3.3 等可能事件的概率 同步练习2025－2026学年北师大版数学七年级下册

3.3 等可能事件的概率 一、单选题 1．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 3．如图是一枚中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年双色铜合金纪念币，该纪念币质地均匀，正面图案为中华人民共和国国徽，背面主景图案为中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念活动标识．若先后两次抛掷该纪念币，那么两次正面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 5．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 6．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 7．一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 8．如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 9．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 10．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 二、填空题 11．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 12．不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 13．一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是________； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有________个球． 14．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可） 15．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 三、解答题 16．同时抛掷两枚质地均匀，大小、颜色完全相同的骰子，每个骰子的六个面依次标记着数字1，2，3，4，5，6，记下向上的点数． (1)列举出所有可能出现的结果，并计数一共有多少种？ (2)求两枚骰子向上的点数均为奇数的概率． 17．临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 18．泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， (1)若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 19．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 20．一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数）．如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）． 参考答案 一、单选题 1．A 解：随机闭合开关，，中的两个，所有等可能的情况为：、、，共3种，其中能让灯泡发光的情况只有， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：A． 2．D A.做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A选项不正确，不符合题意； B.某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B选项不正确，不符合题意； C.射击运动员射击一次中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C选项不正确，不符合题意； D.抛硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件，再抛一次正面朝上的概率是二分之一，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 3．A 解：先后两次抛掷该纪念币，所有可能结果为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， ∴两次正面向上的概率是． 4．D 解：由图知，试验结果在附近波动，即其概率． A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故本选项不符合题意； C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面向上的概率是，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故本选项符合题意． 5．C 解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 6．B 解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的频率为； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的频率为； C、转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数的频率为； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃的频率为； 由图可知当试验次数很多时，频率稳定在， ∴B符合题意， 故选：B． 7．B 要使摸到红球的概率为，需满足添加后红球总数等于黄球总数 ∵原袋中有个红球，个黄球 ∴逐一验证选项： A、添加个黄球后，黄球数为，与红球数相等，符合要求，故不符合题意； B、添加个红球后，红球数为，黄球数为，，不符合要求，故符合题意； C、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意； D、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意． 故选：B． 8．A 解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.4，于是把0.4作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 ， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：A． 9．B 解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 10．A 解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 二、填空题 11．12 解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 12．红球 解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：（个）， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 所以此球的颜色最有可能是红球． 13． 红色 24 （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒， 放入了乙盒， 先放入甲盒的球的颜色是红色． 故答案为：红色； （2）由题意，可知取两个球共有四种情况： ①红红，则乙盒中红球数加1， ②黑黑，则丙盒中黑球数加1， ③红黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1， ④黑红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1． 那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球， 乙盒中最终有5个红球时，甲盒最少有5个红球， 乙盒中得到1个黑球，甲盒中最少得到1个红球 乙盒中最终有3个黑球时，甲盒最少有3个红球， 甲盒中至少有8个红球，乙盒中有5个红球和3个黑球， 至少有13个红球和3个黑球， 红球数是黑球数的2倍，且球的个数为偶数， 此时明显不满足条件， 红球至少16个，黑球至少有8个， 袋中原来最少有个球． 故答案为：24． 14． 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一） 解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜； 若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下： 乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜， 故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）． 15． 黑 解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 三、解答题 16．（1）解：共有种情况 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）解：满足两枚骰子向上的点数均为奇数的结果有9个， 故两枚骰子向上的点数均为奇数的概率． 17．（1）解：∵事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为， ∴， ∴， ∴； （2）解：把没有“红酥梨”的1箱记为A，混入了1个“红酥梨”的记为、，混入了2个“红酥梨”的记为C，从4箱中随机挑选两箱的情况有、、、、、，共6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有，共2种， ∴两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率为． 18．（1）解：甲夹走一个肉馅后，剩下个肉馅，个秧草馅，共个包子． 所以乙夹的包子是秧草馅的概率为． （2）解：将个肉馅包子记为、，个秧草馅包子记为、，列表如下： 甲 乙 结果 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的结果有种． 所以甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的概率为． 19．（1）解：大正方形包含的小正方形个数为（个） 图①阴影部分的正方形个数为8个， 投中纸板上阴影部分的概率为； 图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形， 每一个阴影三角形的面积等于的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积， 图②阴影部分的正方形个数为个， 投中纸板上阴影部分的概率为； （2）解：涂色如下： （3）解：概率不发生变化， 阴影部分概率的公式为． 20．解：  获胜的关键，要看裁判擦去的是奇数还是偶数，注意到2，3，4，…，2006中有1003个偶数，1002个奇数． （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜． 乙不管甲擦去什么数，只要有奇数，乙就擦去奇数（没有奇数时才擦去偶数）这样最后两个数一定都是偶数，它们不互素，故乙胜． （2）若裁判擦去的是偶数，则所剩的2004个数可配成1002对，每对中两个数互补：，，…，，，…， 这样不管乙擦去哪个数，甲都擦去所配对中另一个数，最后剩下的两数必然是配成一对的两个数，它们互素，故甲胜． 所以，甲获胜的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $