四川省成都市温江区王府外国语学校2025-2026学年九年级下学期阶段数学试卷（3月份）

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2025-2026学年四川省成都市温江区王府外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 1.时光流转，我们共同迎来年的学习生活，愿同学们在知识的陪伴下，脚踏实地，努力前行现在，让我们从数学的视角开启这一年：的相反数是(    ) A. B. C. D. 2.“月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为(    ) A. B. C. D. 3.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.杜牧在清明一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是(    ) A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 5.当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这种人工智能软件的人数分别为：，，，，，则这组数据的中位数是(    ) A. B. C. D. 6.四元玉鉴是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，道是醇醨酒二盆醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒升醉了位客人，薄酒升醉了位客人，现在好酒和薄酒一共饮了升，醉了位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在▱中，于点，于点若，，且▱的周长为，则▱的面积为(    ) A. B. C. D. 8.如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是(    ) A. B. 当时，的值随着的值增大而减小 C. 点的坐标为 D. 9.分解因式： ______． 10.在电压不变的情况下，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系当时，则电流与电阻之间的函数表达式为        ． 11.方程的解是          ． 12.如图，半圆的直径为，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为        ． 13.如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交边于点若，，，则的长为          ． 14.计算：； 解不等式组：． 15.党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性，为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动，活动设置了四个爱心项目：为家人做早饭，洗碗，打扫家，洗衣服要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题： 本次接受抽样调查的总人数是______人； 请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整； 该校参加活动的学生共人，请估计该校参加项目的学生有______人； 小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影热辣滚烫、飞驰人生、第二十条、熊出没之逆转时空依次记为、、、都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片除序号和内容外，其余完全相同背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“热辣滚烫”和“法飞驰人生”的概率． 16.如图所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，在同一条直线上请解答下列问题： 求灯管支架底部距地面高度的长结果保留根号； 求灯管支架的长度结果精确到，参考数据： 17.如图，为的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接，． 求证：； 当时，求； 若平分，交于点，，求半径． 18.模型学习： 如图，，，，垂足分别为、、，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“型图”；易得∽． 模型应用： 如图，已知在四边形中，，，，，，若以为直径的圆与边相交于点，则的长为______． 模型拓展： 如图，在平面直角坐标系中，直线：与、轴分别相交于点、，将直线绕点逆时针旋转后得到直线，求直线的函数关系式． 模型延伸： 如图，反比例函数的图象经过点，在的右侧该图象上找一点，使，求点的坐标． 19.如图，已知≌，点恰好在边上，若，则的度数为            ． 20.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是          ． 21.如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ______． 22.以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”如图，在中，，，此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”如图，在等腰三角形中，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形则       ． 23.分子为的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：将拆分成两个不同单位分数相加的形式为      ；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为      ． 24.小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买支百合和支康乃馨共需花费元，支康乃馨的价格比支百合的价格多元． 求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ 小美准备买康乃馨和百合共支，且康乃馨不多于支，设买康乃馨支，买这束鲜花所需总费用为元． 求与之间的函数关系式； 请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 25.已知：抛物线经过点和点，与轴交于另一点． 求抛物线的解析式； 点为第四象限内抛物线上的点，连接，，设点的横坐标为． 如图，当时，求的值； 如图，连接，过点作轴的垂线，垂足为点过点作的垂线，与射线交于点，与轴交于点当时，求的值． 26.在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】 如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】 如图，，，，求的值； 【拓展延伸】 如图，与交于点，，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：的相反数是． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：根据图形可知，“月壤砖”的左视图为：． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：清明时节雨纷纷，是随机事件，  故选：． 5.【答案】  【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，， 所以这组数据的中位数为， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：好酒和薄酒一共饮了升，  ；  好酒升醉了位客人，薄酒升醉了位客人，且共醉了位客人，    根据题意可列方程组  故选：． 7.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ，， ▱的周长为， ， ， ，， ▱， ，， ， 即， ， 解得， ▱， 故选：． 由平行四边形的性质得，，由▱的周长为，求得，而，，，，则▱，所以，则，求得，▱． 8.【答案】  【解析】解：抛物线开口向上， ，故A错误； 开口向上，对称轴是直线， 当时，的值随着的值增大而增大，故B错误． ，对称轴是直线， ，故C错误． 结合，，抛物线开口向上， 当时，． D正确． 故选：． 抛物线开口向上则，即可判断；又，对称轴是直线，从而当时，的值随着的值增大而增大，故可判断；又，对称轴是直线，则，故可判断；结合，，抛物线开口向上，从而当时，，进而可以判断． 9.【答案】  【解析】解： ． 故答案为． 10.【答案】  【解析】解：设电流与电阻之间的函数表达式为，  当时，，代入得， 解得， 当时，，则电流与电阻之间的函数表达式为． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故答案为： 12.【答案】  【解析】解：由已知可得，，，， 是等腰直角三角形，， 弓形的面积， 阴影部分的面积． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】 设交于点，连接，由作图可知是线段的垂直平分线，即得 ，由等腰三角形的性质可得，从而根据三角形的外角性质求得，进而在中由勾股定理可求得，最后根据线段的和差即可求得的长． 【解答】 解：如图，设交于点，连接． 由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 14.【答案】解：原式 ； 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为．  15.【答案】；  见解答；  ； ．  【解析】解：组人，占百分比为， 接受抽样调查的总人数是：人， 故答案为：； 组人数为：人， 组人数所占百分比为：， 补全统计图如下： 人， 估计该校参加项目的学生有人； 故答案为：； 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“热辣滚烫”和“飞驰人生”的有种可能的结果， 两张卡片恰好是“热辣滚烫”和“飞驰人生”． 用组或组的人数除以它们所占的百分比即可； 先求出组人数和组所占百分比，再补全统计图即可； 将组所占百分比乘以参加活动的学生总数即可； 用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片恰好是“热辣滚烫”和“飞驰人生”的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可． 16.【答案】解：在中，，， ， 灯管支架底部距地面高度的长为． 如图所示，延长交于点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， 在中， ， ， 灯管支架的长度约为．  【解析】在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解； 如图所示，延长交于点，可得是等边三角形，再计算出的长度，在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解． 17.【答案】证明：如图，连接， 是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ； ， 设，， ， ， ，， ∽， ， ； 如图，过点作，交的延长线于， 平分， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 半径为．  18.【答案】或  【解析】解：模型应用：如图中，设． 是的直径， ， ，， ∽， ， ， 解得或， 或． 故答案为或． 模型拓展：如图中，过点作直线于，过点作则于，交的延长线于． 与、轴分别相交于点、， ，， ，， ，， ∽， ， ， ， ，， ≌， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 直线的解析式为． 模型延伸：如图中，当时，过点作于，作轴于，作交的延长线于设， ， 由∽，得到， ，， ，， ， ， 解得， 可得， 直线的解析式为， 由，解得，或， 点在第一象限， 模型应用：利用模型中的结论，设，根据相似三角形的性质构建方程求解即可． 模型拓展：如图中，过点作直线于，过点作则于，交的延长线于构建模型解决问题，求出点的坐标即可解决问题． 模型延伸：如图中，当时，过点作于，作轴于，作交的延长线于设，利用模型的结论，构造全等三角形解决问题即可． 19.【答案】  【解析】解：≌，  ，，，  ，  ，  ，    故答案为：． 20.【答案】  【解析】解：设直角三角形两条直角边分别为、，斜边为， 直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， ， 即，， 斜边， 故答案为：． 21.【答案】  【解析】解：作，，如图：    设的半径为，  是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，  ，、是等腰直角三角形，  ，，  ，，  这个点取在阴影部分的概率是，  故答案为：． 22.【答案】或或．  【解析】解：第一种情况：若，时，； 第二种情况：若，时， ， 作于点，作于点， 设，则， 则有， 解得， ，， ， ， ， ； 第三种情况：若，时，如图， ， ∽， ，即， ； 综上所述：满足条件时，或或． 故答案为：或或． 23.【答案】   【解析】解：， ， ， ， ． 故答案为：；． 24.【答案】解：设买一支康乃馨需元，买一支百合需元， 则根据题意得：， 解得：， 答：买一支康乃馨需元，买一支百合需元； 根据题意得：； 康乃馨不多于支， ， ， 随的增大而减小， 当时，最小， 即买支康乃馨，买支百合费用最少，元， 答：与之间的函数关系式：，买支康乃馨，买支百合费用最少，最少费用为元．  25.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为； 过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ， 故设，则，故点的坐标为， 将点的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故点的坐标为， 则； 由点、的坐标得，直线的表达式为， ，故设直线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 故直线的表达式为， 当时，，故点的坐标为， ， ， 故，即， 解得舍去或， 经检验是方程的根， ．  【解析】用待定系数法即可求解； 证明，则，求出点的坐标为，进而求解； 求出点的坐标为，由，即可求解． 26.【答案】；  ；  ．  【解析】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， ； 过点作于点，过点作交延长线于点，连接，，则， ， ， ， ， ≌， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，都是等腰直角三角形， ， ∽， ； 延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于， 不妨设，，则，由，得， 由， ，， ，， ，， ∽， ，， ， ，， ， ∽，相似比为：， ， ， ∽， ． 证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； 过点作于点，过点作交延长线于点，连接，，证明，都是等腰直角三角形，则，证明∽，即可得到答案； 延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $