七 用方程解决问题-【新学期笔记对照学】2025-2026学年五年级下册数学（北师大版）

○新学期对照学数学五年级下册BS 七 用方程解决问题 第1课时邮票的张数 第2课时相遇问题 1.解：设出发后x时相遇。 1.（1)3x+40=280 解：3x=240 80x+100x=540 x=80 180x=540 (2)x+4x=1400 x=3 解：5x=1400 2.解：设x天后能完成这批订单。 x=280 24x+18x=420 2.（画图略) 4x=420 解：设妇好鹗尊的高度约是xcm,莲 x=10 鹤方壶的高度约是2.53xcm。 3.补全线段图如下： x+2.53x=163.3 810m x≈46.3 荣荣家 中点 恒恒家 2.53x=2.53×46.3≈117.1 解：设x分后两人在距中点810m处 3.解：设原来乙刺绣厂有绣娘x人。 相遇。 4x-40-10=x+40 165x-75x=810×2 3x=90 90x=1620 x=30 x=18 4.解：设小东x岁时，妈妈的年龄是小 4.解：设经过x秒军军第一次追上玲玲。 东的3倍。 5x-3x=400 3x-x=34-8 2x=400 2x=26 x=200 x=13 -6-会解形如“ax±x”的方程。 邮票的张数 能找出实际问题中的等量关系。 会用方程解决相遇问题。 世 用方程解决问题 相遇问题 找准等量关系并列方程解决实际问题。 七用方程解决问题 2课堂·任务学习 第1课时邮票的张数 任务 )理知识 我和姐姐一共有 1课前·预习例题 解形如“αx±x=b”类型的方程，要根据乘法分配律和等式的性质来解，具体解法如下： 180张邮票。 ax±x=b 姐姐的邮票张数 是弟弟的3倍 解：(a±1)x=b x=b÷(a±1) 任务 弟弟和姐姐各有多少张邮票？尝试用方程解决。 2 学方法 ①方法：当题中出观两个或两个以上的来知量，弄且来知 弟弟和姐姐的邮票 ©运用抓不变量法列方程解决问题量的值始体不变时，可以根据题意设其中一个未知量为x 张数都不知道，怎 先找一找等量 再把芳一个量用含有x的式子表示出来，景后列方程解答 么办呢？ 关系吧。 妈妈的生日到了，优优想为妈妈献上一束康乃馨。她带的钱如果买4枝康乃馨还剩3.6 设1倍量为x,另 一个量用含有x的 元，如果买8枝康乃馨还差0.8元。你知道优优带了多少元吗？ 找出题中的等量关系，并进行表示。 式子表示 找出等量关系 画出示意图 思路分析两个不变的未知量：优优带的钱数和康乃馨的单价。 我知道了，如果设弟 姐姐的邮票张数+弟弟 (1)优优带的钱数=4枝康乃馨的价钱+3.6元=8枝康乃馨的价钱-0.8元 的邮票张数=180张， 弟的邮票为x张，姐 弟弟☐ 一共 姐就有3x张· 姐姐的邮票张数·弟弟 姐姐■ 180张 (2)康乃馨的单价=（优优带的钱数-3.6）÷4=（优优带的钱数+0.8）÷8 的邮票张数×3。 再根据“弟弟的邮票张数幕3+弟弟 的邮票张数-180张“列方程。 正确解答方法一： 方法二： ○列方程解决问题。 解：设弟弟有x张邮票，姐姐有3x张邮票。 算术法：利用和倍吴系计算 解：设每枝康乃馨x元。 解：设优优带了x元。 180+(1+3）=45(张) x+3x=180 45m3-135(张) 4x+3.6=8x-0.8 (x-3.6)÷4=(x+0.8)÷8 ①注意：列方程解决实 4x=180 际可题时，求出的解后 1个x与3个x合 4x+3.6+0.8=8x-0.8+0.8 8(x-3.6)=4(x+0.8) 面不带单位。 x=45 3x=3×45=135 起来是4个x。 4x+4.4=8x 8x-28.8=4x+3.2 答：弟弟有45张邮票，姐姐有135张邮票 4x+4.4-4x=8x-4x 8x-4x=3.2+28.8 ●如果把“我和姐姐一共有180张邮票”改为“姐姐比我多90张邮票”，可以怎样列 4x=4.4 4x=32 方程呢？想一想，与同伴交流。 解：设第弟有常张邮票，姐姐有3斯张邮票。 示意围： 3-x=90 x=1.1 x=8 等量关系： 弟弟口 2x-90 姐姐的邮票张数-弟弟的邮票张数=90张 90张 x=45 4x+3.6=4×1.1+3.6=8 姐姐的邮票张数~弟第的邮票张数⅓3 姐短口口 3x-3×45-135 答：优优带了8元。 答：弟弟有45张邮票，姐姐有135张邮票 中小学A教辅|55 Q新学期对赢学数学五年级下册S ©运用分析法解决剩余数量相等问题 3课后·对照练习 有甲、乙两袋球，甲袋里有50个，乙袋里有40个，每次从甲袋里取出4个，从乙袋里取 出3个。取多少次后，甲、乙两袋里剩下的球的个数相等？ 思路分析不断地从甲、乙两袋里取球，直到甲、乙两袋里剩下的球的个数相等，这 1.看图列方程，并解答。①振增“例愿炼一德 一过程可运用分析法来解决。 x kg 甲袋 乙袋 (1)草蓦： 40kg (2)桃树：x棵 香蕉： 1400棵 50个： :40个 杏树： 取1次剩余(50-4×1)个 280kg (40-3×1)个 取2次剩余 (504×2)个 (40-3×2)个 2.河南博物院里有九大镇院之宝：贾湖骨笛、妇好鹨尊、云纹铜禁、杜岭方鼎、 取x次剩余 (50-4)个 (40-3x)个 莲鹤方壶、玉柄铁剑、武则天金简、四神云气图壁画、汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶。 正确解答解：设取x次后，甲、乙两袋里剩下的球的个数相等。 天天发现莲鹤方壶和妇好鹗尊的通高一共约是163.3cm,莲鹤方壶的高度约是妇 50-4红=40-3红©慈结：解答此题的关键是找对等量关系。由“甲、乙 50-4x+4x=40-3x+4x两袋里利下的球的个数相等”可知，“甲袋里原有的 好鹦尊的2.53倍，妇好鹦尊和莲鹤方壶的高度分别约是多少厘米？（请你先利 50-40=40+x-40个数-从甲袋里取出的个数=乙袋里原有的个数-从 用画图的方法表示题目中的数量关系，再列方程解决问题)①根器“例厕”炼一悔 x=10 乙袋里限出的个数”，根据这个等量关系列方程解答。 答：取10次后，甲、乙两袋里剩下的球的个数相等。 任务3 )做易错 ⊙易错点：列方程解决问题时，设句和答语不明确 3.蜀绣是中国刺绣传承时间最长的绣种之一，甲刺绣厂的绣娘人数是乙刺绣厂的 小林收集红色图片和蓝色图片共40张，其中红色图片的张数是蓝色图片的1.5倍。两 4倍，如果从甲刺绣厂调40人到乙刺绣厂，则甲刺绣厂的绣娘比乙刺绣厂多10人， 种图片各有多少张？下面是小林的解答过程，小林的解法对吗？若不对请改正。 原来乙刺绣厂有绣娘多少人？①根据“学方法”排一练 解：设两种图片各有x张和1.5x张。 1.5x+x=40 2.5x=40 ©总结：在用方程解决习题时，未知数 x=16 一定要设清楚，答语也要写清楚。 1.5x=1.5×16=24 4.小东今年8岁，妈妈今年34岁，小东多少岁时，妈妈的年龄是小东的3倍？ 答：两种图片各有16张和24张。 ①根暑“微局帮”炼一炼 易错解读小林的解法错在未知数设的不清楚，答语也没有写明确。设未知数时，应 该明确设哪一个量为x,并用含x的式子表示另一个量。所以本题的正确答 案为设蓝色图片有x张，则红色图片有1.5x张。列方程为x+1.5x=40,解得 x=16,1.5×16=24(张)。答：蓝色图片有16张，红色图片有24张。 (对照学参考答案：P6) 561中小学AI教辅 七用方程解决问题 2课堂·任务学习 第2课时相遇问题 任务 步行速度为 )理知识 步行速度为 50米1分。 1.相遇问题的特征及等量关系 1课前·预习例题酒 70米1分。 (1)甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，相遇时两人分别走的路程之和，就是两 淘气家到笑笑家的路程是840m,两 地之间的总路程。 人同时从家里出发。 笑笑家 (2)根据速度、时间和路程三者之间的关系列出等量关系： 路程■速度×时间 邮局 速度=路程+时间 甲走的路程 乙走的路程=总路程 时间=路程+速度 估计两人在何处相遇？说一说你的想法。 甲的速度×相遇时间 乙的速度×相遇时间 70来/分 50米/分 相遇问题的数量关系 2.列方程解决问题的一般步骤 我的速度比笑笑快 ①总路程■甲的路程+乙的路程 (1)根据题意寻找等量关系；(2)根据等量关系列出方程；(3)解方程；(4)检验 些，估计我们相遇的 ②总路程■速度和×相遇时问 中间偏笑笑 结果是否正确：(5)写出答语。 的位置 地点在邮局附近。 因为两人是同时出发的，所以相遇时两人步行所 用的时间是相同的 任务 2 学方法 淘气和笑笑出发后多长时间相遇？想一想，与同伴交流。 列方程解答： ©列方程解决工程问题 画示意图： 一其846米 解：设出发后x分相遇，那么淘气走了 70元米，笑笑走了50x米。 某工程队准备从一座山里开凿一条2160长的隧道，工程队分成两队分别从山的两边 淘气家 笑笑家 70x+50x=840 迁可以根据乘法分配律，将 等量关系利为“速度和”相 同时开工，一队每月开凿150m,二队每月开凿120m,几个月能凿通？ 淘气走的路程+笑笑走的路程·840米 120x-840遇时间-老路程” 思路分析 一队开凿的长度 + 二队开凿的长度=2160m 一淘气走的逸度装相遇时问 x-7(70+50)x-840 笑笑走的速度相通时问 答：出发后7分相遇。 一队每月开凿的长度×月数 二队每月开凿的长度×月数 别忘了，路程=速度×时间。 正确解答解：设x个月能凿通。 ○如果淘气步行的速度是80米/分，笑笑步行的速度是60米/分，他们出发后多长时 150x+120x=2160 ©总结：两个工程队共同完成一项工程，与相遇问 间相遇？先想一想，再列方程解决问题。 题美似，工作效车相当于速度，工作总量相贵 解：设他们出发后x 淘气走的势程+笑笑走的落程=840m 等量关系没有变」 x=8 于慈路程。本题还可以用算术法求出工作时间： 分相通，那么淘气走 答：8个月能凿通。 2160+(150+120）=8(个)：。 了80xm,笑笑走了 淘气走的速度+笑笑走的速度一840阳 60x ma x相透时间 “相透时闲 80x+60x=840 ©巧解从车头相遇到车尾相离的问题 请举出生活中的其他情境，也可以用类似的等量关系列方程解决。 140x=840 一列客车长190m,一列货车长240m,两车分别以每秒20m和每秒23m的速度相向而 x=6 如：工程问题 行，在双轨铁路上，两车从车头相遇到车尾相离共需多长时间？ 可以是两辆车 几时共同宽成还可以是两个人同 同时从两地出发， 思路分析明确路程是两列车的车身的长度之和是解题关键，即“客车行驶的路程+货 菜项工作的相 时做一件事… 凡时相超的可题。 关习题。 车行驶的路程=(190+240)m”，根据这一等量关系列方程解答。 中小学A教辅I57 Q新学期对赢学数学五年级下册S 正确解答解：设两车从车头相遇到车尾相离共需x秒。 3课后·对照练习 20x+23x=190+240 x=10 答：两车从车头相遇到车尾相离共需10秒。 1,甲城和乙城相距540km,一辆货车每时行驶80km,一辆汽车每时行驶 ⊙运用画线段图法解决追及问题 100km,两车分别从甲、乙两城同时出发，相向而行，出发后几时相遇？ 有一天早上，小凯以80米/分的速度步行去学校，5分后，爸爸发现小凯忘了带数学 ①根岩"例斑”练一桥 书，于是立即以180米/分的速度去追赶小凯，并且在中途追上了他。爸爸追上小凯用 了多长时间？ 思路分析根据题意，爸爸开始追赶小凯时，小凯已经以80米/分的速度走了5分。设 爸爸追上小凯用了x分，画线段图分析等量关系如下： 180xm 2.某厂收到了制作420件文创玩具的订单，师徒二人同时开始制作。师傅每天能 家上 追上地，点 制作24件，徒弟每天能制作18件，几天后能完成这批订单？①根器“学方法“练一炼 小凯已走(80×5)m 80x m 等量关系：爸爸走的路程-爸爸追的时间内小凯走的路程=小凯先走5分的路程 列方程： 180x 80x =80×5 正确解答解：设爸爸追上小凯用了x分。 180x-80x=80×5 ⊙总结：逸及开始时两考之间的路程也叫追 及路程，進及问题常用到的数量关系：遍 3.荣荣和恒恒相约见面，他们从各自家出发，相向而行，荣荣步行每分走75m, x=4 及路程·追及时快者所走的路程一追及时 答：爸爸追上小凯用了4分。 慢者所走的路程。 恒恒骑自行车每分行165m,几分后两人在距中点810m处相遇？（先补全线段图， 任务3做易错 再列方程解答)①恨据学方法”练一燕 ⊙易错点：列方程时未加括号出错 下面谁的解法对？对的画“V√”，错的画“×”。 荣荣家 中，点 恒恒家 A、B两地相距500km,甲、乙两辆汽车同时从A、B两地出发相向而行，甲车每时行 40km,乙车每时行60km,几时后两车相遇？ 4.玲玲和军军沿着运动场跑步。如果两人同时从A点开始向同一方向跑，那么经过 e 解：设x时后两车相遇。 解：设x时后两车相遇。 多少秒军军第一次追上玲玲？①根据“败品错”练一德 40+60x=500 (40+60)x=500 我每秽跑5m。 明明 100x=500 丽丽 100x=500 我每秽跑3m。 x=5 x=5 运动场一圈 答：5时后两车相遇。 答：5时后两车相遇。 长400米 ( () 易错解读本题易错在求速度和时算式没有加小括号。若不加小括号，可以先分别求 玲玲 A 军军 出路程再相加。所以本题的正确答案为X、√。 (对照学参考答案：P6) 581中小学AI教辅 七用方程解决问题 第七单元 核心知识梳理 易错点1：不能准确利用等式的基本性质解方程 下面的计算正确吗？如果不正确，请改正。 知识点 示例 5x-3x-20=32 解：2x-20-20=32-20 1.解形如“ax±x=b”的方程的 2x=12 6x+x=49 方法 x=6 先逆用乘法分配律把方程转化 解：(6+1)x=49 错解：正确 正解：不正确5x-3x-20=32 为“(a±1)x=b”的形式 7x=49 利用等式的性质时，方程两边应 解：2x=32+20 x=7 同时加20错算成了同时减20 再根据等式的性质求出。 2x=52 x=26 易错点2：错误地把x看作0乘x 花圃里有吊兰和仙人球共56盆，吊兰的盆 下面的计算正确吗？如果不正确，请改正。 数是仙人球的3倍，吊兰和仙人球各有多 5x+x=36 少盆？ 解：5x=36 2.找实际问题中的数量关系 根据题意找出数量关系，即数 等量关系：仙人球的盆数×3+仙人球的盆 5x÷5=36÷5 量间的相等关系，根据数量间 数=56盆。 错 x=7.2 解：设仙人球有：盆，吊兰有3x盆。 正解：不正确5x+x=36 心 的相等关系列方程求解。 错解：正确、 x+3x=56 示 错把x看作0乘了 解：6x=36 知 x=14 6x÷6=36÷6 3x=14×3=42 x=6 易错点3：解决实际问题时找不准等量关系 小刚的玩具火车轨道的形状是一个平行四边形，甲、乙两列玩具火车同时 甲城和乙城相距450km,一辆货车每时行 从A点分别向不同的方向出发（如图），25秒后在C点相遇。已知甲车的 3.相遇问题的等量关系及列方程驶60km,一辆汽车每时行驶90km,两车 速度是乙车的14倍，乙车每秒行驶多少米？ 解决实际问题的步骤 分别从甲、乙两城同时出发，相向而行， (1)等量关系：甲的速度×出发后几时相遇？ 相遇时间+乙的速度×等量关系：货车行驶的路程+汽车行驶的 相遇时间=总路程。 路程=甲、乙两城之间的距离。 B (2)一般步骤：读题→找等量解：设出发后x时相遇。 错解：解：设乙车每秒行驶xm。 正解：解：设乙车每秒行驶xm 关系→列方程→解方程→ 60x+90x=450 1.4x-x=3×2 (1.4x-x)×25=3×2 检验→写答语。 x=3 0.4x=6 设有找准等量关系， 10x=6 x=15 导致列方程错误 x=0.6 中小学AI教辅|59