期中培优：勾股定理与动态几何问题综合讲义-2025-2026学年 人教版八年级数学下册

期中培优：勾股定理与动态几何问题综合讲义 期中培优：勾股定理与动态几何问题综合讲义 知识点解析 一、核心原理 依托勾股定理（直角三角形三边等量关系），结合动态几何中动点、动线、动形的位置变化规律，用参数表示动态线段长度，锁定变化过程中始终存在的直角三角形，通过勾股定理建立参数方程，求解线段长、动点坐标、最值或取值范围，本质是动中找静，锁定直角三角形；以参表动，勾股建方程求解。 二、通用解题思路 1. 动中找静，定直角三角形：分析动态元素（动点/动线）的运动轨迹、范围，找到变化过程中始终垂直的边（如坐标轴、矩形直角、垂线），锁定核心直角三角形（可多个，随动态位置变化）； 1. 设参表动，标三边长度：设核心参数（如动点移动的距离、线段长），结合几何性质（全等、平行、折叠、中点等），用参数表示直角三角形的三条边（已知边直接标，未知边用参数式表示）； 1. 勾股建方程，化繁为简：将直角三角形三边代入勾股定理，列出含参数的方程，化简为常见的方程； 1. 求解验范围，答目标量：解方程求参数值，结合动态元素的运动范围验证解的合理性（舍去增解），再根据参数求线段长、坐标、最值等目标量。 三、核心技巧与注意事项 1. 直角锁定是关键：无现成直角时，结合几何条件（垂直、勾股逆定理）构造直角三角形，或利用坐标系中横纵轴垂直快速建直角； 1. 参数单一化：用一个参数表示所有相关动态线段，避免多变量复杂计算，参数范围需严格匹配运动轨迹（如线段上动点参数且线段总长）； 1. 分类讨论动位置：动态元素运动到不同位置时，直角三角形的构成可能变化（如斜边、直角边互换），需按位置分类列勾股方程； 1. 验解必做：求解后验证参数是否在运动范围内，线段长是否为正，避免不符合几何实际的解。 例题分析 例1．（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点运动秒后，求的周长； (2)当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 例2．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)当点在线段上运动时，用的代数式表示的长度为；___________；当点在线段上运动时，用的代数式表示的长度为___________； (2)如图，当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； (3)点在线段上运动时，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 例3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时． 出发几秒后，是等腰三角形？ 能否把的周长平分？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (3)当点在边上运动时，若是等腰三角形，求满足条件的的值． 例4．（24-25八年级下·吉林·月考）如图，已知中，，，，M，N是边上的两个动点，其中点N从点A开始沿方向运动，且速度为，点M从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为ts． (1)出发2s后，求的长． (2)当点M在边上运动时，________，________；当点M在边上运动时，________，________． (3)当点在边上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形？ (4)当点在边上运动时，直接写出能使成为直角三角形的t的值． 变式训练 变式1．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，过点A作交于点D，．动点P从点B出发（点P不与点A、点D重合），沿折线向终点D运动，在边上运动时速度为每秒1个单位长度，在边上运动时速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒（）． (1)线段的长为 ；当点P在边上运动时 （用含t的式子表示）； (2)当时， ________； ； (3)若点P运动到的角平分线上时，直接写出线段的长 ； (4)在整个运动过程中，当与的一边垂直时，直接写出此时t的值． 变式2．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 变式3．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点P运动2秒后，求的周长； (2)当动点P在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ (3)另一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 变式4．（25-26八年级上·山东聊城·期末）【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着极其广泛的应用．它架起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，． 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动_____秒时．． 【类比分析】 （2）如图2，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点运动，连接，当点运动_____秒时．点在的平分线上． 【学以致用】 （3）如图3，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动．设运动的时间为． ①当为以为腰的等腰三角形时．求t的值； ②当为直角三角形时，直接写出的值． 实战演练 1．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿的方向运动，到点C停止运动，且点P运动速度为，设运动时间为． (1)________； (2)连接，当平分时，求t的值； (3)当点P在边上时，若，求t的值； (4)若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，直接写出的长． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示） (2)如图①当t为多少时，的面积等于； (3)如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：勾股定理与动态几何问题综合讲义 期中培优：勾股定理与动态几何问题综合讲义 知识点解析 一、核心原理 依托勾股定理（直角三角形三边等量关系），结合动态几何中动点、动线、动形的位置变化规律，用参数表示动态线段长度，锁定变化过程中始终存在的直角三角形，通过勾股定理建立参数方程，求解线段长、动点坐标、最值或取值范围，本质是动中找静，锁定直角三角形；以参表动，勾股建方程求解。 二、通用解题思路 1. 动中找静，定直角三角形：分析动态元素（动点/动线）的运动轨迹、范围，找到变化过程中始终垂直的边（如坐标轴、矩形直角、垂线），锁定核心直角三角形（可多个，随动态位置变化）； 1. 设参表动，标三边长度：设核心参数（如动点移动的距离、线段长），结合几何性质（全等、平行、折叠、中点等），用参数表示直角三角形的三条边（已知边直接标，未知边用参数式表示）； 1. 勾股建方程，化繁为简：将直角三角形三边代入勾股定理，列出含参数的方程，化简为常见的方程； 1. 求解验范围，答目标量：解方程求参数值，结合动态元素的运动范围验证解的合理性（舍去增解），再根据参数求线段长、坐标、最值等目标量。 三、核心技巧与注意事项 1. 直角锁定是关键：无现成直角时，结合几何条件（垂直、勾股逆定理）构造直角三角形，或利用坐标系中横纵轴垂直快速建直角； 1. 参数单一化：用一个参数表示所有相关动态线段，避免多变量复杂计算，参数范围需严格匹配运动轨迹（如线段上动点参数且线段总长）； 1. 分类讨论动位置：动态元素运动到不同位置时，直角三角形的构成可能变化（如斜边、直角边互换），需按位置分类列勾股方程； 1. 验解必做：求解后验证参数是否在运动范围内，线段长是否为正，避免不符合几何实际的解。 例题分析 例1．（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点运动秒后，求的周长； (2)当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由勾股定理得，进而当动点运动秒后可得，，再利用勾股定理求出即可求解； （）利用三角形的面积求出，再利用勾股定理求出，进而用点运动的路程除以速度即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发秒后，，， ， ， ∴的周长为； （2）解：当点在上，时，为直角三角形， ∴， 即， 解得， ， ， ； 时，为直角三角形． 例2．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)当点在线段上运动时，用的代数式表示的长度为；___________；当点在线段上运动时，用的代数式表示的长度为___________； (2)如图，当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； (3)点在线段上运动时，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或19或20 【分析】对于（1），先根据勾股定理求出，再结合；可得答案； 对于（2），先作，根据“斜边直角边”证明，可得，进而表示，，再根据勾股定理得，列出方程求出解即可； 对于（3），分三种情况：当时，点P在的垂直平分线上，作，再说明，可得，进而得出方程，求出解； 当时，直接得出方程求出解即可； 当时，作，可得，再根据面积相等求出，然后根据勾股定理求出，即可求出，进而得出答案. 【详解】（1）解：在中，， ∴. 当点P在上运动时，； 当点P在上运动时，； 故答案为：； （2）解：当点P在的平分线上时，过点P作于点E， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴，. 在中，， ∴， 解得； （3）解：点P在上时，， 当时，点P在的垂直平分线上，过点P作于点E， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 当时， 即， 解得； 当时，过点C作于点F，如图， ∴. ∵， ∴. 在中，， ∴， ∴. 所以当或19或20秒时，. 例3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上运动时． 出发几秒后，是等腰三角形？ 能否把的周长平分？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (3)当点在边上运动时，若是等腰三角形，求满足条件的的值． 【答案】(1) (2)秒；不能，见解析； (3)秒或秒或秒． 【分析】（）根据题意即可用表示出； （）结合（），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； 当在上，，根据题意得，，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可； （）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分，，三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值； 本题考查了列代数式，等腰三角形的性质，勾股定理，方程思想及分类讨论思想等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：当点在边上运动，，，为等腰三角形时， 即，解得， ∴出发秒后，是等腰三角形； 当在上，则，如图， 则，， ∴，， ∵把的周长平分， ∴， 解得：，舍去（不符合取值范围）， ∴点在边上运动时，不能把的周长平分； （3）解：∵，，， ∴， 当时，如图所示， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 当时，如图所示， 则， ∴（秒）， 当时，如图所示， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：当为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 例4．（24-25八年级下·吉林·月考）如图，已知中，，，，M，N是边上的两个动点，其中点N从点A开始沿方向运动，且速度为，点M从点B开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为ts． (1)出发2s后，求的长． (2)当点M在边上运动时，________，________；当点M在边上运动时，________，________． (3)当点在边上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形？ (4)当点在边上运动时，直接写出能使成为直角三角形的t的值． 【答案】(1)； (2)；；；； (3)； (4)或． 【分析】（1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度. （2）根据题意，用代数式表示即可； （3）用分别表示出和长度，利用是等腰三角形，可得到，从而得到关于的方程，即可求出答案. （4）用表示出长度，分两种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1）解：当时，，. ， ， 在中，由勾股定理可得，. 故答案为：； （2）解：当点M在边上运动时，，； 当点M在边上运动时，，； （3）解：由题意可知设出发秒，是等腰三角形，则，， 又， ， 当为等腰三角形时，则有， ， 解得； （4）解：在中，由勾股定理可求得， 当点在上运动时，， 过作于点， 在中，，求得. 当点与点重合时，为直角三角形， 在中， 由勾股定理可得，即， 解得（负值已舍）； 当点与点重合时，为直角三角形， ∴， 解得， 综上，能使成为直角三角形的t的值为或． 变式训练 变式1．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，过点A作交于点D，．动点P从点B出发（点P不与点A、点D重合），沿折线向终点D运动，在边上运动时速度为每秒1个单位长度，在边上运动时速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒（）． (1)线段的长为 ；当点P在边上运动时 （用含t的式子表示）； (2)当时， ________； ； (3)若点P运动到的角平分线上时，直接写出线段的长 ； (4)在整个运动过程中，当与的一边垂直时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)3 (4)当或时，与的一边垂直 【分析】（1）根据勾股定理先求出，再求出，然后根据勾股定理求出；当点P在边上运动时用t表示出即可； （2）过点D作于点P，利用等积法求出即可，根据勾股定理求出即可得出答案； （3）作的平分线，交于点P，过点P作于点E，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案； （4）过点C作于点P，交于点E，，得出，即可求出此时；证明，得出，利用角平分线的判定定理结合（3）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：∵, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在边上运动时速度为每秒1个单位长度， ∴点P运动到点A的时间为10秒， ∵在边上运动时速度为每秒2个单位长度， ∴当点P在边上运动时． 故答案为：；； （2）解：过点D作于点P，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∴． 故答案为：；； （3）解：作的平分线交于点P，过点P作于点E，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， 故答案为：3； （4）解：过点C作于点P，交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 此时； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点E在的角平分线上， ∴由（3）可知， ∴， 当点P运动到点E时，也满足，此时； 综上分析可知，当或时，与的一边垂直． 变式2．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【答案】(1)①，；②秒 (2)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在性问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）①根据题意列代数式即可解答；②当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （2）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，； 故答案为：，； ②，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （2）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 变式3．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点P运动2秒后，求的周长； (2)当动点P在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ (3)另一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1)； (2)或； (3)2秒或6秒． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积计算、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理求出的长，由题意得出，，再由勾股定理求出的长，即可得解； （2）分两种情况：当点在上运动时，为直角三角形；当P点在上时，时，为直角三角形，分别求解即可； （3）分两种情况：当P点在上，Q点在上时；当P点在上，Q点在上时；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， 由，，， 由勾股定理得：， 动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，，， ， ， 的周长为：； （2）解：，动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴当点在上运动时，为直角三角形， ， 当P点在上时，时，为直角三角形， ， ， 解得：， ， ， 点P的速度为每秒， ， 综上所述：当或时，为直角三角形； （3）解：当P点在上，Q点在上时，则，， ，直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 当P点在上，Q点在上时，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当t为2秒或6秒时直线把的周长分成相等的两部分． 变式4．（25-26八年级上·山东聊城·期末）【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着极其广泛的应用．它架起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，． 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动_____秒时．． 【类比分析】 （2）如图2，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点运动，连接，当点运动_____秒时．点在的平分线上． 【学以致用】 （3）如图3，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动．设运动的时间为． ①当为以为腰的等腰三角形时．求t的值； ②当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①当为以为腰的等腰三角形时，的值为5或；②当为直角三角形时，的值为或3． 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）利用勾股定理结合角平分线的性质列式计算即可求解； （3）①分两种情况讨论，当时，当时，分别列式计算即可求解；②分两种情况讨论，当时，当时，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴点运动秒时，． 故答案为：； （2）如图，作， ∵点P恰好在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由题意得，， 由勾股定理得， 解得； ∴的值为． （3）①当时，则， 解得； 当时， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 综上，当为以为腰的等腰三角形时，的值为5或； ②当，，， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴， 即， 解得； 当，则P与C重合，则， 解得； 综上，当为直角三角形时，的值为或3． 实战演练 1．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿的方向运动，到点C停止运动，且点P运动速度为，设运动时间为． (1)________； (2)连接，当平分时，求t的值； (3)当点P在边上时，若，求t的值； (4)若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据勾股定理，可以求出的长； （2）过点作于点，根据平分，得，推出，得，根据，求出的值，即可得出根据点运动速度为，即可求出； （3）过点作，根据等积法求出，根据勾股定理结合图形求出，得出，最后求出结果即可． （4）若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，可得，设，列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：过点作于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵当运动到边时，， 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴点的运动距离为： ， ∴． （4）解：若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，如图所示： ①当点M与点重合时，，； ②当时，设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：的值为或． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·月考）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示） (2)如图①当t为多少时，的面积等于； (3)如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 【答案】(1)； (2)或 (3)点的运动速度为或或或 【分析】（1）根据点P的运动速度求出，即可； （2）分两种情况：当点P在上时，当点P在上时，分别画出图形，根据三角形面积公式，列出方程，求出结果即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当P运动在边上时，；当P运动在边上时，． （2）解：当点P在上时，如图所示： ， 解得：； 当点P在上时，如图所示： ， 解得：； 综上分析可知：当或时，的面积等于； （3）解：设点的运动速度为， ∵点在边上，点在边上， ∴ ∴， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； ④当点在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； ∴点的运动速度为或或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $