四 长方体（二）-【新学期笔记对照学】2025-2026学年五年级下册数学（北师大版）

○新学期对照学数学五年级下册BS 四 长方体（二) 第1课时体积与容积 第4课时体积单位的换算 1.(1)CAB 1.2400760076000008.0050.62 (2)A 62000095601201.506 (3)C 2.（1)AD (4)B （2)A 2.丙甲 3.11.088dm3=11088cm3 3.妈妈买的饮料多一些。 11088÷28÷18=22（cm) 28>25,22>20, 第2课时体积单位 18>16,能装得下。 4.0.6×0.5×0.4=0.12(m3) 1.dm3 L cm3 0.12m3=120dm3=120L 2.(1)A (2)B 120×0.74=88.8（kg) 3.7cm314cm36cm3 第5课时有趣的测量 4.1000+200=1200（mL) 1.50×40×3=6000(cm) 第3课时长方体的体积 2.30×12×（10-6)=1440(cm3) 3.1dm=10cm 1.(1)7×4×2.5=70(cm3) 10×10×10=1000(cm3) (2)5×5×5=125(cm3) (1000+200)÷(10×8)=15(cm) 2.20×20×2.5=1000(m3) 4.解：设水面升高了xdm。 80000÷1000=80(个) 20×10×x=4×4×4 3.1.2m=12dm x=0.32 2.4÷4×12=7.2(dm3) 0.32dm=3.2cm 4.4×4×4÷20=3.2（dm) -4-理解体积和容积的意义。 体积与容积 明确体积和容积的异同。 认识体积、容积单位（m3、dm3、cm3、L、mL)。 体积单位 理解体积单位与长度单位、面积单位之间的区别与联系。 掌握长方体和正方体体积的计算方法。 长方体的体积 会用体积计算公式解决实际问题。 能正确进行体积、容积单位之间的换算。 体积单位的换算。 理解相邻体积、容积单位之间的进率是1000。 掌握不规则物体体积的测量方法。 有趣的测量 会运用不规则物体体积的测量方法解决实际问题。 四长方体（二） 0 Q新学期对照学数学五年级下册BS 第1课时体积与容积 课前·预习例题划 教室里哪些物品占的空间大？哪些物品占的空间小？常见的容器中，哪些容器放的东 西多？哪些容器放的东西少？说一说，与同伴交流。 (举例不唯一)拼台占的空间大，文具盒占的空间小；锅放的东西多，碗放的东西少。 土豆和红薯哪一个占的空间大呢？做一做，想一想。 两个物体放 入水中后水 取两个大小相同的烧杯，在杯 将土豆和红薯分别放在两个 面都上升了。 略高，占 说明它们占 中倒入同样多的水。 烧杯中。 罗的空间大。 有一定的空 间。放红薯 的杯子里水 200 iiiiii 刻度相同， 面升得更高， 水量相同。 说明红薯比 200 土豆所占的 .100 空间大。 ①注意：做实验时，水要浸没土豆和红薯，且水不能溢出。 我发现两个杯子 放红薯的杯子里 物体所占空间的 的水面都比原来 水面升得高，红 大小，是物体的 高了。 薯比土豆大。 体积。 体积的大小只与物 体所占空间的大小 有关，与它的形状 无关。 两个杯子中哪一个装水多呢？请你设计一个实验解决这个问题。 将其中一个杯子装满水，再将水倒入另一个杯子中，观察另一个杯子中的水是否装满， 从而进行判断。 容器所能容纳物 体的体积，是容 器的容积。 30|中小学AI教辅 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.体积和容积 (1)体积：物体所占空间的大小，是物体的体积。 (2)容积：容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。 2.体积和容积的区别 (1)意义不同：体积表示物体所占空间的大小；容积表示容器所能容纳物体的体积。 (2)测量方法不同：体积是从物体的外部测量；容积是从物体的内部测量。 (3)大小不同：同一个容器，若考虑容器壁厚度，则体积大于容积。当容器壁厚度忽 略不计时，容积等于体积。 任务 学方法 。运用转化法解决摆放物体的问题 明明用16个大小相同的小正方体积木搭成两个物体，其中一个物体的体积是另一个物 体的3倍，你知道他是怎样搭成的吗？ 思路分析积木大小相同，即每个积木的体积相同，搭成的物体的体积是由积木的数 量决定的。要使其中一个物体的体积是另一个物体的3倍，实际上是要使 一个物体的积木数量是另一个物体的积木数量的3倍。将16个积木平均分 成4份，一个物体用1份搭成，另一个物体用3份搭成。 正确解答16÷(3+1)=4（个）4×3=12（个） 答：明明用4个积木搭成一个物体，用12个积木搭成另一个物体。 ©总结：用相同的小正方体积木搭物体时，要使搭成的一个物体的体积是另一 个物体的几倍，那这个物体中包含的积木的数量就是另一个物体中包含的积 木数量的几倍。 ▣运用画图法和转化法解决容器盛水问题 一个木桶装满水，可以倒满10碗或12杯。如果把5杯水和3碗水同时倒入这个空木桶 中，那么木桶中的水面高度是木桶高度的几分之几？（木桶上下一样粗，每个碗都相 同，每个杯子都相同) 思路分析解决此类问题时，可以先将不同容器的容积进行转化，再计算。画图表示 如下： 10碗的容量 ☐1碗水 3碗水 1 3 3碗水 10 10 5 5杯水 12杯的容量 5杯水 1杯水 5 12 12 正确解答 ×3-局 1 1 10 12×5=10 ©总结：解决此题时，要先将高 度问题转化为体积问题，分别 5 343 12+10=60 求出1碗水和1杯水的体积分 别占这个木桶容积的几分之 答：木桶中的水面高度是木桶高度的 几，再根据题意列式求解。 0 任务 3 做易错 ⊙易错点：对体积与容积的概念理解不清 判断：体积相等的两个容器，容积也一定相等。 易错解读 本题易错在对体积与容积的概念理解不清。容器的容积大小取决于容器所能 容纳物体的体积，而不是容器所占空间的大小。在体积相等的情况下，判断 两个容器的容积大小，要看两个容器壁的厚度。所以本题的正确答案为X。 3课后·对照练习 1.选择。（将正确答案的序号填在括号里) (1)制作一个铁皮水箱，用了多少铁皮，是指水箱的( )；水箱有多大， 是指水箱的( )；水箱能装多少水，是指水箱的( ①根据“例题”练一练 A.体积 B.容积 C.表面积 (2)用0.3cm厚的铁皮制作一个密闭的长方体铁箱，则铁箱的体积( )铁 箱的容积。①根据“做易错”练一练 A.> B.< C.= (3)蜡像厂把一个实心工艺品“千里马”熔化后，又在无损耗的情况下做成了 另一个实心工艺品“拓荒牛”，这两件工艺品中，“千里马”的体积( “拓荒牛”的体积。①根据“例题”练一练 A.大于 B.小于 C.等于 (4)3个同学分别用8个体积相同的正方体测量了3个盒子的容积（如图）， )号盒子的容积最大。①根据“例题”练一练 ② ③ A.① B.② C.③ 2.有甲、乙、丙3个杯子，先后2次在乙中装满水，分别倒入甲、丙中，结果如 图所示，则（ )的容积最大，（ ）的容积最小。①根据“学方法”练一练 甲 丙 丙 3.爸爸和妈妈各买了一瓶饮料，小明分别将饮料倒进容积相同的杯子中，爸爸的饮 料倒了5杯，妈妈的饮料倒了6杯，谁买的饮料多一些？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P4) 中小学AI教辅|31 ○新学期对照学数学五年级下册BS 第2课时体积单位 课前·预习例题 说一说，常见的体积单位有哪些？认一认。 棱长为1厘米的 尺子上一大 边长为1厘米的 正方形，面积是1 正方体，体积是 格的长度是 平方厘米。 立方厘米。 1厘米。 1厘米 1平方厘米 1立方厘米 （长度单位) (面积单位) (体积单位) 计量线段长短。 计量平面图形大小。 计量物体所占空间大小。 棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米，记作1厘米3(cm3); 棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米，记作1分米3（dm3); 棱长为1米的正方体，体积是1立方米，记作1米3(m3)。 做一做，看一看。注意：面积单位与体积单位易混淆，求面积时用面积单位， 求体积时用体积单位。 用橡皮泥切出一个1cm3的正 用硬纸板做一个1dm3的正 方体。棱长为1cm 方体盒子。每个面都是边长为1 dm的正方形。 用米尺搭出一个1m3的空间。 1m3的空间大约能站13名 棱长为1m的正方体。 幼儿园的小朋友。 空间观念 通过实际操作，体会体积单位1cm3,1dm3,1m3的实际大小，加深对体积单位的感性认识。 32|中小学AI教辅 生活中还有哪些物体的体积大约是1cm3,1dm3,1m3？与同伴交流。 (答案不唯一) 一颗骰子、 魔方、手表 洗衣机、小 粒蚕豆 包装盒 型储物柜 1粒花生米的 1个粉笔盒的 1台双开门冰箱的体积 体积约1cm3 体积约1dm3 约1m3 用实物或模型建立体积单位的表象，体现了抽象思想。 试一试 容纳的空间大小或液体多少，与体积的 含义不同，不可混用。 容器内盛放液体的量一般用升(L)、毫升（L)作单位。看一看，认一认。 一袋纯牛奶的净含量是500mL。 1 dm=1L 1L液体的体积是1dm3; 生》 净希量：5 净含量：500m 1mL液体的体积是1cm3。 1cm=1mL 一桶花生油的净含量是5L。 ①注意：体积单位与容积单位虽然可以相互转化， 但体积单位与容积单位的意义是不相同的。 ○看一看，做一做。 这个饭盒大约能装 1mL的水大约有 这个小勺中大约 1dm3的水。 20滴。 有2mL的水。 ©总结：计量较大容器的容积时，通常用升作单位，如计量汽车油箱的容积、桶装 水桶的容积等。 计量较小容器的容积时，通常用毫升作单位，如计量饮料瓶的容积、水杯的容积等。 、1/ 课堂·任务学习 任务 理知识 1.认识常用的体积单位 常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，分别记作厘米3、分米3、米3，用字 母表示是cm3、dm3、m3。 2.认识常用的容积单位 (1)常用的容积单位有升和毫升，用字母表示分别是L和mL。 (2)1升=1分米3(1L=1dm3)1毫升=1厘米3（1mL=1cm3)》 任务 学方法 。运用倒推法解决分油问题 甲、乙两个桶中各有若干升油，如果先从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再 从乙桶中倒出和现在甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是32L,两个桶中原 来各有多少升油？ 思路分析 如果乙桶不倒出和现在甲 如果开始时甲桶不倒出和 现在两桶油 桶同样多的油放入甲桶， 乙桶同样多的油放入乙 都是32L。 那么甲桶中应有油32÷2 桶，那么乙桶中应有油 =16(L),乙桶中应有 48÷2=24(L),甲桶中 油32+16=48(L)。 应有油16+24=40(L)。 正确解答 32÷2=16(L) ©总结：运用倒推法，从结果出发向 前推算，即可得到原来的量。 乙桶：（32+16)÷2=24（L) 甲桶：16+24=40(L) 答：甲桶中原来有40L油，乙桶中原来有24L油。 3课后·对照练习 1.在括号里填上适当的体积或容积单位。①根据“例题”练一练 一台电视机的体 一大瓶果蔬汁约 一个桃子的体积 积是50( )。 有2()。 约是70( )。 2.选择。（将正确答案的序号填在括号里）0根据“例题”练一练 (1)下面( )适合用“mL”来度量。 A.止咳糖浆瓶子的容积 B.纸箱子的容积 C.汽车油箱的容积 (2)如图所示，“550mL”是指（ ）。 A.矿泉水瓶的体积 B.矿泉水瓶内水的体积 C.矿泉水瓶的容积 净含量550mL 3.下列图形都是用1cm3的正方体搭成的，它们的体积分别是多少？填一填。 ①根据“例题”练一练 ( 4.一个瓶子里装了1000mL水，把这个瓶子倒过来，如图所示（单位：mL)。这 个瓶子最多能装多少毫升的水？①根据“学方法”练一练 200 400 600 800 1000 (对照学参考答案：P4) 中小学AI教辅|了3 Q新学期对照学数学五年级下册BS 第3课时长方体的体积 1 课前·预习例题丝 长方形的面积与长和宽有关，长方体的体积可能与什么有关？观察下面各图，想一想。 宽、高不变 长变短，体 宽、高不变，长 ① 积变小。 变短了，体积变 小了… 长、高不变， 高 宽变短，体 宽 ② 积变小。 长 与长、宽、高 长、宽不变，高变短， 都有关系。 体积变小。 3 ○猜一猜，长方体的体积与长、宽、高有什么关系？用一些相同的小正方体（棱长为1cm 摆出3个不同的长方体，记录它们的长、宽、高，完成下表，验证你的猜想。 体积是1cm。 因为棱长为1cm的 长/cm 宽/cm 高/cm 小正方体 体积/ 数量/个 cm3 小正方体的体积是 1cm,所以每个长 第1个长方体 4 1 4 4 方体由多少个棱长 为1cm的小正方体 第2个长方体 4 2 2 16 16 组成，体积就是多 第3个长方体 6 2 2 24 24 少立方厘米。 小正方体的数量=每行的个数×行数×层数 a=V÷b÷h 长方体的体积=长×宽×高 b=V÷a÷h h=V÷a÷b =ix ixi abh ©拓展：长方体容器的容积也可以用“长×宽×高”计算，但长、宽、 高的数裾要从容器的内部测量。（注意结果单位要化成容积单位） 34|中小学AI教辅 ○如何计算正方体的体积？与同伴交流你的想法。 正方体是特殊的长方 “03”读作： 体，长方体的体积是 “a的立方”。 “长×宽×高”… 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a =a ①注意：a表示3个a相乘，3a表示3个a相加，不要混淆。 试一试 先算一算下列图形的体积，再读一读，想一想。（单位：dm) 长方体的底 正方体的底面积 面积=长× ≥棱长×棱长 宽 2 3×5×4=60(dm3) 2×2×6=24(dm3)3×3×3=27(dm3) ①注意：放置方式不同，底面也就不同。 阴影部分的面积是上面各个图形底面的面积，称为底面积。 长方体（正方体)的体积=底面积×高 。○换一个底面，再用“底 V=S x h 面积×高”算一算这些 Sh 图形的体积。 填一填。 长 底面积/cm2 10 25 15 9 高/cm 8 6 7 4.2 体 体积/cm3 80 150 105 37.8 ©拓展：已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求得 第三个量，南V=Sh,S=片，A=占 、1/ 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.长方体体积的计算公式 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示是V=abh。 2.正方体体积的计算公式 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示是V=a。 3.长方体和正方体体积的通用公式 长方体（正方体)的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。 任务 2 学方法 ⊙运用抓不变量法解决与体积有关的问题 把一块棱长是3dm的正方体铁块锻造成一块长60cm、宽30cm的长方体铁块，它的高 是多少厘米？ 思路分析 根据题意，铁块锻造前后体积不变。 长方体铁块的体积等 根据“正方体的体积= 根据“长方体的高=长 于正方体铁块的体积 棱长×棱长×棱长” 方体的体积÷底面积” 求出正方体铁块的体积。 求出长方体铁块的高。 正确解答3dm=30cm 30×30×30÷(60×30)=15(cm) 答：它的高是15cm。 ©总结：解答本题的关键是明确锻造前后铁块的体积不变。 3课后·对照练习 1.计算下面各图形的体积。（单位：cm)①根据试一试”练一练 (1) （2) 2.5 5 5 2.哈尔滨冰雪大世界每年用的冰大约能融化成8万立方米的水，这些水能装满多 少个长20m、宽20m、深2.5m的蓄水池？①根据“学方法”练-练 3.把一根长1.2m的长方体木料平均锯成3段（如图），表面积比原来增加了2.4dm, 原来这根木料的体积是多少立方分米？①根据“例题”练一练 4.一个正方体玻璃缸的棱长为4dm,将它装满水，再把水全部倒入一个底面积 为20d的长方体水槽中，水槽的水面高度是多少分米？（水槽厚度忽略不计)》 ①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P4) 中小学AI教辅|35 ○新学期对照学数学五年级下册BS 第4课时体积单位的换算 课前·预习例题 棱长为1dm的正方体盒子中，可以放多少个体积为1cm3的小正方体？想一想，填 一填。一层：10×10=100（个） 10层：100×10=1000（个），即1dm3=1000cm3。 1排放10个，每层 1 dm=10 cm, 哇！真想不到，这 正好可以放10排， 盒子里正好放10层。 个盒子竞能装1000 也就是说，每层可 个小正方体。 以放100个。 品 包 1 dm3=1000 cm3 1L= 1 dm 1mL=1 cm3 1L=1000mL 1dm3=1000cm3,那么1m3等于多少立方分米？说-一说，你是怎么想的？ 1 dm=10 cm, 方法二： 方法三：借助上 借助体积 1m3是指棱长为1m的 个问题的图示推 1dm3=1000cm。 计算。 正方体体积，也就是棱 算。 1m=10dm, 长为10dm的正方体体 1m3就等于… 积，所以1m3 方法一： 1oo0dm3。 借助1dm3 等于1o00dm'。 1000cm3进行 我借助上面的图想， 类比推理。 ©拓展：因为1m3=1000dm, 1m3中有10×10×10 1dm3=1L,1L=1000mL, 所以1m2=1000L=1000000mL。 个1dm3 哭一一一 的小正方体，所以1m3=1000dm3。 想一想，填一填。 单位 相邻两个单位间的进率 ÷1000 ÷1000 -、 长度 m, dm cm 10 m dm (L) cm (mL 面积 m2, dm2 cm2 100 体积 m3, dm cm3 1000 ×1000 ×1000 ①注意：只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000 36|中小学AI教辅 2课堂·任务学习 任务 理知识 1.体积单位、容积单位之间的进率 体积单位 容积单位 文字 字母 文字 字母 1立方米=1000立方分米 1m3=1000dm3 1立方分米=1000立方厘米 1dm3=1000cm 1升=1000毫升 1L=1000mL 相邻体积单位之间的进率是1000 相邻容积单位之间的进率是1000 2.体积、容积单位之间的换算 把高级单位化成低级单位，用高级单位前面的数乘进率；把低级单位化成高级单位， 用低级单位前面的数除以进率。 ×1000 ×1000 ×1000 立方米 立方分米 立方厘米 升 之毫升 ÷1000 ÷1000 ÷1000 任务 学方法 。运用单位换算的知识解决单名数、复名数的改写问题 （1)3dm330cm3=( ）cm3 (2)4.8m3=( )m3( ）dm 思路分析 乘进率1000 (1)3dm330cm3 ,3dm3 3000cm3 3030cm3 ±30cm3 .3 (2)4.8m3 4m3 0.8m3 乘进率1000 800dm3 →4m3800dm3 正确解答(1)3030(2)4800 ©总结：(1)把复名数转化为低级单位的单名数，复名数中高级单位前面的数转化为低级单位的数， 把复名数中低级单位前面的数与高级单位转化后的数相加作为单名数的数。(2)把高级单位的单 名数转化为复名数，整数部分作复名数高级单位的数，小数部分乘进率后作复名数低级单位的数。 ▣运用画图法解决用长方形材料制作容器的问题 现有一张长45cm、宽30cm的长方形铁皮，在这张铁皮的四个角分别剪掉一个边长为 5c的小正方形（如图)，然后焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是多 少升？（铁皮厚度忽略不计) ©总结：解决此类题时，一般可 5cm 以画出示意图，先通过观察确 5 cm 定：铁盒的长=长方形的长 小正方形边长的2倍，铁盒的 30 cm 宽=长方形的宽一小正方形边 长的2倍，铁盒的高=小正方 形的边长，再根据长方体的体 45 cm 积计算公式计算铁盒的容积。 思路分析根据题意，画示意图如下： 围成的铁盒的形状 5cm 5cm 剪完后的图形 20 cm 5cm 20 cm 35 cm 35 cm 「铁盒的长=铁皮的长-2个小正方形的边长 由图可知铁盒的宽=铁皮的宽-2个小正方形的边长 体积=长×宽×高 铁盒的高=小正方形的边长 正确解答45-5×2=35（cm)30-5×2=20（cm) 35×20×5=3500(cm3)3500cm3=3500mL=3.5L 答：这个铁盒的容积是3.5L。 任务 3 做易错 ⊙易错点：利用公式计算体积时未统一单位 一个长方体蓄水池，从里面量，底面积是1.8，高是6dm,这个蓄水池的容积是多 少升？ 易错解读 本题易错在答题时未统一单位。已知底面积和高，可以利用“底面积×高” 来计算蓄水池的容积。但题中底面积是1.8m2,高是6dm,单位未统一。所 以做题时要先统一单位，再计算。所以本题的正确答案为6dm=0.6m,1.8× 0.6=1.08（m3),1.08m3=1080L。①提示：长方体的体积=底面积×高，根 据题中所给的数据，代入公式即可求出 蓄水池的容积，注意单位换算。 3课后·对照练习 1.在括号里填上合适的数。0根据“学方法”练一练 2.4dm3=( ）cm3 7.6m3=( ）dm3=( ）cm3 8005cm3=( )dm3 620dm3=( )m3=( ）cm3 9000cm3=( )L 5.06dm3=( )L()mL 120cm3=()mL 1.5m3+6dm3=(）m 2.选择。（将正确答案的序号填在括号里)①根据“例题”练一练 (1)一个玻璃瓶可装350mL饮料，这个玻璃瓶的容积是（ )L；玻璃瓶占 地32cm,也可以说玻璃瓶的占地是（)dm。 A.0.35 B.3.5 C.0.032 D.0.32 (2)在一个棱长为4dm的正方体容器中注入3dm高的水，又投入一个体积为 1dm3的铅块，这时这个正方体容器所装物体的体积是()dm3。 A.49 B.48 C.12 D.64 3.一个长方体包装盒，从里面量长28cm、高18cm,容积为11.088dm3。爸爸 想用它包装一件长25cm、宽20cm、高16cm的玻璃容器，能装得下吗？ ①根据“学方法”练一练 4.一辆小汽车油箱的长是0.6m,宽是0.5m,高是0.4m。这个油箱能装油多少升？ 如果每升油重0.74kg,那么这个油箱能装油多少千克？（油箱的厚度忽略不计） ①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P4) 中小学AI教辅I37 Q新学期对照学数学五年级下册BS 第5课时有趣的测量 课前·预习例题刘 》石块所占空间的大小 如下图，要测量石块的体积，你有什么方法？与同伴交流。 不能直接用公 式，怎么办呢？ 形状不规则 淘气是这样测量的，你看懂了吗？与同伴说一说。（单位：cm) 方法一：液面升高法。 放入石块前 放入石块后 放入石块后，水面 升高了多少？石块 的体积是多少？ 底面积不 n 变，升高 的那部分 15 -15 水的体积 底面长15cm,宽10cm, 水面高15cm 就是石块15-10=5(cm 水面高10cm。 的体积。 15×10×5= 750(cm3) 下图是另一种测量石块体积的方法。按照图示的步骤说一说，怎样能知道石块的体积？ 方法二： 溢水法。 放人石块后 放入石块前 测量溢出的水 量杯 将溢出的水倒入有刻度的空 溢出的水的体积就是 量杯中，直接读出水的体积， 容器盛满水。 石块的体积。 即石块的体积。 生活中还有哪些物品可用上面的方法测量它的体积？在测量时需要注意什么问题？小 组交流讨论。只要是大小适中的、不规则的物体奉可以用上面的方法测量它的体积。 水要没过物体！像 这样把橘子压进去。 38|中小学A教辅 2课堂·任务学习 任务 理知识 测量不规则物体体积的方法和注意事项 (1)在测量不规则物体的体积时，水面升高部分的体积或满杯时溢出的水的体积相当于 不规则物体的体积。 (2)注意事项：①利用液面升高法测量物体的体积时，水量要适中，既要保证物体完全 没入水中，也不能有水溢出。②利用溢水法测量物体的体积时，要先将容器装满水，再 放入物体，使水没过物体。 任务 2 学方法 。运用转化法解决水面升高的问题 有一个长方体容器从里面量长8dm、宽5dm、高5dm,里面装有水，水深3dm。如果 把一块棱长是4d的正方体铁块完全浸入到水中，水面上升了多少分米？（水未溢出） 思路分析铁块体积和容器内水面上升的那部分水的体积是相等的，求水面上升多少 分米，实际是求水面的上升高度。因为高=体积÷底面积，所以用铁块的 体积除以长方体的底面积，即可求出水面上升的高度。 正确解答 4×4×4÷（8×5)=1.6(dm) 答：水面上升了1.6dmo ©总结：将物体放在盛有水的长方体或正方体容器中，物体完全浸入水中且没有 水溢出，则物体的体积等于容器内水面上升的那部分水的体积。 ▣运用抓不变量法或方程法解决容积问题 有两个长方体水箱，甲水箱从里面量长40cm、宽30cm,现装有水且水深为20cm; 乙水箱从里面量长30cm、宽10cm、高20cm,乙水箱无水。现将甲水箱的部分水倒 入乙水箱，使两个水箱的水深一样，现在两个水箱的水深是多少厘米？ 思路分析思路一：抓不变量法。从题中可知，将甲水箱中的水倒入乙水箱后，两个 水箱的水面高度一样。原来水的体积就是现在甲、乙两个水箱中水的体积 和，因为甲水箱中水的体积+乙水箱中水的体积=（甲水箱的底面积+乙 水箱的底面积)×水深，所以只要先求出原来甲水箱中水的体积，再除以 甲、乙两个水箱的底面积之和，就可以求出现在两个水箱的水深。 思路二：方程法。设这个相同的水深为xcm,根据“倒入后两个水箱中水的 体积和=原来甲水箱中水的体积”这一等量关系列方程。 正确解答 方法一：40×30×20÷(40×30+30×10)=16（cm) 方法二：解：设现在两个水箱的水深是xcm。 40×30×x+30×10×x=40×30×20 ©总结：解决这类题时，关键是抓 住体积不变，可以采取列方程法 1500x=24000 进行解答。 x=16 答：现在两个水箱的水深是16cm。 任务 3 做易错 ⊙易错点：解决浸没问题时，未理解题意导致出错 把一块石头浸没在一个长4dm、宽3dm、高2dm的装有水的长方体容器内，水没有溢 出，这时水位上升至1.5dm,容器内原有水面高度是1dm。这块石头的体积是多少？ 易错解读本题易错在未理解“上升至1.5dm”表示的含义。石头浸没且水没有溢出， 说明水面上升部分水的体积就是石头的体积。石头放入容器内，水位上升 至1.5dm是指现在的水面高度是1.5dm,水面上升了1.5-1=0.5（dm),而 不是1.5dm。所以本题的正确答案为4×3×（1.5-1)=6（(dm3)。 ©方法：测量时要保证不规则物体完全浸入在水中，且没有水溢出，这样水面升 高部分的水的体积相当于不规则物体的体积。 3课后·对照练习 1.一个长方体鱼缸，从里面量长50cm、宽40cm、水深25cm。放入一些金鱼后 水面升高了3c。这些金鱼的体积是多少立方厘米？ ①根据“例题”练一练 2.一个玻璃缸，长30cm、宽12cm,里面装有6cm高的水。把一块石头小心地放 入玻璃缸中，石头浸没在水中，水面的高度上升到10cm,且没有水溢出，这块 石头的体积是多少立方厘米？（玻璃厚度忽略不计)①根据“做易错”练一练 3.淘气在手工课上将一个体积是200cm3的不规则石块完全包进一块棱长是1dm 的正方体橡皮泥中，再把橡皮泥重新捏成一个长为10cm,宽为8cm的长方体 (如图，石块不露出)。这个长方体的高是多少厘米？①根据“学方法”练一练 8 cm 1dm 10 cm 4.一个长20dm、宽10dm的长方体玻璃缸中装有10dm深的水，在此长方体玻璃 缸中放人一块棱长是4dm的正方体铁块，铁块完全浸入水中并且没有水溢出， 这时水面升高了多少厘米？（玻璃厚度忽略不计)①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P4) 中小学AI教辅I39 ○新学期对照学数学五年级下册BS 第四单元 核心知识梳理 知识点 示例 1.体积与容积 (1)意义：物体所占空间的大小， 是物体的体积；容器所能容纳 用0.6cm厚的铁皮制作一个密闭的长 物体的体积，是容器的容积。 方体铁箱，则铁箱的体积（大于）铁 箱的容积。 (2)区别：意义不同，测量方法不 同，大小不同。 下面说法错误的是（B)。 ①把一块正方体的轻黏土捏成长方 2.体积单位 （1)认识体积单位：m3、dm3、 体，体积不变。 ②体积单位比面积单位大。 cm3。 ③体积是1m3的物体一定是棱长为 (2)认识容积单位：L、mL。 1m的正方体。 A.①② B.②③ C.①②③ 核 3.长方体的体积 长方体的体积=长×宽×高，用 用体积是1cm3的小正方体摆成下图， 知识 字母表示：V=abh。 它的体积是（24)cm。 正方体的体积=棱长×棱长×棱 长，用字母表示：V=a。 长方体（正方体）的体积=底面积× 高，用字母表示：V=Sh。 4.体积单位的换算 (1)相邻体积单位间的进率是 15m3=(15000)dm 1000.1m=1000dm31dm3= 5300dm3=(5.3)m3 1000cm3 0.3L=(300)mL (2)相邻容积单位间的进率是 0.6L=(0.6）dm3=（600)cm3 1000.1L=1000mL (3)1L=1dm31mL=1000cm3 5.有趣的测量 下面的物体中， (C)可以直接用液 测量不规则物体的体积的方法：液 面升高法求体积。 面升高法和溢水法。 A.棉花 B.冰块 C.铁块 40|中小学AI教辅 易错点1：未掌握体积单位间的进率，导致错误 0.52m3=( ）cm3 错解：52 正解：520000 错认为m3和cm3之间的进率为100 易错点2：误认为表面积和体积可以进行比较 判断：棱长为6cm的正方体，它的体积和表面积相等。 ( 错解：V 正解：X 本题从计算上来说 求正方体的表面积和体积列出的算式都是6×6×6，但两个算 式的含义不同。 正方体的表面积=6×6×6=216(cm2) 正方体的体积6×6x6=216(cm3 每个面的面积 产有6个面、 底面积高 易 ~产单位不同，不能比较 警示 易错点3：只关注了体积单位和容积单位间的转化关系，忽略两者的 意义不同导致错误 判断：因为1dm3=1L,所以棱长是1dm的正方体的体积是1L。（ 错解：√义 正解：X 误认为体积单位和容积单位两者的意义相同 易错点4：未掌握求不规则物体体积的方法 张叔叔先将长7m、宽4m、深1m的水池注满水，然后把两个长2m、宽 1.5m、高2m的石柱竖着放入水池中，水池溢出的水的体积是多少？ 错解：2×1.5×2×2=12(m3) 正解：2×1.5×1×2=6(m3) →误把两个石柱的体积当作溢出水的体积