15. 为了解某校七年级学生作业时间情况，随机抽取了该校七年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下的统计图． 作业时间分组表（单位：小时） 别 作业时间 人数 频率 A 1≤x≤1.5 5 0.1 B 1.5≤x≤2 20 b C 2≤x≤2.5 m n D x≥2.5 7 0.14 小计 a 1 （1）统计图中的a=______；b=______；m=______；n=______． （2）求出C组的扇形的圆心角度数． （3）如果该校七年级学生共400名，试估计这400名生作业时间在B组和C组的人数共有多少人？ 【答案】（1）50、0.4、18、0.36；（2）C组的扇形的圆心角度数为129.6°；（3）估计这400名生作业时间在B组和C组的人数共有304人． 【解析】 【分析】（1）根据总数、频率、频数之间的关系即可求解； （2）根据C组的扇形的圆心角度数=360°×C组所占的百分比，即可求解； （3）根据这400名学生作业时间在B组和C组的人数=七年级总人数×B组和C组的百分比之和，即可求解． 【详解】（1）a=5÷0.1=50，b=20÷50=0.4，m=50-（5+20+7）=18，n=18÷50=0.36， 故答案为：50、0.4、18、0.36； （2）C组的扇形的圆心角度数为：360°×0.36=129.6°； （3）估计这400名学生作业时间在B组和C组的人数共有：400×（0.4+0.36）=304（人）． 【点睛】本题主要考查频数分布表和扇形统计图，掌握“总数×频率=频数”是解题的关键． 16. 某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长． （参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．） 【答案】1.8米 【解析】 【分析】设PA=PN=x，Rt△APM中求得=1.6x, 在Rt△BPM中，解得x=3，MN=MP-NP=0.6x=1.8. 【详解】在Rt△APN中，∠NAP=45°， ∴PA=PN, 在Rt△APM中，, 设PA=PN=x， ∵∠MAP=58°, ∴=1.6x, 在Rt△BPM中，, ∵∠MBP=31°，AB=5, ∴, ∴ x=3, ∴MN=MP-NP=0.6x=1.8（米）, 答：广告牌的宽MN的长为1.8米． 【点睛】熟练掌握三角函数的定义并能够灵活运用是解题的关键. 17. 如图，是的直径，点C是上一点，过点C作的切线交的延长线于点P，过点A作于点D，连接，弦平分，交于点F，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求圆的直径及线段的长． 【答案】（1） 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）圆的直径为4， 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，而，则可判断，根据平行线的性质得，加上，则，即可得到平分． （2）连接，过点作于点，根据角平分线的定义可证是等腰直角三角形，求得，所以，利用勾股定理可以求出，据此计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点作于点， 平分， ， 是等腰直角三角形， 在中，， ∴， ， ， 在中，，， 设，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 同理可得， ， ． 18. 如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1． （1）求的值； （2）若，求反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）；（3）点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据点M的坐标代入反比例关系：中，可得结论； （2）根据△ACM∽△ADN，得，由CM=1得DN=4，同理得N的坐标，代入反比例函数式中可得k2的值； （3）如图2，点P在x轴的正半轴上时，绕P顺时针旋转到点Q，根据△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，设P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标； 如图3，点P在x轴的负半轴上时； 如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论． 【详解】解：（1）如图1， ∵MC⊥y轴于点C，且CM=1， ∴M的横坐标为1，当x=1时，y=k1+5， ∴M（1，k1+5）， ∵M在反比例函数的图象上， ∴1×（k1+5）=k2， ∴k2﹣k1=5； （2）如图1，过N作ND⊥y轴于D， ∴CM∥DN， ∴△ACM∽△ADN， ∴， ∵CM=1， ∴DN=4，当x=4时，y=4k1+5， ∴N（4，4k1+5）， ∴4（4k1+5）=k2①， 由（1）得：k2﹣k1=5， ∴k1=k2﹣5②， 把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，k2=4， ∴反比例函数的解析式：； （3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上； 如图2，CP=PQ，∠CPQ=90°，过Q作QH⊥x轴于H， 易得：△COP≌△PHQ， ∴CO=PH，OP=QH， 由（2）知：反比例函数的解析式：； 当x=1时，y=4， ∴M（1，4）， ∴OC=PH=4， 设P（x，0）， ∴Q（x+4，x）， 当点Q落在反比例函数的图象上时，x（x+4）=4，x2+4x+4=8，x=﹣2±， 当x=﹣2+时，x+4=2+， 如图2，Q（2+，﹣2+）； 当x=﹣2﹣时，x+4=2﹣，如图3，Q（2﹣，﹣2﹣）； 如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°， 设P（x，0），过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，易得：△CPG≌△PQH， ∴PG=QH=4，CG=PH=x， ∴Q（x﹣4，﹣x）， 同理得：﹣x（x﹣4）=4，解得：x1=x2=2， ∴Q（﹣2，﹣2）， 综上所述，点Q的坐标为（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了含字母系数的两函数关系式的有关问题，与三角形全等和相似相结合，列比例式或点的坐标在函数图象上列等式可解决问题，第三问有难度，画出图形是关键． B卷（共50分） 一．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若整式的值为1，则整式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 20. 若方程的两根是的两条直角边的长，则这个三角形的斜边的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程两根为直角三角形的两条直角边长，根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合勾股定理即可求出斜边的长． 【详解】解：设的两条直角边长分别为，，斜边长为， 方程的两根是两条直角边的长， 由根与系数的关系可得：，， 由勾股定理得： ． 21. 从这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数的图象不经过第一象限的概率为____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，概率公式，一次函数的性质，正确求出分式方程的解是解题的关键． 直接利用分式方程有解的意义以及一次函数图象的性质得出m可能的取值，进而得出答案． 【详解】解：解分式方程得：， ∵方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 又∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴， ∴， 则且， 在这7个数中符合且的有，0，1，2这4个数， ∴使分式方程的解为负数且一次函数图象不过第一象限的概率为， 故答案为：． 22. 由函数和的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有________个． 【答案】6 【解析】 【分析】先联立两个函数方程求交点，确定封闭区域的横坐标范围，找出范围内的整数横坐标，再根据每个整数横坐标确定符合条件的整数纵坐标，最后统计满足条件的点的个数即可． 【详解】解：联立方程得：， ， ， ， ， ， 解得， 封闭区域的横坐标范围， ， ，， 范围内的整数横坐标为和， 当 时，，，满足， 即 ， 整数y的值为0，1，2，共3个， 当时，，，满足， 即 ， 整数y的值为0，1，2，共3个； 综上所述，符合条件的点共有（个）． 【点睛】关于函数问题中相关区域内的整点问题，一般要根据题意先确定横坐标或纵坐标的范围，然后求出该坐标的整数值，再确定另一个坐标的整数值． 23. 已知如图，正方形的边长为8，取边上的中点E，连接，过点B作于点F，连接．过点A作于点H，交于点M，交于点N，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得，，结合边上的中点，，得到，，利用，根据正弦定义解答即可；延长交于点P，利用三角形全等，三角形相似，勾股定理，直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴，， ∵边上的中点，， ∴，， ， ∴， ∴ ∴ 解得， 延长交于点P， ∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价x（元） 75 82 日销售量y（件） 150 80 日销售利润w（元） 5250 3360 （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式． （2）求该商品日销售利润的最大值． （3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值． 【答案】（1） （2）该商品日销售利润的最大值为6250元 （3） 【解析】 【分析】（1）先设y关于x的函数关系式为，然后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出w的解析式，再根据抛物线的图像和性质作答即可； （3）设利润为元，根据题意得的解析式，再求出对称轴，再根据抛物线的图像和性质作答即可． 【小问1详解】 解：设日销售量（件）与销售单价（元）之间满足的一次函数解析式为，把，代入得：， 解得：，， 解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得该商品的成本单价是 元． ， ， 当时，最大，最大值为， 答：该商品日销售利润的最大值为元； 【小问3详解】 解：设利润为元，根据题意可得： ， 对称轴为． ∵销售单价不低于68元，即， ∵日销售量， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴，且开口向下， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值为6600， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=- x2 + 4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1，1). (1)求线段AB的长. (2)点P为线段AB.上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当PBE的面积最大时，求PH + HF + FO的最小值. (3)在(2)中，PH+HF+方FO取得最小值时，将CFH绕点C顺时针旋转60°后得到CF'H'，过点F'作CF'的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) AB=2；(2) ；(3) (-1，3-)或( -1，3 + )或( -1，8)或(5，3). 【解析】 【分析】（1）求出A、B两点坐标，即可解决问题； 【详解】（2）如图1中，设P（m，-m2+4m），作PN∥y轴交BE于N．构建二次函数利用二次函数的性质求出满足条件的点P坐标，作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，因为FK=OF，推出PH+HF+FO=PH+FH+Fk=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小，解直角三角形即可解决问题； （3）分两种情形分别求解即可.解：（1）由题意A（1，3），B（3，3）， ∴AB=2； （2）如图1中， 设P（m，-m2+4m），作PN∥y轴交BE于N． ∵直线BE的解析式为y=x， ∴N（m，m）， ∴S△PEB=×2×（-m2+3m）=-m2+3m， ∴当m=时，△PEB的面积最大，此时P（，），H（，3）， ∴PH=-3=， 作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F， ∵FK=OF， ∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小， ∵•HG•OC=•OG•HK， ∴HK= ， ∴PH+HF+OF的最小值为． （3）如图2中，由题意CH=，CF=，QF′=，CQ=1， ∴Q（-1，3），D（2，4），DQ=， ①当DQ为菱形的边时，S1（-1，3-），S2（-1，3+），S4（5，3） ②当DQ为对角线时，可得S3（-1，8）， 综上所述，满足条件的点S坐标为（-1，3-）或（-1，3+）或（-1，8）或（5，3）． 【点睛】本题考查二次函数综合题、最短问题、菱形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，根据垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 26. 【背景】如图1，在中，，过点A的直线，点D是直线上的一动点，将射线绕着点D逆时针旋转，交线段于点P，使，试说明：．小丽提出了自己的想法：如图②，在线段上取一点F，使，通过证明可以解决问题． （1）【尝试】①请你帮助小丽完成说理过程． ②若，，，求的长． （2）【拓展】如图3，过点A的直线，，，点D是直线上一点，点P是线段上的一点，连接，使得，求的值． 【答案】（1） ①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． ②4 （2） 【解析】 【分析】（1）①先得出，，再证出即可得证； ②先得出，再证出，求出的长，则求出的长即可； （2）作，交于点，设交于点，先证出，，则可得，即，代入计算即可． 【小问1详解】 解：① 略 ②由上已得：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，作，交于点，设交于点， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $