专题05 多几何模型综合压轴（期中复习讲义，4难点题型+分层验收）（期中大串讲）八年级数学下学期新教材人教版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05多几何模型综合压轴（期中复习讲义） 内容导航 明期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01特殊平行四边形+折叠+全等三角形 题型02正方形+十字架+三垂直全等 题型03中点四边形+特殊平行四边形 题型04特殊平行四边形+旋转模型+全等三角形 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 折叠+特殊平行四边形 重点：拆解模型、构造辅助线，突破中 易错综合 正方形十字架+全等 档题； 难点压轴 中点相关综合 难点：掌握十字架模型，旋转模型，突 衔接常考 旋转模型 破压轴题，提升应变能力 侧重正方形、矩形难点综合 记·必备知识 局知识点01折叠/平移模型+特殊平行四边形 核心联动点：折叠（平移）前后“图形全等、对应边相等、对应角相等”，结合矩形、菱形、正方形的性 质，利用勾股定理求线段长度，重点关注折叠后隐藏的等腰三角形、直角三角形，常与全等三角形结 合拆解条件。 ®知识点02正方形十字架模型+全等三角形 核心联动点：正方形内部两条互相垂直的线段（十字架)，通过平移线段构造三垂直全等三角形，证 明线段相等，再结合勾股定理、正方形性质，解决线段长度、角度探究问题，是期中压轴题高频考法。 局知识点03中点相关综合 核心联动点：结合三角形中位线、倍长中线模型，搭配平行四边形、矩形性质，构造全等三角形，解 1/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 决线段中点、线段和差、面积相关问题，常出现于几何探究题中。 局知识点04旋转模型+全等三角形 核心联动点：旋转与全等三角形结合（常构造旋转型全等，如手拉手模型），通过旋转转化边角关系； 考查重点：利用旋转性质证明线段相等、角相等，或结合勾股定理求线段长度，多作为压轴题的核心模型。 破·重难题型 题型一 特殊平行四边形+折叠+全等三角形 解|题|技|巧 !折叠问题优先找“对应边、对应角相等”，菱形综合题紧扣“对角线垂直平分”，结合全等三角形和 !中位线定理，快速求解线段长度，避免遗漏折叠后的垂直关系。 【例1-1】(24-25八年级下·福建福州·期中)综合与实践： 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着 丰富的数学知识. E G ① ② ④ (1)折一折、探究证明： 如图①：把边长为8的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF, 如图②：将正方形纸片ABCD沿经过点A的直线折叠，使点D落在EF上的点N处，展开后连接AN, DN, 在图②中，请判断△AWD的形状并求线段F的长度，请说明理由； (2)折一折，类比探究：如图③：将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在点F处，折痕与CD边 交于点M,与AB边交于点N,展开后连接DF,在图③中，请猜想线段DF与线段MN之间的关系，请 说明理由； (3)折一折、探究计算：如图④：将边长为8的正方形纸片ABCD沿经过点A的直线AM折叠，使点D落在 正方形纸片ABCD内部的点N处，折痕与CD边交于点M,展开后延长MN交BC于点G,若DM=2,则 CG的长度为 2/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：△AWD是等边三角形，理由如下； 由第一次折叠知，EF是AD的垂直平分线， ..AN DN, 由第二次折叠知，AD=AN, ..AN DN=AN, “△AND是等边三角形， 由第一次折叠可得AE=DE=AD=}x8=4, 2 AN AD=8, 在Rt△AEN中，EN=VAW2-AE2=V82-4=4V5, ~在正方形ABCD中，∠DAB=∠B=90°，又EF⊥AD, 四边形ABFE是矩形， ..EF=AB=8, “NF=EF-EN=8-4v5. (2)解：DF⊥MN且DF=MN,理由如下： 折叠使点D落在点F处，MN是折痕， MN⊥DF. 过点N作NH⊥DC于点H,设M与DF交于点O, B ③ ∴.∠NM=90°， 在正方形ABCD中，∠BCD=90°， ∠NHM=∠DCF, MN⊥DF,即∠DOM=90°， ∴.∠ODM+∠DMO=90°， ∠CDF+∠CFD=180°-∠DCF=90°， 3/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠NMH=∠DFC, 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°， 又NH⊥DC, 四边形ADN是矩形， ..NH AD=CD, ·△NHM≌aDCF(AAS), ∴NM=DF. (3)解：连接AG, D M B 由折叠性质可知，AD=AN=8,MN=DM=2,∠ANM=∠D=90°， ..MC=DC-DM=8-2=6,AN=AB, ∠ANG=180°-∠ANM=90°=∠B, 在Rt△ABG和Rt△ANG中， AG=AG AB=AN' :Rt△ABG≌Rt&ANG(HL), .BG=NG, 设CG=x,则BG=BC-CG=8-x, ..NG=BG=8-x, MG=MN+NG=2+8-x=10-x, 在Rt△MCG中，CG2+MC2=MG2, +6=10-,解得x5 CG=16 酸答案为：9 【例1-2】(24-25八年级下江苏扬州期中)【阅读理解】矩形纸片ABCD中，点E为边AB上一点，将△ADE 4/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 沿DE折叠至△FDE,延长DF与直线BC交于点G. D G (1)【操作尝试】若AB=12,AE=6且点F落在DC边上，则矩形ABCD的面积为 (2)【理解探究】若AB=I2,AE=6且点F落在矩形内部，点G在BC边上，如图，已知BG=4,请求出矩 形ABCD的面积： (3)【探究拓展】若AB=12,AE=4且BG=4,直接写出矩形ABCD的面积. 【详解】(1)解：~四边形ABCD是矩形， 图1 ∠A=∠ADC=90°， ~点F落在DC边上， 由折叠得：EF=AE=6,∠EFD=∠A=90°，∠ADE=∠EDF=45°， ∴△AED是等腰直角三角形， .AD=AE=6, 矩形ABCD的面积=AB·AD=12×6=72; 故答案为：72； (2)解：如图2，连接EG, 5/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B G C 图2 AB=12,AE=6, BE=6, ×EF=6, ..BE EF, EG=EG, RtAEBG≌RUAEFG(HL), ∴FG=BG=4, 设AD=x,则CG=x-4, 由勾股定理得：DG=CG+DC2, (x+4)=（x-4)+122, x=9, AD=9, 矩形ABCD的面积=AB·AD=12×9=108; (3)解：分两种情况： ①如图3，点G在点B的右侧，连接EG, D B C(G) 图3 BE=12-4=8,BG=4,∠B=90°， EG=V82+4=45, 6/105 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FG=EG-EF=45-4=8, 设AD=a,则AD=DF=a, 在Rt△DCG中，DG=DC2+CG, (a+8)2=122+(a-4)2, a=4, 此时点G与C重合， 矩形ABCD的面积=AB·AD=12×4=48; ②如图4，点G在点B的左侧，连接EG, F G B 图4 同理EG=V82+4=4V5, .FG=VEG-EF(45)-4-8, 设AD=a,则AD=DF=a, 在Rt△DCG中，DG=DC2+CG, (a+8)=122+(a+4), a=12, 矩形ABCD的面积=AB·AD=12×12=144 综上，矩形ABCD的面积是48或144 【例1-3】(24-25八年级下·福建福州期中)平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,点F在线 段AE上，连接BF,AC, B 图1 图2 图3 7/105 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，已知AB L AC,点E为BC中点，BF⊥AE.若AE=5,BF=2V6,求AF的长度. (2)如图2，已知AB=AE,∠BFE=∠BAC,将射线AE沿AC翻折交CD于H,过点C作CG⊥AC交AH延 长线于点G.若∠ACB=45°，请写出线段AF,AE,AG的数量关系并说明理由， (3)如图3，已知AB⊥AC,若∠ACB=30°，AB=4,请直接写出AF+BF+CF的最小值. 【详解】(1)解：~ABL AC, ∠BAC=90°， E为BC的中点，AE=5, ∴AE=BE=EC=5, BF⊥AE, ∴.∠BFE=90°， 在Rt△BEF中，EF=VBE2-BF2=5-(26)=1, ..AF=AE-EF=4; (2)证明：AG=AE+AF,理由如下： 如图2，设射线AE与射线GC交于点M, H G B M 图2 由题可设∠CAM=∠CAG=a, AC⊥CG, ∴.∠ACM=∠ACG=90°， .∠AMG=∠AGM=90°-o, ..AM=AG, ∠BFE=∠BAC, ∴∠ABF+∠BAE=∠CAM+∠BAE, ∴.∠ABF=∠CAM=, 8/105 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AE, ∴.∠ABE=∠AEB, ∴∠ABF+∠FBE=∠ACB+∠CAM, ~∠ABF=∠CAM=a,∠ACB=45°， ∠☑FBE=∠ACB=45°， 延长BF交AC于N, ∴BN=CN,∠BNC=∠ANF=90°， 过E作EP⊥AC于P, 则∠APE=∠BNA=90°， 在△ABN与△EAP中， ∠BNA=∠APE ∠ABN=∠EAP, AB=EA △ABN≌△EAP(AAS), .AN EP, 过E作EQ⊥CM于Q, ÷∠EQC=∠ACM=∠EPC=90°， 四边形EQCP为矩形， ∠BCM=90°-∠ACB=45°， ∴.∠BCM=∠ACB, ..EP =EO=AN, 矩形EQCP为正方形， :EQ∥AC, ·MEQ=∠FAN, 在△MEQ与△FAN中， '∠MEQ=∠FAN EQ=AN, ∠EQM=∠ANF △EQM≌△ANF(ASA), 9/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..AF=EM, .AM=AE+EM, :.AG=AE+AF; (3)解：如图3，把AC绕点A逆时针旋转60°得到AN,得到等边△4CN,同理以AF为边构造等边 △AFM, 文M 图3 ∴AF=AM=FM,AC=AN=CN,∠FAM=∠CAN=60°， ·∠FAM-∠MAC=∠CAN-∠MAC, ·∠CAF=∠NAM, 在△AFC与△AMN中， AF=AM ∠CAF=∠NAM, AC=AN △AFC≌△AMN(SAS), ∴CF=MN, ..AF BF+CF BF+FM+MN, 当B,F,M,N四点共线时，AF+BF+CF最小， 即为线段BN的长度，如图4， 图4 过N作WT⊥BA交其延长线于T, 10/105 专题05 多几何模型综合压轴（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 特殊平行四边形+折叠+全等三角形 题型02 正方形+十字架+三垂直全等 题型03 中点四边形+特殊平行四边形 题型04 特殊平行四边形+旋转模型+全等三角形 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 折叠+特殊平行四边形 重点：拆解模型、构造辅助线，突破中档题； 难点：掌握十字架模型，旋转模型，突破压轴题，提升应变能力 易错综合 正方形十字架+全等 难点压轴 中点相关综合 衔接常考 旋转模型 侧重正方形、矩形难点综合 知识点01 折叠/平移模型+特殊平行四边形 核心联动点：折叠（平移）前后“图形全等、对应边相等、对应角相等”，结合矩形、菱形、正方形的性质，利用勾股定理求线段长度，重点关注折叠后隐藏的等腰三角形、直角三角形，常与全等三角形结合拆解条件。 知识点02 正方形十字架模型+全等三角形 核心联动点：正方形内部两条互相垂直的线段（十字架），通过平移线段构造三垂直全等三角形，证明线段相等，再结合勾股定理、正方形性质，解决线段长度、角度探究问题，是期中压轴题高频考法。 知识点03 中点相关综合 核心联动点：结合三角形中位线、倍长中线模型，搭配平行四边形、矩形性质，构造全等三角形，解决线段中点、线段和差、面积相关问题，常出现于几何探究题中。 知识点04 旋转模型+全等三角形 核心联动点：旋转与全等三角形结合（常构造旋转型全等，如手拉手模型），通过旋转转化边角关系； 考查重点：利用旋转性质证明线段相等、角相等，或结合勾股定理求线段长度，多作为压轴题的核心模型。 题型一 特殊平行四边形+折叠+全等三角形 解｜题｜技｜巧 折叠问题优先找“对应边、对应角相等”，菱形综合题紧扣“对角线垂直平分”，结合全等三角形和中位线定理，快速求解线段长度，避免遗漏折叠后的垂直关系。 【例1-1】（24-25八年级下·福建福州·期中）综合与实践： 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折一折、探究证明： 如图①：把边长为8的正方形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕． 如图②：将正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开后连接，， 在图②中，请判断的形状并求线段的长度，请说明理由； (2)折一折，类比探究：如图③：将边长为8的正方形纸片折叠，使点落在点处，折痕与边交于点，与边交于点，展开后连接．在图③中，请猜想线段与线段之间的关系，请说明理由； (3)折一折、探究计算：如图④：将边长为8的正方形纸片沿经过点的直线折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，折痕与边交于点，展开后延长交于点．若，则的长度为______． 【例1-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）【阅读理解】矩形纸片中，点为边上一点，将沿折叠至，延长与直线交于点．    (1)【操作尝试】若，且点落在边上，则矩形的面积为________； (2)【理解探究】若，且点落在矩形内部，点在边上，如图，已知，请求出矩形的面积； (3)【探究拓展】若，且，直接写出矩形的面积． 【例1-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 【例1-4】综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为8，点E在边上（不与端点重合），将沿翻折，得到，连接，． (1)当平分时，求点F到的距离． (2)求的周长的最小值，并求出此时的长． (3)若为直角三角形，求的长． 【变式1-2】（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时， ①求证 ②求的长； (3)当时，直接写出的长． 【变式1-3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索】 ①四边形的形状为 ； ②求四边形的边上的高． (2)【实践操作】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接．如图③所示，得到四边形． 【实践探索】判断四边形的形状，并加以证明． 【变式1-4】（24-25八年级下·广东东莞·期中）我们数学课上有个有趣的课堂活动：折纸，引起许多同学的兴趣． 实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展开；连接．   (1)求； (2)如图②，折叠矩形纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交边于点T，交边于点S，把纸片展开，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形； (3)如图③，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，并且折痕交边于点T，交直线边于点S，把纸片展平，同学们小组讨论后，得出线段长度有4，5，7，9．请直接写出以上4个数值中你认为正确的数值． 【变式1-5】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．    (1)求证：四边形是菱形． (2)如图，矩形纸片，翻折和，使和落在对角线上，且点和点落在同一点上，折痕分别是和，若四边形面积为，则矩形纸片的面积为______（直接写出答案）． (3)如图，矩形纸片沿着折叠，使得点与点重合，若，，求的长． 题型二 正方形+十字架+三垂直全等 解｜题｜技｜巧 正方形十字架模型的核心是“垂直即相等”，通过全等三角形证明线段相等、角度垂直，再结合勾股定理、面积法求解线段长度，是期中压轴题的核心解题思路，可灵活运用平移线段构造全等。 【例2-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图1，在正方形中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且，，交于点，过点作交于点． (1)写出与的关系，并证明； (2)若，，试求线段的长； (3)如图2，连接并延长交于点，若点是的中点，试求的值． 【例2-2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在正方形中，点E是对角线上的一动点，连接，过点E作 交直线于点F，连接． (1)发现问题 如图1，当点F落在边上时，猜想的形状： ． (2)深入探究 如图2，当点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)解决问题 当点E是在射线上运动，且， 时，求的面积． 【例2-3】（24-25八年级下·全国·期中）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，作 交边于点，作 于点， (1)长的取值范围是 ； (2)猜想线段与 的数量关系并说明理由； (3)求的长． 【变式2-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，且，是线段上一动点（不包括点、），作，垂足为，且，设，直接写出点的坐标_____（用含的代数式表示）； （2）求运动的过程中的最小值； （3）如图2，连接交于点，连接，判断是否平分，并说明理由． 【变式2-2】（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知点是第二象限的一点，点是轴上一动点，以为边作正方形． (1)如图，当点的坐标为，点的坐标为时，求点的坐标． (2)如图，若点与原点重合，与轴交于点，连接，点是线段上一点，连接，若， ①求证； ②设的面积为的面积为，若，求的值（用表示）． 【变式2-3】（24-25八年级下·江西宜春·期中）已知在正方形中，点E、F分别为边上两个动点． (1)①如图1，连接相交于点O，若，则和的数量关系为　　　　　； ②如图2，在①的条件下，若点E是中点，连接，求证：． (2)如图3，作的垂直平分线交于点G，交于点F． ①若，，求的长； ②如图4，连接，若，四边形面积的取值范围是　　　　　． 题型三 中点四边形+特殊平行四边形（衔接综合） 解｜题｜技｜巧 中点四边形的形状由原四边形的对角线关系决定，核心是利用三角形中位线性质转化线段关系，衔接平行四边形、菱形、正方形的判定，是期中常考的探究类题型。 【例3-1】（24-25八年级下·湖北·期中）问题提出： （1）如图1，在四边形中，对角线，，，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形是正方形． 问题解决： （2）如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为100元/米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由． 【例3-2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【例3-3】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）概念阅读： 如图1，在四边形中，如果对角线和相等，那么我们把这样的四边形称为“和谐四边形”． 问题提出： （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“和谐四边形”的是__________（填写图形名称）若“和谐四边形”的中点四边形（各边中点顺次连接而成的四边形）是正方形，那么对角线还需要满足的条件是_________． 问题探究： （2）如图2，已知中，，，请你在图中找一点D，满足，且使四边形是“和谐四边形”，并求四边形的面积． 【变式3-1】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【变式3-2】（24-25八年级下·河南漯河·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点． ①若线段的长度为，求的长； ②若线段的长度为，请直接写出的最小值． 题型四 旋转模型+全等三角形 解｜题｜技｜巧 技巧1：判定旋转条件（快速定位模型）—— 当题干出现“正方形、等腰三角形、相等线段、固定顶点”时，优先考虑旋转模型（如正方形绕中心旋转、等腰三角形绕顶点旋转），核心是找到“相等的两条边”作为旋转的对应边。 技巧2：构造旋转型全等（核心步骤）—— 以相等线段的公共顶点为旋转中心，将其中一个三角形旋转，使相等的两条边重合，构造全等三角形（常用手拉手模型），旋转角等于相等线段的夹角（如正方形中旋转角为90°，等腰三角形中旋转角为顶角）。 技巧3：联动旋转性质与全等判定—— 利用“旋转前后全等”得对应边、对应角相等，再结合SAS、ASA判定全等，将分散的边角集中到同一个三角形中（如求线段长度时，转化为直角三角形，用勾股定理求解）。 技巧4：规避易错点—— 旋转后对应边、对应角不可找错；旋转角需与图形内角对应（如正方形旋转角不可误判为45°）；证明全等时，需完整标注旋转带来的相等条件（如旋转后的对应边相等、对应角相等）。 技巧5：适配期中考法—— 期中常考“正方形内旋转+全等”，可优先连接正方形对角线，以对角线交点为旋转中心，快速构造全等，简化解题步骤。 【例4-1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交从（或它们的延长线）于点M、N．当绕点A旋转到时（如图1），易证． (1)当绕点A旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 (2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？猜想并加以证明； (3)如图4，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究之间的关系． 【例4-2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图1，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，连结，经观察分析，发现，从而可进一步证出． (1)如图2，将正方形绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：，； (2)如图3，将正方形绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出的长． 【例4-3】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点，将四边形绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q． (1)四边形的形状是　　，当时，的值是　　．（直接写出答案，不需要说明理由） (2)如图2，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积． (3)在四边形旋转过程中，当四边形旋转到图3的位置时， ①求证：； ②是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式4-1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）四边形是平行四边形，点是动点，是等腰直角三角形，，． (1)如图1，存在点（在的异侧），使四边形为平行四边形，求证：，． (2)如图2，当点与点重合时，连接交于点，连接，，，．求点到的距离． (3)如图3，若，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在边上，点在平行四边形的内部，过点作，连接，若，．求证：． 【变式4-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，在边上，连接平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在线段上分别取点，连接，，若，求证：四边形为菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，求的值． 【变式4-3】（24-25八年级下·山东威海·期中）（1）如图1，把两个全等的矩形和矩形拼接在一起，则=_______； （2）如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，连接并延长，的延长线于点G，求证：； （3）如图3，在菱形中，，E是边上一点（不与C，D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，连接交的延长线于点G，求线段与之间的数量关系（写出过程）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 2．（24-25八年级下·吉林·期中）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质，如图①，菱形的边长为，，则______，______； 【操作发现】（2）如图②，在图①的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)如图2，在△中，，高，，求的长度． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：正方形，点是对角线所在直线上的动点，点在边所在的直线上，且随着点的运动而运动，总成立． (1)如图1，当点在对角线上时，请你猜想与有怎样的数量关系，并证明； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)如图2，当点运动到的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时与有怎样的关系，并说明理由． 5．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图1，已知点、、、分别是四边形各边、、、的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形． (1)如图1，连接，当四边形的对角线满足______时，四边形是菱形； (2)如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是、、的中点，求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上找一点D，使点C与、、的中点组成的四边形是正方形．画出三角形及四边形．并直接写出正方形的边长______． 6．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 动手操作： 第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②； 第二步：沿直线折叠，使点D落在处，设交于点G．如图③； 第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图④． 解决问题： (1)求证：； (2)若正方形的边长为2． （I）求的长； （Ⅱ）求的值． 7．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图所示，在矩形中，的平分线交于点，，垂足为点，连结，若． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图所示，延长与交于点； ①求证：为的中点； ②若，求矩形的面积． 8．（24-25八年级下·广西柳州·期中）综合与实践 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点上边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形）考虑到点是的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明，从而得到． （1）小明的证法中，证明的条件可以为（   ） A．    B．    C．    D． 【类比迁移】 （2）如图3，若把条件“点上边的中点”改为“点上边的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）已知，四边形是正方形，点是直线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，求的长． 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． (1)连接，如图，求证：； (2)如图，过点作交于点，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图，连接，当，时，请直接写出的长． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持，连接、． (1)的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由； (2)求周长的最小值； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 2．（24-25八年级下·江西赣州·期中）定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_______（一个即可）； ②如图1，，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； (2)知识运用 如图2，是正三角形，，且，．求证：，即四边形是“勾股四边形”． (3)拓展应用 如图3，菱形是“勾股四边形”，对角线交于点，求四边形OEBF的面积． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 4．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）【背景介绍】如图，将两张大小不等的正方形纸片与通过如下切割和拼接，可以构成一个新的大正方形 【问题探究】（1） 若， 则 ； 【动手操作】（2）类比图中的方法，请用无刻度的直尺在图中对十个小正方形画出切割线并将其补全为大正方形； 【拓展延伸】（3）在图中， 若的面积为3， 大正方形的面积为13， 求的长． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面直角坐标系中，点，点，连接，将沿直线翻折，点B落在第二象限内的点C处． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点为线段上一点，点为延长线上一点，，连接交于点，求证：； (3)如图，在（2）条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的面积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $